專題2.10實數章末十二大題型總結（培優篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1實數的概念辨析】 1【題型2直接求平方根、立方根】 2【題型3由平方根、立方根，求該數】 2【題型4估算二次根式的取值范圍】 3【題型5利用平方根、立方根解方程】 3【題型6由平方根、立方根求參數的值】 3【題型7實數的大小比較】 4【題型8實數與數軸綜合運用】 5【題型9二次根式的混合運算】 6【題型10二次根式的化簡求值】 6【題型11利用二次根式的性質化簡】 7【題型12求二次根式中的參數值】 7【題型1實數的概念辨析】【例1】（2023春·全國·八年級期中）把下列各數分別填入相應的集合里：38，π3，?32，?78，0，?0.2.2.，1.414，?7．(1)有理數集合：{________________…}；(2)負無理數集合：{______________…}；(3)正實數集合：{________________…}．【變式1-1】（2023秋·河北承德·八年級校考期中）下列說法中：①0是最小的整數；②有理數不是正數就是負數；③﹣π2不僅是有理數，而且是分數；④23A．7個 B．6個 C．5個 D．4個【變式1-2】（2023春·全國·八年級期中）對于?3+5的敘述，下列說法中正確的是（

A．它不能用數軸上的點表示出來 B．它是一個無理數C．它比0大 D．它的相反數為3＋5【變式1-3】（2023秋·浙江溫州·八年級統考期中）小聰在學完實數后，對數進行分類時，發現“實數”、“整數”、“正數”、“無理數”有如圖所示的關系，請你在圖中的橫線上分別填上一個適合的數．【題型2直接求平方根、立方根】【例2】（2023春·四川廣元·八年級校聯考期中）下列式子正確的是（

）A．49=±7 B．?32=?3 C．?【變式2-1】（2023春·廣西河池·八年級統考期末）下列說法中，錯誤的是（

）A．2的平方根是±4 B．0的平方根是0 C．1的平方根是±1 D．?1的立方根是?1【變式2-2】（2023春·湖南長沙·八年級統考期末）若x?4+5?y2=0，則【變式2-3】（2023春·吉林松原·八年級校聯考期中）已知64的立方根是m，m的平方根是n，求m+n的值．【題型3由平方根、立方根，求該數】【例3】（2023秋·河北石家莊·八年級石家莊市第二十二中學校考期末）若a的算術平方根為17.25，b的立方根為?8.69；x的平方根為±1.725，y的立方根為86.9，則（

）A．x=1100a,y=?1000bC．x=100a,y=1100a【變式3-1】（2023春·福建南平·八年級統考期中）已知a的平方根為±3，a+b的算術平方根為2，求a?b的平方根．【變式3-2】（2023春·湖北孝感·八年級統考期末）某正數的兩個平方根分別是a+3、2a?15，則這個正數為．【變式3-3】（2023春·云南普洱·八年級校考期中）已知a的平方根是±5，2b+4的立方根是2，3（1）求a,b,c的值；（2）求a+2b+c的算術平方根．【題型4估算二次根式的取值范圍】【例4】（2023春·湖北荊州·八年級統考期末）如圖，用邊長為3的兩個小正方形拼成一個面積為18的大正方形，則大正方形的邊長最接近的整數是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式4-1】（2023春·河北邢臺·八年級校考期中）估計230?24A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【變式4-2】（2023春·新疆塔城·八年級統考期末）已知x是整數，當x?30取最小值時，x的值是(

A．5 B．6 C．7 D．8【變式4-3】（2023春·福建廈門·八年級廈門市湖濱中學?？计谥校┮阎猰2＜21，若m+2是整數，則m【題型5利用平方根、立方根解方程】【例5】（2023秋·江蘇鹽城·八年級校聯考期中）求下列式子中的x(1)2(2)3【變式5-1】（2023春·廣西玉林·八年級統考期中）求下列各式中x的值．(1)25?x(2)(x+1)3【變式5-2】（2023春·湖北孝感·八年級統考期中）求x的值：(1)25(2)(x+1)【變式5-3】（2023秋·江蘇·八年級期中）解方程：32【題型6由平方根、立方根求參數的值】【例6】（2023春·重慶彭水·八年級統考期中）已知a?4的立方根是1，3a?b?2的算術平方根是3，13的整數部分是c．(1)求a，b，c的值．(2)求2a?3b+c的平方根．【變式6-1】（2023春·甘肅慶陽·八年級校考期中）已知A=a?1a+3b是a＋3b的算術平方根，B=2a?b?11?a2是1－a【變式6-2】（2023秋·陜西咸陽·八年級統考期中）已知a?1的算術平方根是2，4a+b?3的立方根是3，c是15的整數部分，求ac+b的平方根．【變式6-3】（2023春·福建廈門·八年級校聯考期中）已知5a+2的立方根是3，3a+b?1的算術平方根是4，c是15的整數部分，d是15的小數部分．(1)求a，b，c，d的值；(2)求3a?b+c的平方根．【題型7實數的大小比較】【例7】（2023春·全國·八年級期末）已知a=2022?2021，b=2021?2020，c=2020?2019A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．b<c<a【變式7-1】（2023春·江蘇蘇州·八年級統考期末）秦兵馬俑的發現被譽為“世界第八大奇跡”，兵馬俑的眼睛到下巴的距離與頭頂到下巴的距離之比為5?12，下列各數中最接近于5?1A．25 B．12 C．35【變式7-2】（2023秋·陜西西安·八年級?？计谥校┍容^下列各組數的大小：?21.4；275；5311；5【變式7-3】（2023春·湖北武漢·八年級武漢市糧道街中學校聯考期中）“比差法”是數學中常用的比較兩個數大小的方法，即：a?b>0，則例如：比較19?2∵19?2?2=19?4

又∵16∴19?2?2=19?4>0請根據上述方法解答以下問題：(1)29的整數部分是________，7?29(2)比較2?23與?3(3)已知a+ba?b=a2?【題型8實數與數軸綜合運用】【例8】（2023秋·河北邯鄲·八年級?？计谥校┮阎?是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此2的小數部分不可能全部寫出來，但由于1<2<2，所以2的整數部分為1，將2減去其整數部分1，差即小數部分

(1)7的整數部分是__________，小數部分是__________；(2)若4+3的整數部分是x，小數部分是y①填空：y=__________；②如圖，若面積為x的正方形放置在數軸上，使得正方形的一個頂點和表示?1的點重合，一條邊恰好落在數軸正方向上，其另一個頂點為數軸上的點A，求點A表示的數．【變式8-1】（2023春·江西上饒·八年級校聯考期中）如圖，半徑為1的圓上有一點P落在數軸上表示?1的點處，若將圓沿數軸向左滾動一周后，點P所處的位置在兩個連續的整數m，n之間，則m+n的值為．

【變式8-2】（2023春·云南曲靖·八年級校考期中）已知點A、B、C在數軸上表示的數a、b、c的位置如圖所示：化簡：3b3【變式8-3】（2023秋·浙江衢州·八年級校聯考期中）如圖，正方形ABCD的邊AB在數軸上，數軸上點B表示的數為?1，正方形ABCD的面積為16．圖中陰影部分為正方形．

(1)數軸上點A表示的數為___________；(2)求圖中陰影部分的面積是多少？(3)陰影部分正方形的邊長是多少？并在數軸上表示出點E，使點E表示的數為該正方形的邊長．【題型9二次根式的混合運算】【例9】（2023春·四川廣安·八年級?？计谥校┯嬎悖?1)91(2)(6【變式9-1】（2023春·上海·八年級?？计谀┯嬎悖?2+【變式9-2】（2023春·黑龍江綏化·八年級校考期中）計算．(1)5?3+(2)54?11?4【變式9-3】（2023春·黑龍江綏化·八年級?？计谥校┯嬎?1)(a(2)(a+b?【題型10二次根式的化簡求值】【例10】（2023春·上海閔行·八年級上海市閔行區莘松中學?？计谥校┫然?，再求值：x?yx?y【變式10-1】（2023春·浙江寧波·八年級校考期末）已知x+1x=3，且0<x<1【變式10-2】（2023春·廣西南寧·八年級統考期中）先化簡，再求值4525x+9【變式10-3】（2023春·湖北武漢·八年級華師一附中初中部校考期中）已知x＝12020?2019，則x6﹣22019x5﹣x4＋x3﹣22020x2＋2x﹣2020A．0 B．1 C．2019 D．2020【題型11利用二次根式的性質化簡】【例11】（2023春·山東威海·八年級統考期末）已知a>b，則aa?b?b?a【變式11-1】（2023春·山東煙臺·八年級統考期中）若xy<0，則x2y化簡后的結果是（專題2.10實數章末十二大題型總結（培優篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1實數的概念辨析】 1【題型2直接求平方根、立方根】 4【題型3由平方根、立方根，求該數】 5【題型4估算二次根式的取值范圍】 7【題型5利用平方根、立方根解方程】 9【題型6由平方根、立方根求參數的值】 11【題型7實數的大小比較】 14【題型8實數與數軸綜合運用】 17【題型9二次根式的混合運算】 20【題型10二次根式的化簡求值】 23【題型11利用二次根式的性質化簡】 25【題型12求二次根式中的參數值】 28【題型1實數的概念辨析】【例1】（2023春·全國·八年級期中）把下列各數分別填入相應的集合里：38，π3，?32，?78，0，(1)有理數集合：{________________…}；(2)負無理數集合：{______________…}；(3)正實數集合：{________________…}．【答案】(1)38，?78，0，(2)?32(3)38，π3【分析】（1）根據有理數的定義，即可求解；（2）根據負無理數的定義，即可求解；（3）根據正實數的定義，即可求解．【詳解】（1）解：38有理數集合：{38，?78，0，?0.故答案為：38，?78，0，?0.（2）解：負無理數集合：{?32，故答案為：?32，（3）解：正實數集合：{38，π3，故答案為：38，π3，【點睛】本題考查了有理數及實數的定義及分類，有理數是整數和分數的統稱，也可以說，可以化為整數、有限小數和無限不循環小數的數都是有理數；無限不循環小數是無理數；實數是有理數和無理數的總稱；大于0的數叫做正數，在正數前面加上負號“﹣”的數叫做負數，0既不是正數，也不是負數．【變式1-1】（2023秋·河北承德·八年級?？计谥校┫铝姓f法中：①0是最小的整數；②有理數不是正數就是負數；③﹣π2不僅是有理數，而且是分數；④23A．7個 B．6個 C．5個 D．4個【答案】B【分析】根據有理數的分類依此作出判斷，即可得出答案．【詳解】解：①沒有最小的整數，所以原說法錯誤；②有理數包括正數、0和負數，所以原說法錯誤；③﹣π2④237⑤無限小數不都是有理數，所以原說法正確；⑥正數中沒有最小的數，負數中沒有最大的數，所以原說法正確；⑦非負數就是正數和0，所以原說法錯誤；⑧正整數、負整數、正分數、負分數和0統稱為有理數，所以原說法錯誤；故其中錯誤的說法的個數為6個．【點睛】本題考查了有理數的分類，認真掌握正數、負數、整數、分數、正有理數、負有理數、非負數的定義與特點是解題的關鍵．注意整數和正數的區別，注意0是整數，但不是正數．【變式1-2】（2023春·全國·八年級期中）對于?3+5的敘述，下列說法中正確的是（

A．它不能用數軸上的點表示出來 B．它是一個無理數C．它比0大 D．它的相反數為3＋5【答案】B【分析】根據數軸的意義，實數的計算，無理數的定義，相反數的定義判斷即可．【詳解】A．數軸上的點和實數是一一對應的，故該說法錯誤，不符合題意；B．?3+5C．?3+5D．?3+5的相反數為3?【點睛】本題考查實數與數軸，實數的大小比較，無理數的定義，相反數的定義，牢記相關概念是解答本題的關鍵．【變式1-3】（2023秋·浙江溫州·八年級統考期中）小聰在學完實數后，對數進行分類時，發現“實數”、“整數”、“正數”、“無理數”有如圖所示的關系，請你在圖中的橫線上分別填上一個適合的數．【答案】見解析【分析】根據實數的分類填寫即可．【詳解】解：實數分為有理數與無理數，也可分為正實數，0，負實數，所以實數下橫線填負數；正數分為正有理數，正無理數，正數下的橫線上填正有理數；整數分為正整數，0，與負整數，整數下橫線填0與負整數；無理數分為正無理數，負無理數，無理數下橫線填負無理數，整數與正數公共部分填正整數，無理數與正數公共部分填正無理數，填數如下：【點睛】本題主要考查了實數的分類，熟練掌握實數的分類是解答本題的關鍵．【題型2直接求平方根、立方根】【例2】（2023春·四川廣元·八年級校聯考期中）下列式子正確的是（

）A．49=±7 B．?32=?3 C．?【答案】D【分析】分別根據算術平方根的性質、立方根的性質化簡即可．【詳解】解：A、49=7B、?32C、??D、?3故選：D．【點睛】本題考查了算術平方根的性質、立方根的性質，熟記運算法則是關鍵．【變式2-1】（2023春·廣西河池·八年級統考期末）下列說法中，錯誤的是（

）A．2的平方根是±4 B．0的平方根是0 C．1的平方根是±1 D．?1的立方根是?1【答案】D【分析】利用平方根和立方根的定義進行判斷即可．【詳解】解：A.2的平方根是±2B.0的平方根是0，則B不符合題意；C.1的平方根是±1，則C不符合題意；D.?1的立方根是?1，則D不符合題意；【點睛】本題考查平方根和立方根的定義，熟練掌握相關概念是解題的關鍵．【變式2-2】（2023春·湖南長沙·八年級統考期末）若x?4+5?y2=0，則【答案】±3【分析】非負數之和等于0時，各項都等于0，由此即可計算．【詳解】解：∵x?4+∴x?4=0，5?y=0，∴x=4，y=5，∴x+y=9，∴xy的平方根是±3．故答案為：±3．【點睛】本題考查非負數的性質，關鍵是掌握：非負數之和等于0時，各項都等于0．【變式2-3】（2023春·吉林松原·八年級校聯考期中）已知64的立方根是m，m的平方根是n，求m+n的值．【答案】m+n的值為6或2【分析】由64的立方根是m，可得m=364=4，由m的平方根是n【詳解】解：∵64的立方根是m，∴m=3∵m的平方根是n，∴n=±m∴當n=2，m+n=6；當n=?2，m+n=2；∴m+n的值為6或2．【點睛】本題考查了立方根，平方根，代數式求值．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握．【題型3由平方根、立方根，求該數】【例3】（2023秋·河北石家莊·八年級石家莊市第二十二中學?？计谀┤鬭的算術平方根為17.25，b的立方根為?8.69；x的平方根為±1.725，y的立方根為86.9，則（

）A．x=1100a,y=?1000bC．x=100a,y=1100a【答案】D【分析】根據平方根、算術平方根和立方根的定義求出a、b、x、y的值，再找出關系即可．【詳解】解：∵a的算術平方根為17.25，b的立方根為-8.69，∴a=297.5625，b=-656.234909．∵x的平方根為±1.725，y的立方根為86.9，∴x=2.975625，y=656234.909，∴x=1【點睛】本題考查了對平方根、算術平方根和立方根的運用．解題的關鍵是掌握平方根、算術平方根和立方根的定義．【變式3-1】（2023春·福建南平·八年級統考期中）已知a的平方根為±3，a+b的算術平方根為2，求a?b的平方根．【答案】±【分析】根據題意，先求得a和a+b的值，進而求得b的值，再代入求得a?b的平方根即可．【詳解】解：∵a的平方根為±3，∴a=9，∵a+b的算術平方根為2，∴a+b=4，∴b=?5；當a=9，b=?5時，a?b=14，∴a?b的平方根為±14【點睛】本題考查的是平方根及算術平方根的定義，熟知一個數的平方根有兩個，這兩個數互為相反數是解題的關鍵．【變式3-2】（2023春·湖北孝感·八年級統考期末）某正數的兩個平方根分別是a+3、2a?15，則這個正數為．【答案】49【分析】根據正數的兩個平方根互為相反數，可求出a的值，再根據平方根即可求出這個正數．【詳解】解：∵正數的兩個平方根分別是a+3、2a?15，正數的兩個平方根互為相反數，∴a+3+2a?15=0，解得：a=4，∴a+3=4+3=7，則這個正數為72故答案為：49．【點睛】本題考查了平方根，熟練掌握一個正數有兩個平方根，兩個平方根互為相反數，是解答本題的關鍵．【變式3-3】（2023春·云南普洱·八年級校考期中）已知a的平方根是±5，2b+4的立方根是2，3（1）求a,b,c的值；（2）求a+2b+c的算術平方根．【答案】（1）a=5、b=2、c=1或c=0；（2）10或3．【分析】（1）根據平方根和立方根的定義可確定a、b的值，再根據一個數的立方根和算術平方根相等的數是0和1，可以確定c；（2）分c=0和c=1兩張情況分別解答即可．【詳解】解：（1）∵a的平方根是±5，2b+4∴a=5，2b+4=8，即b=2∵3∴c=1或c=0∴a=5、b=2、c=1或c=0；（2）當c=1時，a+2b+c=5+2×2+1當c=0時，a+2b+c=∴a+2b+c的算術平方根為10或3．【點睛】本題主要考查了平方根、立方根、算術平方根的定義，靈活運用相關定義并正確確定c的值成為解答本題的關鍵．【題型4估算二次根式的取值范圍】【例4】（2023春·湖北荊州·八年級統考期末）如圖，用邊長為3的兩個小正方形拼成一個面積為18的大正方形，則大正方形的邊長最接近的整數是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】根據算術平方根的概念結合正方形的性質得出其邊長，進而得出答案．【詳解】解：∵用邊長為3的兩個小正方形拼成一個大正方形，∴大正方形的面積為：9+9=18，則大正方形的邊長為：18，∵16<∴4＜18＜4.5，∴大正方形的邊長最接近的整數是4．【點睛】本題主要考查了算術平方根，正確掌握算術平方根的定義是解題關鍵．【變式4-1】（2023春·河北邢臺·八年級?？计谥校┕烙?30?24A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【答案】B【詳解】【分析】先利用分配律進行計算，然后再進行化簡，根據化簡的結果即可確定出值的范圍.【詳解】2=230=25而254<20<5，所以2<25所以估計230故選B.【點睛】本題主要考查二次根式的混合運算及估算無理數的大小，熟練掌握運算法則以及“夾逼法”是解題的關鍵.【變式4-2】（2023春·新疆塔城·八年級統考期末）已知x是整數，當x?30取最小值時，x的值是(

A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根據絕對值的意義，找到與30最接近的整數，可得結論．【詳解】解：∵25<30<且與30最接近的整數是5，∴當x?30取最小值時，x故選A．【點睛】本題考查了算術平方根的估算和絕對值的意義，熟練掌握平方數是關鍵．【變式4-3】（2023春·福建廈門·八年級廈門市湖濱中學?？计谥校┮阎猰2＜21，若m+2是整數，則m【答案】-1，2，-2.【分析】根據題意可知m是整數，然后求出m的范圍即可得出m的具體數值，然后根據m+2是整數即可求出答案．【詳解】解：∵m+2是整數，∴m是整數，∵m2∴m2≤4，∴-2≤m≤2，∴m=-2，-1，0，1，2當m=±2或-1時，m+2是整數，故答案為：-1，2，-2【點睛】本題考查算術平方根，解題的關鍵是根據條件求出m的范圍，本題屬于中等題型．【題型5利用平方根、立方根解方程】【例5】（2023秋·江蘇鹽城·八年級校聯考期中）求下列式子中的x(1)2(2)3【答案】(1)x=3或x=?1(2)x=0【分析】（1）根據等式的性質和平方根的定義進行計算即可；（2）根據等式的性質和立方根的定義進行計算即可．【詳解】（1）解：2(x?1)2x?1=±2，x?1=2或x?1=?2，x=3或x=?1；（2）解：3(x+1)(x?3)3x?3=?3，x=0．【點睛】本題考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定義是正確解答的關鍵．【變式5-1】（2023春·廣西玉林·八年級統考期中）求下列各式中x的值．(1)25?x(2)(x+1)3【答案】(1)x=±5(2)x=3【分析】（1）根據平方根的定義解答即可；（2）根據立方根的定義解答即可．【詳解】（1）解：25?移項，得：x2解得：x=±5；（2）x+1開立方得：x+1=4，解得：x=3．【點睛】本題考查了用平方根，立方根解方程，熟練掌握平方根和立方根的定義是解答本題的關鍵．【變式5-2】（2023春·湖北孝感·八年級統考期中）求x的值：(1)25(2)(x+1)【答案】(1)x=65(2)x=【分析】（1）先把方程化為x2（2）先把方程化為(x+1)3(1)解：25∴x解得：x=±65，即x=(2)解：(x+1)移項得：(x+1)3∴x+1=3解得：x=【點睛】本題考查的是利用平方根的含義，立方根的含義解方程，掌握“平方根與立方根的含義”是解本題的關鍵．【變式5-3】（2023秋·江蘇·八年級期中）解方程：32【答案】x=1±【分析】先根據立方根的定義得出32(x?1)2【詳解】解：∵32∴32∴x?12=2，則∴x=1±2【點睛】本題主要考查立方根、平方根、等式的基本性質等知識點，靈活運用整體思想是解題的關鍵．【題型6由平方根、立方根求參數的值】【例6】（2023春·重慶彭水·八年級統考期中）已知a?4的立方根是1，3a?b?2的算術平方根是3，13的整數部分是c．(1)求a，b，c的值．(2)求2a?3b+c的平方根．【答案】(1)a=5，b=4，c=3(2)±1【分析】根據立方根、算術平方根的概念可得a?4、3a?b?2的值，進而可得a、b的值，接著估計13的大小，可得c的值，進而可得2a?3b+c，再根據平方根的求法可得答案．【詳解】（1）解：∵a?4的立方根是1，3a?b?2的算術平方根是3，∴a?4=1，3a?b?2=9，解得：a=5，b=4；∵9<13<16，∴3<13∴c=3．（2）解：由（1）得：2a?3b+c=10?12+3=1；故2a?3b+c的平方根為±1．【點睛】此題主要考查了無理數的估算能力，求一個數的平方根，靈活運用?！皧A逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．【變式6-1】（2023春·甘肅慶陽·八年級?？计谥校┮阎狝=a?1a+3b是a＋3b的算術平方根，B=2a?b?11?a2是1－a【答案】D＋B的立方根是1【分析】根據算術平方根和立方根的意義，可列方程組，然后求解即可得到a、b的值，然后代入求解即可.【詳解】解：由題意得:a?1=22a?b?1=3解得：a=3b=2∴A=9B=3∴3A+B【變式6-2】（2023秋·陜西咸陽·八年級統考期中）已知a?1的算術平方根是2，4a+b?3的立方根是3，c是15的整數部分，求ac+b的平方根．【答案】±5【分析】根據算術平方根和立方根的定義，求得a、b的值，再根據二次根式的估算，求得c的值，最后求得ac+b的值，進而求得ac+b的平方根．【詳解】解：∵a?1的算術平方根是2，4a+b?3的立方根是3，∴a?1=4，4a+b?3=27，解得a=5，b=10．∵9<15<16，∴3<15∴15的整數部分是3，即c=3，∴ac+b=5×3+10=25，∴ac+b的平方根為：±25∴ac+b的平方根是±5．【點睛】本題考查了算術平方根、立方根、二次根式的估算、平方根等知識，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．【變式6-3】（2023春·福建廈門·八年級校聯考期中）已知5a+2的立方根是3，3a+b?1的算術平方根是4，c是15的整數部分，d是15的小數部分．(1)求a，b，c，d的值；(2)求3a?b+c的平方根．【答案】(1)a=5，b=2，c=3，d=(2)±4【分析】（1）根據立方根，算術平方根的定義求a，b的值，估算無理數的大小得到c，d的值；（2）求出代數式的值，再求平方根即可．（1）解：∵5a+2的立方根是3，3a+b?1的算術平方根是4，∴5a+2=27，3a+b?1=16，∴a=5，b=2，∵9<15<16，∴3<15∴c=3，d=15（2）當a=5，b=2，c=3時，3a?b+c=3×5?2+3=15?2+3=16，16的平方根為±4，答：3a?b+c的平方根為±4．【點睛】本題考查了平方根，立方根，無理數的估算，無理數的估算常用夾逼法，用有理數夾逼無理數是解題的關鍵．【題型7實數的大小比較】【例7】（2023春·全國·八年級期末）已知a=2022?2021，b=2021?2020，c=2020?2019A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．b<c<a【答案】D【分析】先把a,b,c化為12022+2021,12021【詳解】解：∵a=2022b=2021c=2020而2022+∴a<b<c.故選A．【點睛】本題考查的是二次根式的大小比較，二次根式的混合運算，掌握“二次根式的大小比較的方法”是解本題的關鍵．【變式7-1】（2023春·江蘇蘇州·八年級統考期末）秦兵馬俑的發現被譽為“世界第八大奇跡”，兵馬俑的眼睛到下巴的距離與頭頂到下巴的距離之比為5?12，下列各數中最接近于5?1A．25 B．12 C．35【答案】A【分析】先把5?1【詳解】解：∵5∵25=0.4，12=0.5∴0.4<0.5<0.6<0.618<0.75，而0.618?0.6=0.018，0.75?0.618=0.133，∵0.133>0.018∴0.6更接近0.75，即35更接近5【點睛】本題考查了實數大小比較，估算無理數的大小，準確熟練地估算無理數的大小是解題的關鍵．【變式7-2】（2023秋·陜西西安·八年級?？计谥校┍容^下列各組數的大小：?21.4；275；5311；5【答案】<>>>【分析】根據實數比較大小的方法進行求解即可．【詳解】解：?2∵7>6.25，∴7>2.5∴27∵11<11.089567，∴311∵5>4.9729，∴5>2.23∴5>2.23>∵5>4，∴5>2∴5?1>1∴5?1故答案為：<；>；>；>．【點睛】本題主要考查了實數比較大小，熟知實數比較大小的方法是解題的關鍵．【變式7-3】（2023春·湖北武漢·八年級武漢市糧道街中學校聯考期中）“比差法”是數學中常用的比較兩個數大小的方法，即：a?b>0，則例如：比較19?2∵19?2?2=19?4

又∵16∴19?2?2=19?4>0請根據上述方法解答以下問題：(1)29的整數部分是________，7?29(2)比較2?23與?3(3)已知a+ba?b=a2?【答案】(1)5；6?(2)2?23(3)100+【分析】（1）首先估算出5<29<6，得到29的整數部分是5；推出?6<?29（2）根據“比差法”比較兩個數大小即可；（3）根據“比差法”比較得100+98?299=【詳解】（1）解：∵5<29∴29的整數部分是5；∴?6<?29∴1<7?29∴7?29的整數部分是1，則7?29的小數部分是故答案為：5；6?29（2）解：2?23∴2?23（3）解：100==∵100+∴1100∴100+【點睛】此題考查了無理數大小的比較，弄清題中的“作差比較法”是解本題的關鍵．【題型8實數與數軸綜合運用】【例8】（2023秋·河北邯鄲·八年級校考期中）已知2是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此2的小數部分不可能全部寫出來，但由于1<2<2，所以2的整數部分為1，將2減去其整數部分1，差即小數部分

(1)7的整數部分是__________，小數部分是__________；(2)若4+3的整數部分是x，小數部分是y①填空：y=__________；②如圖，若面積為x的正方形放置在數軸上，使得正方形的一個頂點和表示?1的點重合，一條邊恰好落在數軸正方向上，其另一個頂點為數軸上的點A，求點A表示的數．【答案】(1)2，7(2)①3?1；②【分析】（1）根據無理數的估算可得2<7（2）①先根據無理數的估算可得1<3<2，從而可得②先求出x=5，再求出正方形的邊長為5，然后根據數軸的性質即可得．【詳解】（1）解：∵4<7<9，∴2<7則7的整數部分是2，小數部分是7?2故答案為：2，7?2（2）解：①∵1<3<4，∴1<3∴5<4+3∴4+3的小數部分y=4+故答案為：3?1②由（2）①可知，4+3的整數部分x=5∴這個正方形的邊長為5，∵正方形的一個頂點和表示?1的點重合，一條邊恰好落在數軸正方向上，其另一個頂點為數軸上的點A，∴點A表示的數為?1+5【點睛】本題考查了無理數的估算、實數與數軸、算術平方根，熟練掌握無理數的估算是解題關鍵．【變式8-1】（2023春·江西上饒·八年級校聯考期中）如圖，半徑為1的圓上有一點P落在數軸上表示?1的點處，若將圓沿數軸向左滾動一周后，點P所處的位置在兩個連續的整數m，n之間，則m+n的值為．

【答案】?15【分析】根據圓的周長公式算出P點在數軸上移動的長度，向左移動，原數減去移動的長度即可得到點P新位置表示的數．從而分析在哪兩個數之間，進而求出答案．【詳解】解：2π×1≈6.28，?1?6.28=?7.28，?7.28在?7和?8之間，∴m+n=?7?8=?15，故答案為：?15．【點睛】本題考查實數與數軸，熟知實數與數軸上各點一一對應．明確點P新位置表示的數是解題的關鍵．【變式8-2】（2023春·云南曲靖·八年級?？计谥校┮阎cA、B、C在數軸上表示的數a、b、c的位置如圖所示：化簡：3b3【答案】b【分析】根據數軸可知a<b<0<c，則可知b+c>0，a?b?c<0，即可根據平方根，立方根的性質進行化簡．【詳解】根據數軸可知a<b<0<c，則可知b+c>0，a?b?c<0，3==b+a?b?c?a+b+c=b故答案為：b．【點睛】本題主要考查了平方根、立方根的性質，根據數軸得出數與0的大小關系是解題的關鍵．【變式8-3】（2023秋·浙江衢州·八年級校聯考期中）如圖，正方形ABCD的邊AB在數軸上，數軸上點B表示的數為?1，正方形ABCD的面積為16．圖中陰影部分為正方形．

(1)數軸上點A表示的數為___________；(2)求圖中陰影部分的面積是多少？(3)陰影部分正方形的邊長是多少？并在數軸上表示出點E，使點E表示的數為該正方形的邊長．【答案】(1)?5(2)10(3)10，在數軸上表示見解析【分析】（1）由題意可知AB=4，由圖可知點A在點B左側，進而可知點A表示的數為?1?4=?5；（2）用正方形ABCD的面積減去周圍三個直角三角形的面積即可求解；（3）由陰影部分的面積即可求得邊長，以原點為圓心，正方形的邊長為半徑畫弧，與數軸正半軸交于一點即可求解．【詳解】（1）解：∵正方形ABCD的面積為16，∴AB=4，∵數軸上點B表示的數為?1，由圖可知點A在點B左側，∴點A表示的數為?1?4=?5，故答案為：?5；（2）解：圖中陰影部分的面積=16?1（3）解：∵圖中陰影部分的面積10，∴陰影部分正方形的邊長是10，

以原點為圓心，正方形的邊長為半徑畫弧，與數軸正半軸交于一點E，如圖所示，該點即為所求．【點睛】本題考查在數軸上表示數，在數軸表示無理數的點，掌握無理數在數軸的表示方法是解決問題的關鍵．【題型9二次根式的混合運算】【例9】（2023春·四川廣安·八年級?？计谥校┯嬎悖?1)91(2)(6【答案】(1)2(2)2【分析】（1）先根據二次根式的乘法和除法法則運算，然后化簡即可；（2）先根據乘法分配律展開，再計算二次根式的乘法最后計算加減即可．【詳解】（1）9=9×=3=3×=（2）(=?=?12+2+12=2【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法和除法法則是解決問題的關鍵．【變式9-1】（2023春·上?！ぐ四昙壭？计谀┯嬎悖?2+【答案】53【分析】先根據二次根式的乘除法法則計算乘除法，同時分別化簡各加數中的二次根式，最后計算加減法.【詳解】12=2=2=5321【點睛】此題考查二次根式的混合運算，二次根式的化簡，正確掌握二次根式的化簡法則是解題的關鍵.【變式9-2】（2023春·黑龍江綏化·八年級?？计谥校┯嬎悖?1)5?3+(2)54?11?4【答案】(1)6?2(2)1【分析】（1）利用平方差公式、完全平方公式計算；（2）先進行分母有理化，再進行加減運算．【詳解】（1）解：5?3==5?2=6?2（2）解：54?11?==4+=4+=1【點睛】本題考查二次根式的混合運算，涉及平方差公式、完全平方公式等，解題的關鍵是掌握二次根式分母有理化的方法．【變式9-3】（2023春·黑龍江綏化·八年級?？计谥校┯嬎?1)(a(2)(a+b?【答案】(1)a(2)?【分析】（1）先將除法轉化為乘法計算，然后利用乘法的分配率分別相乘，根據二次根式、分式的運算法則計算即可；（2）先對括號內分別通分計算加減法，將除法轉化為乘法計算，根據二次根式、分式的運算法則計算即可．【詳解】（1）解：(=＝1＝1b2－1=a（2）解：(===＝a+ba+=?【點睛】本題考查了二次根式、分式的混合運算，掌握運算法則、準確熟練地進行計算是解題的關鍵．【題型10二次根式的化簡求值】【例10】（2023春·上海閔行·八年級上海市閔行區莘松中學?？计谥校┫然?，再求值：x?yx?y【答案】2x+2【分析】首先對第一個式子的分子利用平方差公式分解，第二個式子利用完全平方公式分解，然后約分，合并同類二次根式即可化簡，然后代入數值計算即可．【詳解】解：原式===2當x=3,y=1原式=2=2=【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，正確理解平方差公式和完全平方公式對分子進行變形是關鍵．【變式10-1】（2023春·浙江寧波·八年級?？计谀┮阎獂+1x=3，且0<x<1【答案】5+1【分析】利用題目給的x+1x求出x?1【詳解】∵x+∴x+∴x+1∴x?∵0<x<1，∴x?∴x+∴原式===5故答案是：5+1【點睛】本題考查二次根式的運算和乘法公式的應用，解題的關鍵是熟練運用乘法公式對式子進行巧妙運算．【變式10-2】（2023春·廣西南寧·八年級統考期中）先化簡，再求值4525x+9【答案】5【分析】先把二次根式為最簡二次根式，再合并同類二次根式，最后代入求值即可．【詳解】解：4==4=5把x=12代入5∴當x=12【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，掌握把二次根式為最簡二次根式是解題的關鍵．【變式10-3】（2023春·湖北武漢·八年級華師一附中初中部校考期中）已知x＝12020?2019，則x6﹣22019x5﹣x4＋x3﹣22020x2＋2x﹣2020A．0 B．1 C．2019 D．2020【答案】A【分析】對已知進行變形，再代入所求式子，反復代入即可．【詳解】∵x=1∴x=x=x=x=x=x=?x+2x?2020=x?2020=2019故選：C【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡求值，對所求式子進行變形，反復代入x的值即可解決.【題型11利用二次根式的性質化簡】【例11】（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y考期末）已知a>b，則aa?b?b?a【答案】?【分析】先根據被開方數為非負數，得出a<0，再根據a>b得出b?a<0，a?b>0，最后根據二次根式的運算