考點(diǎn)五一元二次方程應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)整合一、利用一元二次方程解決實(shí)際問題列一元二次方程解應(yīng)用題步驟和列一元一次方程(組)解應(yīng)用題步驟一樣，即審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答六步．列一元二次方程解應(yīng)用題，經(jīng)濟(jì)類和面積類問題是常考內(nèi)容．1．增長(zhǎng)率等量關(guān)系（1）增長(zhǎng)率=增長(zhǎng)量÷基礎(chǔ)量．（2）設(shè)為原來量，為平均增長(zhǎng)率，為增長(zhǎng)次數(shù)，為增長(zhǎng)后的量，則；當(dāng)為平均下降率時(shí)，則有．2．利潤(rùn)等量關(guān)系（1）利潤(rùn)=售價(jià)－成本．（2）利潤(rùn)率=×100％．3．面積問題（1）類型1：如圖1所示的矩形長(zhǎng)為，寬為，空白“回形”道路的寬為，則陰影部分的面積為．（2）類型2：如圖2所示的矩形長(zhǎng)為，寬為，陰影道路的寬為，則空白部分的面積為．（3）類型3：如圖3所示的矩形長(zhǎng)為，寬為，陰影道路的寬為，則4塊空白部分的面積之和可轉(zhuǎn)化為．列一元二次方程解實(shí)際問題的關(guān)鍵是找出題中的等量關(guān)系，利用等量關(guān)系列出方程．其中分析實(shí)際問題是解決問題的前提和基礎(chǔ)，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合實(shí)際問題．典例引領(lǐng)1．某校“生物研學(xué)”活動(dòng)小組在一次野外研學(xué)實(shí)踐時(shí)，發(fā)現(xiàn)某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支．若主干、支干和小分支的總數(shù)是73，求這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是多少？2．某教育局組織教職工男子籃球比賽．(1)本次比賽采用單循環(huán)賽制（參賽的每?jī)芍ш?duì)之間要比賽一場(chǎng)），共安排了28場(chǎng)比賽，問：有多少支隊(duì)參加比賽?(2)在比賽場(chǎng)地邊，東南西北四個(gè)角落分別劃分一個(gè)大小一樣的正方形觀眾席，已知觀眾席的總面積是400平方米，求每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)．3．某市按照《關(guān)于切實(shí)做好2024年初中畢業(yè)升學(xué)體育考試工作的通知》的要求，跳繩項(xiàng)目為必選項(xiàng)目．某體育用品店銷售一種跳繩，4月份銷售150條，6月份銷售216條，若從4月份到6月份銷售量的月增長(zhǎng)率相同．(1)求該跳繩銷售量的月增長(zhǎng)率；(2)若此種跳繩的進(jìn)價(jià)為30元／條．經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研，當(dāng)售價(jià)為40元／條時(shí)，月銷售量為600條，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲1元，則月銷售量將減少10條，為使月銷售利潤(rùn)達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，求該跳繩的實(shí)際售價(jià)．4．如圖，有長(zhǎng)為的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為），圍成中間隔有一道籬笆（平行于）的矩形花圃．設(shè)花圃的一邊為，面積為．

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果要圍成面積為的花圃，的長(zhǎng)是多少？(3)當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值？并求出最大值．5．如圖，老李想用長(zhǎng)為的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長(zhǎng)）圍成一個(gè)矩形羊圈，并在邊上留一個(gè)寬的門（建在EF處，另用其他材料）．(1)當(dāng)羊圈的長(zhǎng)和寬分別為多少米時(shí)，能圍成一個(gè)面積為的羊圈？(2)按照這樣的圍法，羊圈能達(dá)到的最大面積是多少？6．某文具店購(gòu)進(jìn)一批紀(jì)念冊(cè)，每本進(jìn)價(jià)為20元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)該紀(jì)念冊(cè)每周的銷售量y(本)與每本紀(jì)念冊(cè)的售價(jià)x(元)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系：．(1)當(dāng)文具店每周銷售這種紀(jì)念冊(cè)獲得150元的利潤(rùn)時(shí)，每本紀(jì)念冊(cè)的銷售單價(jià)是多少元？(2)設(shè)該文具店每周銷售這種紀(jì)念冊(cè)所獲得的利潤(rùn)為w元，將該紀(jì)念冊(cè)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，才能使文具店銷售該紀(jì)念冊(cè)所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)．如果同時(shí)出發(fā)，用表示移動(dòng)的時(shí)間（）．(1)用含的代數(shù)式表示：線段_______；_______．(2)當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積為．(3)當(dāng)與相似時(shí)，求出的值．8．如圖，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊以的速度向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿邊以的速度向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)當(dāng)t為何值時(shí)，的面積為？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與相似？9．城開高速公路即重慶市城口縣至開州區(qū)的高速公路，是國(guó)家高速銀百高速公路（銀川至百色）的一段，線路全長(zhǎng)公里，甲、乙兩工程隊(duì)共同承建該高速公路某隧道工程，隧道總長(zhǎng)2100米，甲、乙分別從隧道兩端向中間施工，計(jì)劃每天各施工6米．因地質(zhì)結(jié)構(gòu)不同，兩支隊(duì)伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一樣．甲每合格完成1米隧道施工成本為8萬元；乙每合格完成1米隧道施工成本為9萬元．(1)若工程結(jié)算時(shí)乙總施工成本不低于甲總施工成本的，求甲最多施工多少米？(2)實(shí)際施工開始后地質(zhì)情況比預(yù)估更復(fù)雜，甲乙兩隊(duì)每日完成量和成本都發(fā)生變化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m萬元時(shí)，則每天可多挖米，乙在施工成本不變的情況下，比計(jì)劃每天少挖米，若最終每天實(shí)際總成本比計(jì)劃多萬元，求的值．10．某工程隊(duì)采用A，B兩種設(shè)備同時(shí)對(duì)長(zhǎng)度為3600米的公路進(jìn)行施工改造．原計(jì)劃A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則30小時(shí)恰好完成改造任務(wù)．(1)求A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面長(zhǎng)度；(2)通過勘察，此工程的實(shí)際施工里程比最初的3600米多了750米．在實(shí)際施工中，B型設(shè)備在鋪路效率不變的情況下，時(shí)間比原計(jì)劃增加了小時(shí)，同時(shí)，A型設(shè)備的鋪路速度比原計(jì)劃每小時(shí)下降了3m米，而使用時(shí)間增加了m小時(shí)，求m的值．11．如圖，已知數(shù)軸上A，B，C三個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)分別是a，b，c，且，若點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度后到達(dá)點(diǎn)B，且點(diǎn)A，B表示的數(shù)互為相反數(shù)．

(1)a的值為，c的值為；(2)動(dòng)點(diǎn)P，Q分別同時(shí)從點(diǎn)A，C出發(fā)，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒m個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A移動(dòng)，點(diǎn)P表示的數(shù)為x．①若點(diǎn)P，Q在點(diǎn)B處相遇，求m的值；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)P的2倍，當(dāng)點(diǎn)P，Q之間的距離為2時(shí)，求此時(shí)x的值．12．為鼓勵(lì)廣大鳳中學(xué)子走向操場(chǎng)、走進(jìn)大自然、走到陽光下，積極參加體育鍛煉，初三年級(jí)某班組織同學(xué)們周末共跑沙濱路，其中，小鳳和小鳴兩人同時(shí)從A地出發(fā)，勻速跑向距離處的B地，小鳳的跑步速度是小鳴跑步速度的1.2倍，那么小鳳比小鳴早5分鐘到達(dá)B地．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)小鳳每分鐘跑多少米？(2)若從A地到達(dá)B地后，小鳳以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到C地（整個(gè)過程不休息）．據(jù)了解，從他跑步開始，前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個(gè)鍛煉過程中，小鳳共消耗2300卡路里的熱量，小鳳從A地到C地鍛煉共用多少分鐘？13．烏克蘭危機(jī)發(fā)生之后，外交戰(zhàn)線按照黨中央的部署緊急行動(dòng)，在戰(zhàn)火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬里歸途》正是“外交為民”的真實(shí)寫照，如表是該影片票房的部分?jǐn)?shù)據(jù)，（注：票房是指截止發(fā)布日期的所有售票累計(jì)收入）影片《萬里歸途》的部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)布日期10月8日10月11日10月12日發(fā)布次數(shù)第1次第2次第3次票房10億元12.1億元(1)平均每次累計(jì)票房增長(zhǎng)的百分率是多少？(2)在（1）的條件下，若票價(jià)每張40元，求10月11日賣出多少?gòu)堧娪捌?4．疫情期間，“大白”成了身穿防護(hù)服的人員的代稱．開學(xué)以來，我校很多老師在繁重的課務(wù)之余承擔(dān)起了核酸檢測(cè)的任務(wù)，化身可敬可愛的“大白”．據(jù)多日檢測(cè)結(jié)果調(diào)查發(fā)現(xiàn)一個(gè)熟能生巧的現(xiàn)象，當(dāng)每位大白檢測(cè)人數(shù)是人時(shí)，每位同學(xué)人均檢測(cè)時(shí)間是秒，而檢測(cè)人數(shù)每提高人，人均就少耗時(shí)秒（若每位大白的檢測(cè)人數(shù)不超過人，設(shè)人均少耗時(shí)秒）．(1)補(bǔ)全下列表格：檢測(cè)人數(shù)（人）人均檢測(cè)時(shí)間（秒）(2)某位大白一節(jié)課（）剛好同時(shí)完成了檢測(cè)任務(wù)，那么他今日檢測(cè)總?cè)藬?shù)為多少人？變式拓展1．有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了個(gè)人，(1)用含x的解析式表示：第一輪后共有①______人患了流感；第二輪傳染中，這些人中的每個(gè)人又傳染了x個(gè)人，第二輪后共有②______人患了流感；(2)根據(jù)題意，列出相應(yīng)方程為③______；(3)解這個(gè)方程，得④______；(4)根據(jù)問題的實(shí)際意義，平均一個(gè)人傳染了⑤______個(gè)人．2．某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)某種新型電子產(chǎn)品，購(gòu)進(jìn)時(shí)的單價(jià)為元/件，連續(xù)加價(jià)兩次后，以元/件為定價(jià)售出，已知第二次加價(jià)的增長(zhǎng)率比第一次加價(jià)的增長(zhǎng)率多．(1)求第一次加價(jià)的增長(zhǎng)率；(2)該商場(chǎng)在試銷中發(fā)現(xiàn)，如果以定價(jià)售出，則每天可售出件，如果售價(jià)每降低元，銷售量就可以增加件，那么當(dāng)售價(jià)為多少元時(shí)，該商場(chǎng)每天銷售該商品獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？(3)若商場(chǎng)想每天獲得元的利潤(rùn)，同時(shí)又要減少庫(kù)存，則該商場(chǎng)應(yīng)該如何確定該產(chǎn)品的銷售單價(jià)？3．一段長(zhǎng)為的墻前有一塊矩形空地，用長(zhǎng)的籬笆圍成如圖所示的圖形（靠墻的一邊不用籬笆，籬笆的厚度忽略不計(jì)），其中四邊形和四邊形是矩形，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，設(shè)．(1)若矩形的面積為，求的長(zhǎng)；(2)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，矩形的面積最大，最大面積是多少？4．某農(nóng)場(chǎng)擬建矩形飼養(yǎng)室，一面靠現(xiàn)有墻（墻長(zhǎng)為），另外三面及中間用圍欄圍起來（中間的圍欄把矩形分成兩個(gè)小矩形），并在如圖所示的三處各留寬的門，已知可用圍欄（不包括門）的總長(zhǎng)為，若建成的矩形飼養(yǎng)室總面積為，求圍欄的長(zhǎng)．

5．杭州亞運(yùn)會(huì)期間，某旗艦店以相同的價(jià)格購(gòu)進(jìn)了兩批亞運(yùn)會(huì)吉祥物毛線玩具玩偶套裝，第一批100套，售價(jià)108元；第二批150套，售價(jià)98元，兩批全部售出，該旗艦店共獲利10500元．(1)求玩偶套裝的進(jìn)價(jià)是多少元？(2)該店以相同的價(jià)格購(gòu)進(jìn)第三批玩偶套裝200套，當(dāng)每套售價(jià)為90元時(shí)，第一天賣出80套．隨著亞運(yùn)會(huì)接近尾聲，該玩偶開始滯銷，店家決定降價(jià)促銷，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)每件下降5元，在第一天的銷量基礎(chǔ)上增加10套．第二天按某一固定價(jià)格出售，銷售結(jié)束時(shí)，這批玩偶已賣出的部分獲利4400元．求第二天銷售結(jié)束后還剩余多少套玩偶套裝？6．小穎媽媽的花卉店以元盆的價(jià)格購(gòu)進(jìn)了一批某種盆栽花卉．為了確定售價(jià)，小穎幫媽媽調(diào)查了附近，，，，五家花卉店近期該種盆栽花卉的售價(jià)(元盆)與日銷量(盆)的情況，并整理記錄如表．售價(jià)x(元/盆)日銷量y(盆)(1)求日銷量與售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)小瑩媽媽在銷售該種花卉過程中，一方面要考慮和其它花卉店的競(jìng)爭(zhēng)，另一方面要考慮每天的利潤(rùn)，若要想每大獲得元的利潤(rùn)，那么應(yīng)把售價(jià)定為多少元/盆？7．如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向運(yùn)動(dòng)，速度是，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向運(yùn)動(dòng)，速度是．(1)幾秒后與相似？(2)設(shè)的面積為，的面積為，在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在某一時(shí)刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，則說明理由．8．如圖，A、B、C、D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到達(dá)B為止，點(diǎn)Q以的速度向D移動(dòng)．(1)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)，四邊形的面積為；(2)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是．9．甲、乙兩工程隊(duì)合作完成某修路工程，該工程總長(zhǎng)為4800米，原計(jì)劃32小時(shí)完成．甲工程隊(duì)每小時(shí)修路里程比乙工程隊(duì)的2倍多30米，剛好按時(shí)完成任務(wù)．(1)求甲工程隊(duì)每小時(shí)修的路面長(zhǎng)度；(2)通過勘察，地下發(fā)現(xiàn)大型溶洞，此工程的實(shí)際施工里程比最初的4800米多了1000米，在實(shí)際施工中，乙工程隊(duì)修路效率保持不變的情況下，時(shí)間比原計(jì)劃增加了()小時(shí)；甲工程隊(duì)的修路速度比原計(jì)劃每小時(shí)下降了米，而修路時(shí)間比原計(jì)劃增加m小時(shí)，求m的值．10．由于疫情反彈，某地區(qū)開展了連續(xù)全員核酸檢測(cè)，9月7日，醫(yī)院派出13名醫(yī)護(hù)人員到一個(gè)大型小區(qū)設(shè)置了、兩個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行核酸采樣，當(dāng)天共采樣9220份，已知點(diǎn)平均每人采樣720份，點(diǎn)平均每人采樣700份．(1)求、兩點(diǎn)各有多少名醫(yī)護(hù)人員？(2)9月8日，醫(yī)院繼續(xù)派出這13名醫(yī)護(hù)人員前往這個(gè)小區(qū)進(jìn)行核酸采樣，這天，社區(qū)組織者將附近數(shù)個(gè)商戶也納入這個(gè)小區(qū)采樣范圍，同時(shí)重新規(guī)劃，決定從點(diǎn)抽調(diào)部分醫(yī)護(hù)人員到點(diǎn)經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)每減少1名醫(yī)護(hù)人員，人均采樣量增加10份，點(diǎn)人均采樣量不變，最后當(dāng)天共采樣9360份，求從點(diǎn)抽調(diào)了多少名醫(yī)護(hù)人員到點(diǎn)？11．某校為培育青少年科技創(chuàng)新能力，舉辦了動(dòng)漫制作活動(dòng)，小明設(shè)計(jì)了點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)雛形，如圖所示，甲、乙兩點(diǎn)分別從直徑的兩端點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，以順時(shí)針、逆時(shí)針的方向沿圓周運(yùn)動(dòng)，甲以的速度勻速運(yùn)動(dòng)，乙運(yùn)動(dòng)的路程s（cm）與時(shí)間t（s）滿足關(guān)系：，整個(gè)圓周的長(zhǎng)度為84cm．

(1)填空：甲運(yùn)動(dòng)2s后經(jīng)過的路程是___________cm；(2)甲、乙從開始運(yùn)動(dòng)到第一次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了多少時(shí)間？(3)甲、乙從開始運(yùn)動(dòng)到第二次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了多少時(shí)間？12．小明在平整的草地上練習(xí)帶球跑，他將球沿直線踢出后隨即跟著球的方向跑去，追上球后，又將球踢出……球在草地上滾動(dòng)時(shí)，速度變化情況相同，小明速度達(dá)到6m/s后保持勻速運(yùn)動(dòng)．下圖記錄了小明的速度以及球的速度隨時(shí)間的變化而變化的情況，小明在4s時(shí)第一次追上球．（提示：當(dāng)速度均勻變化時(shí)，平均速度，距離）(1)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；(2)求圖中a的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬間增加6m/s，球運(yùn)動(dòng)方向不變，當(dāng)小明帶球跑完200m，寫出小明踢球次數(shù)共有____次，并簡(jiǎn)要說明理由．13．為了節(jié)約用水，不少城市對(duì)用水大戶作出了兩段收費(fèi)的規(guī)定．某市規(guī)定：月用水量不超過規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)a