課堂導學（雙曲線的定義、方程、簡單幾何性質）【知識點】一、雙曲線的定義在平面內，到兩個定點、的距離之差的絕對值等于常數（大于0且）的動點的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點、叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距．即（）二、雙曲線的標準方程標準方程圖形性質焦點，，焦距范圍，，對稱性關于x軸、y軸和原點對稱頂點軸實軸長=，虛軸長=離心率漸近線方程【典例】例1．（2021全國Ⅰ）在平面直角坐標系中,已知點、，，點的軌跡為，則的方程為；例2．是雙曲線上一點，、是雙曲線的兩個焦點，且，求的值．分析：利用雙曲線的定義求解．解：在雙曲線中，，，故．由是雙曲線上一點，得．∴或．又，得．說明：本題容易忽視這一條件，而得出錯誤的結論或．例3．如右圖所示，為雙曲線：的左焦點，雙曲線上的點與()關于軸對稱，則的值為(C)A．9B．16C．18D．27例4．已知曲線C：mx2＋ny2＝1，下列結論不正確的是（

）A．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為C．若mn＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±xD．若m＝0，n＞0，則C是兩條直線【答案】B【解析】【分析】就不同的取值結合曲線方程的形式逐項判斷后可得正確的選項.【詳解】對于A，當m＞n＞0時，有，方程化為，表示焦點在y軸上的橢圓，故A正確；對于B，由m＝n＞0，方程變形為，該方程表示半徑為的圓，故B錯誤；對于C，由mn＜0知曲線表示雙曲線，其漸近線方程為，故C正確；對于D，當m＝0，n＞0時，方程變為ny2＝1表示兩條直線，故D正確．故選：B.例5．已知實數x，y滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由已知條件畫出曲線，利用數形結合即可求解.【詳解】曲線由三段曲線組成，分別是：雙曲線?圓?雙曲線，其中是那兩段雙曲線的漸近線，曲線如下圖所示，，其中代表曲線C上任一點到直線的距離，距離的最大值即為圓的半徑，雙曲線無限趨近于漸近線，由此可知距離，故的取值范圍為，故選：.【練習】一、選擇題1．（2022·廣西·欽州一中高二期中（文））已知平面內兩定點，，下列條件中滿足動點的軌跡為雙曲線的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由雙曲線的定義即可求解.【詳解】解：由題意，因為，所以由雙曲線的定義知，當時，動點的軌跡為雙曲線，故選：C.2．動點到兩定點、的距離之差等于6，則動點的軌跡方程是（D）A． B．C． D．3．雙曲線方程為，則它的右焦點坐標為（C）A、 B、 C、 D、4.已知雙曲線上的一點P到一個焦點的距離為7，則P到另一個焦點的距離等于（C）A．1或13 B．1 C．13 D．35．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線離心率（）A． B． C． D．6．設雙曲線的虛軸長為2，焦距為，則其漸近線方程為（）A． B． C． D．7．已知雙曲線的焦點為、，點在雙曲線上且軸，則到直線的距離為(C)(A) (B) (C) (D)8．（多選題）曲線，則（

）A．C上的點滿足， B．C關于x軸、y軸對稱C．C與x軸、y軸共有3個公共點 D．C與直線只有1個公共點【答案】ACD【解析】【分析】去掉絕對值即可根據雙曲線和橢圓的性質判斷.【詳解】表示橢圓在x軸上方的部分，表示雙曲線在x軸下方的部分，作出圖象：雙曲線的一條漸近線為，故選項ACD正確，選項B錯誤.故選：ACD.二、填空題9.（2016高考北京文數）已知雙曲線（，）的一條漸近線為，一個焦點為，則__1____；______2_______.10．方程所表示的曲線為C，有下列命題：①若曲線C為橢圓，則；②若曲線C為雙曲線，則或；③曲線C不可能為圓；④若曲線C表示焦點在上的雙曲線，則.以上命題正確的是.（填上所有正確命題的序號）三、解答題11．根據下列條件，求雙曲線的標準方程．（1），，焦點在x軸上；（2），經過點（－5，2），焦點在軸上．（3）與雙曲線有相同焦點，且經過點（4）過點經過兩點，且焦點在坐標軸上．解：(1)由題設知，，，由，得.因為雙曲線的焦點在x軸上，所以所求雙曲線的標準方程為；（2）∵焦點在軸上，，∴設所求雙曲線方程為：（其中）∵雙曲線經過點（－5，2），∴∴或（舍去）∴所求雙曲線方程是（3）設所求雙曲線方程為：∵雙曲線過點，∴∴或（舍）∴所求雙曲線方程為說明：（3）注意到了與雙曲線有公共焦點的雙