4.4解直角三角形的應用第四章銳角三角函數學習目標課時講解1解直角三角形在實際中的應用解直角三角形在解仰角和俯角問題中的應用解直角三角形在解坡角、坡度問題中的應用解直角三角形在解方向角問題中的應用逐點導講練課堂小結作業提升學習目標課時流程2知識點解直角三角形在實際中的應用知1－講11.

利用解直角三角形解決實際問題的一般步驟：(1)畫出平面圖形，將實際問題抽象為數學問題，轉化為解直角三角形的問題；(2)根據已知條件的特點，靈活選用銳角三角函數等知識解直角三角形；(3)得到數學問題的答案；(4)得到實際問題的答案.知1－講2.

解決實際問題時，常見的基本圖形及相應的關系式如下表所示：圖形關系式圖形關系式AC＝BC·tanα，AG＝AC＋BEBC＝DC－BD＝AD·(tanα

－tanβ

)知1－講續表圖形關系式圖形關系式AB＝DE＝AE·tanβ，CD＝CE＋DE＝AE·(tanα＋tanβ)知1－講續表圖形關系式圖形關系式知1－講特別提醒1.當實際問題中涉及的圖形可以直接轉化為直角三角形時，可利用解直角三角形的知識直接求解.2.在解直角三角形時，若相關的角不是直角三角形的內角，應利用平行線的性質或互余、互補的角的性質將其轉化為直角三角形的內角，再利用解直角三角形的知識求解.3.問題中有兩個或兩個以上的直角三角形，當其中一個直角三角形不能求解時，可考慮分別由兩個直角三角形找出含有相同未知元素的關系式，運用方程求解.知1－練如圖4.4-1所示，某居民樓Ⅰ高20m，窗戶朝南，該樓內一樓住戶的窗臺離地面距離CM為2m，窗戶CD高1.8m.現計劃在居民樓Ⅰ的正南方30m處新建一居民樓Ⅱ.當正午時刻太陽光線與地面成30°角時，要使居民樓Ⅱ的影子不影響居民樓Ⅰ所有住戶的采光，新建居民樓Ⅱ最高只能建多少米？例1知1－練解題秘方：解本題的關鍵是將實際中的相關數據，通過建立數學模型，歸結到直角三角形中，再用三角函數(正切)求解.解：設正午時，太陽光線正好照在居民樓Ⅰ一樓住戶的窗臺處，此時新建居民樓Ⅱ高xm，如圖4.4-1所示，過點C作CF⊥l于F，則∠EFC=90°.知1－練

知1－練感悟新知1-1.如圖，某居民小區有一棟朝向為正南方向的居民樓．該居民樓的一樓是高6米的小區超市，超市以上是居民住房，在該樓前面20米處要蓋一棟高25米的新樓．已知上海地區冬至正午的陽光與水平線夾角為29°(參考數據：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55)

.知1－練感悟新知(1)冬至正午時，超市以上的居民住房采光是否有影響，為什么？解：冬至正午時，超市以上的居民住房采光有影響．理由：如圖，延長光線交CD于點F，過點F作FG⊥AB，垂足為點G.則∠AGF＝90°，∠AFG＝29°.由題意得，GF＝BC＝20米，GB＝FC.知1－練感悟新知知1－練感悟新知(2)若要使得超市全部采光不受影響，兩樓應至少相距多少米？(結果保留整數)知1－練

例2知1－練解題秘方：在建立的非直角三角形模型中，用“化斜為直法”解含公共直角邊的直角三角形.知1－練

知1－練

計算結果必須根據題目要求進行保留.知1－練方法點撥解直角三角形的實際應用問題的求解方法：1.根據題目中的已知條件，將實際問題抽象為解直角三角形的數學問題，畫出平面幾何圖形，弄清已知條件中各量之間的關系；2.若條件中有直角三角形，則直接選擇合適的三角函數關系求解即可；若條件中沒有直角三角形，一般需添加輔助線構造直角三角形，再選用合適的三角函數關系求解.知1－練感悟新知2-1.

[二模·滁州]如圖，在修建公路AD

時，需要挖掘一段隧道BC，已知點A，B，C，D

在同一條直線上，CE⊥AD，∠ABE=143°，BE=1500米.知1－練感悟新知(1)求隧道兩端B，C之間的距離.(精確到個位，參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)知1－練感悟新知(2)原計劃單向開挖，但為了加快施工進度，從B，C

兩端同時相向開挖，這樣每天的工作效率提高了20%，結果提前2天完工．問原計劃單向開挖每天挖多少米？知1－練知2－講知識點解直角三角形在解仰角和俯角問題中的應用21.

仰角和俯角的定義：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫作仰角，視線在水平線下方的角叫作俯角.知2－講特別提醒◆仰角和俯角是視線相對于水平線而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧記為“上仰下俯”.◆實際問題中遇到仰角或俯角時，要放在直角三角形中或轉化到直角三角形中，注意確定水平線.知2－講解直角三角形在解仰角和俯角問題中的應用2.

示圖(如圖4.4-3)：感悟新知知2－練[中考·長沙]2023年5月30日9點31分，“神舟十六號”載人飛船在中國酒泉衛星發射中心點火發射，成功把景海鵬、桂海潮、朱楊柱三名航天員送入到中國空間站．如圖4.4-4所示，在發射的過程中，飛船從地面O

處發射，當飛船到達A

點時，從位于地面C處的雷達站測得AC的距離是例3知2－練感悟新知8km，仰角為30°；10s后飛船到達B

處，此時測得仰角為45°．(1)求點A

離地面的高度AO；(2)求飛船從A

處到B

處的平均速度．(結果精確到

0.1km/s，參考數據：3≈1.73)知2－練感悟新知解題秘方：結合題目中的“仰角”將實際問題轉化為解直角三角形求解.知2－練感悟新知(1)求點A

離地面的高度AO；

知2－練感悟新知

知2－練感悟新知

知2－練感悟新知3-1.

[中考·張家界]“游張家界山水，逛七十二奇樓”成為今年旅游新特色．某數學興趣小組用無人機測量奇樓AB

的高度，測量方案如圖：先將無人機垂直上升至距水平地面225m的P

點，測得奇樓頂端A

的俯角為15°，再將無人機沿知2－練感悟新知水平方向飛行200m到達點Q，測得奇樓底端B

的俯角為45°，求奇樓AB

的高度．(結果精確到1m，參考數據：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)解：如圖，延長BA交PQ的延長線于點C，則∠ACQ＝90°.由題意得，BC＝225m，PQ＝200m，知2－練感悟新知知3－講知識點解直角三角形在解坡角、坡度問題中的應用31.

坡角與坡度(坡比)的定義：(1)坡角：坡面與水平面的夾角，如圖4.4-5中的α.知3－講解直角三角形在解坡角、坡度問題中的應用

知3－講解直角三角形在解坡角、坡度問題中的應用

知3－講特別提醒1.坡度是兩條線段長的比值，不是度數.2.表示坡度時，通常把比的前項取作1，后項可以是小數.3.物體的傾斜程度通常可用物體的坡度表示，坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越緩.知3－練感悟新知暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風景區登山．需要登頂600m高的山峰，如圖4.4-6所示，由山底A

處先步行300m到達B

處，再由B

處乘坐登山纜車到達山頂D

處.已知點A，B，D，E，F

在同一平面內，山坡AB

的坡角為30°，纜車行駛路線BD

與水平面的夾角為53°(換乘登山纜車的時間忽略不計)．例4

知3－練感悟新知(1)求登山纜車上升的高度DE；(2)若步行速度為30m/min，登山纜車的速度為60m/min，求從山底A

處到達山頂D

處大約需要多少分鐘.(結果精確到0.1min，參考數據：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)知3－練感悟新知解題秘方：將分散的條件集中到△BDE，通過解直角三角形求解.知3－練感悟新知(1)求登山纜車上升的高度DE；解：如圖4.4-6，過點B作BM⊥AF于點M，則∠AMB＝90°.由題意可知，∠A

＝30°，∠DBE

＝53°，DF

＝600m，AB

＝300m.知3－練感悟新知

知3－練感悟新知(2)若步行速度為30m/min，登山纜車的速度為60m/min，求從山底A

處到達山頂D

處大約需要多少分鐘.(結果精確到0.1min，參考數據：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)知3－練感悟新知

知3－練感悟新知

5米感悟新知知4－講知識點解直角三角形在解方向角問題中的應用4名稱定義舉例方向角方向角是以觀察點為中心(方向角的頂點)，以正北或正南方向為始邊，旋轉到觀察目標的方向線所成的銳角.目標方向線OA，OB

，

OC

的方向角可以分別表示為北偏東30°，南偏東45°，北偏西45°，其中南偏東45°習慣上又叫作東南方向，北偏西45°習慣上又叫作西北方向.

知4－講感悟新知特別提醒1.方向角通常以南北方向線為主，分南偏東(或西)和北偏東(或西)，觀察點不同，所得的方向角也不同，但各個觀察點的南北方向線是分別互相平行的.2.解決實際問題時，可利用正南、正北、正東、正西方向線構造直角三角形來求解.感悟新知知4－練如圖4.4-7所示，燈塔A周圍9海里內有暗礁．一漁船由東向西航行至B

處，測得燈塔A

在北偏西58°方向上，繼續航行6海里后到達C

處，測得燈塔A在西北方向上．如果漁船不改變航線繼續向西航行，有沒有觸礁的危險？(參考數據：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，cos58°≈0.530，tan58°≈1.600)例5知4－練感悟新知解題秘方：根據題意作AD⊥BC，構造直角三角形，設AD=x

海里，根