第四章根軌跡法Chapter4ROOTLOCUS4.3廣義根軌跡的繪制在控制系統中，除了根軌跡增益作為自變量的情況以外，其他情形下的根軌跡統稱為廣義根軌跡。如系統的參量根軌跡、開環傳遞函數中零點個數多于極點個數時的根軌跡、零度根軌跡等均可列入廣義根軌跡這個范疇。本節分別介紹參量根軌跡和零度根軌跡的繪制方法。4.3.1參量根軌跡在繪制根軌跡時，如果可變參數不是根軌跡增益而是其他參數(例如，某一校正元件的時間常數)，則所得的根軌跡稱為參量根軌跡。繪制參數根軌跡的法則與繪制常規的根軌跡的法則完全相同。在繪制參數根軌跡之前，引入等效單位反饋系統和等效傳遞函數概念，則常規根軌跡的所有繪制法則，均適用于參數根軌跡的繪制。為此，需要對閉環特征方程進行等效變換，將其寫成如下形式其中A為除K外，系統任意的變化參數，而和為兩個與A無關的多項式。顯然等效的單位反饋系統的等效開環傳遞函數為“等效”的含義僅在閉環極點相同這一點上成立，而閉環零點一般是不同的。例4-5一雙閉環控制系統的框圖如圖所示，試繪制以α為參變量的根軌跡。解：系統的開環傳遞函數為2其中，的極點為，零點為0。，不難證明該系統根軌跡的復數部分為一圓弧，其方程為。例4-6一單位反饋控制系統如圖所示，試繪制以K和α為參變量的根軌跡。解：系統的閉環特征方程為1、先令，則上式變成或寫作令

據此做出對應的根軌跡。這是時，以K為參變量的根軌跡。2、其次考慮，把閉環特征方程改寫成令

比較，可知的開環極點就是對應的閉環極點，因而對應根軌跡的起點都在的根軌跡曲線上。為了做出對應的根軌跡，通常先令K為某一定值，然后根據零、極點的分布做出參變量時的根軌跡。如令K=4，則

它的極點為±j2，零點為0。不難證明，對應特征方程的根軌跡也為一圓弧，其方程為4.3.2

零度根軌跡非最小相位系統：在平面右半平面具有開環極點(或零點)的反饋系統最小相位系統：若反饋系統的全部開環極點與零點均位于平面左半平面零度根軌跡的來源有兩個方面：（1）非最小相位系統中包含s最高次冪的系數為負的因子；（2）控制系統中包含有正反饋內回路。1正反饋回路的根軌跡

在某些控制系統中，其內環可能是一個正反饋內回路，如下圖所示。當具有正反饋內回路的控制系統不穩定時，其傳遞函數中就有極點在s的右半平面。這里僅討論正反饋內回路部分根軌跡的繪制。圖中所示內回路的閉環傳遞函數為

相應的特征方程為即由上式可知，正反饋回路根軌跡的幅值條件與負反饋回路完全相同，但其相角卻變為基于上式所示的相角的特點，因而稱相應的根軌跡為零度根軌跡。在繪制零度根軌跡時，需要對4.2節中涉及相角條件的規則作如下的修改。規則3’實軸上線段成為根軌跡的充要條件(K≥0)是該線段右方實軸上開環零點與極點之和為偶數。規則4’漸近線與實軸的夾角為規則6’開環共軛極點的出射角與開環共軛零點的入射角為2含有非最小相位元件的系統的根軌跡

在繪制系統中含有非最小相位元件的根軌跡時，必須注意開環傳遞函數(分母或分子)中是否含有s最高次冪為負系數的因子。若有，則根軌跡的相角條件就變為由下式去表征，因而所繪制的將是零度根軌跡。設一非最小相位系統如下圖所示