結構力學(StructuralMechanics)授課人：趙榮國土木工程與力學學院力法(ForceMethod)第七章10/11/20242結構力學目錄

(contents)7-1超靜定結構的組成和超靜定次數(shù)7-2力法的基本概念7-3超靜定剛架和排架7-4超靜定桁架和組合結構7-5對稱結構的計算7-6兩鉸拱的計算7-7無鉸拱的計算7-8支座移動和溫度改變時的計算7-9超靜定結構位移的計算--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10/11/20243結構力學§

7-1超靜定結構的組成和超靜定次數(shù)7-1-1超靜定結構的組成具有幾何不變性、而又有多余約束的結構。其反力和內力能否只憑靜力平衡方程確定?10/11/20244結構力學7-1-2超靜定結構的類型超靜定組合結構超靜定梁超定剛架超靜定桁架超靜定拱10/11/20245結構力學也可以通過撤除多余約束來確定超靜定次數(shù),通常的方式有如下幾種:1.

去掉或切斷一根鏈桿，相當于去掉一個約束。ABCDABCDX1X1ABABX17-1-2超靜定次數(shù)多余約束力的數(shù)目，稱為超靜定的次數(shù)。超靜定次數(shù)=-W10/11/20246結構力學2.

去掉一個單鉸，相當于去掉兩個約束。ABCX2ABX1X1X2(a)(b)10/11/20247結構力學3.

切斷一根梁式桿，或在剛結處作一切口，或去掉一個固定端，相當于去掉三個約束。ABBAX1X2X3X2ABX1X1X2X3X3(a)(c)(b)10/11/20248結構力學4.

將剛結點改為單鉸聯(lián)結，或將一固定支座改成鉸支座，相當于去掉一個約束。ABCABX1X2CABABX3X3X1X210/11/20249結構力學只能拆掉多余約束，不能拆掉必要約束。A支座或B支座處的水平鏈桿為多余約束，而A支座或B支座的豎向鏈桿為必要約束。注意:AB10/11/202410結構力學對于同一超靜定結構，可以采取不同的方式去掉多余約束，而得到不同的基本結構。例如圖所示超靜定結構。(a)X(b)X(c)X(d)圖中b、c、d所示不同的基本結構。10/11/202411結構力學

§7-2力法的基本概念7-2-1基本思路基本體系qx1x1q

1P

1121ql原結構位移條件：

1P+11=0因為

11=

11X1所以11X1

+1P=0X1=-

1P/

11等效條件x1=1

1110/11/202412結構力學我們就以這個一次超靜定結構為例，說明力法中的三個基本概念。1.

力法的基本未知量。7-2-2力法基本概念ABqX1圖7-2b把多余力當作處于關鍵地位的未知量稱為力法的基本未知量。力法也由此得名。ABq圖7-2a10/11/202413結構力學2.

力法的基本結構和基本體系超靜定結構中的多余約束(此處為支座B)去掉后，得到的靜定結構稱為力法的基本結構。如圖AB基本結構10/11/202414結構力學讓基本結構上作用著與原結構相同的荷載和多余約束相應的多余未知力，稱為力法的基本體系。如圖qX1AB基本體系基本體系就是由靜定結構過渡到超靜定結構的橋梁。10/11/202415結構力學3.

力法的基本方程由前面的討論得到兩個概念：第一，明確了解超靜定問題的關鍵是求出多余未知力X1；第二，基本體系是求解超靜定問題的橋梁。10/11/202416結構力學1)基本體系在怎樣的條件下才能轉化為原結構？接下來討論2)怎樣才能把多余未知力求出來？10/11/202417結構力學將原結構與基本體系比較：ABql原結構ABqX1l基本體系ABqX1X1過大ABqX1X1過小基本體系轉為原結構的條件是:

1=010/11/202418結構力學下面討論怎樣將X1求出來。應用疊加原理將位移條件

1=0寫成展開形式。ABX1

11ABq

1P根據(jù)疊加原理，有

1=

11+

1P=010/11/202419結構力學再令

11表示X1為單位力時，即X1=1時,B點沿X1方向的位移，如圖所示。AB

11由疊加原理，有

11=

11

X1

1=

11+

1P=0

1=

11

X1+

1P=0(7-1)力法的基本方程10/11/202420結構力學ABBAMP圖由圖乘法求得：代入力法方程式(7-1)，有10/11/202421結構力學最后作彎矩圖和剪力圖如圖所示ABABM圖FQ圖例如：A端的彎矩為:10/11/202422結構力學4.力法的典型方程如圖所示剛架為三次超靜定結構，分析時必須去掉它的三個多余約束。ABEIEIEIFP1FP2原結構通過一個三次超靜定的剛架說明如何建立力法方程10/11/202423結構力學1）取固定端B支座處的三個多余約束力為基本未知量，則基本體系如圖所示。BAX1X2X3FP1FP2基本體系10/11/202424結構力學2）由于原結構在支座B處沒有水平豎向和轉角位移，因此基本體系上B點沿X1、X2、X3方向的位移應與原結構相應位置的位移相等，都應等于零。即

1=0，

2=0，

3=0

1是基本體系上B點沿X1方向的位移，即B點的水平位移。

2是基本體系上B點沿X2方向的位移，即B點的豎向位移。

3是基本體系上B截面沿X3方向的位移，即B截面的轉角。10/11/202425結構力學3）應用疊加原理把位移條件

1=0，

2=0，

3=0寫成展開式。B

31

11

21BA設

11、21和31分別表示當X1=1單獨作用在基本結構上時，B點沿X1、X2和X3方向的位移。如圖10/11/202426結構力學設

12、22和32分別表示當X2=1單獨作用在基本結構上時，B點沿X1、X2和X3方向的位移。如圖B

32

12

22BA10/11/202427結構力學設

13、23和33分別表示當X3=1單獨作用在基本結構上時，B點沿X1、X2和X3方向的位移。如圖B

33

13

23AB10/11/202428結構力學設

1P、2P和3P分別表示當荷載(FP1、FP2)單獨作用在基本結構上時，B點沿X1、X2和X3方向的位移，如圖B

BAFP2FP1

2P

1P

3P10/11/202429結構力學根據(jù)疊加原理，則位移條件可寫成：(7-2)這就是根據(jù)位移條件建立的求解多余力X1、X2和X3的方程組。大家可歸納出方程組的物理意義嗎？10/11/202430結構力學4）系數(shù)和自由項的計算問題。力法方程組中的系數(shù)和自由項都是基本結構上指定截面的位移，由于基本結構是一個靜定結構，所以這些系數(shù)和自由項可用前一章介紹的計算位移的方法進行計算。10/11/202431結構力學當原結構在多余力作用處的位移為零時，這n個方程可寫為(7-3)7-2-3n次超靜定結構

ii稱為主系數(shù)，

ik稱為副系數(shù)，

ip(如

1p、

2p

和

3p)則稱為自由項。10/11/202432結構力學(7-4)

解力法方程得到多余未知力X1、X2、…、Xn的數(shù)值后，超靜定結構的內力可根據(jù)疊加原理，用下式計算：10/11/202433結構力學解題步驟:選取力法基本體系；列力法基本方程；繪單位彎矩圖、荷載彎矩圖；求力法方程各系數(shù)，解力法方程；繪內力圖。10/11/202434結構力學

§7-3超靜定剛架和排架7-3-1超靜定剛架用力法解算超靜定剛架時，其系數(shù)和自由項可按下列公式計算:式中Mi、Mk、MP分別代表Xi=1、Xk=1和荷載單獨作用時基本結構中的彎矩。超靜定剛架的最后彎矩圖，可應用疊加法按下式求得：(7-6)10/11/202435結構力學例9-1

試計算圖（a）所示剛架。解：

1）基本體系的選取

2)列出力法典型方程BACEI1aa/2a/2(a)FPBAC基本體系(b)FPX2X110/11/202436結構力學3)繪出各單位彎矩圖和荷載彎矩圖如圖a、b、c所示。ACaB(a)ACaBaa(b)ACBFP(c)10/11/202437結構力學4)利用圖乘法求得各系數(shù)和自由項如下：10/11/202438結構力學代入典型方程并消去，得解聯(lián)立方程，得多余力求得后，最后彎矩圖可按(7-4)計算其結果如圖d所示。ACB(d)5)求多余約束并作內力圖10/11/202439結構力學7-3-2超靜定排架

例7-2

如圖為兩跨廠房排架的計算簡圖。求在所示吊車荷載作用下的內力。計算資料如下：(1)截面慣性矩左柱：上段IS1＝10.1×104cm4，下段IX1＝28.6×104cm4右柱及中柱:上段IS2＝16.1×104cm4，下段IX2＝81.8×104cm4(2)右跨吊車荷載豎向荷載為PH＝108kN，PE＝43．9kN。由于PH、PE與下柱軸線有偏心距e＝O.4m，因此在H、E點的力偶荷載為：10/11/202440結構力學解：

1）基本體系的選取10/11/202441結構力學2）作基本體系的、、圖10/11/202442結構力學3）計算個系數(shù)10/11/202443結構力學4）力法方程為：5）解方程，得6）利用疊加公式作M圖，如圖d所示10/11/202444結構力學

§7-4超靜定桁架和組合結構7-4-1超靜定桁架由于在桁架各桿中只產(chǎn)生軸力，故典型方程中的系數(shù)應按下列公式計算：10/11/202445結構力學當桁架只承受荷載時，其自由項為桁架各桿的最后內力可按下式計算10/11/202446結構力學[例7-3]

試計算圖a所示超靜定桁架。已知各桿的材料和截面面積都相同。(a)aa3012FP原結構10/11/202447結構力學[解]

此桁架是一次超靜定結構。其基本體系如圖b所示。根據(jù)切口處兩側截面的相對位移應等于零的條件，可建立力法典型方程如下：3012FPX1X1基本體系(b)10/11/202448結構力學為了計算系數(shù)和自由項，先分別求出單位多余力和荷載作用于基本結構時所產(chǎn)生的軸力，如圖c、d所示，按前面給出的計算公式，算得30121(c)3012FP00–FP–FP(d)10/11/202449結構力學301213012FP00–FP–FP10/11/202450結構力學代入典型方程后求解，得原結構中各桿軸力按下式計算其結果示于圖e。3012FP(e)10/11/202451結構力學7-4-2超靜定組合結構力法典型方程中的系數(shù)和自由項應采用下列公式進行計算：10/11/202452結構力學解：力法方程10/11/202453結構力學10/11/202454結構力學代入力法方程后，得：再作出相應的M圖和N圖10/11/202455結構力學

§7-5對稱結構的計算對稱結構需包括兩方面(1)結構的幾何形狀和支承情況對某一軸線對稱。(2)桿件截面和材料性質也對此軸對稱。10/11/202456結構力學例如圖a所示剛架是一個對稱剛架；圖b所示矩形涵管也是一個對稱結構，并且具有兩根對稱軸；圖c所示剛架，也有一根斜向的對稱軸。利用結構的對稱性，可使計算大為簡化。對稱軸EI1EI1EI1對稱軸EI2EI2EI2EI2a/2a/2b/2b/2(a)(b)(c)對稱軸EIEIll10/11/202457結構力學7-5-1取對稱的基本結構在計算對稱結構時，選取對稱的基本結構，并取對稱的或反對稱的多余力為基本未知量，往往可使計算簡化。[例]

試分析圖a所示剛架。AB10kN/m10kN/m6m3m3m6mCDk2EI2EI3EI(a)10/11/202458結構力學[解]

此剛架為對稱的三次超靜定結構。假設在CD桿的中點切斷而代以相應的多余力X1、X2、X3，得到對稱的基本結構，其基本體系如圖b所示。X2ABX1X1X2X3X310kN/m10kN/mAB10kN/m10kN/m6m3m3m6mCDk2EI2EI3EI(a)(b)10/11/202459結構力學根據(jù)切口處兩側截面的相對位移應等于零的條件，可建立典型方程如下：讀者想想，式中的系數(shù)和自由項均表示什么？10/11/202460結構力學為了計算系數(shù)和自由項，我們分別繪出單位彎矩圖和荷載彎矩圖如圖所示。10/11/202461結構力學因為X1和X3是正對稱的力，所以M1和M3圖都是正對稱圖形。而X2是反對稱的力，所以M2圖是反對稱圖形。又因桿件的剛度是對稱的，所以按這些圖形來計算系數(shù)時，其結果必然是10/11/202462結構力學又由于MP圖是正對稱圖形，所以

2P=0。這樣，典型方程為由方程組的第三式可得X2=0。由第一、二兩式則可解出X1和X3。10/11/202463結構力學根據(jù)上述分析，可得出結論如下：(1)對稱結構在正對稱荷載作用下，其反對稱的未知量必等于零，故只需計算正對稱的未知量且其內力和位移都是正對稱的。(2)對稱結構在反對稱荷載作用下，其正對稱的未知量必等于零，故只需計算反對稱的未知量且其內力和位移都是反對稱的。10/11/202464結構力學半剛架法利用對稱結構在正對稱或反對稱荷載作用下的受力變形特性，可截取結構的一半來進行計算，從而減少計算工作量。10/11/202465結構力學對于圖中所示的奇數(shù)跨剛架，在正對稱荷載作用下，內力和變形都是正對稱的。在對稱軸上的截面k處，只有豎向位移，沒有水平位移和轉角。FPFP該截面上將有彎矩和軸力，而無剪力。k變形對稱FPFP內力對稱10/11/202466結構力學對稱軸上的k截面，起作聯(lián)結對稱軸兩側半剛架的作用，可把k截面當作約束來理解。在第一章介紹的定向支座所起的作用就如同此刻k截面所起的作用一樣，因此圖a所示的半剛架就完全代表圖b所示的剛架。kFP半剛架計算簡圖(a)FPFPk(b)10/11/202467結構力學對稱結構在反對稱荷載作用下，其內力變形都是反對稱的，如圖所示：對稱軸上的k截面處，無豎向位移發(fā)生，且軸力和彎矩都等于零而只有剪力存在。FPFPk變形反對稱FPFP內力反對稱XX10/11/202468結構力學截取半剛架計算時，可用豎向支承鏈桿代替k截面所起的約束作用，如圖所示FPFPkkFP10/11/202469結構力學對于偶數(shù)跨的剛架，在正對稱或反對稱荷載作用下，可有采取上述相同的分析手段，得到半剛架計算簡圖。kq對稱軸(a)偶數(shù)跨受對稱荷載的結構(c)半邊結構q(b)內力、變形對稱對稱軸僅受軸力，不計軸向變形時，對稱軸處無位移qq對稱軸10/11/202470結構力學(c)半結構計算簡圖q對稱軸固定端kq對稱軸或q對稱軸固定端kq對稱軸10/11/202471結構力學kFPFP對稱軸偶數(shù)跨受反對稱荷載的結構FPFPI/2I/2對稱軸中柱無軸力內力、變形反對稱，F(xiàn)PI/2對稱軸不計軸向變形時10/11/202472結構力學kFPFP對稱軸IFPI/2半結構計算簡圖k10/11/202473結構力學對于一般荷載作用下的對稱結構，可先對荷載進行分組，再分別按正對稱和反對稱荷載作用下取出相應的半剛架以適當方法求解，一般能使計算得到簡化。10/11/202474結構力學例如圖所示單跨多層剛架各層受水平集中荷載作用，F(xiàn)P2FP1(a)先對荷載進行分組，如下圖所示：FP2FP1+=10/11/202475結構力學由于不考慮桿件軸向變形，正對稱荷載作用下(圖b)僅有橫梁產(chǎn)生軸力，各桿彎矩均為零，故只需計算反對稱荷載作用時，(圖c)的彎矩即為原結構的彎矩，而這是不難用半剛架法(圖d)求得的。FP2FP1(a)(b)(c)(d)+=10/11/202476結構力學[例]

試作下圖所示對稱、三次超靜定結構的彎矩圖。4FPI1I1I2IIllh(a)結構及荷載10/11/202477結構力學4FPI1I1I2IIllh(a)結構及荷載2FP2FP2FP2FP+=(b)荷載分解對稱荷載組無彎矩反對稱荷載組解：圖a所示結構對稱，但荷載不對稱。為此，如圖b將荷載分解成兩組.10/11/202478結構力學2FPI1II+=(c)反對稱半結構(d)荷載分解對稱荷載組無荷載反對稱荷載組FPFPFPFP對稱組經(jīng)判斷為無彎矩狀態(tài)，反對稱組可取圖c簡圖進行分析。圖c簡圖仍是對稱結構任意荷載情況，可再次如圖d將荷載分解10/11/202479結構力學FP11(f)半剛架彎矩圖FP111(xFPh)(g)前一半剛架彎矩圖4FP111112(xFPh)(xFPh)(h)剛架彎矩圖FP(e)反對稱半剛架FPFP10/11/202480結構力學例求作圖示圓環(huán)的彎矩圖,EI=常數(shù)。解：取結構的1/4分析若只考慮彎矩對位移的影響，有：10/11/202481結構力學§

7-6兩鉸拱的計算

超靜定拱多數(shù)是無鉸拱或兩鉸拱，閉合環(huán)形結構可看作是無鉸拱的一種特殊情形。10/11/202482結構力學7-6-1不帶拉桿兩鉸拱的計算力法方程：由于拱是曲桿，求位移和

，時不能采用圖乘法基本體系如圖(c)10/11/202483結構力學可以得到：內力計算公式為：即10/11/202484結構力學7-6-2帶拉桿兩鉸拱的計算力法方程：P2P3P1原結構ABP2P3P1基本體系x1BA10/11/202485結構力學內力計算公式為：由力法方程可求得:10/11/202486結構力學總結從力法計算來看，兩鉸拱與兩銨剛架基本相同，只是位移和需按曲桿公式計算，不能采用圖乘法。從受力特性來看，兩鉸拱與三鉸拱基本相同。內力計算式在形式上與三鉸拱完全相同。只是其中的H值有所不同：在三鉸拱中，推力H是由平衡條件求得的；在兩鉸拱中，推力H則是由變形條件求得的。10/11/202487結構力學§

7-7無鉸拱的計算7-7-1無鉸拱的計算第一項簡化措施是利用結構的對稱性。采用如圖(b)的基本體系。力法方程簡化為：10/11/202488結構力學(c)(d)第二項簡化措施是利用剛臂，進一步使余下的一對副系數(shù)和等于零，從而使力法方程簡化為三個獨立的一元一次方程：怎樣實現(xiàn)？10/11/202489結構力學(c)(d)現(xiàn)在需要確定剛臂的長度也就是確定剛臂端點o的位置。對于(d)圖所示的體系，在單位力X1=1作用下，內力的算式為：在單位力X2=l作用下，內力的算式為：10/11/202490結構力學(c)(d)可算得：

如圖(d)，另取一個參考坐標軸x’y’：y’軸與y軸重合，x’軸與x軸間的距離為a。拱軸上任一點D的新坐標y’與坐標y有如下的關系：這樣，今，得10/11/202491結構力學由此得出結論：剛臂的端點o就是彈性面積的形心，叫做彈性中心。以上這種簡化處理方法叫做彈性中心法。10/11/202492結構力學

§7-8支座移動和溫度改變時的計算7-8-1支座移動的計算例如圖(a)所示為一等截面梁AB，左端A為固定端，右端B為滾軸支承。如果左端支座轉動角度已知為θ，右端支座下沉距離已知為a，求梁中引起的自內力。[解]

取基本體系如圖b所示。