備戰2021年中考數學經典題型講練案（江蘇專用）

專題06一次函數的圖象性質問題

「【考點1】一次函數的圖象

L【考點2】一次函數的性質

十【考點3】一次函數圖象與系數的關系

—

L【考點4】一次函數圖象點的坐標特征

/-------------------------------

一次函數的圖象L【考點5】一次函數與幾何變換

性質問題【考點6】一次函數與方程、不等式

J【考點7】一次函數交點問題

J【考點8】一次函數解析式問題

J【考點9】一次函數圖象與性質問題

【類型10】一次函數與新定義綜合問題

【方法指導】

一次函數的具體知識點有:

rK>0,K>0,K>0,RO,K0,攵<0,

b>0b<0b=0b>0/?<0匕=0

大致

1.一次函數小小七

圖象4-

的性質。卜7

1■-----*——--

經過、,?、-■、__、、1、—、--、___、二、四

象限四四四

怪1象y隨x的增大而增大y隨x的增大而減小

性質

(1)交點坐標：求一次函數與x軸的交點，只需令y=。，解出x即可；求與y軸的

2.一次函數交點，只需令x=。,求出,y即可.故一次函數y="+"原0)的圖象與x軸的交點

與坐標軸是(一/0),與y軸的交點是(0,b);

交點坐標

(2)正比例函數(后0)的圖象恒過點(0,0).

3.一次函數規律：①一次函數圖象平移前后k不變，或兩條直線可以通過平移得到，則可知

圖象的平它們的k值相同.

移②若向上平移h單位，則b值增大h；若向下平移h單位，則b值減小h.

4.一次函數與二元一次方程/卜卜的解=兩個一次函數y=kix+b和y=k2x+b圖象的

交點坐標1y=k2X+b

方程組?

(1)函數y=kx+b的函數值y>0時，自變量x的取值范圍就是不等式kx+b>0

的解集.

5.一次函數與

(2)函數y=kx+b的函數值y<0,時，自變量x的取值范圍就是不等式kx+b<0

不等式

的解集

【題型剖析】

【考點1】一次函數的圖象

【例1】(2020?南京一模)已知一次函數y=fcv+b的圖象如圖所示，則y=-2日-b的圖象可能是()

【分析】根據一次函數圖象可以確定k、b的符號，根據左、6的符號來判定函數y=-2d-6的圖象所

在的象限.

【解析】?.?一次函數y=fcr+3的圖象經過二、三、四象限，

：.k<0,h<0.

???函數y=-2%-b的圖象經過第一、二、三象限.

???因為因V|-2/

所以一次函數y=fcr+b的圖象比y=-2kx-b的圖象的傾斜度小，

綜上所述，符合條件的圖象是C選項.

故選：C.

【變式1.1］（2019秋?金湖縣期末）已知一次函數），=丘+6,函數值y隨自變量x的增大而減小，且幼<0,

則函數的圖象大致是（）

【分析】根據一次函數的性質得到*<0，而姑<0,則6>0,所以一次函數y=H+b的圖象經過第二、

四象限，與y軸的交點在x軸上方.

【解析】???一次函數y=fcr+%,y隨著x的增大而減小，

：.k<0,

...一次函數）'=依+人的圖象經過第二、四象限；

:kb〈0,

：.b>0,

圖象與）'軸的交點在x軸上方，

；.一次函數y=fcr+b的圖象經過第一、二、四象限.

故選：A.

【變式1.2］（2019秋?高郵市期末）在同一平面直角坐標系中，函數y=履與y=5的圖象大致是（)

【分析】先根據?次函數的性質判斷出《取值，再根據正比例函數的性質判斷出，〃的取值，二者一致的

即為正確答案.

【解析】A、由函數），=履的圖象，得AVO,由），=*-&的圖象，得％>0,k值相互矛盾，故A錯誤；

B、由函數y=履的圖象，得k<0,由y=*—我的圖象，得大<0,故8正確；

C、由函數y=丘的圖象，得％>0,由的圖象，得％<0,左值相矛盾，故C錯誤；

D、由函數y=履的圖象的圖象經過原點，故。錯誤；

故選：B.

【考點2】一次函數的性質

【例2】（2020?鎮江）一次函數〉=h+3（4力0）的函數值y隨x的增大而增大，它的圖象不經過的象限是

（）

A.第一B.第二C.第三D.第四

【分析】根據一次函數y=^+3（ZW0）的函數值），隨x的增大而增大，可以得到k>0,與y軸的交點為

（0,3）,然后根據一次函數的性質，即可得到該函數圖象經過哪幾個象限，不經過哪個象限，從而可以

解答本題.

【解析】..?一次函數），=履+3（AWO）的函數值y隨x的增大而增大，

；/>0,該函數過點（0,3）,

該函數的圖象經過第一、二、三象限，不經過第四象限，

故選：D.

【變式2.1］（2020?姜堰區二模）已知一次函數y=fcv+6,當x的值每減小0.5時，y的值就增加2,則人的

值是（）

A.-8B.-4C.-2D.-I

【分析】根據一次函數y=kx+b,當x的值每減小0.5時，y的值就增加2,可以計算出k的值，從而可

以解答本題.

【解析】設x=aEI寸，y=ak+b,

則當x=a-0.5時;y+2=（.a-0.5）k+b,

故2=-0.5k,

解得，k=-4,

故選：B.

【變式2.2］（2020春?海陵區期末）若一次函數），=履+2的函數值y隨x的增大而增大，則（）

A.k<0B.k>0C.k<-2D.k>-2

【分析】由一次函數），=區+2的函數值y隨x的增大而增大，利用一次函數的性質可得出k>0.

【解析】V-次函數y=Ax+2的函數值），隨x的增大而增大，

：.k>0.

故選:B.

【考點3】一次函數圖象與系數的關系

【例3】（2020春?如皋市期末）若直線y=fcc+k-3經過第二、三、四象限，則Z的取值范圍是（）

A.lc<0B.k>3C.k<3D.0<&<3

【分析】根據一場函數圖象經過的象限可得出關于左的一元一次不等式組，解之即可得出左的取值范圍.

【解析】根據題意得k<0且％-3<0,

所以k<0.

故選：A.

【變式3.1］（2020?如東縣二模）已知關于x的一次函數y=fcr+3A+l,不論k為何值，該函數的圖象都經過

點P,則點P的坐標為（）

A.（-3,1）B.（1,-3）C.（3,1）D.（1,3）

【分析】當％=0時，得出），=1,把y=l,k=l代入解析式得出x即可.

【解析】?.?一次函數丫=履+3&+1,不論人為何值，該函數的圖象都經過點P,

當k=Q時,y=1.

把y=l,k=l代入y=Ax+3k+l中，可得：x--3.

所以點尸的坐標為（-3,I）,

故選：A.

【變式3.2](2020?常州模擬)已知一次函數y=fcv+6的圖象經過點(3,2),若圖象不經過第二象限，則A

的取值范圍是()

2?22

A.k<^B.k>^C.0<it<4D.YkWl

3333

【分析】由一次函數圖象上點的坐標特征可得出6=2-3k,由一次函數圖象經過的象限可得出G>0,b

W0,進而可得出關于A的一元一次不等式組，解之即可得出人的取值范圍.

【解析】,.?一?次函數y=Ax+6的圖象經過點(3,2),

：.2^3k+b,即匕=2-3k.

?.?一次函數的圖象不經過第二象限，

二一次函數)=依+人的圖象經過第一、三、四象限或第一、三象限，

：.k>0,bWO,

.(k>0

??(2-3/c<O'

解得：k>j.

故選：B.

【考點4】一次函數圖象點的坐標特征

【例4】(2020春?崇川區校級期末)已知平面上點O(0,0),A(3,2),B(4,0),直線-3m+2

將△04B分成面積相等的的兩部分，則機的值為()

A.1B.2C.3D.-1

【分析】設點C為線段的中點，則點C的坐標為(2,0),利用一次函數圖象上點的坐標特征可得

出直線y=小-3加+2過三角形的頂點A(3,2),結合直線,，=如-3m+2將△048分成面積相等的的兩

部分，可得出直線y=mx-3m+2過點C(2,0),再利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出m的值.

【解析】設點C為線段08的中點，則點C的坐標為(2,0),如圖所示.

"."y=mx-3/w+2=(x-3)m+2,

.,.當x=3時,y=(3-3)m+2—2,

.,.直線y=/nr-3，〃+2過三角形的頂點4(3,2).

?.?直線y=，ar-3桁+2將△OAB分成面積相等的的兩部分，

直線y=，"x-3布+2過點C(2,0),

-3/w+2,

??"z=2.

【變式4.1](2020春?海陵區期末)在平面直角坐標系xOy中，已知點A(7,-1),B(5,1),C(7,

7),D(1,5).若一次函數y=m-5,”+1的圖象將四邊形ABC。分成面積比為1：3的兩部分，則相的

值為()

A.-5或-；B.-4或-、C.-4或-/D.-5或-/

【分析】由已知點可以判斷四邊形A2C。是菱形，再由將四邊形ABC。的面積分成1：3兩部分，可知

分割兩部分分別是四邊形和三角形，進而可知一次函數y="?x-5〃?+l與40、C。的交點是它們的中點，

求得中點坐標，代入解析式即可求得"，的值.

【解析】???點A(-1,-1),8(5,1),C(7,7),D(1,5).

：.AB2=(5+1)2+(1+1)2=40,8c2=(7-5)2+(7-1)2=40,CO2=(7-I)2+(7-5)2=40,

DA2=(1+1)2+(5+1)2=40,

：.AB=BC=CD=DA,

四邊形A8CO是菱形，

???一次函數-5m+1一定經過點(5,I),即8點，

當y=mx-5/27+1與AD相交時，

一次函數經過AQ的中點(0,2),

,1

??〃?=一甲

當y=mx-5/n+l與CD相交時，

，一次函數經過C。的中點(4,6),

??m—■?5；

故選：D.

【變式4.2］（2020春?無錫期末）如圖，一次函數產-看+3的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B,點C

在x軸上，點。為平面內一點，且四邊形488為矩形，則點。的坐標為（）

A.（2,-3）B.（4,3）C.（-4,一￡）D.（-,-3）

34

【分析】利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點4,8的坐標，進而可得出OA,的長，由四邊

形ABCO為矩形可得出NABC=90°,結合同角的余角相等可得出NOBC=NO48,結合/B0C=NA08

=90°可得出△B0CS/\A08,利用相似三角形的性質可求出OC的長，進而可得出點C的坐標，再利

用矩形的性質（對角線互相平分），即可求出點。的坐標.

【解析】當x=0時，尸一充x0+3=3,

...點B的坐標為（0,3）,08=3；

當y=0時，一9+3=0,

解得：x=4,

...點A的坐標為（4,0）,OA=4.

???四邊形A8CD為矩形，

AZABC=90°.

'：ZOAB+ZOBA=WQ,NOBA+NO8C=90°,

：.ZOBC^ZOAB,

又,.?/8OC=/AOB=90°,

:.△BOCs^AOB,

?竺一絲aiJ2￡,3

?,?點c的坐標為（―*,0）.

又,四邊形A8CQ為矩形，A（4,0）,B（0,3）,C0）,

97

.?.點。的坐標為（4一1-0,0+0-3）,即（一，-3）.

44

【考點5]一次函數與幾何變換

【例5】（2020春?沐陽縣校級月考）如圖，直線y=x+6分別與x軸、y軸相交于點M,N,邊長為3的正方

形OA8C一個頂點O在坐標系的原點，直線AN與MC相交于點P,若正方形繞著點。旋轉一周，則點

)

2V5

A.3-2V2B.3立一3c.—D.3

【分析】首先證明△MOCg/\NOA,推出/MPN=90°,推出P在以例N為直徑的圓上，所以當圓心G,

點P,（0,3）共線時，PC到（0,3）的長度最小值.即可得出結論.

【解析】在△MOC和△NOA中，

OA=OC

/.MOC=Z.AON,

OM=ON

:.XMOgXNON（SAS）,

；.NCMO=NANO,

,：ZCMO+ZMCO=90°,NMCO=NNCP,

ZNCP+ZCNP=90a,

NMPN=90°

:.MP1NP,

在正方形旋轉的過程中，

同理可證，ZCMO=ZANO,可得NMPN=90°,MP上NP,

在以MN為直徑的圓匕

,：M（-6,0）,N（0,6）,

二圓心G為（-3,3）,半徑為3VL

連接PG

當圓心G,點P,點（0,3）三點共線時，P到點（0,3）的長度最小，而點P到點（0,3）的距離

為3,

點P到點（0,3）長度的最小值是或-3.

故選：B.

【變式5.1］（2020?錫山區一模）一次函數y=x-6的圖象，沿著過點（1,0）且垂直于x軸的直線翻折后

經過點（4,1）,則匕的值為（）

A.-5B.5C.-3D.3

【分析】首先求得點（4,I）關于直線x=l對稱的點的坐標，然后將其代入直線方程求得b的值即可.

【解析】由題意,得點（4,1）關于直線x=l對稱的點的坐標是（-2,1）,

將其代入一次函數y=x"，得-2-b=L

解得b=-3.

故選：C.

【變式5.2］（2020?海門市校級模擬）如圖，直線/：y=-V5x+B與），軸交于點4,將直線/繞點A順時

針旋轉75°后，所得直線的解析式為（）

A.y=V3x+V3B.y—x—y/3C.y--x+y/3D.y—x+y/3

【分析】根據直線解析式求得直線與x軸的夾角，進而求得旋轉后直線的斜率，由于經過A點，即可求

得旋轉后的解析式.

【解析】由直線/：y=—+g可知，直線與x軸的夾角為60°,

...與y軸的夾角為30°,

，直線/繞點A順時針旋轉75°后的直線與y軸的夾角為45°,

.?.旋轉后的直線的斜率為1,

?.?直線/：y=-Kx+K與y軸交于點A,

（0,V3）.

二旋轉后的直線解析式為：y=.r+V3,

故選：D.

【考點6】一次函數與方程、不等式

【例6】（2019秋?武進區校級月考）己知一次函數的圖象如圖，則下列說法：①Y0,b>0；②x

="i是方程近+〃=0的解；③若點A（xi.yi）,B（%2,”）是這個函數的圖象上的兩點，且xi〈x2；則

④當-1WXW2時，則人=2.其中正確的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】圖象過第一，二，四象限，可得k<0,b>3可判定①；根據增減性，可判斷③④，由圖象

與x軸的交點可判定②.

【解析】???圖象過第一，二，四象限，

：.k<0,b>0；

隨x增大而減小，

Vxi<X2?

-y2>0；

當-1WXW2時，lWyW4,

，當x=-l時，y=4；x=2時，y=l,

代入y=fc^得就

12k+o=1

解得b=3；

一次函數丁="+。中，令y=0,則工=一也

Ax=一今是方程kx+b=O的解，

K

故①③正確；②④錯誤，

故選:B.

【變式6.1］（2020?吳江區二模）若一次函數y=fcr+3（X為常數且ZW0）的圖象經過點（-2,0）,則關于

x的方程k（x-5）+3=0的解為（）

A.尤=-5B.x=-3C.x=3D.x=5

【分析】利用一次函數與一元一次方程的關系可得依+3=0的解是x=-2,進而可得x-5=-2,然后

可得x的值.

【解析】?.?一次函數丫=履+3（我為常數且々#0）的圖象經過點（-2,0）,

...履+3=0的解是x=-2,

，x-5=-2,

則x=3,

故選：C.

【變式6.2］（2020?如皋市二模）如圖，一次函數y=fcv+6（k,b為常數，且kWO）的圖象過點4（0,-1）,

B（1,1）,則不等式乙+6>1的解集為（）

C.x>lD.x<i

【分析】利用圖象得出答案即可.

【解析】如圖所示：不等式"+%>1的解集為：x>l.

故選：C.

【變式6.3］（2020?吳江區三模）在同一平面直角坐標系內，若直線y=2x+l與直線y="-氏的交點在第二

象限，則火的取值范圍是（）

A.k<-1B.-l<A:<0C.0<k<\D.k>\

【分析】解析式聯立關于x，y的方程組，解方程組得到用k表示x,y的代數式，由于交點在第二象限

則得到關于人的不等式組，求解即可.

fc+1

【解析】解析式聯立?解得:x=E

y=kx-k3k

y=k=2

:交點在第二象限

vo

院2，解得-ivyo

.k^2>0

故選：B.

【考點7】一次函數交點問題

［例7］（2020春?如東縣期末）已知過點P（/n,km-1）的直線與函數y=|x-3|的圖象有兩個交點，則k

的取值范圍為在此處鍵入公式。

【分析】由點P（加，km-1）可知：過點P（"?，km-I）的直線恒過點（0,-1）,由于過點P（m,km

-1）的直線與函數y=|x-3|的圖象有兩個交點，結合圖象即可求出女的范圍.

【解析】?:點P（如km-1）,

.\m=0時，km-1=-\9

，過點P（"3ktn-1）的直線恒過（0,-1）,

設過點P（〃?，km-1）的直線/為y=kx-1,

當直線/經過點（3,0）時，，則弘-1=0,

.,1

,#=可

?.?過點尸（機，bn-1）的直線與函數），=|x-3|的圖象有兩個交點，

，直線不能與y=x-3平行，

1

???一<k<l,

3

1

故答案為：-<k<\.

【變式7.1］（2020?崇川區校級一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-2x+4與x軸交于點A,與y

軸交于點8,與直線y=區交于點。（4,〃），則tan/OCZ?的值為.

【分析】如圖1所示，過點。作OG垂直A8于點G,過點C作C。垂直y軸于點D解方程得到8（0,

4),A(2,0),求得器=；,設OG=x,則BG=2x,根據勾股定理得到OG=羋，BG=誓，根據三

BG2。>

角函數的定義即可得到結論.

過點。作OG垂直A8于點G,過點C作CQ垂直y軸于點D

令x=0,解得y=4,

：.B(0,4),

令y=0,解得x=2,

(2,0),

當x=4時，y=-4,

：.n=-4,C(4,-4),

VtanZOBA=

.OG1

??,=一,

BG2

設OG=x,則8G=2x,

則有/+⑵)2=42,

解得x=竽，

?4/^8V寫

??OG=-g—,BG=—g—,

VCD=4,08=8,

BC=V42+82=4A/5,

?12/5

??CO———,

：.tanZOCB=~=^.

故答案為：

【考點8】一次函數解析式問題

【例8】(2019?鼓樓區校級模擬)如圖，一次函數的圖象經過8、C,A是此圖象上一點，AM垂直

于x軸，垂足為M,求：

<1)一次函數〉=匕+匕的解析式；

(2)梯形A8OM的面積S；

(3)NC4M的正弦函數的值.

【分析】(1)利用待定系數法確定函數關系式即可；

(2)設點4的橫坐標為4,利用梯形的面積公式解答即可;

(3)根據勾股定理和三角函數解答即可.

【解析】(1)由圖象B(0,2),C(-3,0),M(4,0)

?"=2

e,l-3fc4-6=0,

解得卜=3

5=2

；?一次函數解析式為y=|x+2：

(2)由題設點A的橫坐標為4

縱坐標y=94+2=竽

：.AM=竽，

?01z.14..40

,?5梯形=《X(2O+y)X4=手

(3)AM〃y軸，

：?/CAM=NCBO,

在RtZ\C05中，OC=3,OB=2

由勾股定理BC=V32+22=V13

3_3/13

.'.sinZ-CAM=sinZ-CBO713=-^3-

【變式8.1](2018?海陵區模擬)如圖，直線A8：、=-%-6分別與小y軸交于A(6,0)、B兩點，過點

8的直線交x軸的負半軸于點C,且OB：OC=3：1.

(1)求點B的坐標;

(2)求直線BC的函數關系式；

(3)若點P(m,2)在aABC的內部，求小的取值范圍.

【分析】(1)把點代入解析式解答即可；

(2)設8C的解析式，利用待定系數法確定函數關系式即可；

(3)把y=2分別代入解答即可.

【解析】(1)將點A(6,0)代入直線A8解析式可得：0=-6-6

解得：b=-6,

直線48解析式為)，=-x+6,

點坐標為：(0,6)

(2),：OB：OC=3：I,

OC=2,

...點C的坐標為(-2,0),

設BC的解析式是y=kx+6,0=-2&+6,

解得:k=3

：.直線BC的解析式是：)，=3x+6；

⑶把y=2代入y=-x+6得x=4；

4

把y=2代入y=3x+6中得x=一手

結合圖象可知m的取值范圍是一^On<4.

【考點9】一次函數圖象與性質問題

【例9】(2020?鼓樓區校級模擬)如圖，在平面直角坐標系中，直線A8：y=kx+4*W0)與x軸，y軸,

交于A、B兩點，點C是8。的中點且tan/A5O=3

(1)求直線AC的解析式；

(2)若點M是直線AC的一點，當2s號"時，求點”的坐標.

【分析】(1)根據題意先求B點坐標，且。是80的中點可求C的坐標，根據三角函數求4點坐標，然

后用待定系數法可求

(2)設出例的坐標，以8c為邊，表示△8CM的面積，尋求△48M,△A8C,△8CM的面積關系，分

類討論即可解決.

【解析】(1):直線AB：y=kx+4(20)與x軸，y軸，交于4、8兩點

：.B(0,4)

Vtan/LABO—；=第

：.AO=2即A(-2,0)

是80中點

：.C(0,2)

設直線AC的解析式：y=k\x+b

.僅=2

,,(0=-2kx+b

解得：^：2

，直線AC的解析式：y=x+2

(2)V5AAOC=1X2X2=2,且C是。8中點

**?S^,ABM=2S^AOC=4,S&48C=2

設M(x,x+2)

①當M在C點右側,

*/S&ABM=SMBC+S^BCM

**?4-24-2x2Xx

*'?x=2

：.M(2,4)

②當M在點C左側，

1

x2X(-%)=2+4

2

.\x=-6

:.M(-6,-4)

(2,4)或(-6,-4)

【變式9.1](2020?如皋市二模)定義：如圖1,已知銳角NAOB內有定點P,過點P任意作一條直線MN,

分別交射線OA，08于點M,N.若P是線段的中點時，則稱直線MN是NAOB的中點直線.如圖

2,射線OQ的解析式為y=2x(x20)與x軸的夾角為/a,P(3,1),MN為/a的中點直線.

(1)求直線MN的解析式；

(2)若過點P任意作一條直線EF,分別交射線。Q,x軸的正半軸于點E,F,記△MON的面積為5.

MON,ZiEOF的面積為SzxEOF.求證：S八MONWS^EOF.

【分析】(1)如圖1,設點M的坐標為：(X0,2X0),作MCLx軸于C,PO_Lx軸于。，根據相似三角形

的性質得到MC=2,即.=2,解方程即可得到結論；

(2)如圖2,不妨設PE>PF,過M作MG〃x軸交EF于G,求得/GMP=NFNP,ZMGP=ZNEP,

根據全等三角形的性質即可得到結論.

【解析】(1)解：如圖1,設點M的坐標為：(xo,2xo).

作軸于C,PO_Lx軸于。，

■:MC//PD,

:.叢NPDs/xNMC,

.NPPD

,,NM-MC

:點P是線段MN的中點，PF=\,

，AfC=2,即xo=2,

.*.A0=1,

：.M(1,2),

設直線MN的解析式為y=kx+b,

.(2=k+b

**tl=3k+b'

(k=

解得：Iq2,

直線MN的解析式為y=—3+1；

(2)證明：如圖2,不妨設PE>PF,

過例作MG//x軸交EF于G,

則/GMP=NFNP,NMGP=NNEP,

：產是線段MN的中點，

:.PM=PN,

:./\PMG9/\PNMCAAS),

:.S&PMG=SAPNF,

'?S四邊形OMGF=S/\MON,

?,?5四邊形OMGF<5A.BOF,

二S^MON<SAEOF>

當EF與MN重合時，SAMON=S&EOF,

【變式9.2](2018?寶應縣二模)定義:直線y=ar+b與直線y=bx+〃互為“友好直線”.如：直線y=2x+l

與直線y=x+2互為“友好直線”.

3

(1)點M(m,2)在直線y=-x+4的“友好直線”上，則機=_1_；

(2)直線y=4x+3上的一點M(m,〃)又是它的“友好直線”上的點，求點M的坐標；

(3)對于直線y=ox+b上的任意一點MCm,〃)，都有點N(2/n,m-2n)在它的“友好直線”上，求

直線y—ax+b的解析式.

【分析】(1)由“友好直線”可得直線y=-x+4的“友好直線”，代入可得，”的值；

(2)先表示直線y=4x+3的“友好直線”，再分別代入列方程組可得〃的坐標;

(3)先表示直線y=ar+b的“友好直線”，并將點M和N分別代入可得方程組，得：(2b+2a-1)m=

-a-2b,

根據對于任意一點M(〃?，“)等式均成立，則fb+管一1八=°,可得結論.

I—a—2D=0

【解析】(1)由題意得：直線y=-.丫+4的“友好直線”是：y=4x-1,

把(〃?，2)代入y=4x-1中，得：4m-1=2,

3

-

7=4

3

故答案為：-；

4

(2)由題意知，y=4x+3的“友好直線”是y=3x+4,

又??,點用(他，")是直線y=4x+3上的點，又是它的“友好直線”上的點,

.(4m+3=n

**l3?n+4=九’

二解得｛［「J,

.?.點M(1,7)；

(3)?1點M(加,〃)是直線上的任意一點，

，〃加+。=〃①，

■:點N(2〃?，m-2/?)是直線y=?x+b的“友好直線”上的一點，

即N(2m,m-In)在直線y—bx-^a上

2hm+a=m-2〃②,

將①代入②得，

2bm+a=m-2(arn+b),

整理得：2bm+2am-/n=-a-2b,

(2b+2a-1)m--a-2b,

???對于任意一點M(/?/,n)等式均成立，

.(2b+2a—1=0

?t—a—2b=0'

fa=1

解得

?*?y=x-2,

［類型10］一次函數與新定義綜合問題

【例10】（2020?如皋市二模）定義：如圖1,已知銳角NAOB內有定點P,過點P任意作一條直線MM分

別交射線。A，03于點M,N.若尸是線段MN的中點時，則稱直線MN是NAO2的中點直線.如圖2,

射線OQ的解析式為y=2x（x》0）與x軸的夾角為Na,P（3,1）,MN為/a的中點直線.

（I）求直線的解析式；

（2）若過點P任意作一條直線E凡分別交射線OQ,x軸的正半軸于點E,F,記△MON的面積為5乙

MON,△EOF的面積為SAEOF.求證：S&MONWS&EOF.

【分析】（I）如圖1,設點例的坐標為：（刈，Zro）,作MCLLx軸于C,軸于。，根據相似三角形

的性質得到MC=2,即加=2,解方程即可得到結論；

（2）如圖2,不妨設PE>PF,過M作MG〃x軸交瓦'于G,求得NGMP=NFNP,4MGP=NNEP,

根據全等三角形的性質即可得到結論.

【解答】（1）解：如圖1,設點M的坐標為：（刈，2ro）,

作A/C_Lx軸于C,PQ_Lx軸于。，

,JMC//PD,

:ANPDsANMC,

.NPPD

?,NM~MC

?點P是線段的中點，PF=l,

；.MC=2,即xo=2,

??.刈=1,

：.M（I,2）,

設直線MN的解析式為y=h+。，

.C2=fc4-6

*11=3k+b

fk="I

解得：q2,

IT

直線MN的解析式為尸-抖I；

(2)證明：如圖2,不妨設

過M作MG//x軸交EF于G,

則NGM尸=NRVP,NMGP=NNEP,

,?/是線段MN的中點，

:,PM=PN,

:.叢PMG迫叢PNM(A4S),

；?S&PMG=SAPNF,

:?S四邊形OMGP=Sz\MON,

S四邊形OMGF<SABOF，

SAMON<S&EOF,

當EF與MN重合時，S4MoN=S/\E()F,

【變式10.1］（2018?寶應縣二模）定義：直線與直線y=fer+〃互為“友好直線”.如：直線y=2x+l

與直線y=x+2互為“友好直線”.

3

（1）點M（m，2）在直線y=-x+4的“友好直線”上，則加=_-_；

'-4―

（2）直線y=4x+3上的一點〃6”，n）又是它的“友好直線”上的點，求點M的坐標;

(3)對于直線)，=方+匕上的任意一點MCm,n),都有點N(2m,m-In)在它的“友好直線”上，求

直線y=or+8的解析式.

【分析】(1)由“友好直線”可得直線y=-x+4的“友好直線”，代入可得m的值：

(2)先表示直線y=4x+3的“友好直線”，再分別代入列方程組可得M的坐標；

(3)先表示直線y=ox+6的“友好直線”，并將點〃和N分別代入可得方程組，得：(26+2〃-1)/”=

-a-2b,

1

根據對于任意一點M(m,〃)等式均成立，則+第-n=°,可得結論.

l—Q—2D=0

【解析】(1)由題意得：直線y=-1+4的“友好直線”是：y=4x-1,

把(加，2)代入y=4x-I中，得：4m-1=2,

m=

故答案為：

4

(2)由題意知，y=4x+3的“友好直線”是y=3x+4,

又??,點/(加，〃)是直線y=4x+3上的點，又是它的“友好直線”上的點，

.(4m+3=ri

■?137n+4=n'

???解得｛二二;，

.?.點M(1,7)；

(3)丁點M(加，〃)是直線y=or+b上的任意一點，

卬“+6=〃①，

???點N(2/n,m-2n)是直線y=or+b的“友好直線”上的一點，

即N(2/w,m-2〃)在直線丁=法+〃上

?\2bm^a=in-2〃②,

將①代入②得，

2hm+a=m-2(am+b),

整理得：2bm+2am-m=-a-2b,

(2b+2〃-1)m=-a-2b,

???對于任意一點MCm,〃)等式均成立，

.(2b+2Q-1=0

?LQ-2b=0'

（a=1

解得b=w，

,_1

??y-x-2?

【達標檢測】

選擇題（共8小題）

1.（2020?鎮江）一次函數y=fcc+3（Z#0）的函數值y隨x的增大而增大，它的圖象不經過的象限是（）

A.第一B.第二C.第三D.第四

【分析】根據一次函數y=Ax+3&W0）的函數值），隨x的增大而增大，可以得到k>0,與y軸的交點為

（0,3）,然后根據一次函數的性質，即可得到該函數圖象經過哪幾個象限，不經過哪個象限，從而可以

解答本題.

【解析】???一次函數），="+3（ZW0）的函數值y隨x的增大而增大，

，k>0,該函數過點（0,3）,

,該函數的圖象經過第一、二、三象限，不經過第四象限，

故選：D.

2.（2020?泰州）點P（a,b）在函數y=3x+2的圖象上，則代數式6a-2A+1的值等于（）

A.5B.3C.-3D.-1

【分析】把點P的坐標代入一次函數解析式，得出3。-6=-2,代入2（3a-b）+1即可.

【解析】???點P（〃，h）在函數y=3x+2的圖象上，

b—3a+2,

則3a-b=-2.

：.6a-2b+l=2（3a-h）+1=-4+1=-3

故選：C.

3.（2020?太倉市模擬）若點4Gn,n）在一次函數y=3x+6的圖象上，且3，〃-">2,則6的取值范圍為

（）

A.b<-2B.b>-2C.b<2D.b>2

【分析】由點A的坐標結合一次函數圖象上點的坐標特征，可得出3;〃+b=〃，再由3m-“>2,即可得出

b<-2,此題得解.

【解析】???點4Cm,〃）在一次函數y=3x+b的圖象上,

3m+b—n.

3m-n>2,

，-b>2,即b<-2.

故選：A.

4.（2020?興化市模擬）若點（“，3）在函數y=2x+l的圖象上，則〃?的值是（）

A.2B.-2C.1D.-1

【分析】利用一次函數圖象上點的坐標特征.把點（m,3）代入函數解析式中求，〃即可.

【解析】把點（加，3）代入函數y=2x+l,

得2/7/+1=3,

解得：m—\.

故選：C.

5.（2。2。?張家港市校級模擬）已知mb,c為正實數,且等二a+ca+b「一一

~T=T=k，則直線產6+31）

一定不經過（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

,一一一b+cQ+Ca+b

【分析】由“,b,，為正實數，且丁=k=丁=k可得出k>0,Hl>0,再利用一次函數圖象

與系數的關系,可得出直線（k+1）經過第一、二、三象限，進而可得出結論.

【解析】b,c為正實數，且竺=Q+Ca+b

---=----=k

ab

：.k>0,

"+1>0,

二直線），=履+（HI）經過第一、二、三象限，

直線y=Ax+（Hl）一定不經過第四象限.

故選：D.

6.（2020?常州二模）在平面直角坐標系xO），中，將橫縱坐標之積為1的點稱為“好點”，則函數y=|x|-3

的圖象上的“好點”共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】分及x<0兩種情況，利用“好點”的定義可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出

結論.

【解析】設函數y=|x|-3的圖象上的“好點”的坐標為（x,），），

當x20時，則y—x-1,所以，x（%-3）=1,

解得：制=宜爛(不合題意，舍去)，》2=與豆；

當x〈0時，則y=r-3,所以，x(-x-3)=1,

解得.-3-V5-3+75

函數y=M-3的圖象上的“好點”共有3個.

故選：C.

7.(2020?涪城區模擬)如圖，在平面直角坐標系xOy中，A(-3,0),3(3,0),若在直線>=-》+加上

存在點尸滿足乙4尸8=60°,則m的取值范圍是()

A.V6-5V3<m<V6+5V3B.-V6-5A/3<w<V6+5V3

C.V3-2V6<m<V3+25/6D.-V3-2A/6<m<V3+2A/6

【分析】作等邊三角形ABE,然后作外接圓，求得直線y