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文檔簡介
江蘇省連云港市灌南縣二中2025屆高三數學第一學期期末綜合測試模擬試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數圖像可能是()A. B. C. D.2.已知,橢圓的方程,雙曲線的方程為,和的離心率之積為,則的漸近線方程為()A. B. C. D.3.已知函數是上的減函數,當最小時,若函數恰有兩個零點,則實數的取值范圍是()A. B.C. D.4.ΔABC中,如果lgcosA=lgsinA.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形5.已知與函數和都相切,則不等式組所確定的平面區域在內的面積為()A. B. C. D.6.若集合,,則下列結論正確的是()A. B. C. D.7.在中,角、、所對的邊分別為、、,若,則()A. B. C. D.8.已知,則的值構成的集合是()A. B. C. D.9.大衍數列,米源于我國古代文獻《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論,主要用于解釋我國傳統文化中的太極衍生原理,數列中的每一項,都代表太極衍生過程中,曾經經歷過的兩儀數量總和.已知該數列前10項是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,則大衍數列中奇數項的通項公式為()A. B. C. D.10.運行如圖所示的程序框圖,若輸出的值為300,則判斷框中可以填()A. B. C. D.11.已知函數的部分圖象如圖所示,則()A. B. C. D.12.若復數z滿足,則復數z在復平面內對應的點在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.《九章算術》是中國古代的數學名著,其中《方田》一章給出了弧田面積的計算公式.如圖所示,弧田是由圓弧AB和其所對弦AB圍成的圖形,若弧田的弧AB長為4π,弧所在的圓的半徑為6,則弧田的弦AB長是__________,弧田的面積是__________.14.已知平面向量、的夾角為,且,則的最大值是_____.15.已知等比數列的各項均為正數,,則的值為________.16.已知,那么______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓C:()的左、右焦點分別為,,離心率為,且過點.(1)求橢圓C的方程;(2)過左焦點的直線l與橢圓C交于不同的A,B兩點,若,求直線l的斜率k.18.(12分)自湖北武漢爆發新型冠狀病毒惑染的肺炎疫情以來,武漢醫護人員和醫療、生活物資嚴重缺乏,全國各地紛紛馳援.截至1月30日12時,湖北省累計接收捐贈物資615.43萬件,包括醫用防護服2.6萬套N95口軍47.9萬個,醫用一次性口罩172.87萬個,護目鏡3.93萬個等.中某運輸隊接到給武漢運送物資的任務,該運輸隊有8輛載重為6t的A型卡車,6輛載重為10t的B型卡車,10名駕駛員,要求此運輸隊每天至少運送720t物資.已知每輛卡車每天往返的次數:A型卡車16次,B型卡車12次;每輛卡車每天往返的成本:A型卡車240元,B型卡車378元.求每天派出A型卡車與B型卡車各多少輛,運輸隊所花的成本最低?19.(12分)如圖,在三棱柱中,已知四邊形為矩形,,,,的角平分線交于.(1)求證:平面平面;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)已知函數.(1)當時,求曲線在點的切線方程;(2)討論函數的單調性.21.(12分)某市為了鼓勵市民節約用電,實行“階梯式”電價,將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔,月用電量不超過度的部分按元/度收費,超過度但不超過度的部分按元/度收費,超過度的部分按元/度收費.(I)求某戶居民用電費用(單位:元)關于月用電量(單位:度)的函數解析式;(Ⅱ)為了了解居民的用電情況,通過抽樣,獲得了今年1月份戶居民每戶的用電量,統計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖,若這戶居民中,今年1月份用電費用不超過元的占,求,的值;(Ⅲ)在滿足(Ⅱ)的條件下,若以這戶居民用電量的頻率代替該月全市居民用戶用電量的概率,且同組中的數據用該組區間的中點代替,記為該居民用戶1月份的用電費用,求的分布列和數學期望.22.(10分)某健身館為響應十九屆四中全會提出的“聚焦增強人民體質,健全促進全民健身制度性舉措”,提高廣大市民對全民健身運動的參與程度,推出了健身促銷活動,收費標準如下:健身時間不超過1小時免費,超過1小時的部分每小時收費標準為20元(不足l小時的部分按1小時計算).現有甲、乙兩人各自獨立地來該健身館健身,設甲、乙健身時間不超過1小時的概率分別為,,健身時間1小時以上且不超過2小時的概率分別為,,且兩人健身時間都不會超過3小時.(1)設甲、乙兩人所付的健身費用之和為隨機變量(單位:元),求的分布列與數學期望;(2)此促銷活動推出后,健身館預計每天約有300人來參與健身活動,以這兩人健身費用之和的數學期望為依據,預測此次促銷活動后健身館每天的營業額.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
先判斷函數的奇偶性可排除選項A,C,當時,可分析函數值為正,即可判斷選項.【詳解】,,即函數為偶函數,故排除選項A,C,當正數越來越小,趨近于0時,,所以函數,故排除選項B,故選:D【點睛】本題主要考查了函數的奇偶性,識別函數的圖象,屬于中檔題.2、A【解析】
根據橢圓與雙曲線離心率的表示形式,結合和的離心率之積為,即可得的關系,進而得雙曲線的離心率方程.【詳解】橢圓的方程,雙曲線的方程為,則橢圓離心率,雙曲線的離心率,由和的離心率之積為,即,解得,所以漸近線方程為,化簡可得,故選:A.【點睛】本題考查了橢圓與雙曲線簡單幾何性質應用,橢圓與雙曲線離心率表示形式,雙曲線漸近線方程求法,屬于基礎題.3、A【解析】
首先根據為上的減函數,列出不等式組,求得,所以當最小時,,之后將函數零點個數轉化為函數圖象與直線交點的個數問題,畫出圖形,數形結合得到結果.【詳解】由于為上的減函數,則有,可得,所以當最小時,,函數恰有兩個零點等價于方程有兩個實根,等價于函數與的圖像有兩個交點.畫出函數的簡圖如下,而函數恒過定點,數形結合可得的取值范圍為.故選:A.【點睛】該題考查的是有關函數的問題,涉及到的知識點有分段函數在定義域上單調減求參數的取值范圍,根據函數零點個數求參數的取值范圍,數形結合思想的應用,屬于中檔題目.4、B【解析】
化簡得lgcosA=lgsinCsinB=﹣lg2,即cosA=sinCsinB=12,結合0<A<π,可求A=π【詳解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2,可得lgcosA=∵0<A<π,∴A=π3,B+C=2π3,∴sinC=12sinB=12sin2π3-C=34cosC+故選:B【點睛】本題主要考查了對數的運算性質的應用,兩角差的正弦公式的應用,解題的關鍵是靈活利用基本公式,屬于基礎題.5、B【解析】
根據直線與和都相切,求得的值,由此畫出不等式組所表示的平面區域以及圓,由此求得正確選項.【詳解】.設直線與相切于點,斜率為,所以切線方程為,化簡得①.令,解得,,所以切線方程為,化簡得②.由①②對比系數得,化簡得③.構造函數,,所以在上遞減,在上遞增,所以在處取得極小值也即是最小值,而,所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切線方程為.即.不等式組即,畫出其對應的區域如下圖所示.圓可化為,圓心為.而方程組的解也是.畫出圖像如下圖所示,不等式組所確定的平面區域在內的部分如下圖陰影部分所示.直線的斜率為,直線的斜率為.所以,所以,而圓的半徑為,所以陰影部分的面積是.故選:B【點睛】本小題主要考查根據公共切線求參數,考查不等式組表示區域的畫法,考查圓的方程,考查兩條直線夾角的計算,考查扇形面積公式,考查數形結合的數學思想方法,考查分析思考與解決問題的能力,屬于難題.6、D【解析】
由題意,分析即得解【詳解】由題意,故,故選:D【點睛】本題考查了元素和集合,集合和集合之間的關系,考查了學生概念理解,數學運算能力,屬于基礎題.7、D【解析】
利用余弦定理角化邊整理可得結果.【詳解】由余弦定理得:,整理可得:,.故選:.【點睛】本題考查余弦定理邊角互化的應用,屬于基礎題.8、C【解析】
對分奇數、偶數進行討論,利用誘導公式化簡可得.【詳解】為偶數時,;為奇數時,,則的值構成的集合為.【點睛】本題考查三角式的化簡,誘導公式,分類討論,屬于基本題.9、B【解析】
直接代入檢驗,排除其中三個即可.【詳解】由題意,排除D,,排除A,C.同時B也滿足,,,故選:B.【點睛】本題考查由數列的項選擇通項公式,解題時可代入檢驗,利用排除法求解.10、B【解析】
由,則輸出為300,即可得出判斷框的答案【詳解】由,則輸出的值為300,,故判斷框中應填?故選:.【點睛】本題考查了程序框圖的應用問題,解題時應模擬程序框圖的運行過程,以便得出正確的結論,是基礎題.11、A【解析】
先利用最高點縱坐標求出A,再根據求出周期,再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【詳解】由圖象可知A=1,∵,所以T=π,∴.∴f(x)=sin(2x+φ),將代入得φ)=1,∴φ,結合0<φ,∴φ.∴.∴sin.故選:A.【點睛】本題考查三角函數的據圖求式問題以及三角函數的公式變換.據圖求式問題要注意結合五點法作圖求解.屬于中檔題.12、A【解析】
化簡復數,求得,得到復數在復平面對應點的坐標,即可求解.【詳解】由題意,復數z滿足,可得,所以復數在復平面內對應點的坐標為位于第一象限故選:A.【點睛】本題主要考查了復數的運算,以及復數的幾何表示方法,其中解答中熟記復數的運算法則,結合復數的表示方法求解是解答的關鍵,著重考查了推理與計算能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、612π﹣9【解析】
過作,交于,先求得圓心角的弧度數,然后解解三角形求得的長.利用扇形面積減去三角形的面積,求得弧田的面積.【詳解】∵如圖,弧田的弧AB長為4π,弧所在的圓的半徑為6,過作,交于,根據圓的幾何性質可知,垂直平分.∴α=∠AOB==,可得∠AOD=,OA=6,∴AB=2AD=2OAsin=2×=6,∴弧田的面積S=S扇形OAB﹣S△OAB=4π×6﹣=12π﹣9.故答案為:6,12π﹣9.【點睛】本小題主要考查弓形弦長和弓形面積的計算,考查中國古代數學文化,屬于中檔題.14、【解析】
建立平面直角坐標系,設,可得,進而可得出,,由此將轉化為以為自變量的三角函數,利用三角恒等變換思想以及正弦函數的有界性可得出結果.【詳解】根據題意建立平面直角坐標系如圖所示,設,,以、為鄰邊作平行四邊形,則,設,則,,且,在中,由正弦定理,得,即,在中,由正弦定理,得,即.,,則,當時,取最大值.故答案為:.【點睛】本題考查了向量的數量積最值的計算,將問題轉化為角的三角函數的最值問題是解答的關鍵,考查計算能力,屬于難題.15、【解析】
運用等比數列的通項公式,即可解得.【詳解】解:,,,,,,,,,,,.故答案為:.【點睛】本題考查等比數列的通項公式及應用,考查計算能力,屬于基礎題.16、【解析】
由已知利用誘導公式可求,進而根據同角三角函數基本關系即可求解.【詳解】∵,∴,,∴.故答案為:.【點睛】本小題主要考查誘導公式、同角三角函數的基本關系式,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)直線l的斜率為或【解析】
(1)根據已知列出方程組即可解得橢圓方程;(2)設直線方程,與橢圓方程聯立,轉化為,借助向量的數量積的坐標表示,及韋達定理即可求得結果.【詳解】(1)由題意得解得故橢圓C的方程為.(2)直線l的方程為,設,,則由方程組消去y得,,所以,,由,得,所以,又所以,即所以,因此,直線l的斜率為或.【點睛】本題考查橢圓的標準方程,考查直線和橢圓的位置關系,考查學生的計算求解能力,難度一般.18、每天派出A型卡車輛,派出B型卡車輛,運輸隊所花成本最低【解析】
設每天派出A型卡車輛,則派出B型卡車輛,由題意列出約束條件,作出可行域,求出使目標函數取最小值的整數解,即可得解.【詳解】設每天派出A型卡車輛,則派出B型卡車輛,運輸隊所花成本為元,由題意可知,,整理得,目標函數,如圖所示,為不等式組表示的可行域,由圖可知,當直線經過點時,最小,解方程組,解得,,然而,故點不是最優解.因此在可行域的整點中,點使得取最小值,即,故每天派出A型卡車輛,派出B型卡車輛,運輸隊所花成本最低.【點睛】本題考查了線性規劃問題中的最優整數解問題,考查了數形結合的思想,解題關鍵在于列出不等式組(方程組)尋求約束條件,并就題目所述找出目標函數,同時注意整點的選取,屬于中檔題.19、(1)見解析;(2)【解析】
(1)過點作交于,連接,設,連接,由角平分線的性質,正方形的性質,三角形的全等,證得,,由線面垂直的判斷定理證得平面,再由面面垂直的判斷得證.(2)平面幾何知識和線面的關系可證得平面,建立空間直角坐標系,求得兩個平面的法向量,根據二面角的向量計算公式可求得其值.【詳解】(1)如圖,過點作交于,連接,設,連接,,,又為的角平分線,四邊形為正方形,,又,,,,,又為的中點,又平面,,平面,又平面,平面平面,(2)在中,,,,在中,,,又,,,,又,,平面,平面,故建立如圖空間直角坐標系,則,,,,,,,設平面的一個法向量為,則,,令,得,設平面的一個法向量為,則,,令,得,由圖示可知二面角是銳角,故二面角的余弦值為.【點睛】本題考查空間的面面垂直關系的證明,二面角的計算,在證明垂直關系時,注意運用平面幾何中的等腰三角形的“三線合一”,勾股定理、菱形的對角線互相垂直,屬于基礎題.20、(1);(2)當時,在上單調遞增,在上單調遞減;當時,在和上單調遞增,在上單調遞減;當時,在上單調遞增;當時,在和上單調遞增,在上單調遞減.【解析】
(1)根據導數的幾何意義求解即可.(2)易得函數定義域是,且.故分,和與四種情況,分別分析得極值點的關系進而求得原函數的單調性即可.【詳解】(1)當時,,則切線的斜率為.又,則曲線在點的切線方程是,即.(2)的定義域是..①當時,,所以當時,;當時,,所以在上單調遞增,在上單調遞減;②當時,,所以當和時,;當時,,所以在和上單調遞增,在上單調遞減;③當時,,所以在上恒成立.所以在上單調遞增;④當時,,所以和時,;時,.所以在和上單調遞增,在上單調遞減.綜上所述,
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