考研數(shù)學(xué)二分類模擬題72一、填空題1.

設(shè)n階矩陣，則|A|=______．正確答案：(n-1)(-1)n-1[解]

2.

正確答案：0[解]

3.

設(shè)A，B均為n階方陣，|A|=2，|B|=-3，則|A-1B*-A*B-1|=______．正確答案：[解]A*=|A|A-1=2A-1，B*=|B|B-1=-3B-1，則

4.

設(shè)三階方陣A=[A1，A2，A3]，其中Ai(i=1，2，3)為三維列向量，且A的行列式|A|=-2，則行列式|-A1～2A2，2A2+3A3，-3A3+2A1|=______．正確答案：12[解]由得

5.

設(shè)A是三階方陣，且|A-E|=|A+2E|=|2A+3E|=0，則|2A*-3E|=______．正確答案：126[解]由|A-E|=|A+2E|=|2A+3E|=0得

矩陣A的特征值為

|A|=3，A*的特征值為

2A*-3E的特征值為3，-6，-7，故|2A*-3E|=126.

6.

設(shè)A為四階可逆方陣，將A第3列乘3倍再與第1列交換位置，得到矩陣B，則B-1A=______.正確答案：[解]由得

7.

設(shè)A為4×3矩陣，且r(A)=2，而，則r(AB)=______．正確答案：2[解]因?yàn)椋訠可逆，

于是r(AB)=r(A)=2.

8.

向量組α1=[0，4，2-k]，α2=[2，3-k，1]，α3=[1-k，2，3]線性相關(guān)，則實(shí)數(shù)k=______.正確答案：6[解]由得k=6.

9.

設(shè)三階矩陣，三維列向量α=(a，1，1)T．已知Aα與α線性相關(guān)，則a=______.正確答案：-1[解]因?yàn)锳α與α線性相關(guān)，所以Aα與α成比例，

令A(yù)α=kα，即

10.

設(shè)向量組線性無關(guān)，則a，b，c必滿足關(guān)系式______．正確答案：abc≠0[解]由得a，b，c滿足的關(guān)系式為abc≠0.

11.

若線性方程組有解，則常數(shù)a1，a2，a3，a4應(yīng)滿足條件______．正確答案：a4-a1+a2-a3[解]

則方程組有解應(yīng)滿足的條件為a4-a1+a2-a3=0.

12.

若矩陣，B是三階非零矩陣，滿足AB=O，則t=______．正確答案：1[解]由AB=O得r(A)+r(B)≤3，

因?yàn)閞(B)≥1，所以r(A)≤2，

又因?yàn)榫仃嘇有兩行不成比例，所以r(A)≥2，于是r(A)=2.

由得t=1.

13.

設(shè)三階矩陣A的特征值為2，3，λ，若行列式|2A|=-48，則λ=______．正確答案：-1[解]|A|=6λ，由|2A|=8|A|=-48得|A|=-6，解得λ=-1.

14.

矩陣的非零特征值是α3．正確答案：4[解]由得A的特征值為λ1=λ2=0，λ3=4，非零特征值為4.

15.

已知有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則a=______．正確答案：-10[解]由得λ1=1，λ2=λ3=2，

因?yàn)锳可對角化，所以r(2E-A)=1，

由得a=-10.

16.

若相似，則x=______，y=______．正確答案：x=-17，-12[解]設(shè)

由A與B相似得tr(A)=tr(B)，即x+22=5，解得x=-17；

由|A|=|B|得-374-31y=-2，解得y=-12.

17.

已知矩陣只有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則A的三個(gè)特征值是______，a=______.正確答案：λ1=λ2=λ3=2，a=-5[解]

特征值為λ1=λ2=λ3=2，

因?yàn)棣?=λ2=λ3=2只有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，

所以r(2E-A)=1，

由得a=-5.

二、選擇題1.

已知2n階行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，則D等于______.A.0B.a2C.-a2D.na2正確答案：A[解]不妨設(shè)第一列元素及余子式都是a，則

D=a11A11+a21A21+…+a2n，1A2n，1=a2-a2+…-a2=0，應(yīng)選A．

2.

行列式|A|非零的充分條件是______.A.A中所有元素非零B.A中至少有n個(gè)元素非零C.A的任意兩行元素之間不成比例D.以|A|為系數(shù)行列式的線性方程組有唯一解正確答案：D[解]|A|≠0的充要條件是r(A)=n，r(A)=n的充要條件是AX=b有唯一解，應(yīng)選D．

3.

假設(shè)A是n階方陣，其秩(A)=r＜n，那么在A的n個(gè)行向量中______.A.必有r個(gè)行向量線性無關(guān)B.任意r個(gè)行向量線性無關(guān)C.任意r個(gè)行向量都構(gòu)成極大線性無關(guān)向量組D.任何一個(gè)行向量列向量均可由其他r個(gè)列向量線性表示正確答案：A[解]因?yàn)榫仃嚨闹扰c行向量組的秩及列向量組的秩相等，所以由r(A)=r得A一定有r個(gè)行向量線性無關(guān)，應(yīng)選A．

4.

設(shè)A為n階方陣，B是A經(jīng)過若干次初等變換后所得到的矩陣，則有______.A.|A|=|B|B.|A|≠|(zhì)B|C.若|A|=0，則一定有|B|=0D.若|A|＞0，則一定有|B|＞0正確答案：C[解]因?yàn)槌醯茸儞Q不改變矩陣的秩，所以若|A|=0，即r(A)＜n，則r(B)＜n，即|B|=0，應(yīng)選C．

5.

設(shè)向量組(Ⅰ)：α1，α2，…，αr可由向量組(Ⅱ)：β1，β2，…，βs線性表示，則______.A.若α1，α2，…，αr線性無關(guān)，則r≤sB.若α1，α2，…，αr線性相關(guān)，則r≤sC.若β1，β2，…，βs線性無關(guān)，則r≤sD.若β1，β2，…，βs線性相關(guān)，則r≤s正確答案：A[解]因?yàn)?Ⅰ)可由(Ⅱ)，所以(Ⅰ)的秩≤(Ⅱ)的秩，

所以若α1，α2，…，αr線性無關(guān)，即(Ⅰ)的秩=r，則r≤(Ⅱ)的秩≤s，應(yīng)選A．

6.

設(shè)A是n×m矩陣，B是m×n矩陣，E是n階單位矩陣，若AB=E，則______.A.B的行向量組線性無關(guān)B.B的列向量組線性無關(guān)C.A-1=BD.|AB|=|A||B|正確答案：B[解]由AB=E得，r(AB)=n，從而r(A)≥n，r(B)≥n，

又r(A)≤n，r(B)≤n，所以r(A)=n，r(B)=n，

故B的列向量組線性無關(guān)，應(yīng)選B．

7.

非齊次線性方程組AX=b中未知量個(gè)數(shù)為n，方程個(gè)數(shù)為m，系數(shù)矩陣A的秩為r，則______.A.r=m時(shí)，方程組AX=b有解B.r=n時(shí)，方程組AX=b有唯一解C.m=n時(shí)，方程組AX=b有唯一解D.r＜n時(shí)，方程組AX=b有無窮多解正確答案：A[解]r()≥r(A)，

當(dāng)r=m時(shí)，r()≥r(A)=m；

又r()≤m，所以r()=r(A)=m，故AX=b有解，應(yīng)選A．

8.

設(shè)A為m×n矩陣且r(A)=n(n＜m)，則下列結(jié)論中正確的是______.A.若AB=AC，則A=CB.若BA=CA，則B=CC.A的任意n個(gè)行向量線性無關(guān)D.A的任意n個(gè)行向量線性相關(guān)正確答案：B[解]由BA=CA得(B-C)A=O，則r(A)+r(B-C)≤n，

由r(A)=n得r(B-C)=0，故B=C，應(yīng)選B．

9.

設(shè)α1，α2，α3是AX=0的基礎(chǔ)解系，則該方程組的基礎(chǔ)解系還可表示成______.A.α1，α2，α3的一個(gè)等價(jià)向量組B.α1，α2，α3的一個(gè)等秩向量組C.α1，α1+α2，α1+α2+α3D.α1-α2，α2-α3，α3-α1正確答案：A[解]B顯然不對，因?yàn)榕cα1，α2，α3等秩的向量組不一定是方程組的解；

因?yàn)棣?+(α1+α2)-(α1+α2+α3)=0，所以α1，α1+α2，α1+α2+α3線性相關(guān)，不選C；

由(α1～α2)+(α2-α3)+(α3-α1)=0，所以α1-α2，α2-α3，α3-α1線性相關(guān)，不選D，應(yīng)選A.

10.

向量組α1，α2，αs線性無關(guān)的充要條件是______.A.α1，α2，…，αs均不為零向量B.α1，α2，…，αa中任意兩個(gè)向量的分量不成比例C.α1，α2，…，αs中任意一個(gè)向量均不能由其余s-1個(gè)向量線性表示D.α1，α2，…，αs中有一部分向量線性無關(guān)．正確答案：C[解]若α1，α2，…，αs線性無關(guān)，則α1，α2，…，αs中任一個(gè)向量都不可由其余向量線性表示；反之，若α1，α2，…，αs中任一個(gè)向量都不可由其余向量線性表示，則α1，α2，…，αs線性無關(guān)，應(yīng)選C．

11.

設(shè)矩陣Am×n，r(A)=m＜n，Em為m階單位矩陣，下述結(jié)論中正確的是______.A.A通過初等行變換必可化為[Em，0]的形式B.A的任意m階子式不等于零C.A的任意m個(gè)列向量必線性無關(guān)D.非齊次線性方程組AX=b一定有無窮多解正確答案：D[解]顯然

因?yàn)闉閙×(n+1)矩陣，所以

于是故AX=b一定有無數(shù)個(gè)解，應(yīng)選D．

12.

設(shè)，若齊次方程組AX=0的任一非零解均可用α線性表示，則a=______.A.3B.5C.3或-5D.5或-3正確答案：A[解]因?yàn)锳X=0的任一非零解都可由α線性表示，所以AX=0的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)線性無關(guān)的解向量，從而r(A)=2.

由得a-5=-2，解得a=3，應(yīng)選A．

13.

設(shè)都是線性方程組AX=0的解向量，只要系數(shù)矩陣A為______.

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解]因?yàn)棣?，α2線性無關(guān)，所以AX=0的基礎(chǔ)解系至少含兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，從而r(A)≤1，

再由題意得，顯然選C．

14.

設(shè)，則______不是A的特征向量．A.(-1，1，-1)TB.(1，2，0)TC.(0，1，1)TD.(2，4，-1)T．正確答案：A[解]由得

不是A的特征向量，應(yīng)選A．

15.

下列矩陣中，不能相似對角化的是______.

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解]的特征值為7，0，0，因?yàn)閞(0E-A)=r(A)=2，所以λ=0對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量只有一個(gè)，該矩陣不可相似對角化，應(yīng)選C.

16.

設(shè)A，B均為n階實(shí)對