考點五反比例函數的圖像和性質知識點整合一、反比例函數的概念1．反比例函數的概念一般地，函數（k是常數，k≠0）叫做反比例函數．反比例函數的解析式也可以寫成的形式．自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數，函數的取值范圍也是一切非零實數．2．反比例函數（k是常數，k0）中x，y的取值范圍反比例函數（k是常數，k≠0）的自變量x的取值范圍是不等于0的任意實數，函數值y的取值范圍也是非零實數．二、反比例函數的圖象和性質1．反比例函數的圖象與性質（1）圖象：反比例函數的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函數中自變量x≠0，函數y≠0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸．（2）性質：當k>0時，函數圖象的兩個分支分別在第一、三象限，在每個象限內，y隨x的增大而減?。攌<0時，函數圖象的兩個分支分別在第二、四象限，在每個象限內，y隨x的增大而增大．表達式（k是常數，k≠0）kk>0k<0大致圖象所在象限第一、三象限第二、四象限增減性在每個象限內，y隨x的增大而減小在每個象限內，y隨x的增大而增大2．反比例函數圖象的對稱性反比例函數的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其對稱軸為直線y=x和y=-x，對稱中心為原點．3．注意（1）畫反比例函數圖象應多取一些點，描點越多，圖象越準確，連線時，要注意用平滑的曲線連接各點．（2）隨著|x|的增大，雙曲線逐漸向坐標軸靠近，但永遠不與坐標軸相交，因為反比例函數中x≠0且y≠0．（3）反比例函數的圖象不是連續的，因此在談到反比例函數的增減性時，都是在各自象限內的增減情況．當k>0時，在每一象限（第一、三象限）內y隨x的增大而減小，但不能籠統地說當k>0時，y隨x的增大而減?。瑯?，當k<0時，也不能籠統地說y隨x的增大而增大．三、反比例函數解析式的確定1．待定系數法確定解析式的方法仍是待定系數法，由于在反比例函數中，只有一個待定系數，因此只需要一對對應值或圖象上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式．2．待定系數法求反比例函數解析式的一般步驟（1）設反比例函數解析式為（k≠0）；（2）把已知一對x，y的值代入解析式，得到一個關于待定系數k的方程；（3）解這個方程求出待定系數k；（4）將所求得的待定系數k的值代回所設的函數解析式．四、反比例函數中|k|的幾何意義1．反比例函數圖象中有關圖形的面積2．涉及三角形的面積型當一次函數與反比例函數結合時，可通過面積作和或作差的形式來求解．（1）正比例函數與一次函數所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如圖②，已知一次函數與反比例函數交于A、B兩點，且一次函數與x軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；（3）如圖③，已知反比例函數的圖象上的兩點，其坐標分別為，，C為AB延長線與x軸的交點，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．五、反比例函數與一次函數的綜合1．涉及自變量取值范圍型當一次函數與反比例函數相交時，聯立兩個解析式，構造方程組，然后求出交點坐標．針對時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數的圖象高于反比例函數圖象的部分所對應的x的范圍.例如，如下圖，當時，x的取值范圍為或；同理，當時，x的取值范圍為或．2．求一次函數與反比例函數的交點坐標（1）從圖象上看，一次函數與反比例函數的交點由k值的符號來決定.①k值同號，兩個函數必有兩個交點；②k值異號，兩個函數可能無交點，可能有一個交點，也可能有兩個交點；（2）從計算上看，一次函數與反比例函數的交點主要取決于兩函數所組成的方程組的解的情況．考向一反比例函數的定義1．反比例函數的表達式中，等號左邊是函數值y，等號右邊是關于自變量x的分式，分子是不為零的常數k，分母不能是多項式，只能是x的一次單項式．2．反比例函數的一般形式的結構特征：①k≠0；②以分式形式呈現；③在分母中x的指數為-1典例引領1．下列函數中，y是x的反比例函數的是（

）A． B． C． D．2．下列函數中，是反比例函數的是（

）A． B． C． D．3．已知反比例函數的圖象經過點與），則的值為（

）A． B．4 C． D．8變式拓展4．若函數是反比例函數，則．5．已知是反比例函數，則．6．如果點是反比例函數圖象上一點，那么．7．若是關于的反比例函數，則常數．考向二反比例函數的圖象和性質當k>0時，函數的圖象在第一、三象限，在每個象限內，曲線從左向右下降，也就是在每個象限內，y隨x的增大而減?。攌<0時，函數的圖象在第二、四象限，在每個象限內，曲線從左向右上升，也就是在每個象限內，y隨x的增大而增大．雙曲線是由兩個分支組成的，一般不說兩個分支經過第一、三象限（或第二、四象限），而說圖象的兩個分支分別在第一、三象限（或第二、四象限）．典例引領1．我們知道函數的圖象可以由反比例函數的圖象左右平移得到，下列關于的圖象的性質：①的圖象可以由的圖象向右平移3個單位長度得到；②的圖象關于點對稱；③的圖象關于直線對稱；④若，根據圖象可知，的解集是．其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①②④2．如圖，點和點是反比例函數的一個分支上的兩點，且點B在點A的右側，則下列說法中，不正確的是（

）A．該反比例函數解析式B．矩形的面積為2C．該反比例函數的另一個分支在第三象限，且y隨x的增大而增大D．b的取值范圍是3．點，，都在反比例函數的圖象上，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．4．反比例函數的圖象在每個象限內，函數隨的增大而減小，則的值可以()A．3 B．2 C．1 D．0變式拓展5．已知點，，都在反比例函數的圖象上，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．6．當反比例函數的自變量滿足時，函數值滿足，則的值為（

）A． B．或2 C．或 D．2或二、填空題7．在平面直角坐標系中，過原點的直線與反比例函數的圖象交于，兩點，若點的坐標為，則點的坐標為．三、解答題8．小明在實驗課上做了一個試驗．如圖，在儀器左邊托盤A（固定）中放置一個物體，在右邊托盤（可左右移動）中放置一個裝水的容器，容器的質量為．在容器中加入一定質量的水，可以使儀器左右平衡．改變托盤與點的距離，記錄容器中加入的水的質量，得到下表：托盤與點的距離3025201510容器與水的總質量1012152030加入的水的質量57101525把上表中的與各組對應值作為點的坐標，在平面直角坐標系中描出這些點，并用光滑的曲線連接起來，得到如圖所示的關于的函數圖象．(1)請在該平面直角坐標系中作出關于的函數圖象；(2)觀察函數圖象，并結合表中的數據：①猜測與之間的函數關系，并求關于的函數表達式；②求關于的函數表達式；③當時，隨的增大而______（填“增大”或“減小”），隨的增大而______（填“增大”或“減小”），的圖象可以由的圖象向______（填“上”或“下”）平移得到．(3)若在容器中加入的水的質量滿足，求托盤與點的距離的取值范圍．考向三反比例函數解析式的確定1．反比例函數的解析式（k≠0）中，只有一個待定系數k，確定了k值，也就確定了反比例函數，因此要確定反比例函數的解析式，只需給出一對x，y的對應值或圖象上一個點的坐標，代入中即可．2．確定點是否在反比例函數圖象上的方法：（1）把點的橫坐標代入解析式，求出y的值，若所求值等于點的縱坐標，則點在圖象上；若所求值不等于點的縱坐標，則點不在圖象上．（2）把點的橫、縱坐標相乘，若乘積等于k，則點在圖象上，若乘積不等于k，則點不在圖象上．典例引領1．如圖，點在函數的圖像上，將該函數圖像向上平移3個單位長度得到一條新的曲線，點的對應點分別為．若圖中陰影部分的面積為9，則的值為．2．如圖，矩形的邊與y軸平行，頂點B的坐標為，，反比例函數的圖象同時經過點A與點C，則k的值為．3．如圖，正方形的頂點A，B在x軸上，點，正方形的對稱中心為點M．已知反比例函數的圖像經過點M，則該反比例函數的表達式為．4．如圖所示，設C為反比例函數圖象上一點，且長方形的面積為5，則這個反比例函數的解析式為．變式拓展5．已知反比例函數的圖象經過點，且函數圖象過第一象限的兩點，，若，則，的取值范圍為．6．已知是關于的反比例函數，當時，．則這個函數的表達式為．7．在平面直角坐標系內，如圖，矩形的點，在軸正半軸上，是的中點，是邊上一點，反比例函數經過點．若，，，則的值為．8．如圖，在平面直角坐標系中，點，點，點，連接，過A點作雙曲線交線段于點D（不與點B、C重合），已知，若，則a的取值范圍是．考向四反比例函數中k的幾何意義三角形的面積與k的關系（1）因為反比例函數中的k有正負之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面積時，都應加上絕對值符號．（2）若三角形的面積為|k|，滿足條件的三角形的三個頂點分別為原點，反比例函數圖象上一點及過此點向坐標軸所作垂線的垂足．典例引領1．如圖，反比例函數圖象過第二象限內一點P，過點P的直線分別交x軸，y軸于點A，B，軸于點C，軸于點D，若，則k的值為（）A． B．6 C． D．10二、填空題2．如圖，面積為的的斜邊在軸上，，反比例函數圖象恰好經過點，則的值為．3．如圖，點在反比例函數的圖象上，過點作軸，點在軸正半軸上，若的面積為，則的值為．變式拓展4．如圖，在平面直角坐標系中，邊長為的正方形的兩條鄰邊，分別在軸正半軸和軸正半軸上，點為正方形的中心，反比例函數的圖象過點且交邊于點，連接，．（1）用含的代數式表示的值為（2）若，則的值為三、解答題5．已知反比例函數的圖象與正比例函數的圖象相交于點，與另一個正比例函數的圖象相交于點，其中點在第一象限．若四邊形的面積為24，求點的坐標．6．如圖，在平面直角坐標系中，等腰三角形的底邊在軸的正半軸上，點在反比例函數的圖象上，延長交軸于點，若，的面積為，求的值．7．經過點，過點作軸于點，且的面積為5．(1)求和的値；(2)當時，求函數值的取值范圍．考向五反比例函數與一次函數的綜合反比例函數與一次函數綜合的主要題型：（1）利用k值與圖象的位置的關系，綜合確定系數符號或圖象位置；（2）已知直線與雙曲線表達式求交點坐標；（3）用待定系數法確定直線與雙曲線的表達式；（4）應用函數圖象性質比較一次函數值與反比例函數值的大小等．解題時，一定要靈活運用一次函數與反比例函數的知識，并結合圖象分析、解答問題．典例引領1．如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，過點A作軸，交反比例函數的圖象于點C，過點C作軸于點D，與直線交于點E．

（1）若，，則；（2）若，則b與k的數量關系是．2．如圖，直線與反比例函數的圖象相交于點，與反比例函數的圖象相交于點，若，則的值為．二、解答題3．如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點，．(1)求反比例函數與一次函數的函數表達式；(2)連接，求的面積；(3)請結合圖象直接寫出不等式的解集．4．如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于，兩點，與軸交于點．(1)求反比例函數和一次函數的解析式；(2)設為線段上的一個動點（不包括，兩點），過點作軸交反比例函數圖象于點，當的面積最大時，求點的坐標．變式拓展5．已知點是一次函數和反比例函數圖象的兩個交點．(1)求一次函數和反比例函數的解析式；(2)求的面積；(3)觀察圖象，直接寫出不等式的解集．6．如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點和，與軸交于點，與軸交于點，點的坐標為，點的坐標為．(1)求一次函數和反比例函數的關系式；(2)若點是點關于軸的對稱點，求的面積．7．如圖，在等腰中，，，D為上一點，，動點P從點A出發，沿著方向運動至點B處停止．連接、，設點P的運動路程為x，的面積為y．(1)直接寫出y與x的函數表達式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)請在圖2中畫出函數y的圖像，并寫出該函數的一條性質；(3)圖2中已經畫出在第一象限的圖像，根據函數圖像，直接寫出當時，自變量x的取值范圍（保留一位小數）．8．如圖，反比例函數的圖象與一次函數的圖象交于A，B兩點．已知，．(1)求反比例函數和一次函數的解析式；(2)求的面積；(3)請結合圖象直接寫出當，時自變量x的取值范圍．9．如圖1，一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于點與軸交于點．(1)求a，k的值．(2)利用圖像信息，直接寫出不等式的解集(3)如圖2，直線過點，與反比例函數圖像交于點，與軸交于點．連接，求的面積．10．如圖，一次函數與反