專題04幾何中的三點共線問題幾何壓軸題中的三點共線問題，一般有兩種考查方式：一是：假設某三點共線，探究線段的長度、線段的數量與位置關系、三角形或四邊形的形狀、面積等。在這一類題型，一般都是講三點共線作為條件使用：（1）在探究線段的長度，線段的數量關系時，多是利用全等三角形的性質，相似三角形的性質，進行轉化求解，或者利用勾股定理和銳角三角函數進行求解。（2）在探究三角形或四邊形的形狀時，一般先是利用全等三角形的性質，相似三角形的性質，勾股定理或者銳角三角函數求出相應的邊長，再根據幾何圖形的判定進行求解即可。（3）在探究面積問題時，一般先是利用全等三角形的性質，相似三角形的性質，勾股定理或者銳角三角函數求出相應的邊長，再利用面積公式進行計算即可。（4）在把三點共線作為條件使用時，要注意，在未明確三點位置關系時，要進行分類討論，否則會出現漏解的情況。二是證明三點共線：證明三點共線常用到以下幾種方法：（1）證明以位于中間點為頂點形成兩個角的和為180°。（2）先連接兩點，證明第三個點在連線上，具體可以證明三點連線重合（先證平行，再證有公共點），也可以以某一點為頂點構造角，證明角相等（如圖：證明∠DCB=∠DCA，在證點B在AC上）。 （2022·吉林長春·統考中考真題）如圖，在中，，，點M為邊的中點，動點P從點A出發，沿折線以每秒個單位長度的速度向終點B運動，連結．作點A關于直線的對稱點，連結、．設點P的運動時間為t秒．(1)點D到邊的距離為__________；(2)用含t的代數式表示線段的長；(3)連結，當線段最短時，求的面積；(4)當M、、C三點共線時，直接寫出t的值．（1）連接DM，根據等腰三角形的性質可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解；（2）分兩種情況討論：當0≤t≤1時，點P在AD邊上；當1＜t≤2時，點P在BD邊上，即可求解；（3）過點P作PE⊥DM于點E，根據題意可得點A的運動軌跡為以點M為圓心，AM長為半徑的圓，可得到當點D、A′、M三點共線時，線段最短，此時點P在AD上，再證明△PDE∽△ADM，可得，從而得到，在中，由勾股定理可得，即可求解；（4）分兩種情況討論：當點位于M、C之間時，此時點P在AD上；當點（）位于CM的延長線上時，此時點P在BD上，即可求解．【答案】(1)3(2)當0≤t≤1時，；當1＜t≤2時，；(3)(4)或【詳解】（1）解：如圖，連接DM，∵AB=4，，點M為邊的中點，∴AM=BM=2，DM⊥AB，∴，即點D到邊的距離為3；故答案為：3（2）解：根據題意得：當0≤t≤1時，點P在AD邊上，；當1＜t≤2時，點P在BD邊上，；綜上所述，當0≤t≤1時，；當1＜t≤2時，；（3）解：如圖，過點P作PE⊥DM于點E，∵作點A關于直線的對稱點，∴A′M=AM=2，∴點A的運動軌跡為以點M為圓心，AM長為半徑的圓，∴當點D、A′、M三點共線時，線段最短，此時點P在AD上，∴，根據題意得：，，由（1）得：DM⊥AB，∵PE⊥DM，∴PE∥AB，∴△PDE∽△ADM，∴，∴，解得：，∴，在中，，∴，解得：，∴，∴；（4）解：如圖，當點M、、C三點共線時，且點位于M、C之間時，此時點P在AD上，連接AA′，A′B，過點P作PF⊥AB于點F，過點A′作A′G⊥AB于點G，則AA′⊥PM，∵AB為直徑，∴∠A=90°，即AA′⊥A′B，∴PM∥A′B，∴∠PMF=∠ABA′，過點C作CN⊥AB交AB延長線于點N，在中，AB∥DC，∵DM⊥AB，∴DM∥CN，∴四邊形CDMN為平行四邊形，∴CN=DM=3，MN=CD=4，∴CM=5，∴，∵M=2，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即PF=3FM，∵，，∴，∴，即AF=2FM，∵AM=2，∴，∴，解得：；如圖，當點（）位于CM的延長線上時，此時點P在BD上，，過點作于點G′，則，取的中點H，則點M、P、H三點共線，過點H作HK⊥AB于點K，過點P作PT⊥AB于點T，同理：，∵HK⊥AB，，∴HK∥A′′G′，∴，∵點H是的中點，∴，∴，∴，∴，∴，即MT=3PT，∵，，∴，∴，∵MT+BT=BM=2，∴，∴，解得：；綜上所述，t的值為或．本題主要考查了四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質，圓的基本性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形，根據題意得到點的運動軌跡是解題的關鍵，是中考的壓軸題．（2022·內蒙古通遼·統考中考真題）已知點在正方形的對角線上，正方形與正方形有公共點．(1)如圖1，當點在上，在上，求的值為多少；(2)將正方形繞點逆時針方向旋轉，如圖2，求：的值為多少；(3)，，將正方形繞逆時針方向旋轉，當，，三點共線時，請直接寫出的長度．（1）根據題意可得，根據平行線分線段成比例即可求解；（2）根據（1）的結論，可得，根據旋轉的性質可得，進而證明，根據相似三角形的性質即可求解；（3）分兩種情況畫出圖形，證明△ADG∽△ACE，根據相似三角形的判定和性質以及勾股定理即可得出答案．【答案】(1)2(2)(3)或【詳解】（1）解：正方形與正方形有公共點，點在上，在上，四邊形是正方形（2）解：如圖，連接，正方形繞點逆時針方向旋轉，，（3）解：①如圖，，，,,，三點共線，中，，，由（2）可知，

，．②如圖：由（2）知△ADG∽△ACE，∴，∴DG=CE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BC=8，AC=，∵AG=AD，∴AG=AD=8，∵四邊形AFEG是正方形，∴∠AGE=90°，GE=AG=8，∵C，G，E三點共線．∴∠AGC=90°∴CG=，∴CE=CG+EG=8+8，∴DG=CE=．綜上，當C，G，E三點共線時，DG的長度為或．本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的性質與判定，正方形的性質，勾股定理，旋轉的性質，綜合運用以上知識是解題的關鍵．1．（2022·四川成都·成都市樹德實驗中學校考模擬）在中，，，點為線段上一動點（點不與、重合），連接，分別以，為斜邊向右側作等腰直角三角形和等腰直角三角形，連接．(1)當點在的外部時，求證：∽；(2)如圖，當，，三點共線時，求的面積；(3)如圖，當點在的延長線上時，其它條件不變，連接，若，求的長．2．（2022·四川成都·校考三模）在矩形中，點E為射線上一動點，連接．(1)當點E在邊上時，將沿翻折，使點B恰好落在對角線上點F處，交于點G．①如圖1，若，求的度數；②如圖2，當，且時，求的長．(2)在②所得矩形中，將矩形沿進行翻折，點C的對應點為，當點三點共線時，求的長．3．（2022·福建福州·福建省福州第十九中學校考模擬）如圖，在等腰Rt△ABC中，，，點D，E分別在邊AB，BC上，將線段ED繞點E按逆時針方向旋轉90°得到EF，連接AF，DF，點G是AF的中點，連接DG．(1)當點D是AB中點時，①如圖1，點E與點C重合，求證：D，G，C三點共線．②如圖2，若，求DG的長．(2)如圖3，若，當時，求CE的長．4．（2022·河北張家口·一模）如圖1，在中，，點A，D是射線上的點，以為一邊在內作矩形，點C在邊上．(1)當點B在邊上時，求的長；(2)如圖2，若A，B，O三點共線，且是以為腰的等腰三角形，①__________；②求的長；(3)在圖2的基礎上，點A向右移動得到圖3連接，若和相似，直接寫出的長．（注：三角形全等可視為三角形相似的特殊情況）5．（2022·山東煙臺·統考一模）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在邊BC上，BC=3BD，將線段DB繞點D順時針旋轉至DE，記旋轉角為α（0°＜α＜180°），連接BE，CE，以CE為斜邊在其一側作等腰直角三角形CEF，連接AF．(1)如圖1，求證：△CAF∽△CBE，并求出的值；(2)如圖2，當B，E，F三點共線時，連接AE，請判斷四邊形AECF的形狀，并說