2.4圓的方程

【考點(diǎn)1：由圓的方程求圓心與半徑】【考點(diǎn)2：求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】

【考點(diǎn)3：求圓的一般方程】【考點(diǎn)4：二元二次方程與圓的關(guān)系】

【考點(diǎn)5：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】【考點(diǎn)6：與圓有關(guān)的對(duì)稱問(wèn)題】

【考點(diǎn)7：與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題】

【考點(diǎn)8：與圓有關(guān)的最值問(wèn)題】

知識(shí)點(diǎn)1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1、定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓。其中，定點(diǎn)稱為圓心，定長(zhǎng)稱為圓的半徑。2、確定圓的基本要素是：圓心和半徑3、圓的方程：圓心為，半徑長(zhǎng)為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為4、幾種特殊位置的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程條件方程的標(biāo)準(zhǔn)形式圓心在原點(diǎn)圓過(guò)原點(diǎn)圓心在軸圓心在軸圓心在軸上且過(guò)原點(diǎn)圓心在軸上且過(guò)原點(diǎn)圓與軸相切圓與軸相切圓與兩坐標(biāo)軸都相切

【考點(diǎn)1：由圓的方程求圓心與半徑】

【典例1】圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（

）A．， B．， C．，3 D．，3【答案】A【分析】利用給定圓的方程直接求出圓心坐標(biāo)及半徑即得.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.故選：A【變式11】圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求得圓心坐標(biāo)和半徑.【詳解】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得圓心坐標(biāo)為，半徑為.故選：D【變式12】圓的圓心和半徑分別是（

）A．， B．，2 C．，1 D．，【答案】D【分析】直接由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定圓心和半徑，即可得到答案．【詳解】由圓的方程，可得它的圓心和半徑分別為，．故選：D．【變式13】已知圓，則圓心與半徑分別為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】直接利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫(xiě)出圓的圓心與半徑即可【詳解】圓的方程為為標(biāo)準(zhǔn)形式，即圓心與半徑分別為，故選：D.【考點(diǎn)2：求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】

【典例2】在平面直角坐標(biāo)系中，圓心為，半徑為2的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由圓心和半徑直接確定圓的方程.【詳解】由題意可得方程為.故選：C.【變式21】已知圓的圓心在，半徑為5，則它的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得解.【詳解】因?yàn)閳A心為，半徑為5，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：C【變式22】過(guò)圓外一點(diǎn)，以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知求出所求圓的圓心和半徑，即可求得答案.【詳解】由圓可知，，故以為直徑的圓的圓心為，半徑為，故以為直徑的圓的方程為，故選：D【變式23】已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先利用待定系數(shù)法求得圓C的一般方程，進(jìn)而得到圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)圓C的方程為，則圓心，則有，解之得,則有圓C的方程為，即故選：C知識(shí)點(diǎn)2：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系如果圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，則有（1）若點(diǎn)在圓上（2）若點(diǎn)在圓外（3）若點(diǎn)在圓內(nèi)知識(shí)點(diǎn)3：圓的一般方程當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程．為圓心，為半徑．知識(shí)點(diǎn)詮釋：由方程得（1）當(dāng)時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解．它表示一個(gè)點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形．（3）當(dāng)時(shí)，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓．

知識(shí)點(diǎn)4：用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟求圓的方程常用“待定系數(shù)法”．用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是：（1）根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．（2）根據(jù)已知條件，建立關(guān)于或的方程組．（3）解方程組，求出或的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程．【考點(diǎn)3：求圓的一般方程】【典例3】已知圓的圓心在直線上，且過(guò)點(diǎn)，，則圓的一般方程為.【答案】【分析】方法一：設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，建立方程組，求出答案；方法二：求出線段AB的垂直平分線方程，聯(lián)立求出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算出半徑，寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，化為一般方程.【詳解】方法一：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意得:，解得：故所求圓的方程為，即.方法二：線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，直線的斜率為，所以線段的垂直平分線的斜率為，所以線段的垂直平分線方程為，即，由幾何性質(zhì)可知：線段的垂直平分線與的交點(diǎn)為圓心，聯(lián)立，得交點(diǎn)坐標(biāo)，又點(diǎn)到點(diǎn)的距離，即半徑為，所以圓的方程為，即.故答案為：【變式31】求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【分析】分析出圓心在直線上，再結(jié)合其在上，最后得到圓心坐標(biāo)即可得到答案.【詳解】若經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則圓心在直線上，又在直線l：上，令，則，故圓心坐標(biāo)為，半徑為，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.【變式32】在中，，B和C．則的外接圓方程為．【答案】【分析】設(shè)出圓的一般方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求解即可．【詳解】由題意設(shè)圓的方程為，代入三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可得，解得，所以的外接圓方程為，故答案為：．【變式33】已知圓，若圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓方程.【答案】【分析】先利用配方法求得圓的圓心與半徑，根據(jù)直線的對(duì)稱性求得圓的圓心，從而得解.【詳解】圓可化為，則其圓心，半徑，設(shè)圓的圓心為，因?yàn)閳A與圓關(guān)于直線對(duì)稱，所以，整理得，解得，所以圓得方程為：.故答案為：【考點(diǎn)4：二元二次方程與圓的關(guān)系】

【典例4】多選題若曲線是一個(gè)圓，則的取值可以是（

）A． B． C．2 D．6【答案】AD【分析】根據(jù)方程表示圓求參數(shù)范圍即可.【詳解】因?yàn)榍€表示圓，所以，解得或.故選：AD

【變式41】方程表示一個(gè)圓，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】化簡(jiǎn)方程為，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到不等式，即可求解.【詳解】由方程，可化為，要使得方程表示一個(gè)圓，則滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.【變式42】若點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將方程表示圓，化為標(biāo)準(zhǔn)式得出，由點(diǎn)在圓外，得出，即可結(jié)合得出答案.【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)式：，則，即，又點(diǎn)在圓的外部，，解得，綜上：.故選：C.【變式43】若表示圓的方程，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓的一般式滿足的條件即可列不等式求解.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎疽粋€(gè)圓，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：D

【考點(diǎn)5：圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題】【典例5】點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)，求出以為直徑的圓的方程，并將圓的方程變形，可求得定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)為，圓的半徑為，所以，以為直徑為圓的方程為，即，即，由，解得或，因此，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為、.故選：D.【變式51】若圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1【答案】A【分析】把坐標(biāo)代入圓方程求解．注意檢驗(yàn)，方程表示圓．【詳解】將代入圓方程，得，解得或2，當(dāng)時(shí)，，舍去，所以.故選：A．【變式52】當(dāng)m變化時(shí)，圓x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒過(guò)定點(diǎn).【答案】（0，－2）和（0，1）【詳解】解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化為（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定點(diǎn)坐標(biāo)是（0，－2）和（0，1）.【變式53】圓心在拋物線上，且與直線相切的圓一定過(guò)的點(diǎn)是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的性質(zhì)和圓的性質(zhì)得出圓的半徑為圓心到直線的距離，對(duì)于圓心到拋物線的焦點(diǎn)的距離，故拋物線的焦點(diǎn)在圓上．【詳解】解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)為．設(shè)動(dòng)圓圓心為，則到的距離：．動(dòng)圓與直線相切，到直線的距離為動(dòng)圓半徑，即動(dòng)圓半徑為，即為圓上的點(diǎn)．此圓恒過(guò)定點(diǎn)．故選：B．知識(shí)點(diǎn)5：軌跡方程求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，實(shí)質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過(guò)“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量之間的方程．1、當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時(shí)，常采用直接法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件符合某一基本曲線的定義（如圓）時(shí)，常采用定義法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)在已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可采用代入法（或稱相關(guān)點(diǎn)法）．2、求軌跡方程時(shí)，一要區(qū)分“軌跡”與“軌跡方程”；二要注意檢驗(yàn)，去掉不合題設(shè)條件的點(diǎn)或線等．3、求軌跡方程的步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用表示軌跡（曲線）上任一點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）列出關(guān)于的方程；（3）把方程化為最簡(jiǎn)形式；（4）除去方程中的瑕點(diǎn)（即不符合題意的點(diǎn)）；（5）作答．

【考點(diǎn)6：與圓有關(guān)的對(duì)稱問(wèn)題】

【典例6】圓關(guān)于直線對(duì)稱后的方程為（

）A．B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知圓的圓心求出關(guān)于直線對(duì)稱的圓的圓心，求出半徑，即可得到所求結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A，所以圓的圓心為，半徑為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，所以，解得：，所以所求圓的圓心為，半徑為,故所求圓的方程為：.故選：A.【變式61】若曲線上相異兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線對(duì)稱，則k的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)圓上的任意兩點(diǎn)關(guān)于直徑對(duì)稱即可求解.【詳解】若曲線上相異兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線對(duì)稱，則圓心在直線上，故代入解得，故選：D．【變式62】已知圓：與圓：關(guān)于直線對(duì)稱，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求其中點(diǎn)坐標(biāo)以及斜率，根據(jù)對(duì)稱軸與兩對(duì)稱點(diǎn)連接線段的關(guān)系，可得答案.【詳解】由題意得，，則的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率.由圓與圓關(guān)于對(duì)稱，得的斜率.因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在上，所以，即.故選：C.

【考點(diǎn)7：與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題】

【典例7】如圖，已知點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的底面內(nèi)（包含邊界）一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到的距離的兩倍，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為．【答案】【分析】根據(jù)題意，得到，以為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，結(jié)合，求得點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓弧，再由扇形的弧長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】在正方體中，可得平面，因?yàn)槠矫妫裕瑒t點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，即，在底面中，以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸和軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，設(shè)，由，可得，整理得，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓弧，又由，可得，所以，即所對(duì)的圓心角為，所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為圓弧長(zhǎng)為.故答案為：.【變式71】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離是到點(diǎn)的距離的2倍，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為．【答案】【分析】先求出P的軌跡方程，再求面積.【詳解】設(shè)，由題意，則，平方化簡(jiǎn)得，即的軌跡是半徑為4的圓，所圍成圖形面積為.故答案為：.

【變式72】已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用相關(guān)點(diǎn)法求得點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而求得面積.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)，，則，即，又因?yàn)槎它c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以，即，整理得：，所以點(diǎn)的軌跡方程是以圓心為，半徑為的圓.所以該圓的面積為.故選：C.【變式73】線段長(zhǎng)度為4，其兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，則線段中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】利用幾何法直接求出軌跡方程，進(jìn)而由圓的面積公式求解.【詳解】，設(shè)為線段中點(diǎn)，，設(shè)，則，即．則線段中點(diǎn)的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓；故線段中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為.故選：D

【考點(diǎn)8：與圓有關(guān)的最值問(wèn)題】【典例8】在平面直角坐標(biāo)系中，已知為圓上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．34 B．40 C．44 D．48【答案】B【分析】借助點(diǎn)到直線的距離公式與圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)，則，即等價(jià)于點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方的兩倍加八，又，即.故選：B.【變式81】已知點(diǎn)A為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，B為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．3 B．4 C． D．【答案】A【分析】數(shù)形結(jié)合分析可得，當(dāng)時(shí)能夠取得的最小值，根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離減去半徑求解即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為1，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì),可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，結(jié)合圖象可知當(dāng)A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)能使點(diǎn)A到圓心的距離最小，最小值為4，從而的最小值為.故選：A【變式82】已知向量，，滿足，，，，則的最小值等于（

）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示，向量的坐標(biāo)滿足方程，結(jié)合向量的數(shù)量積公式求得結(jié)果.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，依題意令，，，，因?yàn)椋裕矗瑒t，則，則的最小值為4.故選：C.

【變式83】在平面直角坐標(biāo)系中，已知P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A．12 B．8 C．6 D．4【答案】B【分析】先根據(jù)，再根據(jù)圓的性質(zhì)求的最小值即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)P在線段CO上時(shí)等號(hào)成立.故選：B.1.經(jīng)過(guò)，，三個(gè)點(diǎn)的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)經(jīng)過(guò)，，三個(gè)點(diǎn)的圓的方程為，代入三點(diǎn)坐標(biāo)可得答案.【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)，，三個(gè)點(diǎn)的圓的方程為，由題意可得，解得，且滿足，所以經(jīng)過(guò)，，三個(gè)點(diǎn)的圓的方程為，即為.故選：C.2．圓心在軸上，且過(guò)點(diǎn)的圓與軸相切，則該圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意設(shè)圓心坐標(biāo)，建立方程，求解即可.【詳解】解：設(shè)圓心坐標(biāo)為，因?yàn)閳A心在軸上且圓與軸相切，所以即為半徑,則根據(jù)題意得：，解得，所以圓心坐標(biāo)為：，半徑為5，該圓的方程是,展開(kāi)得：.故選：C.3．圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出圓心坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離公式即可.【詳解】由題意得，即，則其圓心坐標(biāo)為，則圓心到直線的距離為.故選：D.4．已知是邊長(zhǎng)為的正三角形，點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】C【分析】可由重心的性質(zhì)結(jié)合向量運(yùn)算得到點(diǎn)的軌跡，再結(jié)合圓上的點(diǎn)到圓外定點(diǎn)的距離最小值為圓心到定點(diǎn)減半徑得到；亦可建立適當(dāng)平面直角坐標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合圓的性質(zhì)得解.【詳解】法一：設(shè)的重心為，則，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，又，的最小值是.法二：以所在直線為軸，以中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，即，化簡(jiǎn)得，點(diǎn)的軌跡方程為，設(shè)圓心為，，由圓的性質(zhì)可知當(dāng)過(guò)圓心時(shí)最小，又，故得最小值為.故選：C.5．曲線所圍成的區(qū)域的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定圓的半徑，即可求解.【詳解】由，得，故該曲線圍成區(qū)域的面積為半徑為3的圓的面積為.故選：D.6．直線與軸，軸分別交于點(diǎn)、，以線段為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線方程求出、點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出的中點(diǎn)即為圓心，長(zhǎng)的一半為半徑，利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直接寫(xiě)出，再化為一般方程即可.【詳解】直線，即，與軸，軸分別交于點(diǎn)、，則的中點(diǎn)為，且，所以以線段為直徑的圓的方程為，即.故選：B7．圓的圓心到直線與直線的距離相等，則實(shí)數(shù)（

）A． B．1或 C．或3 D．3【答案】C【分析】由題意可知，則，解之即可求解.【詳解】由，知，則，解得或．故選：C．8．由動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為，若四邊形為正方形，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正方形可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，求出方程即可.【詳解】因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?所以,故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，其方程為.故選：B9．過(guò)圓和的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程為（

）A． B．．C． D．【答案】A【分析】設(shè)所求圓的方程為，求出圓心坐標(biāo)代入直線，求得，即可求得答案.【詳解】由題意設(shè)所求圓的方程為，即，圓心坐標(biāo)為，代入中，即，解得，將代入中，即，滿足，故所求圓的方程為，故選：A10．經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，0)，且圓心是兩直線x－2y＋1＝0與x＋y－2＝0的交點(diǎn)的圓的方程為（

）A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1B．(x－1)2＋(y－1)2＝1C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2【答案】D【詳解】由得即所求