專題05一元二次方程1．能根據一元二次方程的特征，選擇配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程；2．會用一元二次方程根的判別式判斷方程是否有實根及兩個實根是否相等，會將一元二次方程根的情況與一元二次方程根的判別式相聯系；3．知道利用一元二次方程的根與系數的關系可以解決一些簡單的問題；4．能根據具體問題的實際意義檢驗方程的解是否合理，建立模型觀念。考點1：一元二次方程的有關概念一元二次方程的概念：通過化簡后，只含有一個未知數(一元)，并且未知數的最高次數是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

注：判斷一個方程是否為一元二次方程時，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；其次再將整式方程整理化簡使方程的右邊為0，看是否具備另兩個條件：①一個未知數；②未知數的最高次數為2.對有關一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個特點，不要忽視二次項系數不為0．考點2：一元二次方程的解法1.基本思想一元二次方程一元一次方程2.基本解法直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法．注：解一元二次方程時，根據方程特點，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解

法，再考慮用公式法．考點3：一元二次方程根的判別式及根與系數的關系1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即.（1）當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根；（2）當△=0時，一元二次方程有2個相等的實數根；（3）當△<0時，一元二次方程沒有實數根2.一元二次方程的根與系數的關系如果一元二次方程的兩個實數根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.注：1.一元二次方程的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問題：（1）不解方程判定方程根的情況；（2）根據參系數的性質確定根的范圍；（3）解與根有關的證明題．2.一元二次方程根與系數的應用很多：（1）已知方程的一根，不解方程求另一根及參數系數；（2）已知方程，求含有兩根對稱式的代數式的值及有關未知數系數；（3）已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數式為根的一元二次方程．考點4：列一元二次方程解應用題1.列方程解實際問題的三個重要環節：一是整體地、系統地審題；二是把握問題中的等量關系；三是正確求解方程并檢驗解的合理性.2.利用方程解決實際問題的關鍵是尋找等量關系.3.解決應用題的一般步驟：審(審題目，分清已知量、未知量、等量關系等)；設(設未知數，有時會用未知數表示相關的量)；列(根據題目中的等量關系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗(檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）；答(寫出答案，切忌答非所問).4.常見應用題型數字問題、平均變化率問題、利息問題、利潤(銷售)問題、形積問題等.注：列方程解應用題就是先把實際問題抽象為數學問題（列方程），然后由數學問題的解決而獲得對實際問題的解決.【題型1：一元二次方程的概念】【典例1】（2023·江蘇鎮江·統考中考真題）若是關于x的一元二次方程的一個根，則m的值為．【答案】5【分析】：把代入方程，求出關于m的方程的解即可．【詳解】把代入方程，得，解得．故答案為：5．【點睛】本題考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．1．（2012上·江蘇常州·九年級階段練習）關于的一元二次方程有一根為0，則．【答案】【分析】根據一元二次方程的定義，將已知根代入方程，求得待定參數值．【詳解】解：由題意，，∵方程一根為0，∴，解得（舍去），．故答案為：．【點睛】本題考查一元二次方程的定義，方程根的定義，解方程，掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵．2．（2023·江蘇宿遷·統考二模）若關于x的一元二次方程的一個解是，則的值是．【答案】【分析】把代入原方程，可得，即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程的一個解是，∴，∴，∴．故答案為：2023【點睛】本題考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解即為能使方程成立的未知數的值是解本題的關鍵．3．（2023·江蘇·模擬預測）若是關于的一元二次方程的解，則的值為．【答案】【分析】將代入原方程得，然后運用整體代入的思想即可得出答案．【詳解】解：將代入原方程得：，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的解以及代數式求值，運用整體代入的思想解題是本題的關鍵．4．（2023·江蘇揚州·統考一模）若關于x的方程的一個根為3，則m的值為．【答案】【分析】根據題意把3代入方程，得到關于m的方程，解方程即可得．【詳解】解：依題意得，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟練掌握一元二次方程根的定義是解題關鍵．【題型2：一元二次方程的解法】【典例2】（2023·江蘇無錫·統考中考真題）（1）解方程：

（2）解不等式組：【答案】（1），；（2）【分析】（1）根據公式法解一元二次方程即可求解；（2）分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】（1）解：∵，∴，∴解得：，；（2）解不等式①得：解不等式②得：∴不等式組的解集為：【點睛】本題考查了解一元二次方程，求不等式組的解集，熟練掌握公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式組是解題的關鍵．1．（2012上·山東臨沂·九年級階段練習）方程的解為．【答案】【分析】此題考查了解一元二次方程，將一次項移到等式左邊，利用因式分解法解方程，由此得到一元二次方程的解，正確確定一元二次方程的解法是解題的關鍵．【詳解】解：∴，故答案為：．2．（2012·江蘇無錫·統考一模）解方程：．【答案】，【分析】先利用配方法將原式化為完全平方的形式，再用直接開平方法解答．【詳解】解：原式可化為即，開方得，，解得，．【點睛】本題考查了一元二次方程的配方法以及直接開平方法，難度較小．3．（2023·江蘇無錫·無錫市民辦輔仁中學校考一模）（1）解方程：；（2）解不等式組：．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先計算出根的判別式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解；（2）分別解兩個不等式得到和，然后根據大小小大中間找確定不等式組的解集．【詳解】解：（1），∵，∴，∴，∴，；（2），解不等式得，解不等式得，所以不等式組的解集為．【點睛】本題考查了解一元二次方程公式法：熟練掌握用公式法解一元二次方程的一般步驟是解決問題的關鍵．也考查了解一元一次不等式組．4．（2023·江蘇蘇州·校考二模）解方程：．【答案】，【分析】方程兩邊同乘以，化為整式方程進行求解，然后進行檢驗，即可求解．【詳解】解：方程兩邊同時乘以得：，整理得：，解得：，，檢驗：當，時，，原方程的根為，．【點睛】本題考查了解分式方程，掌握解法是解題的關鍵．【題型3：一元二次方程根與系數關系】【典例3】（2023·江蘇泰州·統考中考真題）關于x的一元二次方程的兩根之和為．【答案】【分析】利用根與系數的關系進行求值．【詳解】解：，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了根與系數的關系，熟練掌握．1．（2023·江蘇鹽城·校考二模）已知、是關于x的方程的兩個實數根，下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用一元二次方程根的判別式可判斷A，利用一元二次方程的解的含義可判斷B，利用一元二次方程根與系數的關系可判斷C，D，從而可得答案．【詳解】解：∵、是關于x的方程的兩個實數根，∴，∴，故A不符合題意；∵、是關于x的方程的兩個實數根，∴，，∴，，∴，故B符合題意；∵、是關于x的方程的兩個實數根，∴，，故C，D不符合題意；故選B【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解的含義，一元二次方程根與系數的關系，掌握以上基礎知識是解本題的關鍵．2．（2023上·江蘇南京·九年級統考期末）設、是方程的兩個根，則．【答案】3【分析】利用根與系數的關系即可求解．【詳解】解：在中，，，、是方程的兩個根，，故答案為：3．【點睛】本題考查了根與系數的關系：熟記、是一元二次方程的兩根時，，是解題的關鍵．3．（2023·江蘇宿遷·校考三模）設，是一元二次方程的兩個根，則．【答案】【分析】利用根與系數的關系可求得和的值，利用完全平方公式變形，再整體代入求值即可求解．【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩個根，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查根與系數的關系，一元二次方程的根與系數的關系為：，．4．（2023·江蘇鹽城·統考二模）若方程的兩根為，，則的值為．【答案】2023【分析】根據一元二次方程根與系數的關系以及一元二次方程的解的概念可得，，再代入進行計算即可得到答案．【詳解】解：方程的兩根為，，，，，故答案為：2023．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系以及一元二次方程的解的概念，解題的關鍵是掌握一元二次方程根與系數的關系：若，是一元二次方程的兩根，則，．【題型4：一元二次方程的應用】【典例4】（2023·江蘇·統考中考真題）如圖，在打印圖片之前，為確定打印區域，需設置紙張大小和頁邊距（紙張的邊線到打印區域的距離），上、下，左、右頁邊距分別為．若紙張大小為，考慮到整體的美觀性，要求各頁邊距相等并使打印區域的面積占紙張的，則需如何設置頁邊距？

【答案】【分析】設頁邊距為，根據題意找出等量關系列方程，解方程即可解題．【詳解】解：設頁邊距為則列方程為：，解得：，（舍去），答：頁邊距為．【點睛】本題考查一元二次方程的應用，找準等量關系列方程式解題的關鍵．1.（2023·江蘇鹽城·校聯考二模）我國黨的二十大報告指出從2020年到2035年基本實現社會主義現代化，從2035年到本世紀中葉把我國建成富強民主文明和諧美麗的社會主義現代化強國．2021年我國約為115萬億元，如果以后每年按相同的增長率增長，2023年我國約達135萬億元，將增長率記作x，可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用2023年我國的年我國的×（1+我國每年的增長率），即可列出關于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：根據題意得：．故選：C．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．2．（2023·江蘇鹽城·統考三模）在“雙減政策”的推動下，某初級中學學生課后作業時長明顯減少．2022年上學期每天作業平均時長為，經過2022年下學期和2023年上學期兩次調整后，2023年上學期平均每天作業時長為．設這兩學期該校平均每天作業時長每期的下降率為x，則可列方程為．【答案】【分析】根據2022年上學期每天作業平均時長為，經過兩學期降低后到了平均每天作業時長為，即可得出關于一元二次方程，即可得出．【詳解】解∶依題意得：，答案為：．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．3．（2018上·江蘇南京·九年級統考期末）商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施．經調查發現，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件．(1)若某天該商品每件降價3元，則商場日銷售量增加___________件，當天可獲利___________元？(2)設每件商品降價x元，則商場日銷售量增加___________件，每件商品，盈利___________元（用含x的代數式表示）；(3)在上述銷售正常情況下，每件商品降價多少元時，商場日盈利可達到2000元？【答案】(1)6，1692(2)，(3)每件商品降價25元時，商場日盈利可達到2000元【分析】（1）根據“盈利單件利潤銷售數量”即可得出結論；（2）根據“每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件”結合每件商品降價x元，即可找出日銷售量增加的件數，再根據原來沒見盈利50元，即可得出降價后的每件盈利額；（3）根據“盈利單件利潤銷售數量”即可列出關于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根據盡快減少庫存即可確定x的值．【詳解】（1）銷售量增加：件，當天盈利：（元）．故答案為：6；1692．（2）∵每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件，∴設每件商品降價x元，則商場日銷售量增加件，每件商品，盈利元．故答案為，；（3）根據題意，得：，整理，得：，解得：，∵商城要盡快減少庫存，∴．答：每件商品降價25元時，商場日盈利可達到2000元．【點睛】考查了列代數式、有理數混合運算的實際應用、一元二次方程的應用，解題的關鍵是根據題意找出數量關系列出一元二次方程（或算式）．4．（2011·江蘇南京·統考中考模擬）某經銷店為廠家代銷一種新型環保水泥，當每噸售價為260元時，月銷售量為45噸，每售出1噸這種水泥共需支付廠家費用和其他費用共100元．該經銷店為擴大銷售量、提高經營利潤，計劃采取降價的方式進行促銷，經市場調查發現，當每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.5噸．(1)填空：當每噸售價是240元時，此時的月銷售量是______________噸；(2)該經銷店計劃月利潤為9000元而且盡可能地擴大銷售量，則售價應定為每噸多少元？【答案】(1)60(2)200元【分析】（1）因為每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.5噸，可求出當每噸售價是240元時，此時的月銷售量是多少噸．（2）設售價定為每噸元，根據利潤=每噸的利潤×銷售量列出方程求解即可．【詳解】（1）當每噸售價是240元時，此時的月銷售量是噸；故答案為：60；（2）設售價定為每噸元，由題意，可列方程．化簡得．解得，．當售價定為每噸200元時，銷量更大，所以售價應定為每噸200元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，正確理解題意、找準相等關系是解題的關鍵．1．將方程化為一般形式后，二次項系數為1，則常數項為（

）A．2 B． C．5 D．【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的常數項．正確的表示一元二次方程的一般式是解題的關鍵．由題意知，方程的一般式為，然后作答即可．【詳解】解：由題意知，方程的一般式為,∴常數項為2，故選：A．2．用配方法解方程，配方正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了用配方法解一元二次方程，將常數項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數一半的平方配成完全平方式后即可得，掌握配方的步驟是解題的關鍵．【詳解】解：移項得，，配方得，，即，故選：．3．一元二次方程根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根C．沒有實數根 D．無法確定【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是利用一元二次方程的根與的關系判斷．【詳解】解：，方程有兩個不相等的實數根．故選：A．4．若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實根，則m的值可以是（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】根據方程的系數結合根的判別式，可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，對照四個選項即可得出結論．本題考查了根的判別式，熟記“當時，方程有兩個不相等的實數根”是解題的關鍵．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，∴，解得：，取，故選：A．5．喜迎國慶佳節，某商品原價300元，連續兩次降價后售價為225元，下列所列方程中，正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】解：本題主要考查了從實際問題中抽象出一元二次方程，正確理解題意找到等量關系是解題的關鍵．根據題意可知，第一次降價后的售價為元，則第二次降價后的售價為元，據此列出方程即可．【詳解】解：∵某商品原價300元，連續兩次降價后售價為225元，∴，故選D．6．若是關于的一元二次方程，則．【答案】1【分析】此題主要考查了一元二次方程的定義：含有一個未知數，且未知數的最高次冪是2次的整式方程，特別注意二次項系數不為0，正確把握定義是解題關鍵．直接利用一元二次方程的定義知道二次項系數不為0同時x的最高次冪為2，得出m的值進而得出答案．【詳解】解：由題意知：且，解得，故答案為：．7．一元二次方程有一個根為，則．【答案】0【分析】本題主要考查了一元二次方程的解，把代入方程是解題的關鍵．【詳解】解：把代入方程得．故答案為：．8．已知是關于的一元二次方程的兩個根，且，則該一元二次方程是．【答案】【分析】本題考查了根與系數的關系，根據根與系數的關系可得出，，即可得出結論．【詳解】解：該方程的兩個根，滿足，，，則，，此時該方程為．故答案為：．9．若是一元二次方程的一個根，則．【答案】【分析】本題主要考查一元二次方程的解，理解并掌握一元二次方程解的含義，代入求值即可，解題的關鍵是將代入方程，變形為．【詳解】解：∵是一元二次方程的一個根，∴，∵，∴將代入，原式，故答案為：．10．《中秋帖》是晉朝書法家王獻之的作品，如圖，在一幅長為，寬為的《中秋帖》矩形書法作品的四周鑲上相同寬度的金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，設金色紙邊的寬為，如果要使整個掛圖的面積是，那么x滿足的方程是.

【答案】【分析】設金色紙邊的寬度為，則掛圖的長為，寬就為，根據整個掛圖的面積是列出方程即可，讀懂題意，數形結合是正確列方程的關鍵．【詳解】解：設金色紙邊的寬為，則掛圖的長為，寬就為，根據題意得：，故答案為：．11．運用適當的方法解方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)【分析】本題考查了一元二次方程的解法應用，能選擇適當的方法解一元二次方程是解此題的關鍵．（1）移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；（2）整理后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【詳解】（1）解：，整理得：，，，，，．（2）解：，，，，，．12．解下列一元二次方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查求解一元二次方程．掌握各類求解方法是解題關鍵．（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可；（3）利用公式法求解即可．【詳解】（1）解：∴．（2）解：，即：∴．（3）解：∵∴∴．13．嘉淇同學解方程的過程如下表表示．解方程：．解：，……第一步，……第二步，．……第三步(1)嘉淇同學是用（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）求解的，從第步開始出現錯誤．(2)請你用不同于（1）中的方法解該方程．【答案】(1)配方法，二(2)【分析】（1）利用配方法求解方程時，注意變形時要保證等式左右兩邊的值不變；（2）可使用公式法求解．【詳解】（1）解：由解方程步驟可知：嘉淇同學是用的配方法求解第二步等式右邊沒有加，出現錯誤故答案為：配方法，二（2）解：公式法：，，．，，即，．【點睛】本題考查求解一元二次方程．掌握各類求解方法是解題關鍵．14．我國南宋數學家楊輝所著《田畝比類乘除算法》中記載了這樣一道題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何．”其大意為：一個矩形的面積為864平方步，長和寬共60步，問長比寬多多少步？請你解答上面的問題．【答案】長比寬多12步【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．設長為x步，則寬為步，根據矩形的面積公式結合矩形田地的面積為864平方步，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較大值，再將其代入中即可求出結論．【詳解】解：設矩形的長為x步，列方程得．解得，．∴矩形的長為36步，寬24步，(步)．答：長比寬多12步．15．某商場銷售某款上衣，剛上市時每件可盈利100元，銷售一段時間后開始滯銷，經過連續兩次降價后，每件盈利81元，平均每天可售出20件．(1)求平均每次降價盈利減少的百分率；(2)為盡快減少庫存，商場決定再次降價．每件上衣每降價1元，每天可多售出2件．若商場每天要盈利2940元，每件應降價多少元？【答案】(1)平均每次降價盈利減少的百分率為(2)每件應降價60元【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．（1）設每次下降的百分率為x，根據題意，得：，即可求解；（2）設每件應降價元，由題意得方程，進而求解．【詳解】（1）解：設平均每次降價盈利減少的百分率為，依題意，得，解得（不合題意，舍去）．答：平均每次降價盈利減少的百分率為．（2）設每件應降價元，則每天可售出件，依題意，得，解得：，．要盡快減少庫存，．答：每件應降價60元．1．已知函數的圖象上有兩點和，則的值等于（）A．22 B．20 C．17 D．0【答案】A【分析】本題考查二次函數圖象上點的坐標特點，熟練掌握二次函數的圖象與性質，二次函數與方程之間的關系是解題的關鍵．由題意可得m，n是方程的兩個根，則有，，即，又由，將所求式子變形為，然后再求值即可．【詳解】解：∵函數的圖象上有兩點和，，把代入得，，∵函數的圖象上有兩點和，∴m，n是方程的兩個根，，，，∴．故選：A．2．若是一元二次方程的兩個實數根，且滿足不等式，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系；已知是一元二次方程的兩個實數根，可推出根據根與系數的關系可得且滿足不等式代入即可得到一個關于的不等式，由此可解得的取值范圍．【詳解】解：∵方程有兩個實數根，解得由根與系數的關系，得∵，解得故選：A．3．古希臘數學家丟番圖（公元250年前后）在《算術》中就提到了一元二次方程的問題，不過當時古希臘人還沒有尋求到它的求根公式，只能用圖解等方法來求解．在歐幾里得的《幾何原本》中，形如的方程的圖解法是：如圖1，以和為兩直角邊作，再在斜邊上截取，則的長就是所求方程的正根．若關于的一元二次方程，按照圖1，構造圖2，在中，，連接，若，則的值為（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】本題考查了勾股定理、一元二次方程的解法公式法，解一元二次方程的方法有：直接開平方法、公式法、配方法、因式分解法，要根據方程的特點進行選擇即可．先根據勾股定理求得的長，再求的長，根據可得列方程即可求解．【詳解】∵，根據題意可得：，，即即解得：或（舍），故選：C．4．定義：若兩個一元二次方程有且只有一個相同的實數根，我們就稱這兩個方程為“同伴方程”．例如和有且僅有一個相同的實數根．所以這兩個方程為“同伴方程”，若關于的方程的參數同時滿足和．且該方程與互為“同伴方程”，則的值為（

）A．1或 B． C．1 D．2【答案】A【分析】由和可得關于x的方程兩個實數根為，由，可得的根為或，根據與互為“同伴方程”，即得或．掌握“同伴方程”的定義是解題的關鍵．【詳解】解：∵同時滿足和，關于的方程兩個實數根為，或，的根為或，與互為“同伴方程”，或．故答案為：1或．5．對于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則，其中正確的（）A．只有①② B．只有①③④ C．只有②③ D．只有①②④【答案】D【分析】本題考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵，按照方程的解的含義，一元二次方程的實數根與判別式的關系、等式的性質、一元二次方程的求根公式對各選項分別討論，即可得到答案．【詳解】解：①當時，，那么一元二次方程有兩個不相等的實數根或有兩個相等的實數根，此時成立，那么①一定正確；②方程有兩個不相等的實數根，則，那么，故方程必有兩個不相等的實數根，進而推斷出②正確；③由是方程的一個根，得，當，則，當，則不一定等于0，那么③不一定正確；④，由，得，由是一元二次方程的根，則成立，那么④正確．綜上所述：說法正確的有①②④，故選：D．6．對于一切不小于的自然數，關于的一元二次方程的兩個根為，（），則．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，難度較大，關鍵是根據一元二次方程根與系數的關系求出一般形式再進行代入求值．由根與系數的關系得，，所以，則，然后代入即可求解．【詳解】解：∵關于的一元二次方程的兩個根為，（），∴，，∴，則，∴.故答案為：.7．已知：拋物線與直線有兩個不同的交點，若兩個交點的橫坐標是分別為、，若，則的取值范圍是．【答案】//【分析】本題考查一元二次方程根與系數的關系和根的判別式、二次函數的性質．根據拋物線與直線有兩個不同的交點，則方程中的，解出可得的取值；由根與系數的關系得：，，把變形后，得，即可得出答案，運用了恒等變換的思想．掌握一元二次方程根與系數的關系及二次函數的性質是解題的關鍵．【詳解】解：令，∴，∵拋物線與直線有兩個不同的交點，∴，∴，∵兩個交點的橫坐標是分別為、，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．8．已知關于x的一元二次方程的根是，，的根是，，（其中，，），如果，則.【答案】9【分析】本題考查了直接開平方法解一元二次方程，絕對值的意義，利用直接開平方法解方程，求得，，，，由，得出，，則根據，得到，解得．得到關于的方程是解題的關鍵．【詳解】解：關于的一元二次方程的根是，，，，同理，，，，，，，，．故答案為：9．9．圖，點在反比例函數的圖象上，，分別垂直于x軸、y軸，點D在位于右側的反比例函數的圖象上，，分別垂直于x軸、，若四邊形為正方形，則這個正方形的面積等于．【答案】【分析】本題考查的是求解反比例函數解析式，反比例函數的性質，一元二次方程的解法，如圖，延長交軸于，求解反比例函數為：，證明，設正方形的邊長為，可得，再解方程可得答案．熟練的利用圖形面積建立方程是解本題的關鍵．【詳解】解：如圖，延長交軸于，∵點在反比例函數的圖象上，∴，∴反比例函數為：，∴，∴，設正方形的邊長為，，∴，，∴，整理得，解得：，（不符合題意，舍去），∴正方形的面積為．故答案為：．10．如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點A，B分別落在y軸、x軸的正半軸上，，．若反比例函數經過C，D兩點，則k的值為．【答案】【分析】過點C作軸于點M，易證，根據相似三角形的性質可得，設，根據，，表示出點C坐標，再根據平移的性質可得點D坐標，再根據點C和點D都在反比例函數上列方程，求出x的值，進一步可得點C坐標，即可確定k的值．【詳解】解：過點C作軸于點M，如圖所示：則，∵矩形的頂點A，B分別落在y軸、x軸的正半軸上，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，設，∵，，∴，，∴，，∴點C坐標為，根據平移，可得點D坐標為，∵反比例函數經過C，D兩點，∴，解得或（舍去），∴點C坐標為，將點C坐標代入，得，故答案為：24．【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，矩形的性質，相似三角形的判定和性質，待定系數法求解析式等，本題綜合性較強，難度較大．11．已知關于的一元二次方程．(1)求證：無論為何值，該方程總有兩個不相等的實數根．(2)若該方程的兩個根為和，且滿足，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查的一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數的關系，一元二次方程的解法，掌握根的判別式的含義是解本題的關鍵；（1）先計算，從而可得結論；（2）由根與系數的關系可得，再代入，建立方程求解即可．【詳解】（1）證明：，無論為何值，該方程總有兩個不相等的實數根．（2）由根與系數的關系，得．，，即，解得．12．今年4月，多國禽流感大暴發，大量蛋雞被撲殺，導致世界級的“雞蛋荒”，若某國有一只蛋雞患有禽流感，經過兩輪感染后共有64只蛋雞患病．(1)每輪傳染中平均每只患病蛋雞傳染了幾只健康的蛋雞？(2)如果不及時控制，那么三輪傳染后，患病的蛋雞會不會超過500只？【答案】(1)每輪傳染中平均每只患病蛋雞傳染了7只健康的蛋雞；(2)如果不及時控制，那么三輪傳染后，患病的蛋雞會超過500只．【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，有理數四則混合計算的實際應用，正確理解題意列出方程和算式求解是解題的關鍵．（1）設每輪傳染中平均每只患病蛋雞傳染了x只健康的蛋雞，則第一輪中有x只健康的蛋雞被傳染，第二輪中有只健康的蛋雞被傳染，根據經過兩輪感染后共有64只蛋雞患病列出方程求解即可；（2）根據（1）所求求出三輪傳染后，患病的蛋雞的數量即可得到答案．【詳解】（1）解：設每輪傳染中平均每只患病蛋雞傳染了x只健康的蛋雞，則第一輪中有x只健康的蛋雞被傳染，第二輪中有只健康的蛋雞被傳染，根據題意得：，整理得：，解得：（不符合題意，舍去），答：每輪傳染中平均每只患病蛋雞傳染了7只健康的蛋雞；（2）解：（只），∵，∴如果不及時控制，那么三輪傳染后，患病的蛋雞會超過500只．13．某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出件，每件盈利元．為了擴大銷售，增加盈利，商場采取了降價措施．假設在一定范圍內，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件，設襯衫的單價降了x元．每天的銷售量/件每件襯衫的利潤/元降價前降價后(1)完成下列表格（用含x的式子填空）．(2)當襯衫的單價降多少元時，商場銷售這批襯衫每天可盈利元，且對消費者更有利？(3)能否通過降價使商場銷售這批襯衫每天盈利元？【答案】(1)；；(2)元；(3)不能通過降價使商場銷售這批襯衫每天盈利元；【分析】（1）本題考查列代數式，根據襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件列式即可得到答案；（2）本題考查一元二次方解決實際應用問題，根據利潤列方程求解即可得到答案；（3）本題考查一元二次方解決實際應用問題，根據利潤列方程求解即可得到答案；【詳解】（1）解：由題意可得，降價后每天的銷售量：件，每件襯衫利潤為：元，故答案為：；；（2）解：由題意可得，，整理得，，解得：（不符合題意舍去），，答：當襯衫的單價降元時，商場銷售這批襯衫每天可盈利元；（3）解：由題意得，，整理得，，此方程沒有實數根，答：不能通過降價使商場銷售這批襯衫每天盈利元．14．已知：如圖所示，在中，，，，點從點開始沿邊向點以的速度移動，點從點開始沿邊向點以的速度移動．當、兩點中有一點到達終點，則同時停止運動．(1)如果、分別從，同時出發，那么幾秒后，的長度等于？(2)如果、分別從，同時出發，那么幾秒后，與相似？【答案】(1)秒后，的長度等于．(2)或秒后，與相似．【分析】本題考查了相似三角形的判定，勾股定理以及一元二次方程的應用，利用勾股定理，找出關于的一元二次方程是解答本題的關鍵．（1）設運動時間為秒，則，，，利用勾股定理得到關于的一元二次方程，解方程得到答案．（2）分，兩種情況，利用相似三角形的判定定理，可以得到關于的一元二次方程，解方程得到答案．【詳解】（1）解：設運動時間為秒，則，，，，即，整理得：，解得：（舍去），，答：秒后，的長度等于．（2）當時，，即，解得：；當時，，即，解得：．答：或秒后，與相似．15．閱讀理解：一位同學將代數式變形為，得到后分析發現，那么當時，此代數式有最小值是4．請同學們思考以下問題：(1)已知代數式，此代數式有最值（填“大”或“小”），且值為．(2)已知代數式，此代數式有最值（填“大”或“小”），且值為．(3)通過閱讀材料分析代數式的最值情況，寫出詳細過程及結論．【答案】(1)小，(2)大，13(3)當時，此代數式有最小值【分析】本題考查了配方法的應用，平方的非負性，解題的關鍵是掌握完全平方公式．（1）先將該式化為，再根據完全平方公式進行配方即可解答；（2）先將該式化為，再根據完全平方公式進行配方即可解答；（3）先將該式化為，再根據完全平方公式進行配方即可解答．【詳解】（1）解∶，∵，∴當時，此代數式有最小值，故答案為：小，；（2）解：，∵，∴，∴當時，此代數式有最大值13，故答案為：大，13；（3）解：，∵，∴，∴當時，此代數式有最小值．1．（2023·江蘇無錫·統考中考真題）2020年一2022年無錫居民人均可支配收入由5.76萬元增長至6.58萬元，設人均可支配收入的平均增長率為x，下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據2020年的人均可支配收入和2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．【詳解】解：由題意得：．故選：A．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．2．（2022·江蘇淮安·統考中考真題）若關于的一元二次方程沒有實數根，則的值可以是（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】根據根的判別式列出不等式求出k的范圍即可求出答案．【詳解】解：∵一元二次方程沒有實數根，∴，∴，故選：A.【點睛】本題考查了根的判別式，牢記“當時，方程無實數根”是解題的關鍵．3．（2022·江蘇南通·統考中考真題）李師傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若從1月到3月，每月盈利的平均增長率都相同，則這個平均增長率是（

）A．10.5% B．10% C．20% D．21%【答案】B【分析】設每月盈利的平均增長率為x，根據今年1月盈利3000元，3月盈利3630元，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【詳解】解：設每月盈利的平均增長率為x，依題意，得：3000（1＋x）2＝3630，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝?2.1（不合題意，舍去）．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．4．（2021·江蘇無錫·統考中考真題）在中，，，，點P是所在平面內一點，則取得最小值時，下列結論正確的是（

）A．點P是三邊垂直平分線的交點 B．點P是三條內角平分線的交點C．點P是三條高的交點 D．點P是三條中線的交點【答案】D【分析】以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立直角坐標系，則=，可得P(2，)時，最小，進而即可得到答案．【詳解】以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立直角坐標系，如圖，則A(0，0)，B(6，0)，C(0，8)，設P(x，y)，則===，∴當x=2，y=時，即：P(2，)時，最小，∵由待定系數法可知：AB邊上中線所在直線表達式為：，AC邊上中線所在直線表達式為：，又∵P(2，)滿足AB邊上中線所在直線表達式和AC邊上中線所在直線表達式，∴點P是三條中線的交點，故選D．【點睛】本題主要考查三角形中線的交點，兩點間的距離公式，建立合適的坐標系，把幾何問題化為代數問題，是解題的關鍵．5．（2023·江蘇宿遷·統考中考真題）如圖，直線、與雙曲線分別相交于點．若四邊形的面積為4，則的值是（

）

A． B． C． D．1【答案】A【分析】連接四邊形的對角線，過作軸，過作軸，直線與軸交于點，如圖所示，根據函數圖像交點的對稱性判斷四邊形是平行四邊形，由平行四邊形性質及平面直角坐標系中三角形面積求法，確定，再求出直線與軸交于點，通過聯立求出縱坐標，代入方程求解即可得到答案．【詳解】解：連接四邊形的對角線，過作軸，過作軸，直線與軸交于點，如圖所示：

根據直線、與雙曲線交點的對稱性可得四邊形是平行四邊形，，直線與軸交于點，當時，，即，與雙曲線分別相交于點，聯立，即，則，由，解得，，即，解得，故選：A．【點睛】本題考查一次函數與反比例函數綜合，涉及平行四邊形的判定與性質，熟練掌握平面直角坐標系中三角形面積求法是解決問題的關鍵．6．（2022·江蘇徐州·統考中考真題）若一元二次方程x2＋x－c＝0沒有實數根，則c的取值范圍是．【答案】/【分析】根據一元二次方程根的判別式進行判斷即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程x2＋x－c＝0沒有實數根，∴，解得，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程(為常數)的根的判別式，理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關鍵．當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根．7．（2023·江蘇無錫·統考中考真題）《九章算術》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬：有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺：豎放，竿比門高長出2尺：斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少？則該問題中的門高是尺．【答案】8【分析】設門高尺，則竿長為尺，門的對角線長為尺，門寬為尺，根據勾股定理即可求解．【詳解】解：設門高尺，依題意，竿長為尺，門的對角線長為尺，門寬為尺，∴，解得：或（舍去），故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，根據題意建立方程是解題的關鍵．8．（2023·江蘇揚州·統考中考真題）我國漢代數學家趙爽證明勾股定理時創制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成．如圖，直角三角形的直角邊長為a、b，斜邊長為c，若，則每個直角三角形的面積為．

【答案】96【分析】由題意知，，由，可得，計算求出滿足要求的，然后求，根據每個直角三角形的面積為，計算求解即可．【詳解】解：由題意知，，∵，∴，解得，（舍去），∴，∴每個直角三角形的面積為，故答案為：96．【點睛】本題考查了勾股定理．解題的關鍵在于對勾股定理的熟練掌握與靈活運用．9．（2023·江蘇連云港·統考中考真題）若（為實數），則的最小值為．【答案】【分析】運用配方法將變形為，然后根據非負數的性質求出的最小值即可．【詳解】解：===∵為實數，∴∴的最小值為,故答案為：．【點睛】本題主要考查了配方法的應用，非負數的性質，解題時注意配方的步驟，注意在變形的過程中不要改變式子的值．10．（2023·江蘇蘇州·統考中考真題）如圖，．過點作，延長到，使，連接．若，則．（結果保留根號）

【答案】/【分析】如圖，過作，交的延長線于點，設，可得，證明，，為等腰直角三角形，，，由勾股定理可得：，再解方程組可得答案．【詳解】解：如圖，過作，交的延長線于點，

設，∵，，∴，∵，∴，，為等腰直角三角形，∴，∴，由勾股定理可得：，整理得：，解得：，經檢驗不符合題意；∴；故答案為：．【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質，勾股定理的應用，一元二次方程的解法，作出合適的輔助線構建直角三角形是解本題的關鍵．11．（2022·江蘇徐州·統考中考真題）（1）解方程：；（2）解不等式組：【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據配方法解一元二次方程即可求解；（2）分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】（1）解：，，∴，；（2）解：，解不等式①得：，解不等