2024-2025學年廣西南寧二中九年級（上）開學數學試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.實數3的相反數是（）

11

A.3B.-3C.-D.--

2.下列運動項目標志的圖案中，是軸對稱圖形的是（）

3.2024年4月25日，搭載神舟十八號載人飛船的長征二號F遙十八運載火箭在酒泉衛星發射中心點火發

射，進入預定軌道，飛行乘組狀態良好，發射取得成功.據報道，長征二號F遙十八運載火箭的起飛質量大

約是480000kg.將數據480000用科學記數法表示，結果是（）

A.0.48x106B.0.48x105C,4.8x105D.48x104

4.如圖，已知經過原點的拋物線丫=公2+族+（；（￡1力0）的對稱軸是直線久=一1,下列結論中:

@ab>0,（2）a+b+c>0,③當一2<x<0時，y<0.

正確的個數是（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

5.用配方法解方程式2—6?—7=0,下列配方正確的是（）

A.（久一3）2=16B.（x+3）2=16C.（久一2產=7D.（%-3）2=2

6.在學校藝術節文藝匯演中，甲、乙兩個舞蹈隊隊員的身高的方差分別是S第=1.5,S*=2.5,那么身高

更整齊的是（）隊.

A.甲B.乙C.甲和乙D.無法判定

7.下列運算正確的是（）

A.4ab+2。=2abB.(3x2)3=9%6C.a3-a4=a7D.m+避=2

8.如圖所示，在中，乙4=90。，BD平分乙4BC,交AC于點D,且48=4,A

BD=5,則點。到BC的距離是（）B

A.3

B.4

C.5

D.6

9.已知關于久的一元二次方程（?n-1）K2+4*+1=0有實數根，則小的取值范圍為（）

A.m<5B.m<5C.m<5且m41D.m<5且ni豐1

10.已知實數萬1、％2滿足力1+尢2=4,/尤2=—3,則以X1、％2為根的一元二次方程是（）

A.%2—4%—3=0B,x2+4%—3=0C.%2—4%+3=0D,x2+4%+3=0

11.某廠家今年一月份的口罩產量是30萬個,三月份的口罩產量是50萬個，若設該廠家一月份到三月份的

口罩產量的月平均增長率為乂則所列方程為（)

A.30(1+x)2=50B.30(1-x)2=50C.30(1+%2)=50D,30(1-%2)=50

12.已知在平行四邊形4BCD中，AC=6,E是4D上一點，△DCE的周長是平行四邊形4BCD周長的一半,

且EC=4,連接EO,貝怔。的長為（

A.3B.5C.2巡D.々

二、填空題：本題共6小題，每小題2分，共12分。

13.計算：F=.

14.拋物線y=（x+1）2-3的頂點坐標是.

15.如圖是二次函數yi=ax2+bx+c（aW0）和一次函數y2=mx+n（Jn。0）的圖

象，yi與丫2交點的橫坐標分別是一2和1,則當、2＞月時，％的取值范圍是

16.將拋物線y=/—2x-3向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度后，得到拋物線的解析式為

17.如圖有一個三角形點陣，從上向下有無數多行，其中第一行有1個點，第二行有

2個點，…，第九行有n個點，容易發現，10是三角點陣中前4行的點數之和.當三角點

陣中點數之和是300時，則三角點陣點的行數為.

18.如圖，在△48C中，ZB=90°,AB=12mm,BC=24mm,動點P從A

點4開始沿邊48向B以2nmi/s的速度移動（不與點B重合），動點Q從點B開

始沿邊向C以4rmn/s的速度移動（不與點C重合）.如果P、Q分別從4、B

同時出發.設運動的時間為xs,四邊形2PQC的面積為y*,則y關于％的函^3--------'q...................—^（

數解析式為.

三、解答題：本題共8小題，共68分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

19.（本小題6分）

計算：（一A/5）2—|—7|—XA/3+y/164-y/2.

20.（本小題6分）

解方程：x2+4x+2=0.

21.（本小題10分）

小強同學想畫出二次函數y=—2x2—4久的圖象，并根據圖象研究它的性質.

（1）請你幫小強先將該二次函數化成y=a。一h）2+k形式（在下面空白處寫出過程），并完成下表，然后在

平面直角坐標系中畫出它的圖象.

73

X-3-101

~2—2

_2121

y—600—6

（2）根據圖象回答問題：

①該圖象是一條拋物線，也是______圖形，它的對稱軸是;

②該圖象的頂點坐標為,該函數有最_____值（填“大”、“小”）；

為了了解某校初中各年級學生每天的平均睡眠時間(單位：h,精確到1/1),抽樣調查了部分學生，并用得

到的數據繪制了下面兩幅不完整的統計圖.

請你根據圖中提供的信息，回答下列問題：

(1)求出扇形統計圖中百分數a的值為,所抽查的學生人數為.

(2)求出平均睡眠時間為8小時的人數，并補全頻數直方圖.

(3)求出這部分學生的平均睡眠時間的眾數和平均數.

(4)如果該校共有學生1200名，請你估計睡眠不足(少于8小時)的學生數.

如圖，在口43。。中，N48C=60。，BE平分N48C且交4。于點E,DF//8E且交BC于點F.

(1)求證：四邊形BEDF是平行四邊形；

(2)求NFDC的大小.

AED

24.(本小題10分)

元旦期間，某賓館有50個房間供游客居住，當每個房間每天的定價為180元時，房間會全部住滿；當每個

房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑.如果游客居住房間，賓館需對每個房間每天支出20

元的各種費用.

(1)若房價定為200元時，求賓館每天的利潤；

(2)房價定為多少時，賓館每天的利潤最大？最大利潤是多少？

25.(本小題8分)

【問題背景】新能源汽車多數采用電能作為動力來源，不需要燃燒汽油，這樣就減少了二氧化碳等氣體的

排放，從而達到保護環境的目的.

【實驗操作】為了解某品牌新能源汽車電池需要多久能充滿，以及充滿電量狀態下新能源汽車的最大行駛

里程，某綜合實踐小組設計兩組實驗.

實驗一：探究電池充電狀態下新能源汽車儀表盤增加的電量y(%)與時間X分鐘)的關系.

數據記錄如表1：

電池充電狀態

時間t(分鐘)0103060

增加的電量y(%)0103060

實驗二：探究充滿電量狀態下新能源汽車行駛過程中儀表盤顯示電量e(%)與行駛里程s(千米)的關系.

數據記錄如表2：

新能源汽車行駛過程

己行駛里程S(千米)0160200280

顯示電量e(%)100605030

【建立模型】

(1)觀察表1、表2發現都是一次函數模型，請結合表1、表2的數據，求出y關于t的函數解析式及e關于s的

函數解析式；

【解決問題】

(2)該品牌新能源汽車在充滿電量的狀態下出發，前往距離出發點460千米處的目的地，若新能源汽車行駛

240千米后，在途中的服務區充電30分鐘，充電后該新能源汽車是否有足夠的電量行駛到目的地.

26.(本小題8分)

【探究與證明】折紙，操作簡單，富有數學趣味，我們可以通過折紙開展數學探究，探索數學奧秘.

【動手操作】如圖1,將矩形紙片A8CD對折，使力。與BC重合，展平紙片，得到折痕EF：折疊紙片，使點

B落在EF上，并使折痕經過點4得到折痕2M,點B,E的對應點分別為B'E展平紙片，連接AB',BB',BE

’.請完成：

(1)觀察圖1中Nl,N2和N3,試猜想這三個角的大小關系；

(2)證明(1)中的猜想；

【類比操作】如圖2,N為矩形紙片48CD的邊4。上的一點，連接8N,在4B上取一點P,折疊紙片，使B,

P兩點重合，展平紙片，得到折痕EF；折疊紙片，使點8,P分別落在EF,BN上，得到折痕1,點B,P的對

應點分別為B',P',展平紙片，連接BB',P'B',請完成：

(3)證明BB'是NNBC的一條三等分線.

（圖1）（圖2）

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：實數3的相反數是：一3.

故選：B.

直接利用相反數的定義分析得出答案.

此題主要考查了相反數的定義，正確掌握相反數的定義是解題關鍵.

2.【答案】C

【解析】解:A,B,。不是軸對稱圖形，C是軸對稱圖形，

故選：C.

一個平面內，如果一個圖形沿一條直線折疊，若折疊后直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形即為

軸對稱圖形，據此進行判斷即可.

本題考查軸對稱圖形，熟練掌握其定義是解題的關鍵.

3.【答案】C

【解析】解：480000=4,8x105.

故選：C.

科學記數法的表示形式為ax的形式，其中13同<10,幾為整數.確定n的值時，要看把原數變成a

時，小數點移動了多少位，門的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值210時，n是正數；當原

數的絕對值<1時，也是負數.

此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為ax10九的形式，其中幾為整數，

表示時關鍵要正確確定a的值以及幾的值.

4.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查圖象與二次函數系數之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關系，以及二次函數與方

程之間的轉換，根的判別式的熟練運用.

①由拋物線的開口向上，對稱軸在y軸左側，判斷a,b與0的關系，得到ab>0；故①正確；

②由x=l時，得到y=a+6+c>0；故②正確；

③根據對稱軸和拋物線與x軸的一個交點，得到另一個交點，然后根據圖象確定答案即可.

【解答】

解：①，??拋物線的開口向上,

a>0,

???對稱軸在y軸的左側，

6>0,

ab>0；故①正確；

②觀察圖象知，當x=1時丫=a+b+c>0,

二②正確；

③???拋物線的對稱軸為x=—l,與x軸交于（0,0）,

;另一個交點為（-2,0）,

.,?當一2（尤<0時，y<0；故③正確；

故選D

5.【答案】A

【解析】解：原方程移項，

得%2—6%=7,

等式兩邊同時加上一次項系數的絕對值一半的平方32,

%2—6%+32=7+32,

（x—3）2-16；

故選：A.

配方法的一般步驟：（1）把常數項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數化為1；（3）等式兩邊同時加上一次

項系數的絕對值一半的平方.

本題考查了配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的步驟是關鍵.

6.【答案】A

【解析】解：由于S言<S2,則甲隊中身高更整齊.

???兩隊中身高更整齊的是甲隊.

故選：A.

方差是用來衡量一組數據波動大小的量，故由甲乙的方差可作出判斷.

本題考查方差的意義.方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越

大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越

小，即波動越小，數據越穩定.

7.【答案】C

【解析】解：4、原式=26,錯誤；

B、原式=27心，錯誤；

C、原式=a7,正確；

D、原式=-\/2,錯誤，

故選C

/、原式利用單項式除以單項式法則計算得到結果，即可做出判斷；

8、原式利用塞的乘方與積的乘方運算法則計算得到結果，即可做出判斷；

C、原式利用同底數累的乘法法則計算得到結果，即可做出判斷；

。、原式利用二次根式的除法法則計算得到結果，即可做出判斷.

此題考查了整式的除法，同底數幕的乘法，幕的乘方與積的乘方，以及二次根式的乘除法，熟練掌握運算

法則是解本題的關鍵.

8.【答案】A

A

【解析】解：過。點作于E.

ZX=90°,715=4,BD=5,---

AD=yjBD2—AB2=y/52,-42=3,

???BD平分NA8C,44=90。，

.?.點。到BC的距離=4。03.

故選：A.

先根據勾股定理求出4D的長度，再根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質解答.

本題利用勾股定理和角平分線的性質.

9.【答案】D

【解析】解：；關于x的一元二次方程(zn-l)x2+4x+1=。有實數根，

m—1#：0,21=42—4(m—1)>0,

解得：根三5且??1去1.

故選：D.

根據方程有實數根，得到根的判別式大于等于0,確定出租的范圍即可.

此題考查了根的判別式，以及一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系與方程解的情

況之間的關系是解本題的關鍵.

10.【答案】A

【解析】解：???+%2=4,%1%2=-3,

???以％1，%2為根的一元二次方程可為%2-4x-3=0.

故選:A.

直接利用根與系數的關系求解.

本題考查了根與系數的關系：若%1，%2是一元二次方程。=2+/?%+。=0(。。0)的兩根時，％1+%2=—：，

c

%1%2=

11.【答案】A

【解析】解：設該廠家一月份到三月份的口罩產量的月平均增長率為X,

由題意得，30(1+X)2=50.

故選：A.

若設該廠家一月份到三月份的口罩產量的月平均增長率為刈某廠家今年一月份的口罩產量是30萬個，則

二月份的口罩產量是30(1+幻萬個，三月份的口罩產量是30(1+x)2萬個，根據三月份的口罩產量是50萬

個，列出方程即可.

此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，正確表示出各月的產量是解題關鍵.

12.【答案】D

【解析】解：，;四邊形ABCD是平行四邊形，

AC,BD互相平分，

二。是AC的中點.

OA=OC-174c——3,

???△DCE的周長是平行四邊形4BCD周長的一半，

???△DCE的周長=CD+CE+DE=CD+AD,

CE+DE—AD,

AE+DE=AD,

AE=CE,

OE是線段AC的中垂線，

OE1BD,

■.■AE=EC=4,04=3,

EO=^AE2-OA2=716^9=

故選：D.

根據平行四邊形的性質和△DCE的周長是平行四邊形力BCD周長的一半，可證明。E是線段2C的中垂線，根

據勾股定理即可求出E。的長.

此題主要考查了平行四邊形的性質，中垂線的判定及性質，解決本題的關鍵是掌握平行四邊形的性質.

13.【答案】3

【解析】解：書=3.

故答案為：3.

根據算術平方根的定義計算即可.

本題主要考查了算術平方根，掌握算術平方根的求法是解答本題的關鍵.

14.【答案】(—1,—3)

【解析】解：拋物線y=0+1)2—3的頂點坐標是(一1,—3).

故答案為(-1,-3).

根據二次函數的頂點式，易得二次函數y=(%+1)2-3圖象的頂點坐標.

本題考查了二次函數的性質：二次函數的圖象為拋物線，若頂點坐標為(k,%),則其解析式為y=aQ—k)2

+/l.

15.【答案］一2<%<1

【解析】解：>yi，

一次函數的圖象在拋物線的上方，

由圖象可知，當一2<久<1時，直線在拋物線的上方，

當一2<x<1時，力〉yi,

故答案為：—2<x<l.

根據圖象找出一次函數圖象在拋物線圖象上方的部分對應的光的范圍即可得出答案.

本題主要考查二次函數與不等式的關系，關鍵是要能根據圖象的位置得出函數值的大小關系.

16.【答案】y=*2—6X+8.

【解析】解：物線y=X2—2x—3=(x—1)2—4,

???將拋物線y=%2—2x-3向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度后，得到拋物線的解析式為y

=(%—1—2/一4+3,即y=x2—6x+8.

故答案為：y^x2-6x+8.

先將拋物線解析式化為頂點式，再根據平移法則“左加右減、上加下減”，即可得出答案.

本題考查了二次函數的圖象與幾何變換，熟知函數圖象平移的法則是解題的關鍵.

17.【答案】24

【解析】解：設三角點陣中前幾行的點數的和為300,則有/(n+1)=300,

整理這個方程，得：n2+n-600=0,

解方程得：的=24,n2=-25,

根據問題中未知數的意義確定幾=24,即三角點陣中前24行的點數的和是300.

故答案為:24.

由于第一行有1個點，第二行有2個點…第n行有n個點…，則前幾行共有(1+2+3+4+5+...+n)個點，

然后求它們的和，前ri行共有跡尹2個點，則磅畀=300,然后解方程得到九的值；

此題主要考查了一元二次方程的應用以及規律型：圖形的變化，本題是一道找規律的題目，這類題型在中

考中經常出現.對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的.

18.【答案】y=4(t-3)2+108(0<t<6)

【解析】解：設P、Q同時出發后經過的時間為ts,四邊形力PQC的面積為丫小小2,

貝”有：丫=S4ABe—SAPBQ

方x12X24Tx4tx(12-2t)=4(一3)2+108?

y=4(t-3)2+108(0<t<6).

故答案為：y=4(t-3)2+108(0<t<6).

根據等量關系“四邊形4PQC的面積=三角形4BC的面積一三角形PBQ的面積”列出函數關系即可.

本題考查了函數關系式，搞清楚四邊形4PQC的面積=三角形2BC的面積一三角形PBQ的面積是關鍵.

19.【答案】解：(一—I—7|—x+1164-yf2.

=5—7—^/36+y/8

=5-7-6+272

=-8+2也

【解析】先算乘方，再算乘除，后算加減，即可解答.

本題考查了二次根式的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

20.【答案】解：x2+4x+2=。

222

x+4x=—2%+4%+4=—2+4(%+2)=2"二彳="萬，x2=—2—也

【解析】配方法的一般步驟：

(1)把常數項移到等號的右邊；

(2)把二次項的系數化為1；

(3)等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方.

此題可以采用配方法，解題時注意配方法的解題步驟.選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二

次項的系數為1,一次項的系數是2的倍數.

21.【答案】—22軸對稱直線x=—1(-1,2)大>—1

【解析】解：(l)y=—2——軌=—2(x+1)2+2；

73

X-3-2-101

~22

2121

y—6020—6

畫出函數的圖象如圖:

(2)由圖象可知：

①該圖象是一條拋物線，也是軸對稱圖形，它的對稱軸是直線x=-1；

②該圖象的頂點坐標為(一1,2),該函數有最大值；

③當龍〉一1時，y隨x的增大而減小.

故答案為：軸對稱，直線x=—1；(―1,2),大；%>-1.

(1)利用配方法先提出二次項系數，再加上一次項系數的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉化為頂

點式；列表、描點，連線即可確定函數的圖象；

(2)觀察圖象即可得到.

本題考查了二次函數的三種表現形式，二次函數的圖象及二次函數的性質，二次函數的最值，作二次函數

的圖象時，關鍵是抓住幾個關鍵點.

22.【答案】(1)45%；60；

(2)平均睡眠時間為8小時的人數為：60x30%=18(A);

平均睡眠時間為7小時的人數為：60x45%=27(人)

補全頻數直方圖如圖:

0’a鬲7爾時‘8小時’9H島間

(3)這部分學生的平均睡眠時間的眾數是7,

平均數=12x6+27x7+8x18+9x3_7,2(小時)；

60

(4)1200名睡眠不足(少于8小時)的學生數=片紅乂1200=780(人).

oU

【解析】解：(l)Gt=1-20%-30%-5%=45%；

所抽查的學生人數為：3+5%=60(人)；

故答案為：45%；60；

(2)見答案;

(3)見答案;

(4)見答案；

(1)根據扇形統計圖中的數據，可以得到a的值，然后根據平均睡眠時間為9小時的人數和所占的百分比，

可以求得本次調查的人數；

(2)根據統計圖中的數據和(1)中的結果，可以求得平均睡眠時間為8小時的人數和7小時的人數，然后即可

將直方圖補充完整；

(3)根據直方圖中的數據，可以得到這部分學生的平均睡眠時間的眾數和平均數；

(4)根據直方圖中的數據，可以計算出睡眠不足(少于8小時)的學生數.

此題考查了頻數(率)分布直方圖，扇形統計圖，以及用樣本估計總體，弄清題意是解本題的關鍵.

23.【答案】(1)證明：???四邊形A8CD是平行四邊形，

AD//BC,

：.ED//BF,

???DF//BE,

四邊形BEDF是平行四邊形;

（2）解：--AABC=60°,BE平分N4BC,

1

：.^EBF=^AABC=30°,

???四邊形BEDF是平行四邊形，

Z￡DF=Z￡FF=3O°,

???四邊形4BCD是平行四邊形，

.■■^ADC=^ABC=60°,

???ZFDC=60°-30°=30°.

【解析】（1）根據平行四邊形的性質得出4D〃BC,根據平行四邊形的判定得出即可；

（2）求出NEBF=30。，根據平行四邊形的性質得出N4DC=N4BC=60。，乙EDF=LEBF=30°,即可得出

答案.

本題考查了平行四邊形的性質和判定的應用，能熟練地運用定理進行推理是解此題的關鍵，注意：平行四

邊形的對邊互相平行，平行四邊形的對角分別相等.

24.【答案】解：（1）若房價定為200元時，賓館每天的利潤為：（200-20）X（50-2）=8640（元），

答：賓館每天的利潤為8640；

（2）設總利潤為y元，貝如=（5。一上譚）（x—20）

1,

=—~—x+70x+1360

10

1故房價定為350時，賓館每天的利潤最大，最大利潤是10890元.

=-—（%-350）2+10890

【解析】（1）根據每天游客居住的房間數量等于50-減少的房間數即可解決問題；

（2）構建二次函數，利用二次函數的性質解決問題.

本題考查了二次函數的應用、解題的關鍵是構建二次函數解決實際問題中的最值問題，屬于中考?？碱}

型.

25.【答案】解：（1）由表格中的數據可知，y關于t的函數解析式為丫=1；

設e關于s的函數解析式為6=七s+b（/Q、b為常數，且七4

將