第07講函數與方程

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1:函數的零點與方程的解................................................................4

知識點2:二分法...............................................................................4

解題方法總結...................................................................................5

題型一：求函數的零點或零點所在區間............................................................5

題型二：利用函數的零點確定參數的取值范圍......................................................6

題型三：方程根的個數與函數零點的存在性問題....................................................7

題型四：嵌套函數的零點問題....................................................................7

題型五：函數的對稱問題........................................................................9

題型六：函數的零點問題之分段分析法模型.......................................................10

題型七：唯一零點求值問《.....................................................................10

題型八：分段函數的零點問題...................................................................11

題型九：零點嵌套問題.........................................................................12

題型十：等高線問題............................................................................13

題型十一：二分法..............................................................................14

04真題練習?命題洞見...........................................................15

05課本典例?高考素材...........................................................16

06易錯分析?答題模板...........................................................17

易錯點：不理解函數圖象與方程根的聯系.........................................................17

答題模板：數形結合法解決零點問題.............................................................17

考情透視.目標導航

考點要求考題統計考情分析

從近幾年高考命題來看，高考對函數與方程

2023年天津卷第15題，5分也經常以不同的方式進行考查，比如：函數零點

(1)零點存在性定理2022年天津卷第15題，5分的個數問題、位置問題、近似解問題，以選擇

(2)二分法2021年天津卷第9題，5分題、填空題、解答題等形式出現在試卷中的不同

2021年北京卷第15題，5分位置，且考查得較為靈活、深刻，值得廣大師生

關注.

復習目標:

(1)理解函數的零點與方程的解的聯系.

(2)理解函數零點存在定理，并能簡單應用.

(3)了解用二分法求方程的近似解.

，-T函數零點的概念一)(對于函數片/(.v),我們把使/(.\)=0的實數.V叫做函數尸/(.v)的庫點.)

函數的零點與方程的解):方程的根與函數零點的關系)~~(方程/(.v)=0仃實數根Q函數i'=/(.v)的圖像與a?軸有公共點o函數尸/代)有零點.

如果函數J=/(X)在區間［見加上的圖像是連續不斷的條曲線,

T〔零點存在性定理并且在/"(辦/如。,那么函數j，=/(x)在區間(處。)內布r零點，

即存在cG(a,b),使得/(c)=O,c也就是方程/(2=0的根.

函數與方程

對于區間上連續不斷且/(。>/(6)<0的函數/(x),

通過不斷地把函數/住)的零點所在的區間一分為二，

使僅間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點的近似值的方法叫做.分法.

確定區間口⑶，驗證/⑷給定精度￡.)

二分法

T［求區間(a,B)的中點Xr)

/計算/g).若/(M)=0,則M就是函數/(<)的零點;一

O［一.分法求函數/(X)零點近似值的步驟

—：若/(。)?/口1)<0,則令b=s(此時零戊匕€(%?)).

若/SA/(xJ<。，則令"W(此時零點W/))

判斷是否達到精確度“即若|叱。|<￡，則函數零點的近似值為。(或b);

否則用復第(2)~(4)步.

老占突曲?題理探密

,知識苴》

知識點1:函數的零點與方程的解

1、函數零點的概念

對于函數〉=f(x),我們把使〃尤)=0的實數X叫做函數>=的零點.

2、方程的根與函數零點的關系

方程〃尤)=0有實數根。函數y=〃x)的圖像與x軸有公共點O函數y=〃尤)有零點.

3、零點存在性定理

如果函數y=〃x)在區間［?；厣系膱D像是連續不斷的一條曲線，并且有“a)"伍)<0,那么函數

y=/(x)在區間(〃,/?)內有零點，即存在c￡(”,/?),使得〃c)=0,c也就是方程/(九)=0的根.

【診斷自測】已知函數了(幻是定義在R上的偶函數且滿足了(2-幻=/(%),當x?0,2］時，

/(x)=-x2+2x-l,則函數g(x)=f(x)Tog】(國T)的零點個數為.

3

知識點2：二分法

1、二分法的概念

對于區間［凡句上連續不斷且㈤<0的函數/(%),通過不斷地把函數的零點

所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求

方程/(x)=0的近似解就是求函數/(X)零點的近似值.

2、用二分法求函數零點近似值的步驟

(1)確定區間［。,可，驗證/(a)"伍)<0,給定精度￡.

(2)求區間(。,6)的中點%.

(3)計算"xj.若〃再)=0,則占就是函數的零點；若〃。〃再)<0,貝。令。=石(此時零點

與€(”,看)).若/'(4<0,則令4=百(此時零點/e(%,6))

（4）判斷是否達到精確度￡,即若心-耳＜￡,則函數零點的近似值為。（或6）；否則重復第（2）~

（4）步.

用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.

【診斷自測】用二分法研究函數/（x）=v+8/-1的零點時，第一次經過計算得了（0）＜0,/（0.5）＞0,則

其中一個零點所在區間和第二次應計算的函數值分別為（）

A.（0,0.5）,/（0.125）B.（0,0.5）,f（0.375）

C.（0.5,1）,/（0.75）D.（0,0.5）,/（0.25）

解題方法總結

函數的零點相關技巧：

①若連續不斷的函數/（x）在定義域上是單調函數，則至多有一個零點.

②連續不斷的函數/（尤），其相鄰的兩個零點之間的所有函數值同號.

③連續不斷的函數/（元）通過零點時，函數值不一定變號.

④連續不斷的函數/（尤）在閉區間［a,切上有零點，不一定能推出f（a）f（b）＜0.

題型一：求函數的零點或零點所在區間

/、＜0,/、

【典例1-1】已知函數、八則函數“X）的零點個數為（）

A.1B.2C.3D.4

【典例1-2】函數〃x）=ln（2x）的一個零點所在的區間是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【方法技巧】

求函數/'（X）零點的方法：

（1）代數法，即求方程/"（x）=0的實根，適合于宜因式分解的多項式；（2）幾何法，即利用函數

y=/（x）的圖像和性質找出零點，適合于宜作圖的基本初等函數.

【變式1-1］定義在（0,+動上的單調函數“X）滿足：VxG（0,+a3）,/［/（x）-log2x＞3,則方程

y（x）-上=2的解所在區間是（

X

C.(1,2)D.(2,3)

【變式1-2］己知函數〃x)=2*+x-2,g(x)=log2x+x-2,故無)=d+x-2的零點分別為a,b,c,

貝！Ja+b+c=

【變式1-3]（2024?高三?山西太原?期中）已知%是函數/（xH/e'+lnx的零點，則

e”-Inx0=___.

【變式1-4]（2024?四川成都?模擬預測）已知函數〃x）=cos3x-3cos2x-3cosx+l,xe[0,2兀],

則函數的零點是—.

【變式1-5]設%是函數〃x）=log2X-27的一個零點，若0＜玉＜%＜當且/&）/伍）/（W）＜0,則

下列結論一定錯誤的是（）

A.x06(0,^)B.Xge(x1,x2)

C.x0e(O,jq)D.x0e(x3,+oo)

題型二：利用函數的零點確定參數的取值范圍

【典例2-1]（2024?高三?浙江紹興?期末）已知命題P：函數/（x）=2/+x-a在（1,2]內有零點,

則命題〃成立的一個必要不充分條件是（）

A.3<a<18B.3<4Z<18C.a<18D.a>3

【典例2-2]（2024?四川巴中?一模）若函數/（x）=26?+3x-1在區間（-1,1）內恰有一個零點，則實

數。的取值集合為（）

A.{a|-l<a<2}

C.{a\-1<a<2}

【方法技巧】

本類問題應細致觀察、分析圖像，利用函數的零點及其他相關性質，建立參數的等量關系，列關于參

數的不等式，解不等式，從而解決.

【變式2-1]（2024?山西陽泉?三模）函數〃"=廄2彳+尤2+用在區間（1,2）存在零點.則實數堂的

取值范圍是（）

A.—5）B.（―5,—1）C.（1,5）D.（5,+co）

【變式2-2】設函數/。）=/+”。-1）+》在區間工3]上存在零點，則/+〃的最小值為（）

AB.eD.2

-fc7e

【變式2-3］若方程+左=0在區間［0,2］上有解，其中一4+404。<4,則實數左的取值范圍

為___.（結果用。表示）

題型三：方程根的個數與函數零點的存在性問題

【典例3-1］（2024?全國?模擬預測）己知函數〃尤）=（/一6+a）in（x+l）,aeR的圖像經過四個象

限，則實數。的取值范圍是—.

【典例3-2】設函數〃x）是定義在R上的奇函數，對任意xeR,都有〃1+力=〃1-力，且當

%40,1］時，/（x）=2v-l,若函數g（x）=〃x）-log.x（其中a>l）恰有3個不同的零點，則實數a的取

值范圍為_.

【方法技巧】

方程的根或函數零點的存在性問題，可以依據區間端點處函數值的正負來確定，但是要確定函數零點

的個數還需要進一步研究函數在這個區間的單調性，若在給定區間上是單調的，則至多有一個零點；如果

不是單調的，可繼續分出小的區間，再類似做出判斷.

【變式3-1］（2024?河南?二模）已知函數”X）是偶函數，對任意xeR,均有〃x）=/（x+2）,當

xe［0,l］時,/（x）=l-x,則函數g（x）=/（x）-Iog5（x+1）的零點有個.

【變式3-2］己知函數〃元）=（尤2-6尤+時（尸的四個零點是以。為首項的等差數列，則

m+n—__.

【變式3-3］（2024?全國?模擬預測）若函數/（x）=Y-◎6工+2恁21有三個不同的零點，則實數a

的取值范圍是—.

【變式3-4］（2024?陜西商洛?模擬預測）已知關于x的方程x=/￡（a>0且awl）有兩個不等實根，

則實數。的取值范圍是（）

題型四：嵌套函數的零點問題

3。2,尤42

【典例4-1】設函數/（x）=7c，若方程產⑴-叭X）-。+3=0有6個不同的實數解，則實

-----,%>2

、工一1

數a的取值范圍為（）

A.（|，BB/［JC.］別D.（3,4）

【典例4-2］（2024?高三?河南?期末）已知函數/（尤）=見出，若方程

X

"（%）］2一（3m+2）/（x）+2機+1=0有三個不同的實數解，則實數加的取值范圍是（）

A.--,+ooB.-oo,--u{l}

C.「鞏-5」D.「雙皇

【方法技巧】

1、涉及幾個根的取值范圍問題，需要構造新的函數來確定取值范圍.

2、二次函數作為外函數可以通過參變分離減少運算，但是前提就是函數的基本功一定要扎實、過關.

【變式4-1］（2024?內蒙古呼和浩特?二模）已知函數/（為=』，若關于x的方程

e

/'（X）-1+m=0恰有3個不同的實數解，則實數機的取值范圍是（）

A.［T，+川C.S,2）U（2,+8）D.（l,e2）

【變式4口已知函數小戶卜一"。［‘若方程"⑺?2叭出4=。有5個不同的實數解，則

實數。的取值范圍為（）

【變式4-3］（2024?高三?上海?期中）已知函數/（x）=sinx,-mVxM］,g（x）=cosx,-^<x<^,下

列四個結論中，無強的結論有（）

①方程f［g（x）］=。有2個不同的實數解；

②方程g［f（x）］=。有2個不同的實數解；

③方程f（同］=0有且只有1個實數解；

④當時，方程g［g（初|=機有2個不同的實數解.

A.0個B.1個C.2個D.3個

題型五：函數的對稱問題

【典例5-1】已知函數〃x)=若y=/(x)的圖象上存在兩個點A8關于原點對稱，則

實數。的取值范圍是()

A.B.(1,+<?)C.[-1,+?)D.(-1,+co)

【典例5-2】(2024?云南昭通?模擬預測)己知函數/⑺=lnx+sinx,g(x)=ax2+sinx,若函數

圖象上存在點M且g(x)圖象上存在點N,使得點M和點N關于坐標原點對稱，則。的取值范圍是()

「1)(1]

L2e)I2e_

C.卜：,+少DJf；

【方法技巧】

轉化為零點問題

【變式5-1](2024?四川內江?一模)已知函數〃力="，^<x<e2^,8")=/三+1，若了⑺

與g(x)的圖象上分別存在點M、N,使得M、N關于直線y=x+l對稱，則實數上的取值范圍是()

1~\「4[「2]「3一

A.——,eB.一一fZC.——2D.——,3e

eJ\_eJ\_eJl_e_

【變式5-2](2024?四川?三模)定義在R上的函數y=/(x)與y=g(x)的圖象關于直線x=l對稱，

且函數y=g(2x-l)+l為奇函數，則函數y=/(x)圖象的對稱中心是()

A.(-1,-1)B.(—1,1)C.(3,1)D.(3,—1)

【變式5-3](2024?河北邯鄲?二模)若直角坐標平面內A,2兩點滿足條件：

①點都在〃工)的圖像上；

②點關于原點對稱，則對稱點對(AB)是函數的一個“兄弟點對”(點對(A,B)與(6A)可看作一個

“兄弟點對“).

已知函數〃力=].;〉1,,則"無)的"兄弟點對'的個數為()

A.2B.3C.4D.5

題型六：函數的零點問題之分段分析法模型

【典例6-1]（2024?黑龍江?高三大慶市東風中學?？计谥校┰O函數/（x）=——2ex——+。（其中e

為自然對數的底數），若函數人幻至少存在一個零點，則實數。的取值范圍是

,1,1

A.（0,e2——]B.（0,e2+~]

ee

C.[/—,+8）D.（-8,e2H—]

ee

【典例6?2】（2024?福建廈門-廈門外國語學校?？家荒＃┤糁辽俅嬖谝粋€工，使得方程

二工（/一？^%）成立.則實數冽的取值范圍為（）

1111

A.m>e2+—B.m<e2+—C.m>e+—D.m<e+—

eeee

【方法技巧】

分類討論數學思想方法

【變式6-1】設函數/（%）=￡-2X-5+4（其中e為自然對數的底數），若函數/（%）至少存在一個零

點，則實數〃的取值范圍是（）

A.（0,1+-]B.（0,e+-]C.[e+L+co）D.（-oo,l+-]

eeee

InJC

【變式6-2】已知函數/（九）=--x2+2ex-a（其中e為自然對數的底數）至少存在一個零點,

x

則實數。的取值范圍是（）

A.卜（?,/+2）

C./一■,+<?]

題型七：唯一零點求值問題

【典例7-1】（2024?安徽蕪湖?二模）在數列｛%｝中，￡為其前〃項和，首項4=1,且函數

=d一%sinx+（2%+l）x+l的導函數有唯一零點，則凝=（）

A.26B.63C.57D.25

【典例7-2]（2024?貴州畢節?模擬預測）若函數〃x）=/-4x+a（e2i+e*）有唯一零點，則實

數。=（）

A.2B.yC.4D.1

【方法技巧】

利用函數零點的情況求參數的值或取值范圍的方法：

(1)利用零點存在性定理構建不等式求解.

(2)分離參數后轉化為函數的值域(最值)問題求解.

(3)轉化為兩個熟悉的函數圖像的上、下關系問題，從而構建不等式求解.

【變式7-1]在數列{%}中，4=1,且函數/(司=^+4田sinx—(2a“+3)x+3的導函數有唯一零點，

則的值為().

A.1021B.1022C.1023D.1024

【變式7-2](2024?遼寧沈陽?模擬預測)已知函數g(x)/(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數,

且g(x)+/z(x)=/+x,若函數〃x)=2卜一"+公(尸1)-6萬有唯一零點，則正實數％的值為()

A.—B.—C.2D.3

23

【變式7-3](2024?江西?二模)已知函數g(x),/z(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且

22

g(尤)+〃(x)=2023"+log2023(x+Vl+x),若函數/(x)=2023+號叫-2g(%-2023)-22有唯一零點，貝l|實數

%的值為()

A.-1或;B.-1或-另C.-1D.y

題型八：分段函數的零點問題

2x_1%>o

2二八，若實數根e(O,l],則函數g(x)=〃x)-，w的零點個數為

{-x-2x,x<0

()

A.0或1B.1或2C.1或3D.2或3

?fx—c,x>0,

【典例8?2】(2024?北京西城?一模)設CER,函數=。若/⑺恰有一個零點，則

[2X-2c,x<0.

c的取值范圍是()

A.(0,1)B.{0}U[l,+oo)

C.(0.1)D.{0}U[g,+8)

【方法技巧】

已知函數零點個數(方程根的個數)求參數值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；

(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；

(3)數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的

圖象，利用數形結合的方法求解.

【變式8-1】己知函數若函數g(x)=〃x)-。有3個零點，則。的取值范圍是

Inx,x>0

()

A.(0,1)B.(0,2]C.(2,+oo)D.(l,+<?)

“、[2X+a,x<2

【變式8-2](2024?圖三?北京通州?期末)已知函數/(%)={

[a-x,x>2.

⑴若a=-亞,則/'(x)的零點是—.

(2)若/'(X)無零點，則實數。的取值范圍是—.

【變式8-3](2024?山西?模擬預測)己知函數〃尤)="J?：.，無：1，若函數y=/Q)_2有三個零

[lnx+l,x>l,

點，則實數。的取值范圍是()

A.(-8,2)B.(-3,4)C.(-3,6)D.(-3,+8)

Y^Y_§%<0

■■'-c,令〃(x)=/(x)-左，則下列說法正確的()

{—2+Inx,x>0

A.函數的單調遞增區間為(0,+8)

B.當左?<-3)時，力㈤有3個零點

C.當左=-2時，入⑺的所有零點之和為-1

D.當％e(ro,T)時，〃(x)有1個零點

題型九：零點嵌套問題

【典例9-1]設定義在R上的函數/(x)滿足/(x)=9x2+(G-3)xex+3(3-a)e2x有三個不同的零點

A.81B.-81C.9D.-9

【典例%2]若關于x的方程(彳+1)一+」(:T)，=6恰有三個不同的實數解看,巧，鼻，且

XX+1

(1)

玉<0<尤2<W，其中加eR,貝!]占+—(尤2+X3)的值為()

A.-6B.-4C.-3D.-2

【方法技巧】

解決函數零點問題，常常利用數形結合、等價轉化等數學思想.

【變式9-1］已知函數/（x）=2（a+2）e出一（々+1）猶"+%2有三個不同的零點芯,兀2，工3，且再＜。＜%2＜工3,

則［2一一小2一小的值為（

）

A.3B.6C.9D.36

【變式9-2】已知函數/（尤）=（“+3/2’」（〃+1）%/+北2有三個不同的零點七,々，％3，且玉＜%2＜兄3，則

三￥1-二）的值為（）

1〃八*A*）

A.3B.4C.9D.16

【變式9?3］（2024?四川成者B?一模）已知函數/（%）=（111￥）2-￡入1111：+0%2有三個零點為、巧、￡且

2e

21nxilnx7lnx3

為＜%＜%3，貝丁++的取值范圍是（）

x{x2x3

A-Je'b-d-（一川

題型十：等高線問題

|log2x|,x＞0

【典例10-1］已知函數/'（X）=＜式.5八，若方程〃力=。恰有四個不同的實

，3Sin7LX—COS7LX,——＜%＜0

13

數解，分別記為n，巧，X3＞匕，則%+々+X3+%4的取值范圍是（）

119＞「219）「517）8兀178兀1

A.B.

oIZy|_512）L24JL343J

【典例10-2】已知函數/（何=（廄若關于X的方程〃x）=f有四個不同的實數解》

L,

g+Zxj+gz的最小值為（）

巧，X3,X4,且X［＜尤2＜尤3＜%,則（6+占）（退一：

7Q

A.-B.8C.-D.1

22

【方法技巧】

數形結合數學思想方法

【變式10-1】己知函數/（x）=若“3有四個不同的解iE且

xl<x2<x3<x4,則X1+X2+X3+X4的取值范圍是___.

x2+2x+1,x<0/、

【變式（陜西咸陽?模擬預測）已知函數）

10-2]2024?"X=111Hx>。，若方程有四

個根須,工2，兀3,兀4，且演＜工2＜兀3＜工4，則下列說法錯誤的是（）

A.x1+x2=—2B.x3+x4>2

C.^x2>4D.0<?<1

【變式10-3](2024?陜西商洛?一模)已知函數〃x)=MgM，xe(-L0)i1(0,4],若關于x的方程

/、1611

〃%)=〃有3個實數解玉,％2，退，且演<%<%則-------------的最小值是()

')x3x1x3x1x2

A.8B.11C.13D.16

「sinTLXI0Wx?2

【變式10-4](2024?陜西渭南?一模)已知"x)=l=一一，若存在實數%(i=l,2,3,4,5),

[e",x<0

5

當無,<無用(力=1,2,3,4)時，滿足<(%)=/(/)=/(%)=/&)=/優),則的取值范圍為()

i=l

A-[T]B-

C.(-8,4]D.-[,4)

題型十一：二分法

【典例11-1]（2024?遼寧大連?一模）牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法.對于非線性可

導函數〃尤）在寺附近一點的函數值可用“X卜〃％）+/'（/乂彳-%）代替，該函數零點更逼近方程的解，

以此法連續迭代，可快速求得合適精度的方程近似解.利用這個方法，解方程尤3一3》+1=0,選取初始值

在下面四個選項中最佳近似解為（）

A.0.333B.0.335C.0.345D.0.347

【典例11-2]（2024?廣東梅州?二模）用二分法求方程log,》-1=。近似解時，所取的第一個區間

2x

可以是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【方法技巧】

所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.

求方程〃x）=0的近似解就是求函數零點的近似值.

【變式11-1】以下每個圖象表示的函數都有零點，但不能用二分法求函數零點的是（