第3章計算機中的數值運算與運算器

本章學習目標

本章將介紹數據與文字在計算機中的表示方法，詳細講解數值數據

的原碼、補碼和反碼表示法以及它們之間的相互轉換，定點表示法、

浮點表示法、定點運算法、浮點運算方法和運算器的組成。通過本章

的學習，應該重點掌握和理解以下內容：

■了解數據、文字在計算機中的表示方法

-掌握原碼、補碼和反碼的表示方法，以及它們之間的相互轉換

■掌握定點表示法和浮點表示法

-掌握定點四則運算和浮點四則運算

第三章12011-12-31

3.1數值數據的表示

3.1.1無符號數和帶符號數

在計算機中，數據可分為無符號數和帶符號數。所謂無符號數，是

指正整數，機器字長的全部數位均用來表示數值的大小，相當于數的絕

對值。例如有兩個二進制數N1和N2。

Nl=01011表示十進制數11

N2=11011表示十進制數27

對于字長為n位的無符號數的表示范圍是0?2n-l。

一般計算機中都設有無符號數的運算和處理指令，還有一些轉移指

令也是專門針對無符號數的。

然而，我們在日常生活中會大量用到帶符號的數，即正數和負數，

我們用“+”、“一”號加絕對值來表示數值的大小。用這種形式表示的

數值在計算機技術中稱為“真值”。

第三章22011-12-31

但是，機器是無法識別符號“+”、“一”的，由于“+”、“一”恰

好是兩種截然不同的狀態，如果用“0”表示“+”，用“I”表示“一”，

這樣符號就被數字化了，并且規定將它放在有符號數的前面，這樣就組

成了有符號數。這種在計算機中使用的、包括符號位在內都被數字化了

的數稱為“機器數”或“機器碼”。機器數有三種不同的表示形式：原

碼、補碼和反碼。

對于帶符號數而言，上面例子中的兩個機器數Nl、N2的含義發生了

變化。

Nl=01011表示十進制數+n

N2=11011根據編碼的不同分別表示不同的值，如原碼時表示十進

制數一11

第三章32011-12-31

3.1.2原碼表示法

原碼表示法是一種最簡單的機器數表示法，用最高位表示符號位，

符號位為“o”表示該數為正數，符號位為“1”表示該數為負數，數值跟

隨其后，并以絕對值形式給出，這是與真值最接近的一種表示形式。

1.定點小數的原碼形式

設定點小數為±0了其…Xn，它的原碼形式為Xs%X2…Xn，其中Xs表

示符號位。原碼的定義為：

X0<X<1

［x］原

1-X=1+IXI-1<X<0

式中：X表不真值，［X］原表示原碼。

例如：X=0.0101,［X］原=X=0.0101

X=-0.0101,［X］原=1-X=1-(-0.0101)=1+0.0101=1.0101

第三章42011-12-31

2.定點整數的原碼形式

設定點整數為±%X2…X。，它的原碼形式為Xs，XJ2…X。，其中Xs

表示符號位。原碼的定義為：

X0<X<2n

2n-X=2n+|X|-2n<X<0

式中：X表示真值，[X]原表示原碼，n為整數的位數。

例如：X=0101,[X]原=X=00101

n4

x=—0101,[X]hi,=2-X=2-(-0101)=10000+0101=10101

在原碼表示法中，真值0有兩種不同的表示形式：

[+0]原=0,00...0

[―0]原=1,00...0

第三章52011-12-31

原碼表示法的優點是簡單易懂，機器數和真值之間的相互轉換非常

容易，用原碼實現乘、除運算的規則很簡單。但它的缺點是實現加、減

運算的規則較復雜，這是因為，當兩個數相加時，如果是同號則數值相

加，如果是異號，則兩數相減。而在進行減法運算時，還要比較絕對值

的大小，然后用大數減小數，最后還要給結果選擇恰當的符號，為了解

決這些矛盾，人們引入了補碼表示法。

3.1.3補碼表示法

補碼表示法的設想是：使符號位參加運算，從而簡化了加、減法的

運算規則；使減法運算轉化為加法運算，從而簡化了機器的運算器電路。

我們先以鐘表對時為例說明補碼的概念。假設有一只表的時間停在8點

鐘，而現在的正確時間為3點整，要校準時間，可以采用兩種方法：

(1)將時針順時針方向正撥7小時:8+7=15=12+3=3(mod12)

(2)將時針逆時針方向倒撥5小時：8-5=3o

第三章62011-12-31

因為鐘表的一周為12個小時，12相當于鐘表的進位值，在數學中

稱為“模”，記作(mod12)o上例中7和一5對鐘表而言，它們的作用

相同，即加7和減5是等價的，我們稱7是一5對模12的補碼。可以用數學

公式表示為：-5=+7(mod12)

從這個例子可以得到一個啟示，對于一個確定的模來說，某數減去

小于模的另一個數，總可以用加上模與該數的絕對值之差來代替，即負

數用補碼表示，這樣可以將減法運算轉化為加法運算了。這樣，在計算

機中實現起來就比較方便了。

例如：9-6=9+(-6)=9+(12-6)=9+6=3(mod12)

65-25=65+(-25)=65+(100-25)=65+75=40(mod100)

在定點小數機器中的數最大不超過1,也就是負的小數對“產的補

碼是等價的。但實際上，負數的符號位還有一個“1”，要把它看成的數

的一部分，所以要對2求補碼，即以2為模。

第三章72011-12-31

1.定點小數的補碼形式

若定點小數為±0.X］X2…Xn，它的原碼形式為Xs.xp(2…Xn，其中表

示符號位，則補碼表示的定義為：

X0<X<1

(mod2)

2+X=2—|X|-1<X<0

式中［X］補為機器數，X為真值。

例如，X=+0.0101,則［X］補=0.0101

x=-o.0101,則［X］補=10+X=10.0000-0.0101=1.1011

一般情況下，對于正數X=+0.X］X2…Xn，則有

補=

［X］0X^2，..xn

對于負數X=—0.X/2…Xn，則有

［X］補=10.00???0—O.XiX2???Xn(mod2)

注意，0的補碼表示只有一種形式，即［+0］補二［一0］補=0.0000。

第三章82011-12-31

2.定點整數的補碼形式

若定點整數為±XR2…Xn，它的補碼形式為Xs，乂止2…Xn，其中Xs表

示符號位，則補碼表示的定義為：

X0<X<2n

(mod2/z+1)

2n+1+X=2n+1-|^|-2n<X<0

式中：X表示真值，n為整數的位數。

例如，X=+0101,則［X］補=00101

X=-0101,則［X］補=2n+1+X=25+(—0101)=25-0101=100000-

0101=1,1011

采用補碼表示法進行減法運算就比原碼方便多了，因為不論是正數

還是負數，機器總是做加法，減法運算可轉換成加法運算。但根據補碼

的定義，求負數的補碼要從2減去|X|。為了用加法代替減法，結果還要

在求補碼時做一次減法，這顯然是不方便的。下面介紹的反碼表示法可

以解決負數的求補問題。

第三章92011-12-31

3.1.4反碼表示法

所謂反碼，就是二進制數的各位數碼由o變為1,由1變為0。也就是

說，若Xj=l,則反碼七二0；若X/0,則反碼Xj=l。數值上面的橫線表示反

碼的意思。反碼表示法與補碼表示法有相似之處，正數的反碼就等于真

值，負數的反碼是把其原碼除符號位以外的各位按位取反。

在計算機中用觸發器寄存數碼，若觸發器Q端輸出表示原碼，則其端

輸出就是反碼。由此可見，反碼是容易得到的。

1.定點小數的反碼形式

對定點小數，反碼表示的定義為：

0<x<1

-2-n)+X-1<X<0

其中n代表數的位數。

第三章102011-12-31

下面我們來證明第二個式子。SX=-0X1X2...Xn,則有［X］反O現在

將X的絕對值|X|和［X］反相加,則得

［X］反+|X|=1.11...1=10.00...0-0.00...1=2-2-n

所以

［X］反二（2-2-n）-|x|=（2-2一n）+X

一般情況下，對于正X=+0.X/2…Xn,則有

［X］反二0印2…Xn

對于負數X=-0力也…Xn,則有

1.X1X2…Xn

對于0,有［+0］反和［—0］反之分：

［+0］反=0.00...0

［―0］反=1.11...1

第三章112011-12-31

例如，X=+0.0101,則如］反=0.0101

X=-0.0101,則［X］反=(2-2-4)+X=1.1111+(一

0.0101)=1.1111-0.0101=1.1010

我們比較反碼與補碼的公式

［X］反=(2-2-n)+X

［X］補=2+X

可以得到

兇補=［X］反+2-n

由這個公式可知，求一個負數的補碼，其方法是符號位為1,其余各位0

變1，1變0，然后在最末位(2-n)上加1。

第三章122011-12-31

2.定點整數的反碼形式

對定點整數，反碼表示的定義是

0<X<2n

-1)+X-2n<X<0

例如，X=+0101,則［X］反=00101

X=-0101,貝MX］反二(2n+1-l)+X=(25-1)+(-0101)

=(100000-1)-0101

=11111-0101

=11010

第三章132011-12-31

3.1.5三種碼制的比較與轉換

1.比較

三種碼制既有共同點，又有各自不同的性質，主要區別有以下幾點：

（1）對于正數，它們都等于真值本身，而對于負數各自有不同的表示。

（2）最高位都表示符號位，補碼和反碼的符號位可作為數值的一部分看

待，和數值位一起參加運算；但原碼的符號位不允許和數值位同等看待，

必須分開處理。

（3）對于真值0,原碼和反碼各有兩種不同的表示形式，而補碼只有唯

一的一種表示形式。

（4）原碼、反碼表示的正、負數范圍相對零來說是對稱的；但補碼負數

表示范圍較正數表示范圍大，能多表示一個絕對值最大的數，其值等于一

2-n（定點整數）或一1（定點小數）。

第三章142011-12-31

表3-1給出了以4位二進制數為例，表示三種不同碼制時的十進制真值。

表3-1三種不同碼制時的十進制真值

二進制數原碼補碼反碼

0000000

0001111

0010222

0011333

0100444

0101555

0110666

0111777

1000~0-8-7

1001一］一7

1010一6^5

1011-3~4

1100-4-3

1101______-3-2

1110-6-2--1

1111-7-1-0

第三章152011-12-31

2.轉換

三種不同碼制以及真值之間的轉換關系如圖3-1所示。

從圖3-1可看出，真值X與補碼或反碼之間的轉換通常是通過原碼實

現的，也可以直接完成真值與補碼或反碼之間的轉化。

若已知機器的字長，則機器數的位數應補夠相應的位數，例如機器

字長為8位則：

X=1011[X]原=00001011[X]補=00001011[X]反=00001011

X=-1011[X]B=10001011[x]補二iinoioi[X]^=11110100

X=0.1011[X].原g=0.1011000[X],k=0.1011000[X]^=0.1011000

x=-o.1011[X]原=1.10110000101000[X]反二1.0100111

第三章162011-12-31

[X]補

符號位不變

當Xs=o時數值位不變

當Xs=l日寸數值位變反+1

符號+/-變成0/1

[X]真值

數值位不變

符號位不變

當Xs=0口寸數值位不變

當Xs=l時數值位變反

[X]反

圖3-1三種不同碼制以及真值之間的轉換關系

第三章172011-12-31

3.2數的定點表示與浮點表示

在計算機中，小數點不用專門的器件表示，而是按約定的方式標出。

根據小數點的位置是否固定，在計算機中有兩種數據格式：定點表示和

'4學點表示o

3.2.1定點表示法

定點數是指小數點固定在某個位置上的數值。通常有小數和整數兩

種表示形式。

1.定點小數

小數點的位置固定在最高有效數位之前、符號位之后時，機器內的

數稱為純小數。記作Xs.X】X2…X。，其中表示符號位，這個數是一個純

小數，如圖3-2所示。定點小數的小數點位置是隱含約定的，小數點并不

需要真正占據一個二進制位。

第三章182011-12-31

當Xs=O、X.l、Xz=l、…、x『l時，X為最大正數，即X最大正數=(l-2n)

當X§=0、X]=0、…、Xn_j=0>X01時,X為最小正數，即X最小正數=2華

當Xs=l時，表示X為負數，此時情況比較復雜，因為在計算機中帶符號

的數可以用補碼表示，也可以用原碼表示。如前所述，原碼與補碼所表示

的絕對值最大的負數是不同的，所以原碼和補碼的表示范圍有一些差別。

設機器字長有n位，貝I」：

原碼定點小數表示位的范圍為：一(1—2-n)?(1—2-n)。

補碼定點小數表示位的范圍為：一1?(1—2-n)o

圖3-2定點小數格式

第三章192011-12-31

2.定點整數

小數點的位置隱含固定在最低有效數位之后時，機器內的數稱為純

整數。記作XsX]X2…Xn，這是一個純整數，如圖3-3所示。

圖3-3定點整數格式

n

原碼定點整數表示位的范圍為：一(2n—1)?(2—1)O

11n

補碼定點整數表示位的范圍為：-2?(2—1)o

X最小正數二1

第三章202011-12-31

在定點表示法中，參加運算的數以及運算的結果都必須保證在該

定點數所能表示的數值范圍內。如遇到絕對值小于最小正數的數，被

當作機器0處理，稱為“下溢”；而大于最大正數和小于絕對值最大的

負數的數，統稱為“溢出”。這時計算機將暫時中斷運算操作，去進

行溢出處理。

只能處理定點數的計算機稱為定點計算機。由于小數點的位置固

定不變，因此當機器處理的數不是純小數或純整數時，必須設定一個

比例因子，把原始的數縮小成定點小數或擴大成定點整數后再進行處

理，所得到的運算結果還必須根據比例因子還原成實際的數值。選擇

合適的比例因子非常重要，必須保證參加運算的初始數據、中間結果

和最后結果都在定點數的表示范圍之內，否則將會產生“溢出”。

第三章212011-12-31

322浮點表示法

i.浮點數的表示形式

使用定點表示法能表示以o為中心的一定范圍的正、負的整數或小數。

實際上計算機中處理的數不一定是純小數或純整數，而且有些數據的數

值范圍相差很大，它們都不能直接用定點數表示，但均可用浮點數表示。

浮點數即小數點的位置可以浮動的數，如

325.78=3.2578X102=3257.8XIO-1=0.32578X103

顯然，這里小數點的位置是變化的，但因為分別乘上了不同的10的

方幕，因此值不變。通常浮點數可表示成

N=MXrE

式中M為尾數（可正可負），E為階碼（可正可負），r是基數（或基

值）。在大多數計算機中，尾數為純小數，常用原碼或補碼表示；階碼

為定點整數，常用補碼表示；基數可取2、4、6、8、16等，通常廠2。

第三章222011-12-31

浮點數在機器中的形式如圖3-4所示。采用這種數據格式的機器稱

為浮點機。浮點數的基數是隱含的，在整個機器數中不出現。階碼的符

號位為es，階碼的大小反映了在數N中小數點的實際位置；尾數的符號位

為叫，它也是整個浮點數的符號位，表示了該浮點數的正、負。

可見，浮點數有階碼和尾數兩部分組成。浮點數的表示范圍主要由

階碼決定，有效數字的精度主要由尾數就決定。

1位<k位>1位<n位

m

0

階碼E尾數M

圖3?4浮點數的一般格式

第三章232011-12-31

2.浮點數的表示范圍

設某浮點數的格式如圖3-4所示，k和n分別表示階碼和尾數的位數

（不包括符號位），尾數和階碼均用補碼表示。

當es=O,ms=0,階碼和尾數的數值位各位都為1（即階碼和尾數都為

最大正數）時，該浮點數為最大正數：

X最大正數=（1-2?2

當e§=l,ms=0,尾數的最低位irin=l,其余各位為0（即階碼為絕對

值最大的負數，尾數為最小正數）時，該浮點數為最小正數：

ck

X最小正數=2、2-2

當es=0,階碼的數值位全為1;ms=l,尾數的數值位全為0（即階碼

為絕對值最大的正數，尾數為絕對值最大的負數）時，該浮點數為絕對

值最大負數：

V—_]*?2T

八絕對值最大的負數一n

第三章242011-12-31

3.浮點數的規格化

為了提高浮點數的精度，必須充分利用尾數的有效位數，通常采取

浮點數規格化形式，即規定尾數的最高位數必須是一個有效數值。如果

不是規格化數，就要通過修改階碼并同時左右移尾數的方法，使其變成

規格化數。將非規格化數轉換成規格化數的過程叫做規格化。對于基數

不同的浮點數，因其規格化數的形式不同規格化過程也不同。

一個浮點數的表示形式不是唯一的。例如二進制數0.0001011可表

示為0.001011X2T、0.01011X2-2>0.1011X2—3…，而其中只有

0.10HX2-3是規格化數。

在尾數用原碼表示時，規格化浮點數的尾數的最高數位總等于1。

第三章252011-12-31

3.2.3浮點數階碼的移碼表示法

浮點數的階碼是帶符號的定點整數，因此它可以用前面介紹的任何

一種機器數的表示方法來表示。但在大多數計算機中，多采用補碼表示

法或另外一種編碼方法——移碼表示法。

設定點整數的移碼形式為X0X］X2…Xn，字長為n+1位，則移碼的定義為

［X］移=2n+X-2n<X<2n

式中：［X］移表示移碼，X為真值。

根據定義可知，移碼就是真值X加一個常數2%相當于X在數軸上向

正方向平移了2n個單位，由此而得“移碼”之稱。移碼也可稱為增碼或

偏碼，常數2n稱為偏置量或偏置值。

將移碼的定義和補碼的定義相比較，可以找出移碼和補碼之間的關系：

X0<X<2n

因為

2n+,+X=2n+,-IXI-2"<X<0

第三章262011-12-31

表3-2給出了移碼、補碼和真值之間的關系。

表3?2移碼、補碼和真值之間的關系

真值X（十進制）真值X（二進制）[X]補[X]移

-128-100000001000000000000000

-127-11111111000000100000001

????????????

-1-00000011111111101111111

000000000000000010000000

100000010000000110000001

????????????

12711111110111111111111111

第三章272011-12-31

從表3-2中，可看出移碼具有以下特點：

(1)在移碼中，最高位為“0”表示負數，最高位為“1”表示正數，這

與原碼、補碼、反碼的符號位取值相反；

(2)移碼全為0時，它所對應的真值最小；全為1時所對應的真值最大。

因此移碼的大小直觀地反映了真值得大小，有助于兩個浮點數進行階碼

的大小比較；

(3)真值0在移碼中的表示形式也是唯一的，即［+0］補二［-0］補

=100...0；

(4)移碼把真值映射到一個正數域，所以可將移碼視為無符號數，直

接按無符號數規則比較大小；

(5)同一數值的移碼和補碼除最高位相反外，其他各位相同。

(6)移碼的偏置量并不唯一，根據所要表示的移碼值范圍來選擇不同

的偏置量，需要注意的是IEEE754的標準中8位二進制的偏移量的取值為

127。

第三章282011-12-31

3.2.4實用浮點數舉例

在現代計算機中，浮點數一般采用國際標準IEEE754,這種標準的

形式如圖3-5所不。

ms階碼（含階符）尾數

數符小數點位置

圖3-5IEEE754標準的浮點數形式

第三章292011-12-31

按照IEEE754標準，常用的浮點數有三種，它們具體的格式見表3-3。

表3?3IEEE754標準中的三種浮點數

類型數符階碼尾數總位數偏置值

r^3

短浮點數18327FH

長浮點數11152643FFH

臨時浮點數11564r^o3FFFH

下面以32位的短浮點數為例，討論浮點代碼與真值之間的關系。最高

位為數符位；其后是8位階碼，以2為底，階碼的偏置值為127；其余23位

是尾數。為了使尾數部分能表示多一位的有效值，IEEE754標準采用隱含

尾數最高數位1的方法（即這一位1不表示出來），因此尾數實際上是24位。

需要注意的是，隱含的1是一位整數（即位權為2。）。在浮點格式中表示

出來的23位尾數是純小數，并用原碼表示。

第三章302011-12-31

例3-3：將(56.25)I。轉換成短浮點數。

解：(1)把十進制數轉換成二進制數

(56.25)10二(111000.01)2

(2)規格化二進制數

111000.01=1.1100001X25

(3)算出移碼(階碼真值+偏置值)

101+01111111-10000100

(4)短浮點數格式存儲該數

因為

符號位二0

階碼二10000100

尾數二11000010000000000000000

所以短浮點數代碼為：0;10000100;11000010000000000000000

表示為十六進制的代碼為：42610000Ho

第三章312011-12-31

例3-4：把短浮點數C1C90000H轉換成十進制數。

(1)把十六進制數轉換成二進制數，并分離出符號位、階碼和尾數

因為C1C90000H二11000001110010010000000000000000

所以，符號位二1

階碼二10000011

尾數二10010010000000000000000

(2)計算出階碼真值(移碼一偏置值)

10000011-01111111=100

(3)以規格化二進制數形式寫出此數

1.1001001X24

(4)寫成非規格化二進制數形式

11001.001

(5)轉換成十進制數，并加上符號位

(11001.001)2二(25.125)10

所以，該浮點數為-25.125

第三章322011-12-31

3.3數值運算

3.3.1定點四則運算

定點四則運算包括加、減、乘、除運算。

1.補碼加法運算

上一節我們介紹了數的補碼表示法，負數用補碼表示后，就可以和

正數一樣來處理。這樣，運算器里只需要一個加法器就可以了，不必為

了負數的加法運算，再配一個加法器。

補碼加法的公式是：

[X]補+[Y]補=[X+Y]補(mod2)

上述公式表明，在模2意義下，任意兩個數的補碼之和等于該兩個

數之和的補碼。這是補碼加法的理論基礎，其結論也適用定點整數。

補碼加法有以下特點：一是符號位要作為數的一部分一起參加運算;

二是要在模2的意義下相加，即超過2的進位要舍去。

第三章332011-12-31

2.補碼減法運算

負數的加法要利用補碼化為加法來做，減法運算當然也要設法化為

加法來做。之所以使用這種方法而不直接使用減法，是因為它可以和常

規的加法運算使用同一個加法器電路，從而簡化了計算機的設計。

補碼減法運算的公式為：

［X—Y］補=［X］補一［Y］補=［X］補+［—Y］補(mod2)

因此，若機器數采用補碼，當求X—Y時，只需先求LY］補(稱［—

Y］補為“變補”后的減數)，就可以按照補碼加法規則進行運算。而［—

Y］補由［Y］補連同符號位在內，每位取反，末位加1而得。

第三章342011-12-31

3.溢出判斷

在定點小數機器中，數的表示范圍為|X|VI。在運算過程中如出現

大于1的現象，稱為“溢出”。在定點中，正常情況下溢出是不允許的。

兩個正數相加，結果大于機器所能表示的最大正數，成為正溢。而

兩個負數相加，結果小于機器所能表示的最小負數，成為負溢。如圖3-

6所示，對定點正數而言，也同樣存在正溢、負溢問題。

負溢＜一可表示的數一》正溢

-10+1

圖3-6定點小數的溢出

第三章352011-12-31

為了保證計算的正確性，我們必須要對溢出進行檢測。判斷“溢出”

是否發生，可采用兩種檢測方法。第一種方法是采用雙符號位法，這稱

為“變形補碼”或“模4補碼”，從而使模2補碼所能表示的數的范圍擴

大了一倍。采用變形補碼后，任何小于1的正數，兩位符號位都是“0”；

任何大于一的1負數，兩個符號位都是“1”，兩個數相加后，其結果的

符號出現“01”或“10”兩個組合時，表示發生溢出。這是因為兩個絕對

值小于1的數相加，其結果不會大于或等于2,而最高符號位永遠表示結

果的正確符號。

第三章362011-12-31

我們可以得出如下結論：

(1)當以模4補碼運算，運算結果的兩個符號位相異時，表示溢出；

相同時，表示未溢出。所以溢出邏輯表達式為V二SfRf2，其中$門和S’2分

別表示為最高符號位和第二符號位。此邏輯表達式可用異或門實現。

(2)模4補碼相加的結果，不論是否溢出，最高符號位始終表示正確

的符號。

(3)第二種溢出檢測的方法是采用單符號位法。從例9和例10中可看

出，當最高有效位產生進位而符號位無進位時，產生正溢；當最高有效

位無進位而符號位有進位時，產生負溢。所以溢出邏輯表示式為V=CfC0,

其中Cf表示符號位產生的進位，C。表示最高有效位產生的進位。此邏輯

表達式也可用異或門實現。

在定點機中，當運算結果發生溢出時，機器通過邏輯電路自動檢測

出這種益處，并進行中斷處理。

第三章372011-12-31

4.乘法運算

與加法和減法相比，無論是用硬件還是用軟件來完成。乘法都是一

個復雜的操作。各種各樣的算法已用于各類計算機中。我們先介紹兩個

無符號整數相乘的過程，然后再介紹實現兩個補碼表示數的乘法的最普

遍的技術。

(1)無符號整數乘法

由圖3?7所示的手工乘法過程，可得到如下幾點重要結論：

1011被乘數11

X1101乘數13

1011

0000

1011

1011

10001111

圖3-7無符號二進制乘法

第三章382011-12-31

1）乘法涉及到部分積的生成，乘數的每一位對應一個部分積。然后,

部分積相加得到最后的乘積。

2）部分積是容易確定的。當乘數的位是0時，其部分積也是0；當乘

數的位是1時，其部分積是被乘數。

3）部分積通過求和而得到最后乘積。為此，后面的部分積總要比它

前面的部分積左移一個位置。

4）兩個n位二進制整數的乘法導致其積的長度為2n位。

與手工演算相比，計算機能做幾件事使操作更有效。首先，可以邊產

生部分積邊做加法，而不是等到最后再相加。這就取消了存儲所有部分

積的需求；只需要少數幾個寄存器。其次，我們能節省某些部分積的生

成時間，對于乘數的每個1,需要加和移位兩個操作；但對于每個0,則

只需移位操作。

第三章392011-12-31

圖3-8表示了一種采用此方式的實現方案。

乘數和被乘數分別裝入兩個寄存器（Q和M）。還需要第三個寄存

器A,初始設置為0。還需要一個1位寄存器C,初始值為0,用于保存加

法可能產生的進位。

被乘數

乘數

圖3-8無符號二進制乘法實現硬件

第三章402011-12-31

乘法器的操作如下。控

制邏輯每次讀乘數的一位。

若Qo是1,則被乘數與A寄存

器相加并將結果存于A寄存

器。然后，C、A和Q各寄存

器的所有位向右移一位，于

是C位進入A。/,進入Qz，

而Qo丟失。若Qo是0,則只

需進位，無需完成加法。對

原始的乘數每一位重復上述

過程。產生的2n位積存于A

和Q寄存器。這種操作的流積在A,Q中

程圖如圖3-9所示。

圖3-9無符號二進制乘法流程圖

第三章412011-12-31

(2)補碼乘法

在計算機中帶符號數一般都用補碼表示，補碼的加減法非常簡單，

在以加減運算為主的通用機中，操作數都用補碼表示，所以這類計算機

在做乘法時也使用補碼。

最常用的補碼乘法算法是Booth算法，又稱比較法。

設被乘數［X］補=Xs.XRz…X/乘數［Y］補=Ys.YM…Yn。在乘數的最低位

置后增加一位附加位Ya，它初值為3增加附加位不會影響運算結果。

每次運算取決于乘數相鄰兩位Yj+1的值，把它們稱為乘法的判斷

位。這種運算是根據乘數相鄰兩位的比較結果(Yi+1—Yj)來確定運算操

作，因此稱為比較法。

第三章422011-12-31

Booth算法規則如下：

1）參加運算的數用補碼表示；

2）符號位參加運算；

3）由于每求一次部分積要右移一位，所以乘數的最低兩位Yn、Yn+1的

值決定了每次執行的操作，如表3-4所示；

4）移位按補碼右移規則進行，右移前：XX］X2…X,右移后：XX

X］???Xn_2Xn_p

5）共需要進行n+1次累加，n次移位。

表3-4Booth乘法運算操作

判斷位丫口、Y/］I

0~0原部分積右移一位

。1原部分積加［X］補后右移一位

10原部分積加［—x］補后右移一位

11原部分積右移一位

第三章432011-12-31

圖3-10給出了Booth算法的框圖。被乘數和乘數分別放入B和C寄存

器內。乘法的結果將出現在A和C寄存器中。A和附加位CM初始化為0。

運算過程中，控制邏輯每次掃描C寄存器中的最低兩位CnG+i。若兩位

相同（11或00）,則A、C寄存器的所有位向右移一位。若兩位不同，當

時，則A寄存器的內容加B寄存器的內容（即被乘數）；當

CnCn+i=l。時，A寄存器的內容減去B寄存器的內容被乘數（即加上B寄

存器中內容的反），加減之后再右移。無論哪種情況，右移是這樣進行

的：A的最左位，即A一位，不僅要移入A。？，而且還要保留在A-中。

這要求保留A和C中的符號。這種移位方式稱為算術移位（Arithmetic

Shift）,因為它保留了符號位。

第三章442011-12-31

圖3-10補碼乘法的Booth算法

第三章452011-12-31

5.除法運算

除法要比乘法更復雜，但也是基于同樣的通用原則。如上所述，算法

的基礎是紙和筆的演算方法，而且操作涉及到重復的移位和加減法。

00001101商

除數1011)10010011被除數

1011

部分余001110

1011

001111

________1011

100余數

圖3-11無符號二進制整數除法

第三章462011-12-31

圖3-11表示的是一個無符號二進制整數長除的例子。首先，從左到右

檢查被除數的位，直到被檢查的位所表示的數大于或等于除數；這被稱

為除數能去“除”此數。直到這個事件出現之前，一串0從左到右放入

商中，。當事件出現時，一個1放入商并且由此部分被除數中減去除數。

結果被稱為部分余(PartialRemainder),由此開始除法呈現一種循

環樣式。在每一循環中，被除數的其他位續加到部分余上，直到結果大

于或等于除數。同前，由這個數減去除數并產生新的部分余。此過程繼

續下去，直到被除數的所有位都被用完。

事實上，機器的運算過程和人畢竟不同，人會心算，一看就知道夠不

夠減。但機器卻不會心算，必須先做減法，若余數為正，才知道夠減；

若余數為負，才知道不夠減。不夠減時必須恢復原來的余數，以便再繼

續往下運算，這種方法稱為恢復余數法。

第三章472011-12-31

要恢復原來的余數，只要當前的余數加上除數即可。但由于要恢復余

數，使除法進行過程的步數不固定，因此控制比較復雜。實際中常用不

恢復余數法，又稱加減交替法。其特點是運算過程中如出現不夠減，則

不必恢復余數，根據余數符號，可以繼續往下運算，因此步數固定，控

制簡單。

加減交替法的規則是：當余數為正時，商“1”，余數左移一位，減除

數；當余數為負時，商“0”，余數左移一位，加除數。

第三章482011-12-31

3.3.2浮點四則運算

1.浮點加法、減法運算

設有兩個浮點數X和Y,它們分別為

X=2LxX

Y=。Yx2EY

其中Ex和Ey分別為數X和Y的階碼，Mx和％為X和Y的尾數。

兩個浮點數進行加法和減法的運算規則是：

EX-EYEY

Z=X±Y=(MxX2±MY)X2EX<EY

由于浮點數尾數的小數點均固定在第一數值位前，所以尾數的加減運算

規則與定點數完全相同。但由于其階碼的大小有直接反映尾數有效值的

小數點位置，因此當浮點數階碼不等時，因兩尾數小數點的實際位置不

一樣，尾數部分無法直接進行加減運算，因此必須先進行“對階”，

使兩數的小數點位置對齊。

第三章492011-12-31

完成浮點數加減法運算的操作過程大體分為四個基本步驟:

(1)0操作數檢查；

(2)比較階碼并完成對階；

(3)尾數進行加或減運算；

⑷規格化結果并進行舍入處理。

圖3?12所示為浮點數加減運算的操作流程圖。

第三章502011-12-31

圖3-12浮點加減運算的操作流程

第三章512011-12-31

第一步為0操作數檢查，如果判知兩個操作數X或Y中有一個數為0,那

么另一個數即為運算結果，而沒有必要再進行后續的一系列操作，以節

省運算時間。

第二步是使兩個操作數的指數相同。兩個浮點數進行加減，首先要

看兩個數的階碼是否相同，即小數點位置是否對齊。若兩個數階碼相同,

表示小數點是對齊的，就可以進行尾數的加減運算。反之，若兩個數階

碼不同，表示小數點位置沒有對齊，此時必須使兩個數階碼相同，這個

過程叫做對階。

第三步是尾數求和運算，包括它們的符號。不論是加法還是減法，都

按加法進行操作，其方法與定點加減運算完全相同。

最后一步是規格化結果。若尾數部分得到的結果不是規格化數，必須把

它變成規格化數。對于雙符號來說，規格化數的形式是001義…X或

110X...Xo

第三章522011-12-31

規格化處理的規則如下：

1）結果尾數的兩個符號位值不同（01或10）,這就表明尾數運算結果

溢出，應進行右規格化處理，即將結果尾數向右移一位，并將階碼值加

lo

2）若結果尾數運算不溢出，但最高數位值與符號位的值相同，這就表

明不符合規格化規則，應進行左規格化處理，這時應將結果尾數重復左

移，每移一位階碼減1,知道出現最高數值位與符號位的值不同為止。

在對階或向右規格化時，尾數要向右移位。這樣被移位的尾數的低位

部分就會被丟掉，從而造成一定的誤差，因此要進行舍入處理。簡單的

舍入如處理方法有兩種：一種是“0舍1入”法，即如果右移時被丟掉的

數位的最高位為0則舍去，為1則將尾數的末位加1。另一種方法是“恒

置1”法，即只要數位被移掉，就在尾數的末位恒置1。

第三章532011-12-31

在IEEE754標準中，舍入處理提供了四種可選方法：

?就近舍入：結果被舍入成最近的可表示的數。其實質就是通常所說

的“四舍五入”。例如，尾數超出規定的23位的多余位數字是10010,

多于位的值超過規定的最低有效位值的一半，故最低有效位應增1。若

多余的5位是01111,則簡單的截尾即可。對多余的5位10000這種特殊情

況：若最低有效位現在為0,則截尾；若最低有效位現為1,則向上進1

位使其變為0。

?朝+8舍入：結果向正無窮大方向取舍。對正數來說，只要多余位不

全為0,則向最低有效位進1;對負數來說，則是簡單的截尾。

?朝一8舍入：結果向負無窮大方向取舍。對正數來說，則是簡單的截

尾；對負數來說，只要多余位不全為0,則向最低有效位進1。

?朝0舍入：結果朝0取舍。即朝數軸原點方向舍入，就是簡單的截尾。

無論尾數是正數還是負數，截位都使取值的絕對總值比原值的絕對值小。

這種方法容易導致誤差。

第三章542011-12-31

2.浮點乘法、除法運算

(1)浮點乘法、除法運算規則

設有兩個浮點數X和Y:

可見，乘積的尾數是相乘兩數的尾數之積，乘積的階碼是相乘兩數的

階碼之和。當然，這里也有規格化和舍入等步驟。

設有兩個浮點數X和Y:

第三章552011-12-31

(2)浮點乘法、除法運算步驟

浮點數的乘除運算大體可分為四步：第一步，0操作數檢查；第二步,

階碼加/減操作；

第三步，尾數乘/除操作；第四步，結果規格化及舍入處理。

圖3-13所示為浮點乘法的流程圖。無論哪個操作數為0,乘積即為0。

下一步是指數相加。若指數是移碼(偏移值指數)形式，指數的和將會

有雙倍的偏置值，故應從和中減去一個偏置值。可能會出現指數上溢或

下溢，此時應結束算法并報告。

若積的指數在一個恰當的范圍內，則下一步應是有效數相乘，包括它

們的符號一起考慮。有效數相乘與整數相乘的方法相同。積的長度將是

被乘數和乘數的長度的兩倍，多余的位將在舍入期間丟失掉。

得出乘積之后，下一步則是結果的規格化和舍入處理，同加、減法所做

的一樣。注意，規格化可能導致指數下溢出現。

第三章562011-12-31

圖3-13浮點乘法的流程圖

第三章572011-12-31

圖3-14所示為浮點除除法

法流程圖。第一步是測試

x=o?A階碼相減

0,若除數為0,或報告出

Y,V

加偏移

錯，或認為是一個無窮大Z

的數，取決于具體的實現。

工A溢出報告

返回工酚碼溢出？

若被除數是0,則結果是0。K7

下一步是被除數的指數減爸碼下溢？＞報告下溢

除數的指數。這個過程把V

\r

偏置值去掉了，所以必須尾數相除I返回

▼

加上偏置值。然后對指數規格化

上溢或下溢進行測試。▼

舍入

V

返回

圖3/4浮點除法流程圖

第三章582011-12-31

3.4算術邏輯運算單元ALU

針對每一種算術運算，都必須有一個相應的基本硬件配置，其核心部

分是加法器和寄存器。當需要完成邏輯運算時，勢必需要配置相應的邏

輯電路，而ALU電路是既能完成算術運算又能完成邏輯運算的部件

3.4.1ALU電路

圖3-15是ALU框圖。圖中Aj和瑪為輸入變量；彩為控制信號，&的不同

取值可決定該電路做哪種邏輯運算；Fj是輸出函數。

圖3-15ALU框圖

第三章592011-12-31

為了實現算術/邏輯多功能運算，則必須對全加器(F