第十天：《每日一練：數學難題集》——基礎的代數表達式一、單項選擇題1.若\(a+b=5\)且\(ab=6\)，則\(a^2+b^2\)的值為：A.19B.21C.25D.272.若\(x^24x+3=0\)，則\(x^312x\)的值為：A.0B.3C.6D.93.若\((x2)^2=1\)，則\(x\)的值為：A.1B.2C.3D.44.若\(\frac{a}{b}=\frac{c}dfue6gh\)，且\(a\neq0\)，\(b\neq0\)，\(c\neq0\)，\(d\neq0\)，則\(\frac{a+c}{b+d}\)的值為：A.1B.2C.3D.45.若\(\sqrt{a^2+b^2}=5\)且\(a^2+b^2\neq25\)，則\(ab\)的值為：A.5B.10C.15D.20二、填空題6.若\(x^26x+9=0\)，則\(x\)的值為______。7.若\(a^2b^2=36\)，則\((a+b)(ab)\)的值為______。8.若\(\frac{a}{b}=\frac{c}np09d5l\)，且\(b\neq0\)，\(d\neq0\)，則\(\frac{a}{c}\)的值為______。9.若\(\sqrt{x^2+4x+4}=3\)，則\(x\)的值為______。10.若\((x1)^2=0\)，則\(x^22x+1\)的值為______。三、解答題11.解方程：\(2x^25x3=0\)。12.解方程：\(\frac{x^21}{x+1}=2\)。13.解方程：\((x2)(x+3)=0\)。14.解方程：\(\frac{1}{x1}+\frac{1}{x+1}=\frac{4}{x^21}\)。15.解方程：\(\sqrt{x^24x+4}=2x1\)。四、應用題16.一輛汽車以每小時60公里的速度行駛，行駛了2小時后，速度提高了20%。求汽車行駛了4小時后的平均速度。17.一個長方體的長、寬、高分別為\(x\)、\(y\)、\(z\)，且\(x+y+z=10\)。求長方體體積的最大值。18.一個等差數列的前三項分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)，且\(a+b+c=15\)。求該等差數列的公差。19.一個等比數列的前三項分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)，且\(a+b+c=27\)。求該等比數列的公比。20.一個數列的前三項分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)，且\(a+b+c=12\)，\(ab+bc+ca=24\)。求\(abc\)的值。五、證明題21.證明：\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)。22.證明：\((ab)^2=a^22ab+b^2\)。23.證明：\((a+b)(ab)=a^2b^2\)。24.證明：\((ab)(a+b)=a^2b^2\)。25.證明：\(\sqrt{a^2+b^2}\geq|a|+|b|\)。六、綜合題26.已知\(a+b=5\)，\(ab=6\)，求\(a^2+b^2\)的值。27.已知\(x^24x+3=0\)，求\(x^312x\)的值。28.已知\((x2)^2=1\)，求\(x\)的值。29.已知\(\frac{a}{b}=\frac{c}bsetczw\)，且\(a\neq0\)，\(b\neq0\)，\(c\neq0\)，\(d\neq0\)，求\(\frac{a+c}{b+d}\)的值。30.已知\(\sqrt{a^2+b^2}=5\)，且\(a^2+b^2\neq25\)，求\(ab\)的值。七、拓展題31.已知\(x^25x+6=0\)，求\(x^35x^2+6x\)的值。32.已知\((x3)^2=9\)，求\(x^26x+9\)的值。33.已知\(\frac{a}{b}=\frac{c}nhv355h\)，且\(a\neq0\)，\(b\neq0\)，\(c\neq0\)，\(d\neq0\)，求\(\frac{ac}{bd}\)的值。34.已知\(\sqrt{x^2+4x+4}=2\)，求\(x^2+4x+4\)的值。35.已知\((x1)^3=0\)，求\(x^33x^2+3x1\)的值。八、創新題36.設\(a\)和\(b\)是方程\(x^25x+6=0\)的兩個根，求\(a^2+b^2\)的值。37.設\(a\)和\(b\)是方程\(x^24x+3=0\)的兩個根，求\(a^3+b^3\)的值。38.設\(a\)和\(b\)是方程\(x^22x3=0\)的兩個根，求\(a^4+b^4\)的值。39.設\(a\)和\(b\)是方程\(x^23x4=0\)的兩個根，求\(a^5+b^5\)的值。40.設\(a\)和\(b\)是方程\(x^25x+6=0\)的兩個根，求\(a^6+b^6\)的值。九、組合題41.設\(a\)和\(b\)是方程\(x^25x+6=0\)的兩個根，求\((a+b)^2\)和\((ab)^2\)的值。42.設\(a\)和\(b\)是方程\(x^24x+3=0\)的兩個根，求\(ab\)和\(a^2+b^2\)的值。43.設\(a\)和\(b\)是方程\(x^22x3=0\)的兩個根，求\(a^3+b^3\)和\(a^2+b^2\)的值。44.設\(a\)和\(b\)是方程\(x^23x4=0\)的兩個根，求\(a^4+b^4\)和\(a^2+b^2\)的值。45.設\(a\)和\(b\)是方程\(x^25x+6=0\)的兩個根，求\(a^5+b^5\)和\(a^3+b^3\)的值。十、綜合應用題46.一個長方形的長是\(x\)米，寬是\(x2\)米，求長方形的面積表達式，并求當長方形面積為24平方米時的\(x\)值。47.一個數的平方減去4等于0，求這個數。48.一個數的立方加上27等于0，求這個數。49.一個數的平方加上5倍的數減去6等于0，求這個數。50.一個數的平方減去3倍的數加上2等于0，求這個數。十一、探索題51.探索并證明：對于任意實數\(a\)和\(b\)，\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)。52.探索并證明：對于任意實數\(a\)和\(b\)，\((ab)^2=a^22ab+b^2\)。53.探索并證明：對于任意實數\(a\)和\(b\)，\((a+b)(ab)=a^2b^2\)。54.探索并證明：對于任意實數\(a\)和\(b\)，\((ab)(a+b)=a^2b^2\)。55.探索并證明：對于任意實數\(a\)和\(b\)，\(\sqrt{a^2+b^2}\geq|a|+|b|\)。十二、開放題56.設\(a\)和\(b\)是方程\(x^25x+6=0\)的兩個根，請設計一個數學問題，并給出解答過程。57.設\(a\)和\(b\)是方程\(x^24x+3=0\)的兩個根，請設計一個數學問題，并給出解答過程。58.設\(a\)和\(b\)是方程\(x^22x3=0\)的兩個根，請設計一個數學問題，并給出解答過程。59.設\(a\)和\(b\)是方程\(x^23x4=0\)的兩個根，請設計一個數學問題，并給出解答過程。60.設\(a\)和\(b\)是方程\(x^25x+6=0\)的兩個根，請設計一個數學問題，并給出解答過程。十三、拓展思考題61.若\(a\)和\(b\)是方程\(x^26x+9=0\)的兩個根，求\(a^3+b^33ab\)的值。62.若\(a\)和\(b\)是方程\(x^27x+12=0\)的兩個根，求\(a^4+b^42a^2b^2\)的值。63.若\(a\)和\(b\)是方程\(x^28x+16=0\)的兩個根，求\(a^5+b^55a^3b^2\)的值。64.若\(a\)和\(b\)是方程\(x^29x+18=0\)的兩個根，求\(a^6+b^63a^4b^2\)的值。65.若\(a\)和\(b\)是方程\(x^210x+25=0\)的兩個根，求\(a^7+b^77a^3b^4\)的值。十四、綜合分析題66.一個數的平方加上2倍的數減去1等于0，求這個數，并分析這個數可能屬于哪種類型的數（正數、負數、零）。67.一個數的立方減去3倍的數加上2等于0，求這個數，并分析這個數可能屬于哪種類型的數（有理數、無理數）。68.一個數的平方加上4倍的數減去5等于0，求這個數，并分析這個數可能屬于哪種類型的數（整數、分數）。69.一個數的立方加上5倍的數減去6等于0，求這個數，并分析這個數可能屬于哪種類型的數（實數、虛數）。70.一個數的平方加上6