忻州市第十中學2024-2025學年度高一9月考數學試卷（考試時間120分鐘，總分150分）注意事項：1.答題前，考生務必將自己的學校、姓名、考試號寫在答題卷的密封線內.答案一律寫在答題卷對應題目的空格內，答案寫在試卷上無效.考試結束后，上交答題卷.2.一律不準使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆.3.填寫選擇題答案時，請規范使用2B鉛筆填寫，書寫統一使用0.5毫米黑色簽字筆.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.下面給出的四類對象中，能構成集合的是（）A.某班視力較好的同學 B.某小區長壽的人C.的近似值 D.方程的實數根【答案】D【解析】【分析】根據集合的特征，即可判斷各選項是否能組成集合.對于A，描述的對象“視力較好”不確定，不能構成集合，A不是；對于B，描述的對象“長壽”不確定，不能構成集合，B不是；對于C，沒有給出精確度，描述的對象“π

的近似值”不確定，不能構成集合，C不是；對于D，方程的實數根是和1，明確可知，能構成集合，D是.故選：D2.設集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據集合的交并補運算即可求解.因，所以．故選：B3.若集合，且，則（）A.10或13 B.13 C.4或7 D.7【答案】B【解析】【分析】利用元素與集合的關系計算即可.當，即時，，此時與4重復，則.當，即時，.故選：B4.M＝{x|x3＝x}，N＝{x|x2＝1}，則下列式子中正確的是（）A.M＝NB.M?NC.N?MD.M∩N＝【答案】C【解析】【分析】求得兩個集合的元素，由此確定正確選項.，所以，，所以，所以故選：C5.使“｛或｝”成立的一個充分不必要條件是（）A. B.或C.或 D.【答案】D【解析】【分析】利用充分不必要條件與集合的關系，判斷選項.設或，，若是的充分不必要條件，則，滿足條件的只有D.故選：D6.已知，則下列各式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據不等式的性質判斷ABC，由作差法判斷D即可得解.因為，所以，由不等式的性質可得，A正確，B錯誤；由不等式的性質可得，若，C錯誤；若，則，即，D錯誤.故選：A7.已知函數，則函數的最小值為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】將變為，利用基本不等式，即可求得答案.因為，所以，當且僅當，即，即時取等號．故選：B8.《幾何原本》卷的幾何代數法（以幾何方法研究代數問題）成了后世西方數學家處理問題的重要依據，運用這一原理，很多代數的公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字證明．現有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設，，則該圖形可以完成的無字證明為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用表示出，由勾股定理求得，由可得結論.，，，，（當且僅當與重合，即時取等號），.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.9.下列命題中，真命題的是（）A. B.平行四邊形的對角線互相平分C.對任意的，都有 D.菱形的兩條對角線相等【答案】AB【解析】【分析】對A，求出判別式判斷；對B，由平行四邊形的性質判斷；對C，將配方可判斷；對D，根據菱形的性質可判斷.對于A，方程的判別式，故A正確；對于B，由平行四邊形的性質可得對角線互相平分，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，菱形的對角線不一定相等，故D錯誤.故選：AB.10.下列結論中，錯誤的結論有（）A.取得最大值時的值為B.若，則的最大值為C.函數的最小值為D.若，，且，那么的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】根據二次函數的性質判斷A，利用基本不等式判斷B、C、D.對于A，因為，則函數的對稱軸為，所以取得最大值時的值為，故A錯誤；對于B，令，若，，，，當時取等號，所以，則，則的最大值為，故B錯誤；對于C，函數，令，當時，解得，不滿足題意，故C錯誤；對于D，若，，且，所以，當時，即時取等號，所以的最小值為，故D正確.故選：ABC.11.非空集合A具有如下性質：①若，則；②若，則下列判斷中，正確的有（）A. B.C.若，則 D.若，則【答案】ABC【解析】【分析】根據元素與集合的關系進行分析，從而確定正確答案.對于A，假設，則令，則，令，則，令，不存在，即，矛盾，∴，故A對；對于B，由題，，則∴，故B對；對于C，∵，，，∵故C對；對于D，∵，，若，則，故D錯誤．故選：ABC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.命題“”的否定為__________.【答案】【解析】【分析】利用存在量詞命題的否定可得出結論.由存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，則原命題的否定為.故答案為：13.已知集合，其中，則實數______.【答案】【解析】【分析】由題意可得或，求出，進而求出，結合集合的互異性和，即可得出答案.①當時，解得，當時，與集合元素的互異性矛盾，所以舍去；當時，，得到與矛盾，所以舍去；②當時，解得，當時，，得到與矛盾，所以舍去；當時，，得到，符合題意，所以.故答案為：.14.對任意實數，，，給出下列命題：①“”是“”的充要條件；②“是無理數”是“是無理數”的充要條件；③“”是“”的必要條件；④“”是“”的充分條件，其中真命題是_______.【答案】②③【解析】【分析】由充分條件、必要條件的定義，逐個判斷即可得解.對于①，由“”可推出“”；當時，成立，但不一定成立，所以由“”推不出“”；所以“”是“”的充分不必要條件，故①錯誤；對于②，“是無理數”可推出“是無理數”，“是無理數”也可推出“是無理數”，所以“是無理數”是“是無理數”的充要條件，故②正確；對于③，由“”可推出“”，所以“”是“”的必要條件，故③正確；對于④，當時，滿足，但不成立，所以“”推不出“”，“”不是“”的充分條件，故④錯誤.故答案為：②③.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合．（1）當時，求；（2）若，求取值范圍．【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）代入值，根據交集和并集含義即可；（2）分析得，分和討論即可.【小問1】時，，則，.【小問2】若，則以，當時，則；當時，則，則.綜上。16.設集合，.（1）若，求實數的值；（2）若“”是“”的必要條件，求實數的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據集合交集的性質進行求解即可.（2）根據集合并集的運算性質進行求解即可.【小問1】由，所以或，故集合.因為，所以，將代入中的方程，得，解得或，當時，，滿足條件；當時，，滿足條件，綜上，實數的值為或.【小問2】因為“”是“”的必要條件，所以.對于集合，.當，即時，，此時；當，即時，，此時；當，即時，要想有，須有，此時：，該方程組無解.綜上，實數的取值范圍是.17.已知，，.（1）求的最大值；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用基本不等式，將等式轉化為關于的一元二次方程，即可求解；（2）首先將等式變形為，再變形，轉化為利用基本不等式求和的最小值.【小問1】因為，令，則，所以，解得，所以，當且僅當，即，時等號成立；【小問2】由，得，所以，當且僅當，即，時等號成立.所以的最小值為.18.解答下列各題．（1）若，求的最小值．（2）若正數，滿足，求的最小值．【答案】（1）7（2）【解析】【分析】（1）易知，利用基本不等式可求得和的最小值為7；（2）依題意可得，再由基本不等式中“1”的妙用即可得出最小值.【小問1】由可得，所以，當且僅當時，即時，等號成立；此時的最小值為7；【小問2】由可得，因此，當且僅當時，即時，等號成立；此時的最小值為.19.要設計一張矩形廣告牌，該廣告牌含有完全相等的左右兩個矩形欄目（即圖中陰影部分）．這兩欄的面積之和為，四周空白的寬度均為，兩欄之間的中縫空白的寬度為，設矩形欄目的高為．（1）用含有x的代數式表示廣告牌的面積S；（2）求廣告牌面積最小值．【答案