江蘇南京秦淮外國語學校2024年九年級上學期第一次數學月考試題含答案秦外九上練習一．選擇題（共6小題）1．已知圓錐的底面圓半徑為3，母線長為4，則圓錐的側面積為A． B． C． D．2．方程左邊配成一個完全平方式后，所得的方程是A． B． C． D．3．若關于的方程有實數根，則實數的取值范圍是A． B． C． D．且4．歌唱比賽有二十位評委給選手打分，統計每位選手得分時，會去掉一個最高分和一個最低分，這樣做，肯定不會對所有評委打分的哪一個統計量產生影響A．平均分 B．眾數 C．中位數 D．極差5．如圖所示，等邊的頂點在上，邊、與分別交于點、，點是劣弧上一點，且與、不重合，連接、，則的度數為A． B． C． D．6．如圖，在扇形中，點在上，點在上，．若，，則的半徑為A．4 B．4.8 C． D．二．填空題（共10小題）7．若一元二次方程的兩個根是，，則的值是．8．已知的圓心坐標為，直徑為6，則與軸的位置關系是．9．若.10．關于的分式方程的解為正數，則的取值范圍是．11．如圖所示，點是的內切圓的圓心，若，則的度數為．12．已知一組數據的方差，那么這組數據的總和為．13．設函數與的圖象的交點坐標為，則的值為．14．如圖，正方形的頂點在原點，邊，分別在軸和軸上，點坐標為，點是的中點，點是邊上的一個動點，連接，以為圓心，為半徑作圓，設點橫坐標為，當與正方形的邊相切時，的值為．15．我國古代數學家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內切圓半徑為3，小正方形的面積為49，則大正方形的面積為．16．如圖，在中，，，．點在邊上，過點作，垂足為，過點作，垂足為．連接，取的中點．在點從點到點的運動過程中，點所經過的路徑長為．三．解答題（共11小題）17．解下列方程：（1）；（2）．先化簡，再求值：；從，0，1，2中任選一個代入求值．19．射擊訓練班中的甲、乙兩名選手在5次射擊訓練中的成績依次為（單位：環）甲：8，8，7，8，9乙：5，9，7，10，9教練根據他們的成績繪制了如下尚不完整的統計圖表：選手平均數眾數中位數方差甲880.4乙93.2根據以上信息，請解答下面的問題：（1），，；（2）教練根據這5次成績，決定選擇甲參加射擊比賽，教練的理由是什么？（3）若選手乙再射擊第6次，命中的成績是8環，則選手乙這6次射擊成績的方差與前5次射擊成績的方差相比會．（填“變大”、“變小”或“不變”20．公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規定．某頭盔經銷商統計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進價為30元個，測算在市場中，當售價為40元個時，月銷售量為600個，若在此基礎上售價每上漲1元個，則月銷售量將減少5個，為使月銷售利潤達到8625元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少元個？21．如圖，直線經過點，且，．（1）求證：直線是的切線；（2）若圓的半徑為4，，求陰影部分的面積．22．如圖，內接于，為的中點，在上，連接．（1）如圖，若，垂足為，直線分別交，于點，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：．23．在平面直角坐標系中，點、分別在軸負半軸、軸正半軸上，，為常數），以為圓心、適當的長度為半徑作，使點、在上．（1）請用無刻度的直尺和圓規作出．（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若，，直線與有且只有一個公共點，則．24．若時，代數式的值也為，則稱是這個代數式的“優值”．例如，當時，代數式的值為0；當時，代數式的值為2，所以0和2都是的“優值”．（1）判斷代數式是否存在“優值”，并說明理由；（2）代數式存在兩個“優值”且差為5，求的值．25．定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形．（1）如圖1，等腰直角四邊形，．．①若，，請在橫線處填出四邊形是什么特殊的四邊形？．②若，，則．（2）如圖2，矩形的長和寬為方程的兩根，其中．點從點出發，沿以每秒1個單位長度的速度向終點運動，同時點從點出發，沿以每秒2個單位長度的速度向終點運動．在點，的運動過程中，若四邊形是等腰直角四邊形，求的長．26．如圖，是的外接圓，是的切線，且，連接交于點．（1）求證；（2）連接，若為直徑，，，求的半徑．27．【問題情境】（1）如圖1，圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內接正方形，那么大正方形面積是小正方形面積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉（如圖，這時候就容易發現大正方形面積是小正方形面積的倍．由此可見，圖形變化是解決問題的有效策略；【操作實踐】（2）如圖3，圖①是一個對角線互相垂直的四邊形，四邊、、、之間存在某種數量關系．小昕按所示步驟進行操作，并將最終圖形抽象成圖4．請你結合整個變化過程，直接寫出圖4中以矩形內一點為端點的四條線段之間的數量關系；【探究應用】（3）如圖5，在圖3中“④”的基礎上，小昕將繞點逆時針旋轉，他發現旋轉過程中存在最大值．若，，當最大時，求的長；

秦外九上練習參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）1．已知圓錐的底面圓半徑為3，母線長為4，則圓錐的側面積為A． B． C． D．【解答】解：，故選：．2．方程左邊配成一個完全平方式后，所得的方程是A． B． C． D．【解答】解：，，即，故選：．3．若關于的方程有實數根，則實數的取值范圍是A． B． C． D．且【解答】解：當時，△，，即且，當時，此時方程為，滿足題意，所以．故選：．4．歌唱比賽有二十位評委給選手打分，統計每位選手得分時，會去掉一個最高分和一個最低分，這樣做，肯定不會對所有評委打分的哪一個統計量產生影響A．平均分 B．眾數 C．中位數 D．極差【解答】解：統計每位選手得分時，會去掉一個最高分和一個最低分，這樣做不會對數據的中間的數產生影響，即中位數．故選：．5．如圖所示，等邊的頂點在上，邊、與分別交于點、，點是劣弧上一點，且與、不重合，連接、，則的度數為A． B． C． D．【解答】解：四邊形是內接四邊形，，等邊的頂點在上，，，故選：．6．如圖，在扇形中，點在上，點在上，．若，，則的半徑為A．4 B．4.8 C． D．【解答】解：以點為圓心，以為半徑畫圓，延長交于點，連接，，如圖所示：在△中，，，，由勾股定理得：，，為的直徑，點，，在同一條直線上，，，，在△中，，，由勾股定理得：．．故選：．二．填空題（共10小題）7．若一元二次方程的兩個根是，，則的值是1．【解答】解：，是一元二次方程的兩個根，，，，故答案為：1．8．已知的圓心坐標為，直徑為6，則與軸的位置關系是相切．【解答】解：的圓心坐標為，圓心到軸的距離為3，的直徑為6，的半徑為3，圓心到軸的距離為等于的半徑，與軸相切．故答案為：相切．9．若.【解答】解：令，解得（舍去）．故.10．關于的分式方程的解為正數，則的取值范圍是且．．【解答】解：分式方程去分母得：，即，當，即時，解得：，分式方程的解為正數且，且，解得：且．故答案為：且．11．如圖所示，點是的內切圓的圓心，若，則的度數為．【解答】解：點是的內切圓的圓心，、分別平分、，，，，，．故答案為：．12．已知一組數據的方差，那么這組數據的總和為24．【解答】解：，這組數據的平均數是6，數據個數是4，這組數據的總和為；故答案為：24．13．設函數與的圖象的交點坐標為，則的值為．【解答】解：函數與的圖象的交點坐標為，，，，故答案為：．14．如圖，正方形的頂點在原點，邊，分別在軸和軸上，點坐標為，點是的中點，點是邊上的一個動點，連接，以為圓心，為半徑作圓，設點橫坐標為，當與正方形的邊相切時，的值為或．【解答】解：點坐標為，點是的中點，，．分與相切和與相切兩種情況考慮：①當與相切時，如圖1所示．點橫坐標為，．在中，，，，，即，解得：；②當與相切時，設切點為，連接，如圖2所示．，，．，四邊形為矩形，，．在中，，，，，即，解得：，（不合題意，舍去）．綜上所述：的值為或．故答案為：或．15．我國古代數學家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內切圓半徑為3，小正方形的面積為49，則大正方形的面積為289．【解答】解：如圖，設內切圓的圓心為，連接，，則四邊形為正方形，，，，，，而，①，小正方形的面積為49，，②，把①代入②中得，，（負值舍去），大正方形的面積為289．故答案為：289．16．如圖，在中，，，．點在邊上，過點作，垂足為，過點作，垂足為．連接，取的中點．在點從點到點的運動過程中，點所經過的路徑長為．【解答】解：方法一：以為原點，建立坐標系，過點作設，則，，，，，，，，，，，，，，，四邊形為矩形，，，為，的中點，，令，，點在直線上運動，當點與重合時，，此時，當點與重合時，，此時，點所經過的路徑長為：，方法二：在上運動，運動路徑為線段，為中點，的運動路徑亦為線段，當與重合時，，當與重合時，，點所經過的路徑長為：，故答案為：．三．解答題（共11小題）17．解下列方程：（1）；（2）．【解答】解：（1），，，，解得，．（2），，或，解得，．18．先化簡，再求值：；從，0，1，2中任選一個代入求值．【解答】解：，根據分式有意義的條件得且，只能為2，當時，原式．19．射擊訓練班中的甲、乙兩名選手在5次射擊訓練中的成績依次為（單位：環）甲：8，8，7，8，9乙：5，9，7，10，9教練根據他們的成績繪制了如下尚不完整的統計圖表：選手平均數眾數中位數方差甲880.4乙93.2根據以上信息，請解答下面的問題：（1）8，，；（2）教練根據這5次成績，決定選擇甲參加射擊比賽，教練的理由是什么？（3）若選手乙再射擊第6次，命中的成績是8環，則選手乙這6次射擊成績的方差與前5次射擊成績的方差相比會．（填“變大”、“變小”或“不變”【解答】解：（1）由題可得，；甲的成績7，8，8，8，9中，8出現的次數最多，故眾數；而乙的成績5，7，9，9，10中，中位數；故答案為：8，8，9；（2）教練根據這5次成績，決定選擇甲參加射擊比賽，教練的理由是兩人的平均成績相同，而甲的成績的方差小，即甲的成績較穩定．(3)由題可得，選手乙這6次射擊成績5，9，7，10，9，8的方差，選手乙這6次射擊成績的方差與前5次射擊成績的方差相比會變小．故答案為：變小．20．公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規定．某頭盔經銷商統計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進價為30元個，測算在市場中，當售價為40元個時，月銷售量為600個，若在此基礎上售價每上漲1元個，則月銷售量將減少5個，為使月銷售利潤達到8625元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少元個？【解答】解：（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為，依題意，得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為．（2）設該品牌頭盔的實際售價為元，依題意，得：，整理，得：，解得：，，盡可能讓顧客得到實惠，（不合題意，舍去），答：該品牌頭盔的實際售價應定為45元．21．如圖，直線經過點，且，．（1）求證：直線是的切線；（2）若圓的半徑為4，，求陰影部分的面積．【解答】（1）證明：連接，，，，直線經過點，是的半徑，是的半徑，且，直線是的切線．（2）解：，，的半徑為4，，，，，，，陰影部分的面積是．22．如圖，內接于，為的中點，在上，連接．（1）如圖，若，垂足為，直線分別交，于點，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：．【解答】（1）（Ⅰ）證明：連接、，如圖，為優弧的中點，，，又，、都在的垂直平分線上，即是垂直平分線，；（Ⅱ）證明：連接，如圖，，，，，，，，．又，；23．在平面直角坐標系中，點、分別在軸負半軸、軸正半軸上，，為常數），以為圓心、適當的長度為半徑作，使點、在上．（1）請用無刻度的直尺和圓規作出．（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若，，直線與有且只有一個公共點，則4或24．【解答】解：（1）由點的坐標知，改點在直線上，由圓的定義知，點在的中垂線上，故上述兩條直線的交點，即為點為位置，由此畫出如圖所示．（2）如圖所示，設直線與有且只有一個公共點為點，則和直線垂直，且，點在直線，點是直線和直線的交點，則點，，由得：，解得或24．故答案為：4或24．24．若時，代數式的值也為，則稱是這個代數式的“優值”．例如，當時，代數式的值為0；當時，代數式的值為2，所以0和2都是的“優值”．（1）判斷代數式是否存在“優值”，并說明理由；（2）代數式存在兩個“優值”且差為5，求的值．【解答】解：（1）不存在“優值”．理由如下：假設存在優值為，則有，整理得：，則，無論取何值時，，方程沒有實數根，即代數式不存在“優值”．（2）設“優值”為，則有，整理得：，，，．兩個“優值”差為5，或，或．25．定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形．（1）如圖1，等腰直角四邊形，．．①若，，請在橫線處填出四邊形是什么特殊的四邊形？正方形．②若，，則．（2）如圖2，矩形的長和寬為方程的兩根，其中．點從點出發，沿以每秒1個單位長度的速度向終點運動，同時點從點出發，沿以每秒2個單位長度的速度向終點運動．在點，的運動過程中，若四邊形是等腰直角四邊形，求的長．【解答】（1）①解：，，四邊形為平行四邊形，，四邊形為菱形，，四邊形為正方形，故答案為：正方形；②證明：連接、，如圖所示：，，垂直平分，，，，，，故答案為：12；（2）解：，，或，解得：，，，，，根據題意可知，當或時，四邊形是等腰直角四邊形；當時，連接，過點作于點，如圖所示