PAGE19-河北省張家口市康保衡水一中聯合中學2024-2025學年高二數學上學期期中試題（含解析）第I卷選擇題（共60分）一、選擇題：（本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】設A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜,或x＞0}，推斷集合A，B的包含關系，依據“誰小誰充分，誰大誰必要”的原則，即可得到答案．【詳解】設A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜,或x＞0}，∵AB，故“x＞0”是“”成立的充分不必要條件．故選A．【點睛】本題考查的學問點是必要條件，充分條件與充要條件推斷，其中嫻熟駕馭集合法推斷充要條件的原則“誰小誰充分，誰大誰必要”，是解答本題的關鍵．2.命題“，都有”的否定是（）A.，使得 B.，使得C.，都有 D.，都有【答案】B【解析】【分析】依據全稱命題的否定是特征命題，隨意變存在，再對結論進行否定即可.【詳解】“，都有”的否定是：，使得.故選：B.【點睛】本題考查了全稱命題的否定，在否定過程中留意量詞的變更，以及對結論否定時留意“”變“”，是概念題，屬于基礎題.3.在如圖所示的“莖葉圖”表示的數據中，眾數和中位數分別（）.A.23與26 B.31與26 C.24與30 D.26與30【答案】B【解析】【分析】依據莖葉圖的數據，結合眾數與中位數的概念，即可求解，得到答案.【詳解】依據莖葉圖中的數據，可得眾數是數據中出現次數最多的數據，即眾數為，又由中位數的定義，可得數據的中位數為，故選B【點睛】本題主要考查了莖葉圖的應用，其中解答中正確讀取莖葉圖的數據，以及熟記眾數、中位數的概念是解答的關鍵，著重考查了推理與運算實力，屬于基礎題.4.已知橢圓的一個焦點是圓的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點為()A. B. C. D.【答案】D【解析】∵圓，化為一般式可得，故其圓心為，∴橢圓的一個焦點為，得，又∵短軸長為，得，∴，可得橢圓的左頂點為，故選D.5.下列命題正確的是（1）命題“，”的否定是“，”；（2）l為直線，，為兩個不同的平面，若，，則；（3）給定命題p，q，若“為真命題”，則是假命題；（4）“”是“”的充分不必要條件．A.（1）（4） B.（2）（3） C.（3）（4） D.（1）（3）【答案】D【解析】【分析】逐個命題進行判定，對于（1）結合全稱命題的否定方法可以判定；對于（2）要考慮全面直線與平面的位置關系；對于（3）依據復合命題的真假進行推斷；對于（4）利用可以判定.【詳解】對于（1）“，”的否定就是“，”，正確；對于（2）直線可能在平面內，所以不能得出，故不正確；對于（3）若“為真命題”則均為真命題，故是假命題，正確；對于（4）因為時可得，反之不能得出，故“”是“”的必要不充分條件,故不正確.故選D.【點睛】本題主要考查簡易邏輯，涉及學問點較多，要逐一判定，最終得出結論.題目屬于學問拼盤.6.在長方體中，，與平面所成的角為，則該長方體的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先畫出長方體，利用題中條件，得到，依據，求得，可以確定，之后利用長方體的體積公式求出長方體的體積.【詳解】在長方體中，連接，依據線面角的定義可知，因，所以，從而求得，所以該長方體的體積為，故選C.【點睛】該題考查的是長方體的體積的求解問題，在解題的過程中，須要明確長方體的體積公式為長寬高的乘積，而題中的條件只有兩個值，所以利用題中的條件求解另一條邊的長就顯得尤為重要，此時就須要明確線面角的定義，從而得到量之間的關系，從而求得結果.7.某地區經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍．實現翻番．為更好地了解該地區農村的經濟收入變更狀況，統計了該地區新農村建設前后農村的經濟收入構成比例．得到如下餅圖：則下面結論中不正確的是A.新農村建設后，種植收入削減B.新農村建設后，其他收入增加了一倍以上C.新農村建設后，養殖收入增加了一倍D.新農村建設后，養殖收入與第三產業收入的總和超過了經濟收入的一半【答案】A【解析】【分析】首先設出新農村建設前的經濟收入為M，依據題意，得到新農村建設后的經濟收入為2M，之后從圖中各項收入所占的比例，得到其對應的收入是多少，從而可以比較其大小，并且得到其相應的關系，從而得出正確的選項.【詳解】設新農村建設前的收入為M，而新農村建設后的收入為2M，則新農村建設前種植收入為0.6M，而新農村建設后的種植收入為0.74M，所以種植收入增加了，所以A項不正確；新農村建設前其他收入我0.04M，新農村建設后其他收入為0.1M，故增加了一倍以上，所以B項正確；新農村建設前，養殖收入為0.3M，新農村建設后為0.6M，所以增加了一倍，所以C項正確；新農村建設后，養殖收入與第三產業收入的綜合占經濟收入的，所以超過了經濟收入的一半，所以D正確；故選A.點睛：該題考查的是有關新農村建設前后的經濟收入的構成比例的餅形圖，要會從圖中讀出相應的信息即可得結果.8.為美化環境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：將4種顏色的花種任選2種種在一個花壇中，余下2種種在另一個花壇中，有6種種法，其中紅色和紫色的花不在同一個花壇的種數有4種，故所求概率為，選C.【考點】古典概型【名師點睛】作為客觀題形式出現的古典概型試題,一般難度不大,解答中的常見錯誤是在用列舉法計數時出現重復或遺漏,避開此類錯誤發生的有效方法是依據肯定的標準進行列舉.9.將離心率為的雙曲線的實半軸長和虛半軸長同時增加個單位長度，得到離心率為的雙曲線，則（）A.對隨意的，B.當時，；當時，C.對隨意的，D.當時，；當時，【答案】D【解析】依題意，，，因為，由于，，，所以當時，，，，，所以；當時，，，而，所以，所以．所以當時，；當時，．考點：雙曲線的性質，離心率．10.已知正四棱柱中，，則CD與平面所成角的正弦值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】試題分析：設，面積為考點：線面角11.已知橢圓上一點A關于原點的對稱點為點B，F為其右焦點，若，設，且，則該橢圓離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據直角三角形性質得A在圓上，解得A點橫坐標，再依據條件確定A橫坐標滿意條件，解得離心率.【詳解】由題意得，所以A在圓上，與聯立解得，因為，且，所以因此，解得即，即，選A.【點睛】本題考查橢圓離心率，考查基本分析化簡求解實力，屬中檔題.12.如圖，是雙曲線左、右焦點，過的直線與雙曲線交于兩點．若，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設，利用雙曲線的定義求出和的值，再利用勾股定理求，由得到雙曲線的漸近線方程.【詳解】設，由雙曲線的定義得：，解得：，所以，因為，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.【點睛】本題考查雙曲線的定義、漸近線方程，解題時要留意假如題干出現焦半徑，一般會用到雙曲線的定義，考查運算求解實力.第Ⅱ卷非選擇題（共90分）二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.某中學共有人，其中高二年級的人數為.現用分層抽樣的方法在全校抽取人，其中高二年級被抽取的人數為，則__________．【答案】63【解析】14.用數字組成沒有重復數字的五位數，其中奇數的個數為____．【答案】【解析】【分析】用組成無重復數字的五位奇數，可以看作是個空,要求個位是奇數,其它位置無條件限制,因此先從個奇數中任選個填入個位,其它個數在個位置上全排列即可.【詳解】要組成無重復數字的五位奇數，則個位只能排中的一個數，共有3種排法，然后還剩個數，剩余的個數可以在十位到萬位個位置上全排列，共有種排法，由分步乘法計數原理得，由組成的無重復數字的五位數中奇數有個.故答案為：.【點睛】本題主要考查分步計數原理及位置有限制的排列問題，屬于中檔題.元素位置有限制的排列問題有兩種方法：（1）先讓特別元素排在沒限制的位置；（2）先把沒限制的元素排在有限制的位置.15.在棱長為1的正方體中，和分別為和的中點，那么直線與所成角的余弦值______________.【答案】【解析】【分析】如圖，設AB,的中點分別為E,F,連接,證明為直線與所成角或補角，再利用余弦定理求解.【詳解】如圖，設AB,的中點分別為E,F,連接.由題得,則為直線與所成角或補角.因為棱長為1，則，由余弦定理得，所以直線與所成角的余弦值為.故答案為：【點睛】本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象實力、運算實力和推理論證實力，屬于基礎題．16.已知拋物線上一點到焦點和點的距離之和的最小值為，則此拋物線方程為__________．【答案】【解析】【分析】利用拋物線的定義，求出未知數p.【詳解】依據拋物線的定義，到焦點與點的距離之和等于點到準線的距離與到點的距離之和，其最小值為點到準線的距離，即，所以，所以拋物線方程為.【點睛】本題主要考查拋物線的方程和幾何性質，考查數學運算實力,數形結合思想.三、解答題：（本大題共6小題，共70分，其中17題10分，其他各題12分）17.已知命題，使；命題，使.（1）若命題為假命題，求實數的取值范圍；（2）若為真命題，為假命題，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若p為假命題，，可干脆解得a的取值范圍；（2）由題干可知p,q一真一假，分“p真q假”和“p假q真”兩種狀況探討，即可得a的范圍．【詳解】解：（1）由命題P為假命題可得：，即，所以實數的取值范圍是.（2）為真命題，為假命題，則一真一假.若為真命題，則有或，若為真命題，則有.則當真假時，則有當假真時，則有所以實數的取值范圍是.【點睛】本題考查依據命題的真假來求變量的取值范圍，屬于基礎題，推斷為真的語句叫做真命題，推斷為假的語句叫做假命題．18.節能減排以來，蘭州市100戶居民月平均用電量單位：度，以分組的頻率分布直方圖如圖．求直方圖中x的值；求月平均用電量的眾數和中位數；估計用電量落在中的概率是多少？【答案】（1）（2）眾數230，中位數224（3）0.55【解析】【分析】（1）由直方圖的性質可得，解方程可得；（2）由直方圖中眾數為最高矩形上端的中點可得，可得中位數在，內，設中位數為，解方程可得；（3）月平均用電量在中的概率是．詳解】解：（1）依題意，

，解得．（2）由圖可知，最高矩形的數據組為，所以眾數為．的頻率之和為

，依題意，設中位數為，則，解得，故中位數為．（3）由頻率分布直方圖可知，月平均用電量在中的概率是．【點睛】本題考查頻率分布直方圖，涉及眾數和中位數，考查學生的計算實力，屬基礎題．19.在人群流量較大的街道，有一中年人叫賣“送錢”，只見他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黃色、3只白色的乒乓球（其體積、質地完成相同），旁邊立著一塊小黑板寫道：摸球方法：從袋中隨機摸出3個球，若摸得同一顏色的3個球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的3個球，摸球者付給攤主1元錢.（1）摸出的3個球為白球的概率是多少？（2）摸出的3個球為2個黃球1個白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸獎，試從概率的角度估算一下這個攤主一個月（按30天計）能賺多少錢？【答案】（1）0．05；（2）0．45；（3）1200.【解析】【分析】（1）先列舉出全部的事務共有20種結果，摸出的3個球為白球只有一種結果，依據概率公式得到要求的概率，本題應用列舉來解，是一個好方法；（2）先列舉出全部的事務共有20種結果，摸出的3個球為1個黃球2個白球從前面可以看出共有9種結果種結果，依據概率公式得到要求的概率；（3）先列舉出全部的事務共有20種結果，依據摸得同一顏色的3個球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的3個球，摸球者付給攤主1元錢，算一下摸出的球是同一色球的概率，估計出結果.【詳解】把3只黃色乒乓球標記為A、B、C，3只白色的乒乓球標記為1、2、3．從6個球中隨機摸出3個的基本領件為：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20個.(1)事務E={摸出的3個球為白球}，事務E包含的基本領件有1個，即摸出123號3個球，P（E）==0．05.(2)事務F={摸出的3個球為2個黃球1個白球}，事務F包含的基本領件有9個，P（F）==0．45.（3）事務G={摸出的3個球為同一顏色}={摸出的3個球為白球或摸出的3個球為黃球}，P（G）==0．1，假定一天中有100人次摸獎，由摸出的3個球為同一顏色的概率可估計事務G發生有10次，不發生90次．則一天可賺，每月可賺1200元．考點：1．互斥事務的概率加法公式；2．概率的意義20.如今,中國的“雙十一”已經從一個節日變成了全民狂歡的“電商購物日”.某淘寶電商分析近8年“雙十一”期間的宣揚費用(單位:萬元)和利潤(單位:十萬元)之間的關系,得到下列數據:23456891112334568請回答:（Ⅰ）請用相關系數說明與之間是否存在線性相關關系(當時,說明與之間具有線性相關關系);（Ⅱ）依據1的推斷結果,建立與之間的回來方程,并預料當時,對應的利潤為多少(精確到).附參考公式:回來方程中中和最小二乘估計分別為,,相關系數.參考數據:.【答案】（I）詳見解析；（II），萬元.【解析】【分析】（Ⅰ）依據公式得到相應的數據即可；（II）結合第一問可求求解出回來方程，代入24可得到估計值.【詳解】（Ⅰ）由題意得.又,所以,所以與之間具有線性相關關系.（II）（II）因為,所以回來直線方程為,當時,,即利潤約為萬元.【點睛】本題考查回來分析，考查線性回來直線過樣本中心點，在一組具有相關關系的變量的數據間，這樣的直線可以畫出很多條，而其中的一條能最好地反映x與Y之間的關系，這條直線過樣本中心點．線性回來方程適用于具有相關關系的兩個變量，對于具有確定關系的兩個變量是不適用的,線性回來方程得到的預料值是預料變量的估計值，不是精確值.21.如圖，在三棱錐中，，，為的中點．（1）證明：平面；（2）若點在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）依據等腰三角形性質得PO垂直AC，再通過計算，依據勾股定理得PO垂直OB，最終依據線面垂直判定定理得結論；（2）依據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，依據方程組解出平面PAM一個法向量，利用向量數量積求出兩個法向量夾角，依據二面角與法向量夾角相等或互補關系列方程，解得M坐標，再利用向量數量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，最終依據線面角與向量夾角互余得結果．【詳解】（1）因為，為的中點，所以，且．連結．因為，所以為等腰直角三角形，且由知．由知平面．（2）如圖，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系．由已知得取平面的法向量．設，則．設平面的法向量為．由得，可取所以．由已知得．所以．解得(舍去)，．所以．又，所以．所以與平面所成角的正弦值為．【點睛】利用