3.3冪函數（精練）1冪函數的辨析1．（2022·吉林·梅河口市第五中學高一期末）下列函數是冪函數的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】形如（為常數且）為冪函數，所以，函數為冪函數，函數、、均不是冪函數.故選：C.2．（2021·全國·高一課時練習）下列函數是冪函數的是（

）A．； B．； C．； D．.【答案】C【解析】A.是一次函數；B.是常函數；C.是冪函數；D.是指數函數.故選：C3．（2022廣東）下列函數屬于冪函數的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據冪函數的概念可知B選項正確.故選：B.4．（2022.云南）給出下列函數：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是冪函數的有（

）A．1個 B．2個C．3個 D．4個【答案】B【解析】由冪函數的定義：形如（為常數）的函數為冪函數，則可知①和④是冪函數.故選；B.2冪函數的三要素1．（2022·四川攀枝花·高一期末）冪函數的圖象過點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為冪函數的圖象過點，所以有：，即.所以，故，故選：C.2．（2022福建）下列冪函數中，定義域為R的冪函數是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】A，則需要滿足，即，所以函數的定義域為，故A不符合題意；B，則需要滿足，所以函數的定義域為，故B不符合題意；C，則需要滿足，所以函數的定義域為，故C不符合題意；D，故函數的定義域為，故D正確；故選：D.3．（2021·江蘇·高一單元測試）函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】要使函數有意義，則∴，即.故選：C.4．（2022·全國·高一專題練習）已知函數是冪函數，則的值為_____．【答案】8【解析】依題意得，，，則，故答案為：85．（2022·上海）函數的定義域為__________．【答案】【解析】函數解析式為，則，解得.因此，函數的定義域為.故答案為：.3冪函數的性質1．（2022福建）已知冪函數()在上是減函數，則n的值為（

）A． B．1 C． D．1和【答案】B【解析】因為函數是冪函數所以所以或當時在上是增函數，不合題意.當時在上是減函數，成立故選：B2．（2022·全國·高一階段練習）已知函數是冪函數，且在上遞增，則實數（

）A．－1 B．－1或3 C．3 D．2【答案】C【解析】由題意知：，即，解得或，∴當時，，則在上單調遞減，不合題意;當時，，則在上單調遞增，符合題意,∴,故選：C3．（2022·河南新鄉·高一期末）已知冪函數在上單調遞減，則（

）A．2 B．16 C． D．【答案】D【解析】由題意得，解得，所以，故,故選：D4．（2022·安徽·歙縣教研室高一期末）已知冪函數的圖象過點，則下列說法中正確的是（

）A．的定義域為 B．的值域為C．為偶函數 D．為減函數【答案】C【解析】因為冪函數的圖象過點，所以，所以，所以，定義域為，且，即為偶函數，因為，所以，所以，故A錯誤，B錯誤，C正確，又在上單調遞減，根據偶函數的對稱性可得在上單調遞增，故D錯誤；故選：C5．（2022·貴州）（多選）冪函數在上是增函數，則以下說法正確的是（

）A．B．函數在上單調遞增C．函數是偶函數D．函數的圖象關于原點對稱【答案】ABD【解析】因為冪函數在上是增函數，所以，解得，所以，所以，故為奇函數，函數圖象關于原點對稱，所以在上單調遞增；故選：ABD6．（2022·全國·高一專題練習）已知冪函數是偶函數，且在上是減函數，求函數的解析式．【答案】【解析】因為冪函數在區間上單調遞減，則，得，又∵，∴或1．因為函數是偶函數，將分別代入，當時，，函數為是偶函數，滿足條件.當時，，函數為是偶函數，滿足條件.的解析式為．4冪函數的圖像1．（2022·全國·高一專題練習）如圖所示是函數(且互質)的圖象，則（

）A．是奇數且 B．是偶數，是奇數，且C．是偶數，是奇數，且 D．是偶數，且【答案】C【解析】函數的圖象關于軸對稱，故為奇數，為偶數，在第一象限內，函數是凸函數，故，故選：C.2．（2022·全國·高一專題練習）冪函數在第一象限的圖像如圖所示，則的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據冪函數的性質，在第一象限內，的右側部分的圖像，圖像由下至上，冪指數增大，所以由圖像得：，故選：D3．（2022·四川涼山·高一期末）如圖，①②③④對應四個冪函數的圖像，其中①對應的冪函數是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據函數圖象可得：①對應的冪函數在上單調遞增，且增長速度越來越慢，故，故D選項符合要求.故選：D4．（2021·江蘇·高一專題練習）下面六個冪函數的圖象如圖所示，試建立函數與圖象之間的對應關系.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【答案】（1）A；（2）F；（3）E；（4）C；（5）D；（6）B【解析】（1）中，函數，定義域為，非奇非偶函數，在單調遞增；（2）中，函數，定義域為，奇函數，在單調遞增；（3）中，函數，定義域為，偶函數，在單調遞增；（4）中，函數，定義域為，偶函數，在單調遞減；（5）中，函數，定義域為，奇函數，在單調遞減；（6）中，函數，定義域為，非奇非偶函數，在單調遞減.對比分析可知對應關系為（1）A；（2）F；（3）E；（4）C；（5）D；（6）B.故答案為：（1）A；（2）F；（3）E；（4）C；（5）D；（6）B5冪函數的綜合運用1．（2022·河北）已知冪函數（）是偶函數，且在上單調遞增．（1）求函數的解析式；（2）若，求的取值范圍；【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵，∴，∵，∴，即或2，∵在上單調遞增，為偶函數，∴，即．(2)∵∴，，，∴，即的取值范圍為．2．（2021·全國·高一專題練習）已知冪函數（）是偶函數，且在上單調遞增．（1）求函數的解析式；（2）若，求的取值范圍；（3）若實數，（，）滿足，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）2．【解析】（1）．，，（）即或在上單調遞增，為偶函數即（2），，，∴（3）由題可知，，當且僅當，即，時等號成立．所以的最小值是2．3．（2022江西）已知冪函數為奇函數．（1）求實數m的值；（2）求函數的值域．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵函數為冪函數，，解得或5，當時，，為奇函數，當時，，為偶函數，函數為奇函數，；（2）由（1）可知，，則，，令，則，，則，，函數為開口向下，對稱軸為的拋物線，當時，函數，當，函數取得最大值為1，的值域為，故函數的值域為．4．（2022·山東）已知冪函數的圖象關于軸對稱，且在上是減函數.（1）求和的值；（2）求滿足的的取值范圍.【答案】（1）或；；（2）【解析】（1）函數為冪函數，，即，解得或，函數在上是減函數，解得，又函數圖象關于軸對稱，所以函數為偶函數，，當時，，函數不是偶函數，舍去；當時，，函數為偶函數，滿足條件；當時，，函數不是偶函數，舍去；綜上所述，.（2）由（1）可知，因為在，上單調遞減，所以等價于或或，解得或.故的取值范圍為5（2022西安）已知冪函數為偶函數，且在區間上單調遞增.（Ⅰ）求函數的解析式；（Ⅱ）設函數，若對任意恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）∵冪函數為偶函數，且在區間上單調遞增，，且為偶數.

又，解得，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.當時，由得.

易知函數在上單調遞減，

.∴實數的取值范圍是.6