函數的零點與方程的解-專項訓練【原卷版】

基礎鞏固練

1.已知函數/(%)=2/—3%—5,則/(%)的零點為().

A.1和—|B.—1和|C.(—1,0)和(*0)D.(-*0)和(1,0)

2.已知函數/(久)=匕：]>0則函數/(%)的零點的個數為().

A.0B.1C.2D.3

3.某同學用二分法求函數/(%)=2久+3%-7的零點時，計算出如下結果：

/(1.5)=0.33/(1.25)=-0.87/(1.375)=—0.28/(1.4375)=

0.02,/(1.4065)=-0.13/(1.422)=—0.05.下列說法正確的是().

A.1.4065是滿足精度為0.01的近似值B.1.375是滿足精度為0.1的近似值

C.1.4375是滿足精度為0.01的近似值D.1.25是滿足精度為0.1的近似值

4.函數/(無)=：一In%的零點所在的區間為().

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

X3

5.已知函數/(久)=2+x,g(x)=log2x+x,九(久)=%+%的零點分別為a,b,c,

則().

A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

6.已知函數/'(%)=In—2|+/,g(%)=4%,則兩個函數圖象所有交點的橫

坐標之和為().

A.0B.2C.3D.4

7.[2024?濟南模擬]已知函數/(%)=WDJo。'若函數。(%)=/(%)-匕有

四個不同的零點，則實數b的取值范圍為().

A.(0,1]B.[0,1]C.(0,1)D.(1,+8)

8.若關于%的不等式％2-4尤一2-Q>0在區間(1,4)內有解，則實數Q的取值范

圍是().

A.(—8,2)B.(—co,—2)C.(—6,+oo)D.(—8,-6)

綜合提升練

9.(多選題)已知當%>0時,%>log2%,則關于函數/(%)=f,0；、「下列

說法正確的是().

A.方程/(%)=%的解只有一個

B.方程/(/(%))=1的解有五個

C.方程/(/(%))=t(0<t<1)的解有五個

D.方程/(/(%))=t(t>1)的解有五個

10.(多選題)已知函數/(久)-ex+x-2的零點為a,函數g(%)-\nx+x-2的

零點為5,則下列不等式成立的是().

A.ea+In6>2B.ea+Inb=2C.a+b=2D.ab>1

——Y+1Y<C2

2'一’與函數g(%)=logaO+3)(a>0且aH1)的

(/(%—2),x>2

圖象有且僅有一個交點，則實數a的取值范圍為.

(2x+2

12.已知函數/(%)=F'X-'則函數F(x)=/(/(%))-2/(%)

2

IIlog2(x-l)\,x>l,

的零點個數是

應用情境練

13.(雙空題)設函數y=/(%)的定義域為R,且滿足/(1+x)=/(1—%),

2023

/(%-2)+/(-%)-0,當xe時,/(%)=-|x|+1,則力/(k)=

k=l

,函數y=/(%)-1gI久I有個零點.

14.已知函數f(%)的定義域為(0,12],恒有八%+4)=4/(%),當％6(0,4]時,

fix)=[2丫-2—2].若函數或久)=[/(%)]2+t"(%)有4個零點，則實數t的取值范

圍為________

創新拓展練

15.已知函數/(無)=P若方程/(%)=上有4個不同的根

%1，%2，%3，%4，且％1<%2<%3<久4,則自？一％式%1+%2)的取值范圍是

16.在數學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它

可運用到有限維空間并構成一般不動點定理的基石.簡單地講：對于滿足一定條

件的連續函數/(%),存在實數沏，使得/(&)=&，我們就稱該函數為“不動點

函數”，實數&為該函數的“不動點”.

(1)求函數/(久)=2%+(—2的“不動點”；

(2)若函數/(%)=a"+b%+i(a>0)有兩個"不動點"%],如且%|<2,

|%2=2,求實數b的取值范圍.

函數的零點與方程的解-專項訓練【解析版】

基礎鞏固練

1.已知函數/(%)=2/一3%一5,則/(%)的零點為(B).

A.1和一3B.—1和|C.(―1,0)和(j,0)D.(-*0)和(1,0)

［解析］對于函數f(工)=2x2—3%—5,令/(%)=0,即2/—3%—5=0,解得％=

一1或％=所以/(%)的零點為一1和3故選B.

2.已知函數/(久)0；：；；>0則函數/(%)的零點的個數為(D).

A.0B.1C.2D.3

［解析］當％<0時，令/(%)=2X-1=0,可得％=0；

當汽>0時，令/—3%+1=0,可得x=3+—或％=3寸.

22

綜上所述，函數/(%)的零點為0,警，1，共3個.故選D.

3.某同學用二分法求函數/(久)=2x+3x-7的零點時，計算出如下結果：

/(1.5)=0.33/(1.25)=-0.87/(1.375)=—0.28/(1.4375)=

0.02,/(1.4065)=-0.13/(1.422)=-0.05.下列說法正確的是(B).

A.1.4065是滿足精度為0.01的近似值B.1.375是滿足精度為0.1的近似值

C.1.4375是滿足精度為0.01的近似值D.1.25是滿足精度為0.1的近似值

［解析］/(1.4375)=0,02>0,/(1.4065)=-0.13<0,又1.4375-1.4065=

0.031>0.01,A錯誤;

???/(1.375)=-0.28<0/(1.4375)=0.02<0,又1.4375-1.375=0.062<

0.1,.-.B正確,D錯誤；

/(1.422)=-0.05<0/(1.4375)=0.02>0J1,4375-1.422|=0.0155>

0.01,C錯誤.故選B.

4.函數/(%)=|—111%的零點所在的區間為(C).

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

［解析］依題意，函數/(%)=：-In久的定義域為(0,+8),而y=：在(0,+8)上單

調遞減，y=—In%在(0,+8)上單調遞減，所以/(%)在(0,+8)上單調遞減.因為

33

3p2o3p2

e3>4,所以>2,即萬>1,所以/(2)=--In2=Ine2—In2=Iny>0,

/(3)=1—In3=Ine—In3=In1<Zn1=0,所以/(2)?f(3)<0,所以函數

/(%)=：一In%在區間(2,3)上有零點.故選C.

已知函數/(%)X九(%)=%3+%的零點分別為

5.=2+x,g(x)=log2x+x,a,b,c,

則(B).

A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

x3

［解析］在同一平面直角坐標系中作出y=2,y=log2x,y=x,y=一汽的大致圖

象如圖所示.

由圖象知a<c<b.故選B.

6.已知函數/(汽)=In-2|+/,g(')=4%,則兩個函數圖象所有交點的橫

坐標之和為(D).

A.0B.2C.3D.4

［解析］函數/(%)=ln|x—2|+/與g(%)=4久的圖象所有交點的橫坐標之和，可

以轉化為方程ln|%—2|=4x—x2的所有實數根之和.

因為y=ln|x—2|和丫=4'一/的圖象均關于直線％=2對稱，且兩個圖象

有兩個交點，所以兩個交點的橫坐標之和為4.故選D.

7.［2024?濟南模擬］已知函數/(無)=9「00'若函數。(%)=/(%)-5有

四個不同的零點，則實數b的取值范圍為(A).

A.(0,1］B.［0,1］C.(0,1)D.(l,+8)

［解析］依題意，作出y=/(%)的圖象與直線y=匕,如圖所示，

因為函數g(%)=f(x)—匕有四個不同的零點，所以方程/(%)=b有四個不同

的解，所以函數y=/(%)的圖象與直線y=匕有四個不同的交點，結合圖象，可

知實數b的取值范圍為(0,1］.故選A.

8.若關于％的不等式,一4%一2-a>0在區間(1,4)內有解，則實數a的取值范

圍是(B).

A.(—8,2)B.(—oo,—2)C.(—6,+oo)D.(―oo,—6)

［解析］不等式等價于存在％C(1,4),使a<x2-4%-2,即a<(，-4x-2)max，設

y=/一軌一2=(%—2)2—6,當％G(1,4)時，yG［-6,—2),則a<-2.故選B.

綜合提升練

9.(多選題)已知當%>0時,％>1嗝%,則關于函數/(%)=f,0；、「下列

說法正確的是(ACD).

A.方程/(%)=%的解只有一個

B.方程/(/(%))=1的解有五個

C.方程/(/(%))=t(0<t<1)的解有五個

D.方程/(/(%))=t(t>1)的解有五個

［解析］作出/(%)=優建ho的圖象，如圖，

因為當汽>0時，x>log2%,所以y='與y=f(%)有唯一交點,A正確；

、1、-1

令/(%)=則f(。=1nt=0或t=5或t=2n/(%)=0或f(x)=或

/(%)=2,易知f(x)=。時有1個解，/(%)=:時有3個解，/(%)=2時有2個

解，共6個解,B錯誤；

令〃=/(%),則/(〃)=te(0,1)n%V0,u2G(0,1),%G(1,2)n/(xj<

0,f(x2)e(0,l)/(第3)G(1,2)n%160M有3個解,右有2個解，共有5個解,C正

確；

-1

令〃=/(%),則/Q)=tE(1,+oo)=>%e(0,-),u2E(2,+8),所以/(%i)e

(0,|),/(%2)e(2,+8),所以久1有3個解,%2有2個解，共有5個解,D正確.故選ACD.

10.(多選題)已知函數/(%)-ex+x-2的零點為a,函數g(x)-\nx+x-2的

零點為b,則下列不等式成立的是(BC).

A.ea+Inb>2B.e。+Inb=2C.a+b—2D.ab>1

［解析］令/(%)=0，g(%)=0,則e"=2—%,\nx-2—x,在同一平面直角坐

標系中分別作出函數y=ex,y-Inx,y-2-%的大致圖象，如圖所示.

因為函數/(%)=ex+x—2的零點為a,函數g(x)=In%+x—2的零點為b,

所以a(a,ea),B(b,Inb),由［1］?〔久‘得『二)

因為函數y=e久與y=In%互為反函數，

所以由反函數的性質知力(a,ea),B(b/n6)關于點(LD對稱，

則a+b=2,ea+Inb=2,所以ab4絲生-=1,當且僅當a=h=l時，

4

等號成立.

所以A,D錯誤，B,C正確.故選BC.

—工支+1%<2_

2'一’與函數g(x)=logaO+3)(a>0且aH1)的

(f(x-2),x>2

圖象有且僅有一個交點，則實數a的取值范圍為(0.1)U(L5］.

［解析］當％>2時，由/(%)=/(%—2),知此時/(%)的周期T=2.

當％C(2,4］時,％—2C(0,2］,f(久)—f(%—2)———(%—2)+1———%+2>

作出分段函數/(%)的部分圖象.當0<a<1時，由圖1可知，0<a<1顯然成立;

當a>l時，如圖2,則g(2)21,即loga5Nl,即1<aW5.

歐z)=log"(z+3)M

綜上所述，a的取值范圍為(0,1)U(1,5］.

r2*+2

12.已知函數/(%)='"一口則函數“%)=/(/(久))—

2

IIlog2(x-l)|,%>1,

的零點個數是4.

［解析］令t=/(%)，則F(%)=0等價于/(t)=2t+|,

作出y=/(%)的圖象和直線y=2%+1，如圖所示.

由圖象可得函數y=/(久)的圖象與直線y=2%+m有兩個不同的交點，設這

兩個交點的橫坐標分別為“心,則

G=0,t2G(1,2).

當/(%)=G時，％=2,有1個解；當/(%)=七時，有3個解.

綜上所述，F(x)=0共有4個解，即函數F(x)有4個零點.

應用情境練

13.(雙空題)設函數y=/(%)的定義域為R,且滿足/(1+%)=/(1-％),

2023

/(X-2)+/(-%)=0,當％e[—1,1]時，/(%)=-|x|+1,則E/(k)=T,函

k=l

數y=/(%)-ig團有io個零點.

[解析]由/(1+%)=/(1-%),知函數/(%)的圖象關于直線％=1對稱，且

/(-%)=/(2+%),

由/(久一2)+/(—%)=0,知函數/(%)的圖象關于點(一1,0)對稱，

且/(一%)=-/(%-2),

所以/(2+%)=—/(%—2),故/(4+%)=—/(%),

則/(%+8)=—/(%+4)=/(%),

故函數/(久)的周期為8.

當％G[―1,1]時,/(久)=-|x|+1,根據周期和對稱性可作出/(久)的圖象，如

由圖可知，/⑴=0/(2)=1/⑶=0/(4)=-1,/(5)=0/(6)=

-1,/(7)=0/(8)=1,得/⑴+/(2)+-??+/(8)=0,

2023

所以￡f也)=252x0+[/(I)+f(2)+…+/⑺]=-1.

k=l

由y=1g|%|在(一8,0)上單調遞減,且lg|-10|=l,lg|-l|=0;在(0,+8)上單

調遞增，且lg|10|==0.結合圖象,得y=/(%)和y=1g|久|的圖象有10

個交點，即函數y=/(%)-1g|%|有10個零點.

14.已知函數/(%)的定義域為(0,12],恒有/(%+4)=4/(%),當％6(0,4]時,

/(%)=|2七2_21.若函數g(%)=[/(%)]2+t"(%)有4個零點,則實數t的取值范

圍為[—32,—28].

[解析]當％G(4,8]時，X-4G(0,4]，則/(%)=/((%-4)+4)=4/(%-4)=

4|2Z-6-2|.

當％G(8,12]時，%-8G(0,4],則/(尤)=/((%-4)+4)=4/(%-4)=

47((%-8)+4)=16/(%-8)=16|2X-10-2|.

(\2*-2-2|,久C(0,4],

所以/(久)=(4|2A6-2\,xE(4,8],

(16|2X-10-2|,xG(8,12],

則/(3)=/(7)=/(ll)=0,作出f(%)的大致圖象如圖所示.

令9(久)—[/(%)]2+t-/(%)=0,可得/(%)=0或/(%)=—t.

由題意得方程以久)=0有4個根，

由/(%)—0，可得％=3或％——7或%—11,

所以/(%)=T僅有1個根，又16|28T。-2|=28,/(12)=16|212To-2|=

32,

貝U28<-t<32,解得一32<t<-28.

創新拓展練

15.已知函數/(%)=P若方程/(%)=上有4個不同的根

%1，%2，%3，%4，且無1〈尤2<%3<%4,則一％4(久1+%2)的取值范圍是田②雪.

%3無4

[解析]作出函數y=/(久)與、=上的圖象，如圖，

由方程/(%)=k有4個不同的根％I，%2，%3，%4,且久1<%2<%3<%4,

可知》1，%2關于％=—1對稱，則為1+%2=—2；且0<%3<1<%4工4,

貝U|10g4%3l=|10g4%4l，R“0g4%3=-1。84K4,貝匹084%3+10g4%4=。，

即10g4久3%4=0，則％3%4=1，

d-1

當|log4久1=1時，％=4或Z，則1<久4￡4,-<X3<1.

44

所以--2—(%i+汽2)工4=2%4"I--，1<汽44%

%3久4%4

令y=2%+-(1<%<4),

X

則其在(1,/)上為減函數，在［VX4］上為增函數.

故當％時，y取得最小值，最小值為4/,而當％=4時,y取得最大值，最

大值為9.

故七一乙(%i+g)的取值范圍是［4V2,9］.

16.在數學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它

可運用到有限維空間并構成一般不動點定理的基石.簡單地講：對于滿足一定條

件的連續函數/(%),存在實數&,使得/(&)