計數原理與概率統計1.某棉紡廠為了了解一批棉花的質量，隨機抽查了100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質量的重要指標），將所得到的數據分成7組：，，，，，，（棉花纖維的長度均在內），繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值，并估計棉花纖維的長度的眾數和平均數（同一組數據用該區間的中點值作為代表）；(2)估計棉花纖維的長度的分位數.2.某學校高一新生體檢，校醫室為了解新生的身高情況，隨機抽取了100名同學的身高數據(單位：cm)，制作成頻率分布直方圖如圖所示.（1）求這100名同學的平均身高的估計值(同一組數據用區間中點值作為代表)；（2）用分層抽樣的方法從，，中抽出一個容量為17的樣本，如果樣本按比例分配，則各區間應抽取多少人；（3）估計這100名同學身高的上四分位數.3.國家發改委和住建部等六部門發布通知，提到：2025年，農村生活垃圾無害化處理水平將明顯提升.現階段我國生活垃圾有填埋?焚燒?堆肥等三種處理方式，隨著我國生態文明建設的不斷深入，焚燒處理已逐漸成為主要方式.根據國家統計局公布的數據，對2013-2020年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數y（單位：座）進行統計，得到如下表格：年份20132014201520162017201820192020年份代碼x12345678垃圾焚燒無害化處理廠的個數y166188220249286331389463(1)根據表格中的數據，可用一元線性回歸模型刻畫變量y與變量x之間的線性相關關系，請用相關系數加以說明（精確到0.01）；(2)求出y關于x的經驗回歸方程，并預測2022年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數；(3)對于2035年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數，還能用（2）所求的經驗回歸方程預測嗎？請簡要說明理由.參考公式：相關系數，回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為，參考數據：，，，，，，4.某市為了解車主用車的能源類型與對該市交通擁堵感受的關系，共調查了100名車主，并得到如下的列聯表：覺得交通擁堵覺得交通不擁堵合計燃油車車主302050新能源車車主252550合計5545100（1）將頻率估計為概率，從該市燃油車和新能源車車主中隨機抽取1名，記“抽取到燃油車車主”為事件，“抽取到新能源車車主”為事件，“抽取到的車主覺得交通擁堵”為事件，“抽取到的車主覺得交通不擁堵”為事件，計算，，比較它們的大小，并說明其意義；（2）是否有的把握認為該市車主用車的能源類型與對該市交通擁堵的感受有關?將分析結果與（1）中結論進行比較，并作出解釋.附表及公式：0.1000.0100.0012.7066.63510.828，.5.有6名同學站成一排.(1)甲不站排頭也不站排尾，則不同的排法種數為？(2)甲、乙不相鄰，則不同的排法種數為？(3)甲、乙相鄰，且甲、乙均不與丙相鄰，則不同的排法種數為？6.電影《志愿軍雄兵出擊》講述了在極其簡陋的裝備和極寒嚴酷環境下，中國人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神取得入朝作戰第一階段戰役的勝利，著名的“松骨峰戰斗”在該電影中就有場景.現有3名男生和4名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起.（列出算式，并計算出結果）(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？(3)甲、乙兩位同學相鄰且都不與丙同學相鄰的坐法有多少種？7.現有9件產品，其中4件一等品，3件二等品，2件三等品，從中抽取3件產品.(1)試問共有多少種不同的抽法?(2)抽出的3件產品中一等品、二等品、三等品各1件的抽法共有多少種?(3)抽出的3件產品中至少有1件二等品的抽法共有多少種?8.一個袋子中有7個大小相同的球，其中有2個紅球，2個藍球，3個黑球，從中隨機取出3個球.(1)求至少取到2個黑球的概率；(2)設取到一個紅球得2分，取到一個藍球得1分，取到一個黑球得0分，記總得分為X，求X的分布列和均值.9.已知的二項展開式中，前三項的二項式系數的和為46.(1)求展開式中所有項的系數的和：(2)求展開式中的常數項.10.某場知識競賽比賽中，甲、乙、丙三個家庭同時回答一道有關環保知識的問題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是，甲、丙兩個家庭都回答錯誤的概率是，乙、丙兩個家庭都回答正確的概率是，若各家庭回答是否正確互不影響.(1)求乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率；(2)求甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題的概率.11.甲，乙兩人進行圍棋比賽，采取積分制，規則如下：每勝1局得1分，負1局或平局都不得分，積分先達到2分者獲勝；若第四局結束，沒有人積分達到2分，則積分多的一方獲勝；若第四周結束，沒有人積分達到2分，且積分相等，則比賽最終打平.假設在每局比賽中，甲勝的概率為，負的概率為，且每局比賽之間的勝負相互獨立.（1）求第三局結束時乙獲勝的概率；（2）求甲獲勝的概率.12.為普及防火救災知識，某學校組織防火救災知識競賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手在第一輪比賽勝出后才能進入第二輪比賽.若其在兩輪比賽中均勝出，則贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲，乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，甲?乙勝出的概率分別為，，甲，乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響，（1）比較甲?乙兩人誰贏得比賽的概率大；（2）求甲贏得比賽且乙沒贏得比賽的概率.13.進行垃圾分類收集可以減少垃圾處理量和處理設備，降低處理成本，減少土地資源的消耗，具有社會、經濟、生態等多方面的效益，是關乎生態文明建設全局的大事.為了普及垃圾分類知識，某學校舉行了垃圾分類知識考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學答對每題的概率都為p，乙同學答對每題的概率都為q（），且在考試中每人各題答題結果互不影響已知每題甲，乙同時答對的概率為，恰有一人答對的概率為.(1)求p和q的值；(2)試求兩人共答對至少3道題的概率.14.為了解某品牌A型號空調的質量，某商場對購買該型號的顧客進行了產品滿意度的問卷調查.隨機抽取了100位顧客的問卷進行評分統計，評分的頻率分布直方圖如圖所示，數據分組依次為：，，，，，.(1)求a的值；(2)求這100位顧客問卷評分的平均數；(3)若根據各組的頻率的比例采取分層抽樣的方法，從評分在和內的居民中共抽取7戶居民，查閱他們答卷的情況，再從這7戶居民中選取2戶進行專項調查，求這2戶居民中恰有1戶的評分在內的概率.15.某高新技術企業新研發出了一種產品，該產品由三個電子元件組裝而成，這三個電子元件在生產過程中的次品率均為.組裝過程中不會造成電子元件的損壞，當且僅當三個電子元件都不是次品時，產品能正常工作，否則該產品為次品.（1）設一件產品中所含電子元件為次品的個數為X，求X的分布列和期望；（2）設“任取一件產品為次品”，“該產品僅有一個電子元件是次品”，求；（3）安排質檢員對這批產品進行逐一檢查，確保沒有次品流入市場.現有兩種方案，方案一：安排三個質檢員先行檢測這三個元件，次品不進入組裝生產線；方案二：安排一個質檢員檢測成品，若發現次品，則進行電子元件的更換，保證產品能正常工作.更換電子元件的費用為15元/個.已知每位質檢員的月工資為3000元，該企業每月生產該產品800件，請從企業獲益的角度考慮，應該選擇哪種方案?

答案以及解析1.答案：(1)，眾數為，平均數；(2)解析：(1)由頻率分布直方圖知，解得.最高小矩形底邊中點橫坐標即為眾數，可得眾數為.平均(2)設棉花纖維的長度的分位數為，所以，解得.2.答案：（1）（2）答案見解析（3）176.25解析：（1）第一組的頻率為0.05，第二組的頻率為0.35，第三組的頻率為，第四組的頻率為0.20，第五組的頻率為0.10，故平均數.（2）根據題意，第組有人，第組有人，所以第3組選人.（3）因為前3組的頻率和為0.7，前4組的頻率和為0.9，所以第75百分位數在第四組，不妨設為x，則，解得，即第75百分位數約為176.25；3.答案：(1)答案見解析；(2)，513；(3)答案見解析解析：（1），相關系數因為y與x的相關系數，接近1，所以y與x的線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合y與x的關系.（2）所以y與x的線性回歸方程為又2022年對應的年份代碼，當時，，所以預測2022年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數為513.（3）對于2035年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數，不能由（2）所求的線性回歸方程預測，理由如下（說出一點即可）：①線性回歸方程具有時效性，不能預測較遠情況；②全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數有可能達到上限，一段時間內不再新建；③受國家政策的影響，可能產生新的生活垃圾無害化處理方式.4.答案：（1），，，答案見解析（2）沒有，答案見解析解析：（1）由題意得，，，說明從抽樣情況來看，燃油車車主覺得交通擁堵的比例比新能源車車主覺得交通擁堵的比例更高（2），因此沒有90%的把握認為該市車主用車的能源類型與是否覺得該市交通擁堵有關，說明調查人數太少，（1）中的結論不具有說服力，需要調查更多車主.5.答案：(1)480(2)480(3)144解析：(1)甲不站排頭也不站排尾，則先排其余5人，有種排法，甲插空，有種，故共有種不同排法.(2)甲、乙不相鄰，則先排其余4人，有種不同排法，甲乙兩人再插空，有種，故共有種不同排法.(3)甲、乙相鄰，且甲、乙均不與丙相鄰，則甲乙捆綁在一起，有種排法，先排列其余3人，有種，甲乙與丙再插空，有種排法，故共有種不同排法.6.答案：(1)576(2)144(3)960解析：(1)先將4名女生排在一起，有種排法，將排好的女生視為一個整體，再與3名男生進行排列，共有種排法，由分步乘法計數原理，共有種排法；(2)先將3名男生排好，共有種排法，在這3名男生中間以及兩邊的4個空位中插入4名女生，共有種排法，再由分步乘法計數原理，共有種排法；(3)先將甲乙丙以外的其余4人排好，共有種排法，由于甲乙相鄰，則有種排法，最后將排好的甲乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人的5個空隙中，共有種排法，由分步計數原理，共有種排法.7.答案：(1)84(2)24(3)64解析：(1)從9件產品中抽取3件產品共有種；(2)從9件產品中抽取3件產品，其中一等品、二等品、三等品各1件有種；(3)“抽出的3件產品中至少有1件二等品”的對立事件是“抽取的3件產品沒有一件二等品”，因此抽出的3件產品中至少有1件二等品共有種.8.答案：(1)；(2)分布列見解析，解析：（1）記“至少取到2個黑球”，事件A包含：①取到2個黑球，1個紅球或藍球；②取到3個黑球.所以，故至少取到2個黑球的概率為.（2）X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5.即取到2個紅球，1個藍球，則；即取到1個紅球，2個藍球，或取到2個紅球，1個黑球，則；即取到1個紅球，1個藍球，1個黑球，則；即取到1個紅球，2個黑球，或取到2個藍球，1個黑球，則；即取到1個藍球，2個黑球，則；即取到3個黑球，則.所以的分布列為X012345P所以.9.答案：(1)-1(2)2304解析：(1)因為的二項展開式中前三項的二項式系數的和為46，所以，即，，解得或（舍）.令，則，所以展開式中所有項的系數的和為-1.(2)由(1)知二項式為，所以二項展開式的通項為，，令，得，所以展開式中的常數項為.10.答案：(1)，；(2)解析：（1）設甲、乙、丙家庭回答正確分別為事件A、B、C，根據題意，則有，則，又，所以，即，又，所以.所以乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率分別為和.（2）設甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題為事件D，則有，所以甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題的概率為.11.答案：（1）（2）解析：（1）設事件A為“第三局結束乙獲勝”由題意知，乙每局獲勝的概率為，不獲勝的概率為.若第三局結束乙獲勝，則乙第三局必定獲勝，總共有2種情況：(勝，不勝，勝)，(不勝，勝，勝).故（2）設事件B為“甲獲勝”.若第二局結束甲獲勝，則甲兩局連勝，此時的概率.若第三局結束甲獲勝，則甲第三局必定獲勝，總共有2種情況：(勝，不勝，勝)，(不勝，勝，勝).此時的概率.若第四局結束甲以積分獲勝，則甲第四局必定獲勝，前三局為1勝2平或1勝1平1負，總共有9種情況：(勝，平，平，勝)，(平，勝，平，勝)，(平，平，勝，勝)，(勝，平，負，勝)，(勝，負，平，勝)，(平，勝，負，勝)，(負，勝，平，勝)，(平，負，勝，勝)，(負，平，勝，勝).此時的概率若第四局結束甲以積分獲勝，則乙的積分為0分，總共有4種情況：(勝，平，平，平)，(平，勝，平，平)，(平，平，勝，平)，(平，平，平，勝).此時的概率，故12.答案：（1）甲贏得比賽的概率大（2）解析：（1）設“甲在第一輪比賽中勝出”，“甲在第二輪比賽中勝出”，“乙在第一輪比賽中勝出”，“乙在第二輪比賽中勝出”，則“甲贏得比賽”，，“乙贏得比賽”，.因為，所以甲贏得比賽的概率大.（2）設“甲贏得比賽”，“乙贏得比賽”，由（1）知，，所以甲贏得比賽且乙沒贏得比賽的概率為.13.答案：(1)，；(2)解析：（1）設{甲