專題12垂徑定理、圓周角和圓心角的關系（6個知識8種題型）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.垂徑定理（重點）知識點2.垂徑定理的推論（難點）知識點3.圓周角（重點）知識點4.圓周角定理（重點）知識點5.圓周角定理的推論（難點）知識點6.圓內接四邊形的概念與性質（重點）【方法二】實例探索法題型1.最短距離問題題型2.輔助線的添加方法題型3.方程思想題型4.垂徑定理的實際應用題型5.圓中角度的計算題型6.圓內接四邊形與圓周角定理的綜合應用題型7.動點問題題型8.圓周角定理與其他幾何知識的綜合【方法三】成果評定法【學習目標】掌握垂徑定理，并會運用垂徑定理進行簡單的計算。掌握與垂徑定理有關的推論，并能運用這一推論解決相關問題。3.認識圓周角，掌握圓周角和圓心角的關系，直徑所對的圓周角的特征。4.能運用圓心角和圓周角的關系、直徑所對的圓周角的特征解決相關問題。【知識導圖】【倍速學習五種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.垂徑定理（重點）垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．【例1】．（2022秋?錫山區校級月考）如圖，在⊙O中，OC⊥AB于點C，若⊙O的半徑為10，AB＝16，則OC的長為．【解答】解：如圖，連接OA．∵OC⊥AB，∴AC＝CB＝AB＝8，∵OA＝10，∠ACO＝90°，∴OC＝＝＝6，故答案為：6．【變式】．（2022秋·江蘇南京·九年級南京市第一中學校考階段練習）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，則下列結論一定正確的個數有（）①CE=DE；②BE=OE；③；④∠CAB=∠DAB．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】已知直徑AB垂直于弦CD，那么可根據垂徑定理來判斷所給出的結論是否正確．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，且AB⊥CD，∴CE=DE，；故①③正確；∴∠CAB=∠DAB；故④正確由于沒有條件能夠證明BE=OE，故②不一定成立；所以一定正確的結論是①③④；故選：B．【點睛】此題主要考查的是垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧，掌握垂徑定理是解題的關鍵．知識點2.垂徑定理的推論（難點）推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．推論2：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧．推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．【例2】．（2022秋·九年級統考期中）如圖，的弦，M是的中點，且，則的半徑等于（

）A．7 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】連接，根據M是的中點，得到，利用勾股定理進行求解即可．【詳解】解：∵的弦，M是的中點，∴，，連接，在中，，即：的半徑等于5；故選C．【點睛】本題考查垂徑定理的推論．熟練掌握平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，是解題的關鍵．【變式】．（2023秋·浙江臺州·九年級統考期末）如圖，在正方形網格中，一條圓弧經過三點，那么這條圓弧所在圓的圓心是（

）．A．點 B．點 C．點 D．點【答案】B【分析】根據垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，分別作，的垂直平分線即可得到答案．【詳解】解：作的垂直平分線，作的垂直平分線，如圖，它們都經過，所以點為這條圓弧所在圓的圓心．故選：B．【點睛】本題主要查了垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，理解并掌握圓心為弦垂直平分線的交點是解決此題的關鍵．知識點3.圓周角（重點）1.圓周角定義：

像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．

2.圓心角與圓周角的區別與聯系【例3】觀察下圖中角的頂點與兩邊有何特征?指出哪些角是圓周角?【答案與解析】(a)∠1頂點在⊙O內，兩邊與圓相交，所以∠1不是圓周角；(b)∠2頂點在圓外，兩邊與圓相交，所以∠2不是圓周角；(c)圖中∠3、∠4、∠BAD的頂點在圓周上，兩邊均與圓相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圓周角．(d)∠5頂點在圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓不相交，所以∠5不是圓周角；(e)∠6頂點在圓上，兩邊與圓均不相交，由圓周角的定義知∠6不是圓周角.【總結升華】緊扣定義，抓住二要素，正確識別圓周角．知識點4.圓周角定理（重點）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．【例4】如圖，，點C在上，且點C不與A、B重合，則的度數為（）A．B．或C．D．或【答案】D；【解析】當點C在優弧AB上時，∠ACB=50°；當點C在劣弧AB上時，∠ACB=130°，故選D.【點評】考查分類討論思想.【變式】如圖，AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°則弦AB所對的圓周角是.【答案】40°或140°.知識點5.圓周角定理的推論（難點）半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．

要點詮釋：

(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.

(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.（3）圓心與圓周角存在三種位置關系：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內部；圓心在圓周角的外部．（如下圖）【例5】（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，是的直徑，A、B是上的兩點，若，則的度數為（）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵∴．∵，∴．【變式】如圖，⊙A過點O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，點B是x軸下方⊙A上的一點，連接BO、BD，則∠OBD的度數是．【答案】30°【詳解】連接CD.由題意得∠COD=90°，∴CD是⊙A的直徑.∵D（0，1），C（，0），∴OD=1，OC=，∴CD==2，∴∠OCD=30°，∴∠OBD=∠OCD=30°.（同弧或等弧所對的圓周角相等）知識點6.圓內接四邊形的概念與性質（重點）（1）定義:圓內接四邊形：頂點都在圓上的四邊形，叫圓內接四邊形．（2）性質：圓內接四邊形對角互補，外角等于內對角（即它的一個外角等于它相鄰內角的對角）．【例6】（2022秋?靖江市期末）如圖，已知四邊形ABCD內接于⊙O．求證：∠A+∠C＝180°．【解答】證明：如圖，連接OB、OD，由圓周角定理得：∠A＝∠2，∠C＝∠1，∵∠2+∠1＝360°，∴∠A+∠C＝180°．【變式】如圖已知四邊形ABCD內接于⊙O，∠ABC＝70°，則∠ADC的度數是．【解答】解：∵四邊形ABCD內接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝70°，∴∠ADC＝110°，故答案為：110°．【方法二】實例探索法題型1.最短距離問題1．（2022秋·江蘇無錫·九年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，交x軸于，兩點，交y軸于C，兩點，點S是上一動點，N是的中點，則線段的最小值是．【答案】【分析】在y軸上截取，連接，根據，，求出點M的坐標為，根據，，得出，當取最小值時，才能取得最小值，當且僅當E、S、M三點共線時，才能取得最小值，求出，得出，即可得出答案．【詳解】解：在y軸上截取，連接，如圖所示：∵，，∴圓心M在的垂直平分線上，∴M點的橫坐標為1，設M點的縱坐標為n，∴，∵，∴，解得：，，∴，∵，，∴，∴當取最小值時，才能取得最小值，當且僅當E、S、M三點共線時，才能取得最小值，如圖所示：∵，，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，中位線定理，作出相應的輔助線，求出點M的坐標，解題的關鍵是找出當取最小值時，才能取得最小值，當且僅當E、S、M三點共線時，才能取得最小值．題型2.輔助線的添加方法2．（2021秋·江蘇·九年級專題練習）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B． C． D．【答案】C【分析】作OD⊥AB于C，交小圓于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO為半徑，則OA=OD=4；然后運用勾股定理即可求得AC的長，即可求得AB的長.【詳解】解：作OD⊥AB于C，交小圓于D，則CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AC=，∴AB=2AC=.故答案為C.【點睛】本題考查的是垂徑定理的應用及勾股定理，作出輔助線、構造出直角三角形是解答本題的關鍵.題型3.方程思想3.（2022秋?江寧區校級月考）如圖是一個隧道的橫截圖，它的形狀是以點O為圓心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中點，EM經過圓心O交⊙O于點E，若CD＝4m，EM＝6m，則⊙O的半徑為m．【解答】解：∵M是⊙O弦CD的中點，根據垂徑定理：EM⊥CD，又CD＝4則有：CM＝CD＝2m，設圓的半徑是x米，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，即：x2＝22+（6﹣x）2，解得：x＝，所以圓的半徑長是m．故答案為：．題型4.垂徑定理的實際應用4.（2022秋?如皋市校級月考）興隆蔬菜基地建圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知AB＝16m，半徑OA＝10m，高度CD為m．【解答】解：∵OC⊥AB，∴∠ADO＝90°，AD＝AB＝8，在Rt△AOD中，OD2＝OA2﹣AD2，∴OD＝＝6，∴CD＝10﹣6＝4（m）．故答案是4．5.（2022?鐘樓區校級模擬）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，如圖1，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB長為4米，⊙O半徑長為3米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（）A．1米 B．2米 C．米 D．米【解答】解：連接OC，OC交AB于D，由題意得：OA＝OC＝3米，OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝2（米），∠ADO＝90°，∴OD＝＝＝（米），∴CD＝OC﹣OD＝（3﹣）米，即點C到弦AB所在直線的距離是（3﹣）米，故選：C．6.（2022秋?泰州月考）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長；（2）當洪水泛濫到跨度只有30米時，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時，是否要采取緊急措施？【解答】解：（1）連接OA，由題意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，解得，r＝34（米）；（2）連接OA′，∵OE＝OP﹣PE＝30米，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，解得：A′E＝16（米）．∴A′B′＝32（米）．∵A′B′＝32＞30，∴不需要采取緊急措施．題型5.圓中角度的計算7．（2022秋?鼓樓區期末）如圖，AB為⊙O的直徑，D是弦AC延長線上一點，AC＝CD，DB的延長線交⊙O于點E，連接CE．（1）求證∠A＝∠D；（2）若的度數為108°，求∠E的度數．【解答】（1）證明：連接BC，∵AB是⊙O的直徑，∴即AD⊥BC，又AC＝CD，∴AB＝BD，∴∠A＝∠D；（2）解：∵的度數為108°，∴∠EBA＝54°，又∠EBA＝∠A+∠D，∠A＝∠D，∴，∴∠E＝∠A＝27°．題型6.圓內接四邊形與圓周角定理的綜合應用8．（2022秋?宿城區期末）如圖，四邊形ABCD內接于一圓，CE是邊BC的延長線．（1）求證∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度數．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD內接于圓，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∵∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCE；（2）解：∵∠ACB＝70°，∴∠ADB＝∠ACB＝70°，∴∠ABD＝180°﹣60°﹣70°＝50°．9．（2022秋?鎮江期中）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延長線交于點E．求證：BD＝BC．【解答】證明：∵四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠EAD+∠BAD＝180°，∴∠BCD＝∠EAD，∵∠EAD＝∠BAC，∴∠BCD＝∠BAC，∵∠BDC＝∠BAC，∴∠BCD＝∠BDC，∴BD＝BC．題型7.動點問題10．（2023·江蘇泰州·統考中考真題）已知：A、B為圓上兩定點，點C在該圓上，為所對的圓周角．

知識回顧(1)如圖①，中，B、C位于直線異側，．①求的度數；②若的半徑為5，，求的長；逆向思考(2)如圖②，P為圓內一點，且，，．求證：P為該圓的圓心；拓展應用(3)如圖③，在（2）的條件下，若，點C在位于直線上方部分的圓弧上運動．點D在上，滿足的所有點D中，必有一個點的位置始終不變．請證明．【答案】(1)①；②；(2)見解析；(3)見解析【分析】（1）①根據，結合圓周角定理求的度數；②構造直角三角形；（2）只要說明點到圓上、和另一點的距離相等即可；（3）根據，構造一條線段等于，利用三角形全等來說明此線段和相等．【詳解】（1）解：①，，，．②連接，過作，垂足為，

，，是等腰直角三角形，且，，，是等腰直角三角形，，在直角三角形中，，．（2）證明：延長交圓于點，則，

，，，，，，，為該圓的圓心．（3）證明：過作的垂線交的延長線于點，連接，延長交圓于點，連接，，

，，是等腰直角三角形，，，，，是直徑，，，，，，，，必有一個點的位置始終不變，點即為所求．【點睛】本題考查了圓周角定理，還考查了勾股定理和三角形全等的知識，對于（3）構造一條線段等于是關鍵．題型8.圓周角定理與其他幾何知識的綜合11．（2023?濱江區一模）如圖1，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，，BF與CD交于點G．（1）求證：CD＝BF．（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的長．（3）連結GO，OF，如圖2，求證：．【解答】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，∴，∵，∴，∴，即，∴BF＝CD；（2）解：如圖所示：連接BC，由（1）得：，CD＝BF＝4，∴∠FBC＝∠BCD，∴BG＝CG，∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，∴，設EG＝x，則BG＝CG＝2﹣x，在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，解得：，∴GE的長為；（3）解：如圖所示：連接OC交BF于I，∵，∴，在△OCG和△OBG中，，∴△OCG≌△OBG（SSS），∴∠COG＝∠BOG，∴∠IOB＝2∠EOG，∵OF＝OB，OC為半徑，∴OC⊥BF，∴∠OIB＝90°，∵∠IOB+∠IBO＝90°，∴．【方法三】成果評定法一．選擇題（共6小題）1．（2023秋?惠山區校級期中）如圖，是的直徑，弦于點，，，則的長為A． B． C． D．【分析】根據勾股定理求出，根據勾股定理計算即可．【解答】解：弦，，在中，，，故選：．【點評】本題考查的是垂徑定理，勾股定理，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解題的關鍵．2．（2023春?鼓樓區校級月考）如圖，在正方形中，，以邊為直徑作半圓，是半圓上的動點，于點，于點，設，，則的最小值是A． B． C． D．【分析】連接、、，如圖，先利用勾股定理計算出，再利用四邊形為矩形得到，則，即，所以當的值最小時，的值最小，由于（當且僅當、、共線時取等號），所以的最小值為，從而得到的最小值．【解答】解：連接、、，如圖，四邊形為正方形，為半圓的直徑，，，，，，，四邊形為矩形，，，即，當的值最小時，的值最小，（當且僅當、、共線時取等號），的最小值為，即的最小值為．故選：．【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理和正方形的性質．3．（2023秋?濱湖區校級期中）“圓材埋壁”是我國古代數學名著《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺．問：徑幾何？”用現在的幾何語言表達即：如圖，弦，垂足為點，寸，尺寸），則圓的直徑長度是A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸【分析】連接，設的半徑是寸，由垂徑定理得到寸，由勾股定理得到，求出，即可得到圓的直徑長．【解答】解：連接，設的半徑是寸，弦，垂足為點，寸，寸，寸，，，，直徑的長度為寸．故選：．【點評】本題考查垂徑定理的應用，勾股定理的應用，關鍵是連接構造直角三角形，應用垂徑定理，勾股定理列出關于圓半徑的方程．4．（2023秋?銅山區校級月考）如圖，點、、在上，，則的度數是A． B． C． D．【分析】利用圓周角定理求解即可．【解答】解：，，，故選：．【點評】本題考查圓周角定理，三角形面積和定理等知識，解題的關鍵是掌握圓周角定理，屬于中考常考題型．5．（2023?蘇州）如圖，是半圓的直徑，點，在半圓上，，連接，，，過點作，交的延長線于點．設的面積為，的面積為，若，則的值為A． B． C． D．【分析】如圖，過作于，證明，由，即，可得，證明，可得，設，則，可得，，再利用正切的定義可得答案．【解答】解：如圖，過作于，，，，即，，，，，即，設，則，，，，，，；故選．【點評】本題考查的是圓周角定理的應用，勾股定理的應用，銳角三角函數的應用，作出合適的輔助線構建直角三角形是解本題的關鍵．6．（2023秋?梁溪區校級期中）如圖，是內接四邊形的一個外角，若，那么的度數為A． B． C． D．【分析】求出的度數，根據圓內接四邊形的對角互補得出，求出，根據圓周角定理得出，再求出答案即可．【解答】解：，，四邊形內接于，，，，故選：．【點評】本題考查了圓內接四邊形的性質和圓周角定理，能熟記圓內接四邊形的性質和圓周角定理是解此題的關鍵．二．填空題（共6小題）7．（2023秋?濱海縣期中）如圖，點，，，在上，，，則．【分析】直接利用圓周角定理以及結合三角形內角和定理得出，進而得出答案．【解答】解：，，，．故答案為：．【點評】此題主要考查了圓周角定理以及三角形內角和定理，正確得出度數是解題關鍵．8．（2023秋?鎮江期中）如圖，某圓弧形拱橋的跨度，拱高，則該拱橋的半徑為8.9．【分析】根據垂徑定理的推論知，圓弧形拱橋的圓心在所在的直線上，設圓心是，半徑為，連接．根據垂徑定理得，再由勾股定理求解即可．【解答】解：根據垂徑定理的推論知，圓弧形拱橋的圓心在所在的直線上，設圓心是，半徑是，連接．根據垂徑定理，得：，在中，根據勾股定理，得，解得：，即該拱橋的半徑為，故答案為：8.9．【點評】此題考查了垂徑定理的應用和勾股定理的應用，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關鍵．9．（2023秋?高新區校級期中）如圖是一個圓柱形的玻璃保溫水杯，將其橫放，截面是個半徑為的圓，杯內水面，則水的最大深度是2．【分析】連接，，則有，根據勾股定理計算即可．【解答】解：如圖所示，連接，，則有，，在中，，．故答案為：2．【點評】本題考查了垂徑定理的應用，熟練應用勾股定理是解題關鍵．10．（2023秋?豐縣期中）如圖，點是半圓上的一個三等分點，點是的中點，是直徑上一動點，的半徑是2，則的最小值為．【分析】首先作關于的對稱點，連接，然后根據圓周角定理、圓的對稱性質和勾股定理解答．【解答】解：作關于的對稱點，連接，，交于，此時，根據兩點之間線段最短，的最小值為的長度，連接，，點是半圓上的一個三等分點，．弧中點，，，．的半徑是2，，，即的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查的是圓周角定理，軸對稱最短路線問題，解答此題的關鍵是找到點的對稱點，把題目的問題轉化為兩點之間線段最短解答．11．（2023秋?鼓樓區校級月考）如圖，已知的半徑為7，是的弦，點在弦上．若，，則的長為5．【分析】過作于，連接，求出，根據垂徑定理求出，根據勾股定理求出，再根據勾股定理求出即可．【解答】解：過作于，連接，則，，，，，過圓心，，，，，．故答案為：5．【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理，能熟記垂直于弦的直徑平分這條弦是解此題的關鍵．12．（2023秋?建湖縣期中）如圖，點、、在上，，連接并延長，交于點，連接、．若，則的大小為54．【分析】利用平行線的性質求出，再利用圓周角定理求出，利用平行線的性質可得，再證明可得結論．【解答】解：，，，，，是的直徑，，，故答案為：54．【點評】本題考查圓周角定理，平行線的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．三．解答題（共6小題）13．（2023秋?儀征市期中）如圖，在以點為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦交小圓于點、．（1）求證；（2）若，大圓和小圓的半徑分別為6和4，則的長度是．【分析】（1）作于，如圖，根據垂徑定理得到，，利用等量減等量差相等可得到結論；（2）連接，如圖，設，利用勾股定理得到，，則，然后解方程求出即可得到的長．【解答】（1）證明：作于，如圖，，，，，；（2）解：連接，如圖，設，在中，，在中，，，解得，．故答案為：．【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理．14．（2023秋?廣陵區期中）如圖，四邊形內接于，為的直徑，．（1）若，求的度數；（2）求證：．【分析】（1）根據，可得，根據三角形的內角和定理得出，根據平行線的性質求出，根據圓內接四邊形的性質求出的度數即可；（2）連接，根據，可得，根據平行線的性質可得，從而證得結論．【解答】（1）解：，，，，，，四邊形是的內接四邊形，，；（2）證明：連接，，，，，，，．【點評】本題考查了圓心角、弦、弧之間的關系定理以及平行線的性質，解題的關鍵是掌握相關定理并靈活運用．15．（2023秋?句容市期中）已知：