12.5因式分解1.

提公因式法學習目標1.

理解因式分解的意義和概念及其與整式乘法的區別和聯系.（重點）2.

理解并掌握提公因式法并能熟練地運用提公因式法分解因式.（難點）993－99能被100整除嗎？你是怎樣想的？與同伴交流.小明是這樣做的:993－99＝99×992－99×1＝99(992－1)＝99×9800＝98×99×100.所以，993－99能被100整除.993－99還能被哪些正整數整除？你能說出每一步的依據嗎？99(992－1)=99×(99+1)×(99-1)情境導入合作探究將99

換成其他任意一個大于1

的整數，還能寫成幾個整式的乘積的形式嗎？解決問題的關鍵是把上面式子化成了幾個整式積的形式.用a

表示任意一個大于1

的整數，則：a3-a=a·a2-a=a(a2-1)=a(a+1)(a-1).

合作探究知識講解知識點1因式分解的定義

運用前面所學的知識填空：（1）m(a+b+c)=（2）(a+b)(a-b)=（3）(a+b)2=ma+mb+mca2-b2a2+2ab+b2回顧觀察上面三個等式，填空：（1）ma+mb+mc=()()（2）a2-b2=()()（3）a2+2ab+b2=()2ma+b+ca+ba-ba+b試一試（1）ma+mb+mc=()()（2）a2-b2=()()（3）a2+2ab+b2=()2ma+b+ca+ba-ba+b想一想（1）m(a+b+c)=（2）(a+b)(a-b)=（3）(a+b)2=ma+mb+mca2-b2a2+2ab+b2這兩組等式，有什么聯系和區別？整式乘法運算把一個多項式化為幾個整式的積的形式因式分解的定義概括把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做多項式的因式分解.因式分解與整式乘法是互為逆運算關系.多項式的因式分解與整式乘法是方向相反的恒等式.1.因式分解的對象是多項式，結果是整式的積.2.因式分解是恒等變形，形式改變但值不改變.3.因式分解必須分解到每個多項式的因式不能再分解為止.注意事項隨堂小測1.下列變形是因式分解嗎？為什么？（1）a+b=b+a；

（2）4x2y-8xy2+1=4xy(x-2y)+1；（3）a(a-b)=a2-ab；

（4）2a2-2b2=2(a+b)(a-b).解：第（4）式是因式分解，其余都不是.2.下列由左邊到右邊的變形，哪些是分解因式?X√√XXX相同因式p這個多項式有什么特點？pa+pb+pc

我們把多項式各項都含有的相同因式，叫做這個多項式各項的公因式.知識講解知識點2提公因式法

思考提公因式法概括一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.把下列多項式分解因式：（1）3a+3b=_________________；（2）5x-5y+5z=_______________；3(a+b)5(x-y+z)做一做

（1）當各項系數都是整數，系數的最大公約數是公因式的系數；（2）如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括號內的第一

項的系數成為正數；

（3）各項都含有的字母的最低次冪的積是公因式的字母部分；

（4）公因式的系數與公因式字母部分的積是這個多項式的公因式．你認為怎樣確定一個多項式的公因式？1.公因式必須是多項式中每一項都含有的因式.只在某項或某些項中含有而其他項中沒有的因式不能成為公因式的一部分.2.公因式可以是單項式，也可以是多項式.3.若多項式各項中含有互為相反數的因式，則可將互為相反數的因式統一成相同的因式.注意事項

找出3x2–6xy

的公因式.系數：最大公約數3字母：相同的字母x

所以公因式是3x.指數：相同字母的最低次冪1做一做把下列多項式分解因式：（1）-5a2+25a（2）3a2-9ab（1）-5a2+25a=-5a(a-5)（2）3a2-9ab=3a(a-3b)-5a3a解方法總結：找公因式時應分三步:(1)找各項系數的最大公約數;(2)找相同的字母;(3)找相同字母的最低指數次冪.例18a3b2+12ab3c；分解因式：分析：提公因式法步驟（分兩步）第一步:找出公因式；第二步:提取公因式，即將多項式化為兩個因式的乘積.解：8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc)；如果提出公因式4ab,另一個因式是否還有公式？另一個因式將是2a2b+3b2c,它還有公因式是b.例2總結歸納

正確找出多項式各項公因式的關鍵是：1.定系數：公因式的系數是多項式各項系數的最大公約數.

2.定字母：字母取多項式各項中都含有的相同的字母.

3.定指數：相同字母的指數取各項中最小的一個，即字母最低次冪.

1.多項式8a3b2+12ab3c各項的公因式是()A.abc B.ab2C.4ab2 D.4ab2cC2.下列各組式子中沒有公因式的是()A.4a2bc與8abc2B.a3b2+1與a2b3－1C.

b(a－2b)2

與a·(2b－a)2D.

x+1與x2－1B隨堂小測3.因式分解:(2x+3)2-(2x+3)=

.2(2x+3)(x+1)4.因式分解:4(x-y)3-6(y-x)2=

.2(x-y)2(2x-2y-3)

(a-b)2(a-b-1)1.多項式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（）A.-6ab2cB-ab2C.-6ab2D.-6a3b2c

2.若多項式-6ab+18abx+24aby的一個因式是-6ab，那么另一個因式是（）A.-1-3x+4yB.1+3x-4yC.-1-3x-4yD.1-3x-4yCD當

堂

檢

測3.多項式x2＋x6提取公因式后，剩下的因式是(

)A．x4B．x3＋1C．x4＋1D．x3－1C4.把多項式a2－4a分解因式，結果正確的是(

)A．a(a－4)B．(a＋2)(a－2)C．a(a＋2)(a－2)D．(a－2)2－4A病因：___________________________藥方：___________________________

病因：__________________________藥方：__________________________

（2）（1）還有公因式沒提取漏掉一個因式“1”（3）提取系數為負的因式，沒有變號病因：__________________________藥方：__________________________

5.查找下列因式分解的病因和藥方6.把下列各式因式分解：(1)x(a＋b)＋y(a＋b)；(2)3a(x－y)－(x－y)；(3)6(p＋q)2－12(q＋p)；(4)a(m－2)＋b(2－m)；(5)2(y－x)2＋3(x－y)；(6)mn(m－n)－m(n－m)2解：(1)x(a＋b)＋y(a＋b)＝(a＋b)(x＋y)．(2)3a(x－y)－(x－y)＝(x－y)(3a－1)．(3)6(p＋q)2－12(q＋p)＝6(p＋q)(p＋q－2)．(4)a(m－2)＋b(2－m)＝a(m－2)－b(m－2)＝(m－2)(a－b)．(5)2(y－x)2＋3(x－y)＝2(x－y)2＋3(x－y)＝(x－y)[2(x－y)＋3]＝(x－y)(2x－2y＋3)．(6)mn(m－n)－m(n－m)2＝mn(m－n)－m(m－n)2＝m(m－n)[n－(m－n)]＝m(m－n)(n－m＋n)＝m(m－n)(2n－m)．課堂小結提公因式法