課堂導學（圓的方程）【知識點】一、圓的標準方程，其中為圓心，為半徑.特別的，當，圓的方程就是.注：(1)如果圓心在坐標原點，這時，圓的方程就是.如果圓的標準方程為，圓心為，半徑為，則有(2)點與圓C：的關系：①若點在圓上②若點在圓外③若點在圓內二、圓的一般方程由方程得注：(1)當時，方程只有實數解.它表示一個點.(2)當時，方程沒有實數解，因而它不表示任何圖形．(3)當時，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓.【典例】例1．（2022·全國·模擬預測）已知圓與以原點為圓心的圓關于直線對稱，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】【分析】分別求得圓和原點為圓心的圓的圓心坐標，求得直線的斜率為，即的中點坐標為，結合題意，求得直線的方程，代入中點坐標，即可求解.【詳解】由題意，圓，可得圓心坐標為，以原點為圓心的圓的圓心坐標為，可得直線的斜率為，且的中點坐標為，因為圓與以原點為圓心的圓關于直線對稱，所以，即，將點代入直線，可得.故選：A.例2．（2022·安徽·南陵中學高二階段練習）已知圓經過點，，.(1)求圓的方程；(2)求直線截圓所得兩段弧長之比.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）設圓的一般方程，把三個點代入即可解出答案.（2）圓心在直線上，即可得出答案.(1)設圓的一般方程為，把三個點代入得，得所以圓的方程為

即.(2)由于圓心在直線上，故直線截圓所得兩段弧長之比為.例3．求滿足下列條件的圓的標準方程．(1)圓心在x軸上，半徑為5，且過點；(2)圓心在直線y=-2x上，且與直線y=1-x相切于點；（3)圓心在直線x-2y-3=0上，且過點，．【答案】(1)或(2)(3)【解析】【分析】利用待定系數法分別求出（1）、（2）、（3）、（4）的圓的標準方程.(1)設圓的標準方程為．因為點在圓上，所以，解得a=-2或a=6，所以所求圓的標準方程為或．(2)設圓心為．因為圓與直線y=1-x相切于點，所以，解得a=1．所以所求圓的圓心為，半徑．所以所求圓的方程為．(3)設點C為圓心，因為點C在直線上，故可設點C的坐標為．又該圓經過A、B兩點，所以．所以，解得a=-2，所以圓心坐標為，半徑．故所求圓的標準方程為．【作業】一、選擇題1．（2022·江蘇·高二）圓的圓心和半徑分別是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】【分析】先化為標準方程，再求圓心半徑即可.【詳解】先化為標準方程可得，故圓心為，半徑為.故選：D.2．（2022·吉林·吉化第一高級中學校高二期末）若曲線表示圓，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】按照圓的一般方程滿足的條件求解即可.【詳解】或.故選：C.3．（2022·湖北·安陸第一高中高二階段練習）與圓C：關于直線對稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】先求出圓的圓心和半徑，再根據對稱時對應點的連線與對稱軸垂直和其中點再對稱軸上列出方程求出圓心坐標即可.【詳解】圓C：的圓心，半徑．設點關于直線的對稱點為，則，所以圓C關于直線的對稱圓的方程為，故選:C．4．（2022·江蘇·高二）若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】【分析】若直線是圓的對稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計算求解．【詳解】由題可知圓心為，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選：A．5．（2022·山東淄博·模擬預測）若圓的弦MN的中點為，則直線MN的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由題可知，則可求得斜率，進而求得直線方程.【詳解】由圓方程可知圓心，則，由題可知，所以，又MN過點，根據點斜式公式可知直線MN的方程是.故選：B.6．（2022·全國·高二課時練習）方程表示的曲線是（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】整理得，再根據圓的方程即可得答案.【詳解】解：對兩邊平方整理得，所以，方程表示圓心為坐標原點，半徑為的圓在軸及下方的部分，A選項滿足.故選：A7．（多選題）（2022·江蘇·高二）圓，則（

）A．關于點對稱 B．關于直線對稱C．關于直線對稱 D．關于直線對稱【答案】ABC【解析】【分析】由圓的方程可確定圓心，由圓心位置和直線是否過圓心可確定各個選項的正誤.【詳解】對于A，由圓的方程知其圓心為，則圓關于點對稱，A正確；對于B，由A知其圓心在軸上，則圓關于軸對稱，即關于對稱，B正確；對于C，過圓心，圓關于直線對稱，C正確；對于D，不過圓心，圓不關于直線對稱，D錯誤.故選：ABC.二、填空題8．（2022·江蘇·高二）的圓心坐標為______，半徑長為______．【答案】

【解析】【分析】根據圓的標準方程直接求解即可.【詳解】解：因為圓的標準方程為，所以圓心坐標為，半徑為.故答案為：；.9．（2022·江蘇·高二）已知，則以為直徑的圓的方程為________．【答案】【解析】【分析】求得線段PQ的中點坐標和長度即可.【詳解】解：因為，所以線段PQ的中點為（0,0），，所以以為直徑的圓的方程為，故答案為：10．（2022·全國·高二課時練習）圓心在直線y＝x上且與x軸相切于點的圓的方程是______．【答案】【解析】【分析】由條件確定圓心和半徑，再求圓的方程.【詳解】設圓的圓心，半徑為，由條件可知，所以圓的方程是.故答案為：三、11．設點M在直線上，點和均在上，求的方程．【答案】【解析】【分析】設出點M的坐標，利用和均在上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.【詳解】解：∵點M在直線上，∴設點M為，又因為點和均在上，∴點M到兩點的距離相等且為半徑R，∴，，解得，∴，，的方程為.故答案為：12．求過點，且與直線相切于點的圓的方程.【答案】【解析】【分析】求得過點與直線垂直的直線方程，以及線段的垂直平分線的方程，聯立方程組求得圓心坐標為，再求得，得到圓的半徑，即可求解圓的方程.【詳解】設圓的標準方程為，因為圓與直線相切于點，可得過點與直線垂直的直線方程為，又由，可得線段的垂直平分線的方程，聯立方程組，解得，即圓心坐標為，又由，即圓的半徑為，所以圓的方程為.故答案為：.13．已知圓C過三點，，，求圓C的方