、專題14利用導數(shù)證明一元不等式【熱點聚焦】從高考命題看，通過研究函數(shù)性質與最值證明一元不等式，是導數(shù)綜合題常涉及的一類問題.導數(shù)是研究函數(shù)的工具，利用導數(shù)我們可以方便地求出函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等，在證明與函數(shù)有關的不等式時，我們可以把不等式問題轉化為函數(shù)的最值問題，也常構造函數(shù)，把不等式的證明問題轉化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或最值問題【重點知識回眸】（一）證明方法的理論基礎（1）若要證(為常數(shù)）恒成立，則只需證明：，進而將不等式的證明轉化為求函數(shù)的最值（2）已知的公共定義域為，若，則證明：對任意的，有由不等式的傳遞性可得：，即（二）證明一元不等式主要的方法1.方法一：將含的項或所有項均移至不等號的一側，將一側的解析式構造為函數(shù)，通過分析函數(shù)的單調(diào)性得到最值，從而進行證明.例如：，可通過導數(shù)求出，由此可得到對于任意的，均有，即不等式.其優(yōu)點在于目的明確，構造方法簡單，但對于移項后較復雜的解析式則很難分析出單調(diào)性2.方法二：利用不等式性質對所證不等式進行等價變形，轉化成為的形式，若能證明，即可得：，本方法的優(yōu)點在于對的項進行分割變形，可將較復雜的解析式拆成兩個簡單的解析式.但缺點是局限性較強，如果與不滿足，則無法證明.（三）常見構造函數(shù)方法(1)直接轉化為函數(shù)的最值問題：把證明f(x)＜g(a)轉化為f(x)max＜g(a).(2)移項作差構造函數(shù)法：把不等式f(x)＞g(x)轉化為f(x)－g(x)＞0，進而構造函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x).(3)構造雙函數(shù)法：若直接構造函數(shù)求導，難以判斷符號，導函數(shù)零點不易求得，即函數(shù)單調(diào)性與極值點都不易獲得，可轉化不等式為f(x)＞g(x)利用其最值求解.(4)換元法，構造函數(shù)證明雙變量函數(shù)不等式：對于f(x1，x2)≥A的不等式，可將函數(shù)式變?yōu)榕ceq\f(x1,x2)或x1·x2有關的式子，然后令t＝eq\f(x1,x2)或t＝x1x2，構造函數(shù)g(t)求解.(5)適當放縮構造函數(shù)法：一是根據(jù)已知條件適當放縮，二是利用常見的放縮結論，如lnx≤x－1，ex≥1＋x，當且僅當x＝0時取等號，lnx＜x＜ex(x＞0)，≤ln(x＋1)≤x(x＞－1).ex≥ex，當且僅當x＝1時取等號；當x≥0時，ex≥1＋x＋x2,當且僅當x＝0時取等號；當x≥0時，ex≥x2＋1,當且僅當x＝0時取等號；≤lnx≤x－1≤x2－x，當且僅當x＝1時取等號；當x≥1時，≤lnx≤，當且僅當x＝1時取等號．(6)構造“形似”函數(shù)：對原不等式同解變形，如移項、通分、取對數(shù)等．把不等式左、右兩邊轉化為結構相同的式子，然后根據(jù)“相同結構”，構造函數(shù).(7)賦值放縮法：函數(shù)中對與正整數(shù)有關的不等式，可對已知的函數(shù)不等式進行賦值放縮，然后通過多次求和達到證明的目的.【典型考題解析】熱點一直接將不等式轉化為函數(shù)的最值問題【典例1】（2017·全國·高考真題（文））已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，證明.【答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）先求函數(shù)導數(shù)，再根據(jù)導函數(shù)符號的變化情況討論單調(diào)性：當時，，則在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）證明，即證，而，所以需證，設g（x）=lnx-x+1，利用導數(shù)易得，即得證.【詳解】（1）的定義域為（0，+），.若a≥0，則當x∈（0，+）時，，故f（x）在（0，+）單調(diào)遞增.若a＜0，則當時，時；當x∈時，.故f（x）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）由（1）知，當a＜0時，f（x）在取得最大值，最大值為.所以等價于，即.設g（x）=lnx-x+1，則.當x∈（0,1）時，；當x∈（1，+）時，.所以g（x）在（0,1）單調(diào)遞增，在（1，+）單調(diào)遞減.故當x=1時，g（x）取得最大值，最大值為g（1）=0.所以當x＞0時，g（x）≤0.從而當a＜0時，，即.【典例2】（2018年新課標I卷文）已知函數(shù)．（1）設是的極值點．求，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當時，．【答案】(1)a=；f（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增．(2)證明見解析.【詳解】分析：(1)先確定函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導，利用f′（2）=0，求得a=，從而確定出函數(shù)的解析式，之后觀察導函數(shù)的解析式，結合極值點的位置，從而得到函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；(2)結合指數(shù)函數(shù)的值域，可以確定當a≥時，f（x）≥，之后構造新函數(shù)g（x）=，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的傳遞性，證得結果.詳解：（1）f（x）的定義域為，f′（x）=aex–．由題設知，f′（2）=0，所以a=．從而f（x）=，f′（x）=．當0<x<2時，f′（x）<0；當x>2時，f′（x）>0．所以f（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增．（2）當a≥時，f（x）≥．設g（x）=，則當0<x<1時，g′（x）<0；當x>1時，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值點．故當x>0時，g（x）≥g（1）=0．因此，當時，．【總結提升】(1)若證f(x)＞g(a)或f(x)＜g(a)，只需證f(x)min＞g(a)或f(x)max＜g(a)．(2)若證f(a)＞M或f(a)＜M(a，M是常數(shù))，只需證f(x)min＞M或f(x)max＜M.熱點二移項作差構造函數(shù)證明不等式【典例3】（遼寧·高考真題（文））設函數(shù)f（x）=x+a+blnx，曲線y=f（x）過P（1,0），且在P點處的切斜線率為2.（I）求a，b的值；（II）證明：f(x)≤2x-2．【答案】（I）a＝－1，b＝3.（II）見解析【詳解】試題分析：(1)f′(x)＝1＋2ax＋.由已知條件得即解得a＝－1，b＝3.

(2)f(x)的定義域為(0，＋∞)，由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx.設g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，則g′(x)＝－1－2x＋＝－.當0<x<1時，g′(x)>0；當x>1時，g′(x)<0.所以g(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1，＋∞)單調(diào)遞減．而g(1)＝0，故當x>0時，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.【典例4】（2022·青海·模擬預測（理））已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)若，證明：.【答案】(1)0；(2)證明見解析.【分析】（1）利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即得解；（2）即證，設，求出函數(shù)的最小值即得證.(1)解：由題意可得.由，得；由，得.則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故.(2)證明：要證，即證，即證.設，則.由（1）可知當時，.由，得，由，得，則，當且僅當時，等號成立.即.【規(guī)律方法】若證明f(x)＞g(x)，x∈(a，b)，可以構造函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)．如果能證明h(x)min＞0，x∈(a，b)，即可證明f(x)＞g(x)，x∈(a，b)．使用此法證明不等式的前提是h(x)＝f(x)－g(x)易于用導數(shù)求最值．熱點三構造雙函數(shù)證明不等式【典例5】已知函數(shù)f(x)＝ex2－xlnx.證明：當x＞0時，f(x)＜xex＋.【答案】見解析【解析】要證f(x)＜xex＋，只需證ex－lnx＜ex＋，即ex－ex＜lnx＋.令h(x)＝lnx＋(x＞0)，則h′(x)＝，易知h(x)在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，則h(x)min＝h（）＝0，所以lnx＋≥0.令φ(x)＝ex－ex，則φ′(x)＝e－ex，易知φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，則φ(x)max＝φ(1)＝0，所以ex－ex≤0.因為h(x)與φ(x)不同時為0，所以ex－ex＜lnx＋，故原不等式成立．【典例6】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）用導數(shù)法直接求解即可；（2）要證，即證，即證.構造函數(shù)與，這問題可轉化為，利用導數(shù)法即可求解【詳解】(1)由題意可得.由，得；由，得.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故.(2)證明：要證，即證，即證.設，則，由，得，由，得，則，當且僅當時，等號成立.設，則.由（1）可知當時，.由，得，由，得，則，當且僅當時，等號成立.因為與等號成立的條件不同，所以，即.【方法總結】(1)若證f(x)＜g(x)，只需證f(x)max＜g(x)min；(2)若證f(x)＞g(x)，只需證f(x)min＞g(x)max.熱點四適當放縮構造函數(shù)證明不等式【典例7】（2022·全國·模擬預測（文））已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)．(1)求的最大值；(2)證明：當時，．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)的符號求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過單調(diào)區(qū)間可求得結果．（2）將問題轉化為證明，再分別證明及成立即可．(1)由已知得，，要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，令，得，即，解得，（），當時滿足題意，此時，在區(qū)間上是單調(diào)遞增的，故的最在值為.(2)當時，要證明，即證明，而，故需要證明.先證：，（）記，，時，，所以在上遞增，，故，即.再證：，（）令，則則,故對于，都有，因而在，上遞減，對于，都有，因此對于，都有.所以成立，即成立，故原不等式成立.【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵利用不等式放縮，從而使得問題得以順利解決.【規(guī)律方法】通過適當放縮可將較復雜的函數(shù)變?yōu)楹唵蔚暮瘮?shù)，一是根據(jù)已知條件適當放縮，二是利用常見的放縮結論，如lnx≤x－1，ex≥x＋1，lnx＜x＜ex(x＞0)，≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)等.熱點五利用二階導數(shù)（兩次求導）證明不等式【典例8】（2018·全國·高考真題（文））已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：當時，．【答案】（1）切線方程是（2）證明見解析【分析】（1）求導，由導數(shù)的幾何意義求出切線方程．（2）當時，,令，只需證明即可．【詳解】（1），．因此曲線在點處的切線方程是．（2）當時，．令，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；所以．因此．【典例9】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當時，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求導可得，再分和兩種情況討論即可；（2）當根據(jù)函數(shù)的正負證明，當時，轉證，構造函數(shù)求導分析單調(diào)性與最值即可(1)依題意知，，令得，當時，在上，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當時，在上，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.(2)依題意，要證，①當時，，，故原不等式成立，②當時，要證：，即證：，令，則，，∴在單調(diào)遞減，∴，∴在單調(diào)遞減，∴，即，故原不等式成立.【典例10】（2021·河北·滄縣中學高三階段練習）已知函數(shù)．(1)當時，求在點處的切線方程；(2)當時，證明：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求切線的斜率，從而求出切線方程；（2）依題意只需證明，令，，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的最小值，再利用基本不等式計算可得；(1)解：當時，，所以，，故在點處的切線方程是；(2)解：當時，要證明，只需證明，令，，則，令，故在上單調(diào)遞增，又，，故存在，使得，即，當時，，即單調(diào)遞減，當時，，即單調(diào)遞增，故時，取得唯一的極小值，也是最小值，即．所以，即．【規(guī)律方法】兩種做法，一是對函數(shù)直接兩次求導，求導函數(shù)的最值；二是令導函數(shù)為一“新函數(shù)”，通過對其求導，進一步研究函數(shù)的最值．熱點六構造“形似”函數(shù)證明不等式【典例11】（2022·河南·高三開學考試（理））設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構造，并利用導數(shù)、對數(shù)的性質研究大小關系即可.【詳解】設函數(shù)，則，所以為減函數(shù)，則，即，又，所以．故選：D【典例12】（2021·黑龍江·大慶實驗中學高三開學考試（理））若且，且，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構造函數(shù)，求導，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比大小即可.【詳解】由，兩邊同時以為底取對數(shù)得，同理可得，，設，，則，，，，令，解得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，則，且，所以，故，故選：A.【規(guī)律方法】根據(jù)條件構造“形似”函數(shù)，再判斷此函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明不等式．熱點七“放縮”“賦值”證明與數(shù)列有關的不等式【典例13】（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)當時，，求a的取值范圍；(3)設，證明：．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見解析【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調(diào)性.（2）設，求出，先討論時題設中的不等式不成立，再就結合放縮法討論符號，最后就結合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結合裂項相消法可證題設中的不等式.（1）當時，，則，當時，，當時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設，則，又，設，則，若，則，因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設矛盾.若，則，下證：對任意，總有成立，證明：設，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當時，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對任意的恒成立.所以對任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【典例14】（2022·廣東·高三開學考試）已知函數(shù)，．(1)當時，比較與2的大小；(2)求證：，．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）當時，求得導函數(shù)，再根據(jù)，分不同范圍討論即可.（2）由（1）中結論可知，當時，，然后換元，即可得，結合對數(shù)運算從而可證得結論.（1）當時，，，所以，所以在上單調(diào)遞增，又因為，所以當時，，當時，，當時，（2）由（1）知，當時，，即，令，，則有，即，所以，即，．【規(guī)律方法】證明與數(shù)列有關的不等式的策略(1)證明此類問題時常根據(jù)已知的函數(shù)不等式，用關于正整數(shù)n的不等式替代函數(shù)不等式中的自變量．通過多次求和達到證明的目的．此類問題一般至少有兩問，已知的不等式常由第一問根據(jù)待證式的特征而得到．(2)已知函數(shù)式為指數(shù)不等式(或對數(shù)不等式)，而待證不等式為與對數(shù)有關的不等式(或與指數(shù)有關的不等式)，還要注意指、對數(shù)式的互化，如ex＞x＋1可化為ln(x＋1)＜x等．【精選精練】一、單選題1．（2022·廣東·高三開學考試）設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構造函數(shù)，求導得其單調(diào)性，再利用單調(diào)性，即可判斷出的大小關系.【詳解】設，，因為，令，得；令，得．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，，因為，所以．故選：A．2．（2022·福建省福安市第一中學高三階段練習）設，則的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，利用導數(shù)求得的單調(diào)性和最值，化簡可得，，，根據(jù)函數(shù)解析式，可得且，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，分析比較，即可得答案.【詳解】設，則，當時，，則為單調(diào)遞增函數(shù)，當時，，則為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，又，，，又，，且在上單調(diào)遞減，所以，所以.故選：D二、多選題3．（2021·山東·高三開學考試）已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且，，則下列判斷中正確的是（

）A．< B．>0C．> D．>【答案】CD【分析】根據(jù)題干中的條件，構造出新函數(shù)：，利用新函數(shù)的單調(diào)性逐一檢查每個選項是否正確.【詳解】令，則，因為，所以在上恒成立，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即，即，故A錯；又，所以，所以在上恒成立，因為，所以，故B錯；又，所以，即，故C正確；又，所以，即，故D正確.故選：CD三、填空題4．（2023·全國·高三專題練習）已知a，b是實數(shù)，且，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則與的大小關系是__．【答案】##【分析】構造函數(shù)，，利用導數(shù)判斷單調(diào)性，即得.【詳解】構造函數(shù)，，則，當時，，單調(diào)遞減，∵，∴，即blna＞alnb，即，所以．故答案為：．四、解答題5.（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)，．(1)當時，求在點處的切線方程；(2)當時，恒成立，求a的取值范圍；(3)求證：當時，．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求解即可.（2）首先將問題轉化為恒成立，設，再利用導數(shù)求出其最大值即可得到答案.（3）首先將問題轉化為，，設，利用導數(shù)求出，即可得到答案.(1)，，即切線.，，則切線方程為：.(2)，恒成立等價于，恒成立.設，，，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù)，所以，即.(3)，等價于，.設，，，設，，，所以在為增函數(shù)，即，所以，即在為增函數(shù)，即，即證：.6．（2022·全國·長垣市第一中學高三開學考試（理））已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，從而求得的取值范圍.（2）將轉化為，對不等式的兩邊分別構造函數(shù)，然后結合導數(shù)來證得不等式成立.（1）的定義域為.令，可得.當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.所以.故實數(shù)的取值范圍為.（2）因為，所以要證，只需證明成立.令，則.令，得，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，所以.令，則，令，得，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，所以.因此，即，當且僅當時等號成立.7．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：當時，．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，分類討論導數(shù)的正負，即可求得答案;（2）當時，要證,即證，只需證明；構造函數(shù)，利用其導數(shù)，只需證明，即證明即可.（1）函數(shù),定義域：,，①當時，單調(diào)遞增，②當時，由，得x，當x∈(0，）時，單調(diào)遞增；當x∈(，+∞）時，單調(diào)遞減；綜上討論得：①當時，在單調(diào)遞增；②當時，當x∈(0，）時，單調(diào)遞增；當x∈(，+∞）時，單調(diào)遞減；（2）證明：當時，要證,即證，只需證；令，則，令，則，∴在單調(diào)遞增，而故方程有唯一解，即，則，且時，，在單調(diào)遞減；時，，在單調(diào)遞增；∴，∴，故當時，.8．（2022·吉林·東北師大附中模擬預測（文））已知函數(shù)，，(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：.【答案】(1)在上單調(diào)遞減(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，判斷導數(shù)的正負，從而判斷原函數(shù)的單調(diào)性；（2）將不等式等價轉化為，然后構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而證明不等式.(1)因為，，所以，設，則，因為，故，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.(2)證明：；設，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，即，即；設，，，則在上單調(diào)遞增，，，即，所以.綜上，.【點睛】本題考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及證明函數(shù)不等式的問題，解答時要明確導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關系，解答的關鍵是對不等式進行合理變形，從而構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調(diào)性，從而證明不等式.9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)若函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝x－1相切，求a的值；(2)若a≤2，證明f(x)>lnx.【答案】(1)a＝2(2)證明見解析【分析】（1）求導函數(shù)，令f′(x)＝1，得x＝0，繼而有f(0)＝－1，代入可求得答案；（2）由已知得f(x)＝ex－a≥ex－2，令φ(x)＝ex－x－1，運用導函數(shù)分析所令函數(shù)的單調(diào)性得φ(x)≥0，可證得ex－2≥x－1，當且僅當x＝0時等號成立，令h(x)＝lnx－x+1，運用導函數(shù)分析所令函數(shù)的單調(diào)性得，證得，當且僅當x＝1時等號成立，從而有ex－2≥x－1≥lnx，兩等號不能同時成立，由此可得證.(1)解：f(x)＝ex－a，∴f′(x)＝ex，令f′(x)＝1，得x＝0，而當x＝0時，y＝－1，即f(0)＝－1，所以，解得a＝2.(2)證明∵a≤2，∴f(x)＝ex－a≥ex－2，令φ(x)＝ex－x－1，則φ′(x)＝ex－1，令φ′(x)＝0?x＝0，∴當x∈(0，＋∞)時，φ′(x)>0；當x∈(－∞，0)時，φ′(x)<0，∴φ(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴φ(x)min＝φ(0)＝0，即φ(x)≥0，即ex≥x＋1，∴ex－2≥x－1，當且僅當x＝0時等號成立，令h(x)＝lnx－x+1，則，令h′(x)＝0?x＝1，∴當x∈(0，1)時，h′(x)>0；當x∈(1，+∞)時，h′(x)<0，∴h(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，∴h(x)max＝h(1)＝0，即，即，∴，當且僅當x＝1時等號成立，∴ex－2≥x－1≥lnx，兩等號不能同時成立，∴ex－2>lnx，即證f(x)>lnx.10．（2022·新疆·三模（理））已知函數(shù)，(1)若在處的切線為，求實數(shù)a的值；(2)當，時，求證：【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由導數(shù)的幾何意義有，求解即可；（2）將變形成，故只需證，用導數(shù)法證明即可(1)∵，∴，∴(2)要證，即證，只需證，因為，也就是要證，令，∵，∴∴在為減函數(shù)，∴，∴，得證11．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)若有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當時，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)有兩個極值點轉化為導函數(shù)等于0有兩不相等的根，分離參數(shù)后，轉化為分析大致圖象，根據(jù)數(shù)形結合求解即可;（2）不等式可轉化為，構造函數(shù)，求導后得到函數(shù)極小值，轉化為求極小值大于0即可.（1）的定義域為，，由題意在上有兩解，即，即有兩解.令，即的圖象與直線有兩個交點.，得，當時，，遞增；當時，，遞減，，，時，；時，，，，a的取值范圍是.（2）當時，，即證，即證，令，，令，則，當時，，在遞增.，，存在唯一的，使得，當時，，遞減；當時，，遞增，.又，，，，，.12．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù))的圖像在(0，1)處的切線斜率為.(1)求的值及函數(shù)的極值；(2)證明：當時，.【答案】(1)，極小值，無極大值(2)證明見解析【分析】（1）對函數(shù)求導得到，由導數(shù)的幾何意義得到，解得，再利用導數(shù)研究其單調(diào)性和極值，即可得出；（2）令，對其求導，結合（1）可得：，得到的單調(diào)性，即可證明.(1)由，得.由題意得，，即，所以，.令，得，當時，，則在上單調(diào)遞減；當時，，則在上單調(diào)遞增．所以當時，取得極小值，且極小值為，無極大值．(2)證明：令，則.由(1)知，，故在上單調(diào)遞增．所以當時，，即.【點睛】本題考查不等式的恒成立問題，常用到以下兩個結論：(1)恒成立恒成立；(2)恒成立恒成立.13．（2023·全國·高三專題練習）已知．(1)當時，判斷函數(shù)零點的個數(shù)；(2)求證：.【答案】(1)1；(2)證明見解析.【分析】（1）把代入，求導得函數(shù)的單調(diào)性，再由作答.（2）構造函數(shù)，利用導數(shù)借助單調(diào)性證明作答.(1)當時，，，當且僅當時取“=”，所以在R上單調(diào)遞增，而，即0是的唯一零點，所以函數(shù)零點的個數(shù)是1.(2)，令，則，因，則，因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，所以當時，成立.14．（2022·全國·高三專題練習（文））已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)當時，，求a的取值范圍；(3)設，證明：．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見解析【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調(diào)性.（2）設，求出，先討論時題設中的不等式不成立，再就結合放縮法討論符號，最后就結合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結合裂項相消法可證題設中的不等式.（1）當時，，則，當時，，當時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設，則，又，設，則，若，則，因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設矛盾.若，則，下證：對任意，總有成立，證明：設，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當時，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對任意的恒成立.所以對任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.15．（2021·青海·大通回族土族自治縣教學研究室高三開學考試（文））已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)當時，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求導，