廣東省深圳市羅湖外語學校2025屆高三練習題(二)數學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知S“是等差數列｛a“｝的前〃項和，4+。2=3，%+%=4,則S]o=()

8535

A.85B.—C.35D.—

22

2.設命題“存在相＞0,使方程必+x-m=0有實根”的否定是()

A.任意機＞0,使方程f+%一m=0無實根

B.任意機＜0,使方程—m=0有實根

C.存在機＞0,使方程爐+x—加=0無實根

D.存在機＜0,使方程/+工―加=0有實根

2222C

3.已知a＞b＞0,橢圓G的方程與+==1,雙曲線C的方程為與-4=1,G和02的離心率之積為里，則

a2b2a2擴2

C2的漸近線方程為()

A.x+42y=QB.后土y=0C.x±2y=0D.2x±y=0

4.已知函數/(%)=小皿g+0)(4＞0,0＞0,|同＜3)的部分圖象如圖所示，且/(a+x)+/(a—x)=0,貝山|

的最小值為()

71

B.~6

5兀

D.

12

5.某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是邊長為4的正三角形，俯視圖是由邊長為4的正三角形和一個半圓構成,

則該幾何體的體積為()

△ZX

正視用創觀圉

A.8+B.8+^^C.4+^^D.4+^^

3333

6.設向量心5滿足同=2,M=l,卜f)=60。，則K+回的取值范圍是

A.[后,+00)B.[6,+oo)

C.[行,6]D.[73,6]

7.函數丁=/(幻(》6火)在(-8,1]上單調遞減，且/(%+1)是偶函數，若/(2%-2)>/(2),則x的取值范圍是

()

A.(2,+co)B.(-co,1)U(2,+co)

C.(1,2)D.(-oo,1)

8.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為

V2V24

9.已知雙曲線與-a=1的一條漸近線方程為y=]X,則雙曲線的離心率為()

10.5G網絡是一種先進的高頻傳輸技術，我國的5G技術發展迅速，已位居世界前列.華為公司2019年8月初推出了

一款5G手機，現調查得到該款5G手機上市時間x和市場占有率y(單位：%)的幾組相關對應數據.如圖所示的折

線圖中，橫軸1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根據數據得出V關于x的線性回歸

方程為y=0.042x+a.若用此方程分析并預測該款手機市場占有率的變化趨勢，則最早何時該款5G手機市場占有率

能超過0.5%(精確到月)()

A.2020年6月B.2020年7月C.2020年8月D.2020年9月

11.已知函數/(%)=及1,若對于任意的/e(0,e],函數8(%)=111*-％2+依一/(%)+1在(。，6]內都有兩個不

同的零點，則實數。的取值范圍為()

2222

A.(1,c\B.(e,e]C.(e—]D.(1,c]

e

n3

12.設a為銳角，若cosCtH----=--,貝!Jsin2a的值為()

4

~25

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.函數/(x)=cos2x的最小正周期是,單調遞增區間是.

14.某大學A、B、C、。四個不同的專業人數占本校總人數的比例依次為3.2%、4.8%、4%、5.2%,現欲采用

分層抽樣的方法從這四個專業的總人數中抽取129人調查畢業后的就業情況，則。專業應抽取人.

15.有以下四個命題：①在AABC中，A>5的充要條件是sinA>sin5；②函數y=/(%)在區間(1,2)上存在零點

的充要條件是/(1>/(2)<0；③對于函數y=/(%),若/'(2)=/(—2),則Ax)必不是奇函數；④函數y=/(l—x)

與y=/(I+x)的圖象關于直線x=1對稱.其中正確命題的序號為.

16.滿足約束條件I無I+21y|W2的目標函數2=丁一%的最小值是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知橢圓C：三+卓=1(。〉6〉0)的離心率為存，且過點。,亭)?

(I)求橢圓C的方程;

(II)設Q是橢圓C上且不在X軸上的一個動點，。為坐標原點，過右焦點廠作。。的平行線交橢圓于M、N兩個

|MN|

不同的點，求的值.

|0Q|2

18.(12分)如圖，在直三棱柱ABC—451G中，CA=CB,點P,。分別為A片,CG的中點.求證:

(1)尸。//平面ABC；

(2)平面A551A.

19.(12分)如圖，在四面體。ABC中，AB±BC,DA=DC=DB.

(1)求證:平面ABC，平面AC。；

(2)若AZ)=2,AB=2BC,ZCAD=3Q°,求四面體ABC。的體積.

20.(12分)如圖，三棱臺ABC—￡FG的底面是正三角形，平面ABC,平面BCGb,CB=2GF,BF=CF.

(1)求證：AB±CGt

⑵若BC=CF,求直線AE與平面BEG所成角的正弦值.

21.(12分)在平面直角坐標系中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長

X—y/3—tn

度單位.已知直線1的參數方程為廣。為參數），曲線C的極坐標方程為p=4sin（0+￡）.

y=l+y/3t3

（1）求直線1的普通方程與曲線C的直角坐標方程；

（2）若直線1與曲線C交于M,N兩點，求AMON的面積.

22_

22.（10分）已知橢圓C：5+==1（。〉6〉0）的長半軸長為夜，點（Le）（e為橢圓。的離心率）在橢圓C上.

ab’

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）如圖，P為直線％=2上任一點，過點P橢圓。上點處的切線為K4,PB,切點分別A,B,直線x=a與直

線Q4,P5分別交于"，N兩點，點M,N的縱坐標分別為小，n,求加〃的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

將已知條件轉化為的形式，求得q,d,由此求得510.

【詳解】

L,5

2a1,+d=-3371385

設公差為d,貝I2,所以2d=1,d=Lq=—,S10=10a1+-xl0x9x-=—.

2q+3d=4248242

故選：B

本小題主要考查等差數列通項公式的基本量計算，考查等差數列前〃項和的計算，屬于基礎題.

2.A

【解析】

只需將“存在”改成“任意”，有實根改成無實根即可.

【詳解】

由特稱命題的否定是全稱命題，知“存在切＞0,使方程f+%—根=0有實根”的否定是

“任意切＞0,使方程+%—根=0無實根”.

故選：A

本題考查含有一個量詞的命題的否定，此類問題要注意在兩個方面作出變化：1.量詞，2.結論，是一道基礎題.

3.A

【解析】

根據橢圓與雙曲線離心率的表示形式，結合G和C的離心率之積為走，即可得。力的關系，進而得雙曲線的離心率

一2

方程.

【詳解】

2222

橢圓G的方程三+匕=1，雙曲線G的方程為三—￡=1，

則橢圓離心率G雙曲線的離心率4

aa

由a和c2的離心率之積為B,

一2

gnyja2-b2yja2+b26

=---x------------=——'

aa2

解得9=±也，

a2

所以漸近線方程為y=±交x，

-2

化簡可得x土也y=0,

故選：A.

本題考查了橢圓與雙曲線簡單幾何性質應用，橢圓與雙曲線離心率表示形式，雙曲線漸近線方程求法，屬于基礎題.

4.A

【解析】

a是函數/(元)的零點，根據五點法求出圖中零點及V軸左邊第一個零點可得.

【詳解】

311TTTTTCTC5冗

由題意2T-上，7=%，...函數AM在y軸右邊的第一個零點為一+—=——，在y軸左邊第一個零點是

41266412

717171

.?.同的最小值是普

故選：A.

本題考查三角函數的周期性，考查函數的對稱性.函數/(x)=Asin(or+e)的零點就是其圖象對稱中心的橫坐標.

5.A

【解析】

由題意得到該幾何體是一個組合體，前半部分是一個高為底面是邊長為4的等邊三角形的三棱錐，后半部分是一

個底面半徑為2的半個圓錐，體積為v=J_xX3x42x24乃x4x2石=8+拽工

34233

故答案為A.

點睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應深刻理解三視圖之間的關系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，

其內涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側視圖的高是幾

何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據俯視圖畫出幾何體地面的

直觀圖；2、觀察正視圖和側視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據三視圖進行調整.

6.B

【解析】

由模長公式求解即可.

【詳解】

22

卜+回=J(G+區了=Vs+2a-bt+tb~=A/4+2t+t~={(/+?+3>省,

當/=-1時取等號，所以本題答案為B.

本題考查向量的數量積，考查模長公式，準確計算是關鍵，是基礎題.

7.B

【解析】

根據題意分析/(x)的圖像關于直線x=l對稱，即可得至!J/。)的單調區間，利用對稱性以及單調性即可得到x的取值

范圍。

【詳解】

根據題意，函數y=/O)滿足/(x+1)是偶函數，則函數/(X)的圖像關于直線X=1對稱，

若函數y=/(%)在(-8,1］上單調遞減，則f(x)在［1,+8)上遞增，

所以要使42x—2)>/(2),則有|2x—2—1|>1,變形可得|2x—3|>1,

解可得：x>2或x<l,即x的取值范圍為(—8,1)。(2,+8)；

故選：B.

本題考查偶函數的性質，以及函數單調性的應用，有一定綜合性，屬于中檔題。

8.A

【解析】

由給定的三視圖可知，該幾何體表示一個底面為一個直角三角形，

且兩直角邊分別為1和2,所以底面面積為S=Lxlx2=l

2

高為〃=2的三棱錐，所以三棱錐的體積為V=Ls/z=Lxlx2=2,故選A.

333

9.B

【解析】

由題意得出一的值，進而利用離心率公式e=J1+-可求得該雙曲線的離心率.

a'V{aJ

【詳解】

r2v2bA24

雙曲線與=1的漸近線方程為y=±—九，由題意可得、二

abaa

因此，該雙曲線的離心率為5

3

故選：B.

本題考查利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率，利用公式e=1+-計算較為方便，考查計算能力，屬于

V\a)

基礎題.

10.C

【解析】

根據圖形，計算出工7,然后解不等式即可.

【詳解】

解：x=1x(l+2+3+4+5)=3,y=|x(0.02+0.05+0.1+0.15+0.18)=0.1

點(3,0.1)在直線9=0.042%+4上

0.1=0.042x3+4,a=-0.026

j=0.042%-0.026

令;9=0.042x—0.026>0.5

%>13

因為橫軸1代表2019年8月，所以橫軸13代表2020年8月，

故選：C

考查如何確定線性回歸直線中的系數以及線性回歸方程的實際應用，基礎題.

11.D

【解析】

將原題等價轉化為方程Inx—*+翻+1=/(%)在(0,0內都有兩個不同的根，先求導尸(尤)，可判斷xe(0,1)時,

/(%)>0,/(%)是增函數；

當xe(l,e)時，/,(%)<0,〃尤)是減函數.因此0</(x)Wl,再令尸(x)=lnx—f+ax+l,求導得

/(x)=_2r—ax—l,結合韋達定理可知，要滿足題意，只能是存在零點七,使得/'(x)=0在(0,e)有解，通過導

X

數可判斷當工?0,不)時尸⑴>0,尸⑺在(0,石)上是增函數;當時尸(x)<0,R(x)在(和e)上是

減函數；則應滿足-x)111ax=/(石)>1,再結合2x；-g-1=0,構造函數鞏x)=lnx+%2—1,求導即可求解；

【詳解】

函數g(x)=lnx-f+/一在(o,e］內都有兩個不同的零點，

等價于方程Inx-d+融+1=/(1)在(0,e］內都有兩個不同的根.

=2=(1-所以當x?0,l)時,/(%)>0,/⑺是增函數;

當xe(l,e)時,/(%)<0,/(%)是減函數.因此0</(x)Wl.

設廠⑴=Inx-f+ax+\,F(x)=--2x+a=——――,

XX

若尸(x)=0在(Oe)無解,則萬。在(0,e］上是單調函數,不合題意；所以尸'(x)=0在(0,e)有解,且易知只能有

一個解.

設其解為士，當xe(O/)時尸⑴>0,/(%)在(0,%)上是增函數；

當尤e(石,e)時尸'(x)<0,尸⑺在(％,e)上是減函數.

因為V/e(0,e］,方程Inx—f+益；+1=/(/)在Qe］內有兩個不同的根，

所以尸⑴1mx=/(%)>1，且尸(e)<。.由尸(e)40,即1口￡一/+屐+1<0，解得“Ve—j

由方(x)max=/(石)>1，即In%—％；+g+1>1,所以In為一%；>0.

因為2%；-ax-l=0所以。=2%---,代入In玉一%之+a九］>o,得In西+-1>0.

lfX］

設加(%)=1111+/-1,=—+2%>0,所以加(無)在(0,e)上是增函數，

x

而772⑴=lnl+l—1=0,由In%+X；-1〉0可得〃/(%)>7〃⑴，得l<X］<e.

c1/\1

由。=2%---在(l,e)上是增函數，得l<a<2e--.

再C

綜上所述1<。Ve—，

e

故選：D.

本題考查由函數零點個數求解參數取值范圍問題，構造函數法，導數法研究函數增減性與最值關系，轉化與化歸能力，

屬于難題

12.D

【解析】

用誘導公式和二倍角公式計算.

【詳解】

sin2a=-cos(2?+^)=—cos2(。+：)=-[2COS2(Q;+^)-1]=-[2x(j)2-1]=^.

故選：D.

本題考查誘導公式、余弦的二倍角公式，解題關鍵是找出己知角和未知角之間的聯系.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

冗L

13.n[k/r+—,k兀+7i\,keZ

【解析】

化簡函數的解析式，利用余弦函數的圖象和性質求解即可.

【詳解】

函數/(x)=cos2x=；cos2x+g,

??.最小正周期T=?="，

2

JT

令2k7i+/爻必r2k7i+2萬，keZ,可得左——轟1kk兀+兀,keZ,

2

7T

所以單調遞增區間是[版?+],版■+〃kez.

故答案為：乃，[k乃+—,kn+TI\,ksZ.

本題主要考查了二倍角的公式的應用，余弦函數的圖象與性質，屬于中檔題.

14.39

【解析】

求出。專業人數在A、B、C、。四個專業總人數的比例后可得.

【詳解】

由題意A、B、。、。四個不同的專業人數的比例為8:12:10:13,故。專業應抽取的人數為

故答案為：L

本題考查分層抽樣，根據分層抽樣的定義，在各層抽取樣本數量是按比例抽取的.

15.①

【解析】

由三角形的正弦定理和邊角關系可判斷①；由零點存在定理和二次函數的圖象可判斷②;

由/(2)=/(-2)=0,結合奇函數的定義，可判斷③；由函數圖象對稱的特點可判斷④.

【詳解】

解：①在AABC中，A>Ba>b2RsinA>2RsinBsinA>sinB,故①正確；

②函數y=/(x)在區間(1,2)上存在零點，比如/(x)+—號在(1,2)存在零點｝

但是/(1>/(2)>0,故②錯誤；

③對于函數y=/(x),若/(2)=/(-2)=0,滿足/(-2)=-/(2),

但Ax)可能為奇函數，故③錯誤；

④函數y=/(l—x)與y=/(l+x)的圖象，可令1一％=/,即x=l—r,

即有y=/。)和y=/(2—。的圖象關于直線t=l對稱，即X=O對稱，故④錯誤.

故答案為：①.

本題主要考查函數的零點存在定理和對稱性、奇偶性的判斷，考查判斷能力和推理能力，屬于中檔題.

16.-2

【解析】

可行域|x|+21yW2是如圖的菱形ABCD,

代入計算，

Kg65

知知=0—2=—2為最小.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.(I)—+^=1(II)1

42

【解析】

(I)由題，得e=￡=也，±+3=1,解方程組，即可得到本題答案;

a2a2b2

x=my

（II）設直線。。：％=7盯，則直線MN:x=my+行，聯立＜X2y2>得

142

x=my+^2

4m244m2+4

------------1-----------=-------------聯立<y2,得

m2+2m2+2m2+2-----1-----=1

[42

|MN|=歷豆/（乂+丫2）2-4%%=A/TT記豈近丁+Y—=”二，由此即可得到本題答案.

Vm+2m+2m+2

【詳解】

（I）由題可得6='=@,即

a222

將點［1,二丁|代入方程得+=1，即f1T=解得。2=4,

2/2b2a2a2

22

所以橢圓。的方程為：—+^=1;

42

（II）由（I）知，尸（衣0）

設直線OQ：x=7〃y,則直線MN:x=?ny+行，

x—my

AVYP"4

聯立《必丁整理得演2=*，—

l42

4m244m2+4

所以|。。/=%2+%2------------1------------=-------------

m2+2m2+2m2+2

x=my+\/2

聯立《22整理得（加2+2J、/+ly/lmy-2=0,

工+匕一1

[42

設”，則X+%=_2?：------^-―

m+2m+2

所以|MN|=71+m2"（x+%尸=，1+療J//：）?+8=%+：

Vm+2m2+2m+2

4m2+4

\MN\_療+

所以兩2=1.

4m2+4

m2+2

本題主要考查橢圓標準方程的求法以及直線與橢圓的綜合問題，考查學生的運算求解能力.

18.(1)見解析(2)見解析

【解析】

(1)取A3的中點。，連結CD.根據線面平行的判定定理即得；(2)先證35]LCD,CDLAB,A3和8及

都是平面45與4內的直線且交于點3,由(1)得CD〃PQ,再結合線面垂直的判定定理即得.

【詳解】

(1)取AB的中點。，連結P￡),CD.

在AABB,中，p,D分別為AB],AB中點，

PD//BB},且尸。=g3耳.在直三棱柱ABC-A4G中，CC{//BBX,CC】=BB「?:Q為棱CC,的中點，

CQ//BB},且CQ=；網.

PD//CQ,PD=CQ.

二.四邊形PDCQ為平行四邊形，從而PQ〃CD.

又CDu平面ABC,平面ABC,,PQ〃平面ABC.

(2)在直三棱柱ABC—A51cl中，，平面ABC又CDu平面ABC,.?.3與，CD.：C4=CB,。為A5中

點，,6?_1_748.

由(1)知CD〃PQ,:.BB1工PQ,AB±PQ.

又ABC\BBi=B,ABI平面ABBXAX,BBlu平面ABB,A,,

???PQ,平面A5314.

B

本題考查線面平行的判定定理，以及線面垂直的判定定理，難度不大.

4

19.(1)證明見解析；(2)j.

【解析】

(1)取AC中點產，連接ED,F8,根據等腰三角形的性質得到AC,利用全等三角形證得QbLEB,由此

證得。尸，平面ABC,進而證得平面ABC,平面ACD.

(2)由(1)知D尸，平面ABC,即止是四面體ABC。的面ABC上的高，結合錐體體積公式，求得四面體ABCD

的體積.

【詳解】

(1)證明:如圖，取AC中點產，連接ED,EB,

由DA=DC,則DBJ_AC,

\-ABLBC,則E4=EB=FC,

故GFKADFB'DFC

7T

故NDRB=/DE4=—,

2

?.?DF±AC,DF±FB,ACcFB=F

...OF，平面ABC.

又D尸u平面ACD,

故平面ABC,平面ACD

(2)由(1)知De_L平面ABC,

即。尸是四面體ABC。的面ABC上的高，

且=ADsin300=1,AF=ADcos3Q°=73.

在H/AABC中，AC=2AF=2AAB=2BC，

由勾股定理易知BC=冬叵,AB=勺叵

55

故四面體ABCD的體積

,DF=lxlx±^x^xl.l

3△AoRCr32555

本小題主要考查面面垂直的證明，考查錐體體積計算，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

20.(I)見證明；(II)

4

【解析】

(I)取8C的中點為D,連結。P，易證四邊形CDFG為平行四邊形，即CG//。尸，由于破=Cb,。為的

中點，可得到DELBC,從而得到CGL3C,即可證明CGL平面ABC,從而得到CGLA5；(II)易證。5,DF,

DA兩兩垂直，以DB，DF，DA分別為％,V,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系。一移z,求出平面BEG的

一個法向量為力=(羽y,z),設AE與平面BEG所成角為凡則sin。/cos〈女㈤=|一］一，即可得到答案.

11\AEW\

【詳解】

解：(I)取的中點為。，連結。戶.

由A6C—跳G是三棱臺得，平面ABC//平面EFG,從而5C//FG.

CB=2GF,：.CD/jpF,

；?四邊形CD/G為平行四邊形，，CG〃小.

'：BF=CF,。為8C的中點，

/.DFA.BC,ACGLBC.

?.?平面ABC,平面BCGF,且交線為BC,8<=平面5。6/，

???CGL平面ABC,而ABi平面ABC,

CG±AB.

(II)連結AD.

由AABC是正三角形，且。為中點，則ADJ_3c.

由(I)知，CG_L平面ABC,CG//DF,

；?DFLAD，DF1BC,

；.DB,DF,DA兩兩垂直.

以DB,DF,ZM分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系。-孫z.

rI

設5c=2,則A(0,0,>^),E——,A/3,-^-,5(1,0,0),G^—l,,\/3,oj,

\/

：.AE=_:，8，一=(-2,73,0),BE=

設平面BEG的一個法向量為n=(x,y,z).

—2.x+y/3y=0

BGn=Q,

由一可得,{_*氐+生=o

BEn=O

令x=6,則y=2,

^6

設AE與平面BEG所成角為。，則sin。一彳

本題考查了空間幾何中，面面垂直的性質，線線垂直的證明，及線面角的求法，考查了學生的邏輯推理能力與計算求

解能力，屬于中檔題.

21.(1)直線/的普通方程為逝無+y—4=0.曲線C的直角坐標方程是圓：(無一道)2+。-1)2=4.(2)4

【解析】

(1)將直線/參數方程中的/消去，即可得直線/的普通方程，對曲線C的極坐標方程兩邊同時乘以夕，利用

p2=x2+y2

<psm0=y可得曲線C的直角坐標方程；

pcosO=x

(2)求出點。到直線的距離，再求出的