PAGE23-河南省駐馬店市2024-2025學年高二數學下學期期末考試試題文（含解析）本試題卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．考生作答時，將答案答在答題卡上，在本試題卷上答題無效．留意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫（涂）在答題卡上．考生要仔細核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名”與考生本人準考證號、姓名是否一樣．2．第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．第II卷用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題上作答，答案無效．3．考試結束，監考老師將答題卡收回．第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分．共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，將正確答案的代號涂在答題卡上．1.已知，i是虛數單位，復數在復平面內對應的點在第四象限，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復數代數形式的乘法運算化簡，再由實部大于0且虛部小于0聯立不等式組求解．【詳解】解：復數，對應點在第四象限，則，解得：．實數的取值范圍是．故選：．【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的代數表示法及其幾何意義，屬于基礎題．2.若雙曲線離心率為2，則其漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由離心率是2得，代入得，求出的值，再求出雙曲線的漸近線方程．【詳解】解：由題意得，，則即，所以雙曲線的漸近線方程為，即，故選：B．【點睛】本題考查雙曲線的標準方程以及簡潔的幾何性質，屬于基礎題．3.在一組樣本數據，，…，（，，…不全相等）的散點圖中，若全部樣本點都在直線上，則這組樣本數據的樣本相關系數為（）A.-3 B.0 C.-1 D.1【答案】C【解析】因為全部樣本點都在直線上，所以回來直線方程是，可得這兩個變量是負相關，故這組樣本數據的樣本相關系數為負值，且全部樣本點，都在直線上，則有相關系數，故選C.4.在下列結論中，正確的是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.若為真命題，則p，q均為真命題C.命題“若，則”的否命題為“若，則”D.已知命題，都有，則，使【答案】D【解析】【分析】對于A，解不等式，可知A不正確；對于B，命題與命題一個為真命題、一個為假命題時，可得命題“”是真命題，所以B不正確；對于C，只否定了結論，沒有否定條件，故C不正確；對于D，依據命題的否定的概念，可知D正確.【詳解】對于A，時，則成立，但是當時，或.所以“”是“”的充分不必要條件，故A錯誤；對于B，若為真命題，則p，q至少一個為真命題，故B錯誤；對于C，“若，則”的否命題為“若，則”故C錯誤；對于D，，都有，則，使，故D正確.故選：D．【點睛】本題考查了命題真假的推斷，充分、必要條件，特稱命題的否定，原命題的否命題，復合命題與簡潔命題的關系等學問，是基礎題．5.朱世杰是中國歷史上最宏大的數學家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千六百二十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉多八人．其大意為"官府接連派遣1624人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從其次天起先每天派出的人數比前一天多8人”，則在該問題中的1624人全部派遣到位須要的天數為（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】B【解析】【分析】依據題意可知，每天派遣的人數構成等差數列，首項為64，公差為8.設每天派出的人數組成數列，由等差數列前n項和公式=，解得可得選項.【詳解】依據題意設每天派出的人數組成數列，分析可得數列是首項，公差的等差數列，該問題中的1864人全部派遣到位的天數為，則，解得，（舍去）滿意方程，故選：B.【點睛】本題考查數列的應用，等差數列求和，關鍵是建立等差數列的數學模型，屬于基礎題.6.執行如圖所示的程序框圖，若輸入n的值為3，則輸出S的值是（）A.3 B.2 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環結構計算并輸出變量的值，模擬程序的運行過程，分析循環中各變量值的改變狀況，可得答案．【詳解】解：輸入的值為3，當時，滿意接著循環的條件，執行完循環體后，，；當時，滿意接著循環的條件，執行完循環體后，，；當時，滿意接著循環的條件，執行完循環體后，，；當時，不滿意接著循環的條件，故輸出的值為4，故選：C．【點睛】本題考查的學問點是程序框圖，在寫程序的運行結果時，我們常運用模擬循環的變法，但程序的循環體中變量比較多時，要用表格法對數據進行管理．7.下表供應了某廠節能降耗技術改造后在生產產品過程中記錄的產量（噸）與相應的生產能耗（噸）的幾組對應數據，依據表中供應的數據，求出關于的線性回來直線方程為，則下列結論錯誤的是（）A.產品的生產能耗與產量呈正相關B.的取值必定是C.回來直線肯定過點D.產品每多生產噸，相應的生產能耗約增加噸【答案】B【解析】【分析】依據回來直線的斜率可推斷A、D選項；利用回來直線過樣本的中心點可推斷B、C選項.【詳解】對于A、D選項，由于回來直線的斜率為，所以，產品的生產能耗與產量呈正相關，產品每多生產噸，相應的生產能耗約增加噸，A、D選項都正確；對于B、C選項，由表格中的數據可得，，由于回來直線過樣本的中心點，則，解得.所以，B選項錯誤，C選項正確.故選：B.【點睛】本題考查回來直線有關命題真假的推斷，考查回來直線方程的意義以及回來直線過樣本的中心點這個結論的應用，考查計算實力，屬于基礎題.8.若數列滿意，則稱為“幻想數列”，已知數列為“幻想數列”，且，則（）A.18 B.16 C.32 D.36【答案】A【解析】【分析】依據“幻想數列”的定義，得出數列為公比為的等比數列，進而得到數列為公比為3的等比數列，結合等比數列的性質，即可求解.【詳解】依據題意，幻想數列滿意，即，即數列為公比為的等比數列，若數列“幻想數列”，則，即，即數列為公比為3的等比數列，若，則.故選：A.【點睛】本題主要考查數列的新定義，以及等比數列的通項公式及性質的應用，其中解答中依據“幻想數列”得到數列為公比為3的等比數列是解答的關鍵，著重考查推理與運算實力.9.在△中，若，則△的最大內角與最小內角的和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理可得，，三邊的關系，由大邊對大角可得最小，最大；由余弦定理可得的值，進而由三角形內角和為可得的值．【詳解】解：因為，由正弦定理可得，設，，，三角形中由大邊對大角可得角最大，角最小，由余弦定理可得，因為，所以，所以，故選：．【點睛】本題考查三角形的正弦定理和余弦定理的應用，屬于基礎題．10.若函數的導函數為，對，都有成立，且，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構造函數，利用導數推斷函數的單調性，將所求不等式變形為，利用函數的單調性即可得出結果.【詳解】構造函數，該函數的定義域為，則，所以，函數在上單調遞減，且，由，得，即，.因此，不等式的解集是.故選：B.【點睛】本題考查利用函數的單調性解函數不等式，依據導數不等式的結構構造新函數是解答的關鍵，考查分析問題和解決問題的實力，屬于中等題.11.若函數在上有最大值，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】因為給的是開區間，最大值肯定是在該極大值點處取得，因此對原函數求導、求極大值點，求出函數極大值時的值，然后讓極大值點落在區間內，依此構造不等式．即可求解實數的值．【詳解】解：由題意，所以，當或時，；當時，，故是函數的極大值點，，，解得，所以由題意應有：，解得．故選：D．【點睛】本題考查了三次函數在指定區間上的最值問題，肯定要辨析清晰是開區間還是閉區間，從而確定最值點與極值點的關系；本題另一個易錯點為易忽視定義域中的條件．12.已知橢圓的左、右焦點分別為、，點P在橢圓上且異于長軸端點，點M，N在△所圍區域之外，且始終滿意，，則的最大值為（）A.8 B.7 C.10 D.9【答案】A【解析】【分析】設，的中點分別為，，則，在分別以，為圓心的圓上，直線與兩圓的交點△所圍區域之外）分別為，時，的最大，可得的最大值為即可．【詳解】解：設，的中點分別為，，，，則，在分別以，為圓心的圓上，∴直線與兩圓的交點△所圍區域之外）分別為，時，最大，又橢圓，所以，∴的最大值為，故選：A．【點睛】本題考查了橢圓的定義與性質，以及兩個圓上的點的距離的最值，考查了轉化思想，屬于中檔題．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在答題卡相應的位置上）13.若實數x，y滿意約束條件，則的最小值為__________．【答案】1【解析】【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求出最優解的坐標，代入目標函數得答案．【詳解】畫出不等式組對應的可行域，如圖所示，由可得，數形結合可得當直線過A時，直線在y軸上的截距最大，z有最小值，聯立，解得A（1，2），此時z有最小值為3×1﹣2＝1．故答案為：1【點睛】本題主要考查簡潔線性規劃求解目標函數的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數的最優解是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，及推理與計算實力，屬于基礎題．14.已知曲線的某條切線過原點，則此切線的斜率為__________．【答案】【解析】【分析】設切點坐標為，求函數的導數，可得切線的斜率，切線的方程，代入，求切點坐標，切線的斜率．【詳解】解：設切點坐標為，，，切線的斜率是，切線的方程為，將代入可得，，切線的斜率是；故答案為：．【點睛】本題主要考查導數的幾何意義，利用切線斜率和導數之間的關系可以切點坐標．15.有下列一組不等式：，依據這一規律，若第2024個不等式為，則__________．【答案】6064【解析】【分析】由歸納推理得：第個不等式為：，若第2024個不等式為，所以，，即可得解．【詳解】解：因為由，，，，，依據這一規律，則第個不等式為：，若第2024個不等式為，即，，所以，，即，故答案為：．【點睛】本題考查了歸納推理，屬于基礎題．16.在△中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，，則當角C取最大值時，△的面積為__________．【答案】【解析】【分析】由余弦定理可得，再利用基本不等式的性質可得的最大值，再利用三角形面積計算公式即可得出．【詳解】解：，，在中，由余弦定理可得：，，時取等號．此時，，，當取最大值時，的面積．故答案為：．【點睛】本題考查了余弦定理、基本不等式的性質、三角形面積計算公式，考查了推理實力與計算實力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共6個小題，滿分70分．解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22～23題為選考題，考生依據要求作答．（―）必考題：共60分17.為改進課堂教學，某數學老師在甲、乙兩個平行班級分別用“傳統教學”和“新課堂教學”兩種不同的教學方式進行教學試驗，為了比較教學效果，期中考試后，分別從兩個班級中各隨機抽取20名學生的成果進行統計，作出如下的莖葉圖：記成果不低于70分者為“成果優良”．（1）分別計算甲、乙兩班20個樣本中，數學分數前十的平均分，并大致推斷哪種教學方式的教學效果更佳；（2）由以上統計數據填寫下面列聯表，并推斷能否有95%的把握認為“成果優良與教學方式有關”？附：參考公式：，其中．獨立性檢驗臨界值表：0．100．050．0250．0102．7063．8415．0246．635【答案】（1）80.9；89.4；“新課堂”教學方式的教學效果更佳；（2）列聯表答案見解析；有95%的把握認為“成果優良與教學方式有關”.【解析】【分析】（1）依據莖葉圖，利用平均數公式計算甲、乙兩班數學成果前10名學生的平均分即可；（2）填寫列聯表，計算，比照數表即可得出結論．【詳解】解：（1）甲班樣本數學成果前十的平均分為乙班樣本數學成果前十的平均分為因為甲班樣本數學成果前十的平均分遠低于乙班樣本數學成果前十的平均分，大致可以推斷“新課堂”教學方式的教學效果更佳．（2）甲班乙班總計成果優良101626成果不優良10414總計202040依據2×2列聯表中的數據，得的觀測值為，∴有95%的把握認為“成果優良與教學方式有關”.【點睛】本題考查了計算平均數與獨立性檢驗的應用問題，解題時應依據列聯表求出觀測值，比照臨界值表得出結論，屬于基礎題．18.已知是單調遞減的等比數列，，且成等差數列．（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前50項和．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）設等比數列的公比為，運用等比數列的通項公式和等差數列的中項性質，可得首項和公比的方程，解方程可得首項和公比，進而得到所求通項公式；（2）求得，再由數列的裂項相消求和．【詳解】解：（1）設是公比為q的等比數列，因為，且成等差數列，故可得，又因為，所以，解得或者，，又因為是單調遞減的等比數列，所以，則；（2），，，．【點睛】本題考查等比數列的通項公式和等差數列的中項性質，考查數列的裂項相消求和，以及化簡運算實力，屬于中檔題．19.在△中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知．（1）求角B；（2）若△為銳角三角形，且，求△面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由題設及正弦定理，三角函數恒等變換的應用結合，，可求，進而可求的值．（2）由題設及正弦定理，可求，結合，可求，可求范圍，進而依據三角形的面積公式即可求解面積的取值范圍．【詳解】（1）由題設及正弦定理得因為，所以．由，可得，故．因為，故，由．（2）由題設及（1）知的面積．由正弦定理得．由于為銳角三角形，故，，由（1）知，所以，故，所以，從而．因此，面積的取值范圍是．【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角函數恒等變換的應用，三角形的面積公式等學問在解三角形中的綜合應用，考查了計算實力和轉化思想，屬于中檔題．20.在直角坐標系xOy中，已知點，，直線AM，BM交于點M，且直線AM與直線BM的斜率滿意：．（1）求點M的軌跡C的方程；（2）設直線l交曲線C于P，Q兩點，若直線AP與直線AQ的斜率之積等于，證明：直線l過定點．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設，結合，坐標，通過斜率關系，求解即可．（2）設，，，，通過，得到，求出直線的方程：，說明直線恒過定點．【詳解】解：（1）設，又，，則，可得，因為，所以M的軌跡C的方程為；（2）證明，設，，，又，可得，又因為，即有，即由直線l的斜率為可得直線l的方程為，化為，又因為，可得，可得直線恒過定點．【點睛】本題考查軌跡方程的求法，直線系方程的應用，考查轉化思想以及計算實力，屬于中檔題．21.已知函數．（1）若是定義域上的單調函數，求實數a的取值范圍；（2）若在定義域上有兩個極值點，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）對函數進行求導得，再將問題轉化為二次函數函數值的正負問題探討；（2）由（1）知，當，有微小值點和極大值，且，，利用消元法將變成關于的函數，再利用導數探討函數的最值，即可證明不等式；【詳解】（1）∵，∴令則∵，∴對稱軸①當時，，，∴，故在單調遞減．②當時，，方程有兩個不相等的正根，不妨設，則當時，，當）時，，這時不是單調函數．綜上，a的取值范圍是．（2）由（1）知，當，有微小值點和極大值，且，，，令則當時，∴在單調遞減，所以故．【點睛】本題考查利用導數探討函數的單調性、不等式的證明，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想、分類探討思想，考查邏輯推理實力、運算求解實力，求解時留意函數構造法的應用.（二）選考題：共10分．請考生在第22．23題中任選一題作答．假如多做，則按所做的第一題計分．【選修4-4：坐標系與參數方程】22.在平面直角坐標系xOy中，直線的參數方程為（t為參數，為傾斜角），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，在平面直角坐標系xOy中，將曲線上全部點的橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的2倍，再向上平移2個單位長度得到曲線．（1）求曲線、的直