第六章第六章

第一節(jié)主要學習內(nèi)容矩陣的運算矩陣運算法求解線性方程組6.1矩陣運算

這一章主要介紹矩陣運算及矩陣運算法求解線性方程組.6.1矩陣運算一、引例某高校期中、期末考試有選擇題、填空題、解答題三種類型的題，小王期中、期末考試答對選擇題分別為10題、6題，答對填空題分別為3題、5題，答對解答題分別為6題、7題；小李期中、期末考試答對選擇題分別為8題、4題，答對填空題分別為3題、2題，答對解答題分別為5題、6題.選擇題每題2分，填空題每題3分，解答題每題8分.問：（1）他們兩次考試各題型的分別答對了多少題？（2）他們期中、期末成績分別為多少？（3）如果期中占40%，期末占60%，他們的總評成績分別為多少？小王、小李在兩次數(shù)學考試中答對題數(shù)如表6-1考試情況所示：

題型

答題數(shù)姓名期中期末選擇題填空題解答題選擇題填空題解答題小王1036657小李8354266.1矩陣運算思考：（1）如何用矩陣表示他們兩次考試各題型的答對題數(shù)？（2）如何用矩陣表示他們期中、期末成績？（3）如果期中占40%，期末占60%，如何用矩陣表示他們的總評成績？6.1矩陣運算

二、矩陣的運算6.1矩陣運算

現(xiàn)實生活中的許多問題都可以轉化為相應的矩陣問題來處理，矩陣加減法、數(shù)乘、乘法、轉置、矩陣的逆等運算不僅符合數(shù)學邏輯，而且在現(xiàn)實生活中都有其實際意義.6.1矩陣運算

圖6-1矩陣加法

6.1矩陣運算

圖6-1矩陣加法

所以矩陣加法的幾何意義就是：它可以將兩個向量組合并成一個新的向量組，這個新的向量組包含了原來兩個向量組中的所有向量.6.1矩陣運算

當然，如果有更多的向量組合起來，可以形成這樣的矩陣乘法.6.1矩陣運算

圖6-2矩陣乘法6.1矩陣運算

圖6-3篩子及篩眼四、矩陣的秩圖6-2矩陣乘法6.1矩陣運算那么矩陣A的秩rank(A)可以看作篩眼的大小，R(A)越小對應的篩眼越小（忽略掉篩子的形狀，下面用帶網(wǎng)格的圓來表示篩子），如圖6-4秩與篩子大小所示：圖6-4秩與篩子大小

圖6-5網(wǎng)格圓表示篩子6.1矩陣運算可以用帶網(wǎng)格兩個圓來表示這兩個篩子，可以看到各自的篩眼大小不同，也就是各自的矩陣的秩不相同，如圖6-6不同篩眼疊加所示：

當這兩個篩子疊在一起的時候，疊加部分的篩眼變小了，比單獨某一個篩子的篩眼要小,此時有rank(AB)<min(rank(A)，rank(B)).當然還有可能矩陣A，B的秩相同，篩眼大小相同，這時疊在一起時，疊加部分的篩眼等于其中某一個篩子的篩眼，如圖6-7相同篩眼疊加所示，此時有rank(AB)=min(rank(A)，rank(B)).

綜上所述：rank(AB)≤min(rank(A)，rank(B)).圖6-6不同篩眼疊加圖6-7相同篩眼疊加6.1矩陣運算五、矩陣的轉置

產(chǎn)品原料（噸）

甲

乙9445310例6.1.1一個工廠生產(chǎn)甲、已兩種產(chǎn)品，需用A，B，C三種原材料.如表6-2原材料需求表所示：表6-2原材料需求表6.1矩陣運算

6.1矩陣運算六、方陣的行列式

6.1矩陣運算

6.1矩陣運算

6.1矩陣運算七、矩陣的逆基于矩陣乘法和逆矩陣定義使用待定系數(shù)法求逆矩陣

6.1矩陣運算矩陣分塊法求逆矩陣

6.1矩陣運算逆矩陣的幾何意義：線性變換的“逆變換”

6.1矩陣運算

6.1矩陣運算逆矩陣的應用：矩陣編制Hill密碼密碼學在經(jīng)濟和軍事方面都起著極其重要的作用.1929年，希爾（Hill）通過矩陣理論對傳輸信息進行加密處理，提出了在密碼學史上有重要地位的希爾加密算法.下面我們介紹一下這種算法的基本思想.

6.1矩陣運算

6.1矩陣運算

在實際應用中，可以選擇不同的可逆矩陣，不同的映射關系，也可以把字母對應的數(shù)字進行不同的排列得到不同的矩陣，這樣就有多種加密和解密的方式，從而保證了傳遞信息的秘密性.上述例子是矩陣乘法與逆矩陣的應用，將數(shù)學與密碼學緊密結合起來，運用數(shù)學知識破譯密碼，進而運用到軍事等方面.6.2矩陣運算法求解線性方程組

6.2矩陣運算法求解線性方程組二、矩陣乘法、逆矩陣法求解線性方程組

6.2矩陣運算法求解線性方程組

6.2矩陣運算法求解線性方程組三、逆矩陣法求解線性方程組：圖6-8逆矩陣法求解線性方程組設AX=B，A可逆，則X=A-1B，A-1(A，B)=(E，X)，即(A，B)行(E，X)，求解步驟如圖6-8逆矩陣法求解線性方程組所示：6.2矩陣運算法求解線性方程組

6.2矩陣運算法求解線性方程組

6.2矩陣運算法求解線性方程組

6.2矩陣運算法求解線性方程組

6.2矩陣運算法求解線性方程組

6.2矩陣運算法求解線性方程組

四、應用拓展表6-3營養(yǎng)成分及單價表要求既滿足動物生長的營養(yǎng)需要，又使費用最省的選用飼料方案.

飼料蛋白質（克）礦物質（克）維生素（毫克）價格（元/斤）1310.50.2220.510.736220.3410.50.80.4求最優(yōu)問題例6.2.7

某動物園飼養(yǎng)動物，設每頭動物每天需要300克蛋白質，90克礦物質，100毫克維生素.現(xiàn)有4種飼料可供使用，各種飼料每公斤營養(yǎng)成分含量及單價如表6-3營養(yǎng)成分及單價表所示：6.2矩陣運算法求解線性方程組

求