第3章

一次方程與方程組

3.1方程課程導入

課程講授習題解析歸納總結

老師的年齡乘

3再減去

17剛好為

73，那現在你能知道老師的年齡嗎？你是怎么猜的？小游戲：猜老師的年齡小敏，我能猜出你年齡.不信你的年齡乘2減5得數是多少？你今年13歲21

你怎么知道我的年齡是13歲的呢？

如果設小敏的年齡為

x歲，那么“乘2再減5”就是

，因此可以得到方程：

.2x－5

2x－5=21小敏合作探究情景1：一元一次方程的概念與一元一次方程的解情景2：小穎種了一棵樹苗，開始時樹苗高為40cm，栽種后每周樹苗長高約15cm，大約幾周后樹苗長高到1m？40cm100cmx周后

如果設

x周后樹苗長高到1m，那么可以得到方程：

.40+15x=100情景3：某長方形操場的面積是5850m2，長和寬之差為25m，這個操場的長與寬分別是多少米？

設這個操場的寬為x

m，那么長為(x＋25)m，由此可以得到方程：

.x(x＋25)＝5850xm(x+

25)m議一議(1)在上面得到的方程中有沒有你熟悉的方程？它們是哪幾個？(2)方程2x－5＝21，40＋5x＝100有什么共同特點？(3)滿足什么條件的方程是一元一次方程？(4)想一想：方程和

x(x＋25)＝5850是一元一次方程嗎？一元一次方程的定義

在一個方程中，只________________，______________都是1，且等式兩邊都是整式的方程叫做一元一次方程.含有一個未知數未知數的次數概念學習

判斷下列各式是不是一元一次方程.①2x2－5＝4；②－m＋8＝1；③x＝1；④x＋y＝1；⑤x＋3>0；⑥2x2－2(x2－x)＝1；⑦；⑧πx＝12.做一做√√√√①含有一個未知數；②未知數的次數是1；③方程中的代數式都是整式.判斷一個方程是一元一次方程，化簡后必須滿足三個條件：典例精析例1若關于

x的方程2xm－3＋4＝7是一元一次方程，求

m的值.解：根據一元一次方程的定義可知m－3＝1，所以m＝4.1.是一元一次方程，則

k=____.2.是一元一次方程，則

k=_______.3.是一元一次方程，

k=____.

4.是一元一次方程，則

k=____.21或

-1-1-2只含有一個未知數，未知數的系數不等于

0.變式訓練

在“猜年齡”游戲中，當被告知計算的結果是21時，我們所列的方程為2x－5＝21，從而求出年齡是13由于13能使方程的兩邊相等，我們就把13叫做方程2x－5＝21的解.方程的解的定義

使方程兩邊相等的未知數的值叫做方程的解；一元方程的解，也可以叫做方程的根．概念學習例2

檢驗

x＝1是不是下列方程的解．(1)x2－2x＝－1；(2)x＋2＝2x＋1.[解析]根據方程的解的概念，把

x＝1代入方程中，看兩邊是否相等．解：(1)把

x＝1代入方程，左邊＝12－2×1＝－1，右邊＝－1，左邊＝右邊，所以

x＝1是方程

x2－2x＝－1的解.(2)同(1)一樣的方法可得

x＝1是方程的解．

要判斷一個數是否是某個方程的解，根據“方程的解”的定義，只要用這個數代替方程中的未知數，看方程左右兩邊的值是否相等，如果“左邊＝右邊”，那么這個數就是方程的解，反之，這個數就不是方程的解．方法總結練一練1.下列方程中，解為

x＝－2的是(

)A.3x－2＝2xB.4x－1＝2x＋3C.3x＋1＝2x－1D.5x－3＝6x－2C2.若

x＝4是關于

x的方程

ax＝8的解，則

a的值為_____.2對比天平與等式，你有什么發現？把一個等式看作一個天平，把等號兩邊的式子看作天平兩邊的砝碼，則等號成立就可看作是天平兩邊保持平衡.等號等式的左邊等式的右邊合作探究等式的性質天平兩邊同時天平仍然平衡.加入拿去相同質量的砝碼，相同的數

(或式子)，

等式兩邊同時加上減去等式仍然成立.換言之，

等式兩邊都加上(或減去)同一個數或同一個整式，結果仍是等式.如果

a=b，那么

a+c=b+c，a+c=b+c.合作探究等式的性質1由天平看等式的性質2你能發現什么規律？等式的兩邊都乘以(或除以)同一個數(除數不能為0)，所得結果仍是等式.等式的性質2如果

a=b，那么

ac=bc，(c≠0).等式的性質3如果

a=b，那么

b=a.(對稱性)等式的性質4如果

a=b，b=c，那么

a=c.(傳遞性)

(2)怎樣從等式3+x=1得到等式x=－2?(3)怎樣從等式4x=12得到等式x=3?依據等式的性質1兩邊同時減3.依據等式的性質2兩邊同時除以4或同乘.依據等式的性質2兩邊同時除以或同乘

100.例1

(1)怎樣從等式

x－5=y－5

得到等式x=y?依據等式的性質1兩邊同時加5.典例精析(4)怎樣從等式得到等式a=b?例4解方程：2x-1=19.解：兩邊都加上1，得2x=19+1，即2x=20.等式的性質1兩邊都除以2，得x=10.等式的性質2思考：x=10是原方程的解嗎?利用等式的性質解方程左邊=2×10

-

1=19.右邊=19.即左邊=右邊所以

x=10是原方程的解.小結：解一元一次方程要“化歸”為“x=a”的形式.

一般地，從方程解出未知數的值以后，可以代入原方程檢驗，看這個值能否使方程的兩邊相等.將x=10代入方程

2x-1=19，得1.下列各式中，是一元一次方程的有______(填序號).(1)

＋8＝3；(2)18－x；(3)1＝2x＋2；(4)5x2＝20；(5)x＋y＝8；(6)3x＋5＝3x＋2.2.x＝2________方程4x－1＝3的解．(填“是”或“不是”)(1)(3)不是3.若方程(a＋6)x2＋3x－8＝7是關于

x

的一元一次方程，則

a＝_____.－64.若關于

x的方程(k－2)x|k－1|

+4=0是一元一次方程，則

k＝____.05.小剛準備用自己節省的零花錢購買一臺MP4來學習英語，他已存有50元，并計劃從本月起每月節省30元，直到他有260元．設

x個月后小剛有260元，則可列出計算月數的方程為(

)A．30x＋50＝260

B．30x－50＝260C．x－50＝260

D．x＋50＝260A6.利用等式的性質解下列方程：(1)

x+7=26；

(2)-5x=20；解：(1)兩邊都減去7，得x=26-7

即x=19.檢驗：將

x=19分別代入方程兩邊左邊=19+7=26=右邊所以

x=19是原方程的解.(2)兩邊都除以-5，得x=20÷(-5)

即

x=-4.檢驗：將

x=-4分別代入方程兩邊左邊=-5×(-4)=20=右邊所以

x=-4是原方程的解.解：兩邊都加上5，得即

兩邊都乘以

-3，得即x=-27.（檢驗略）分銀故事：

隔墻聽得客分銀，不知人數不知銀.七兩分之多四兩，九兩分之少半斤.（注：在古代1斤是16兩，半斤就是8兩）拓展提升古詩文意思：

有幾個客人在房間內分銀子，每人分七兩，最后多四兩，每人分九兩，最后還差八兩，問有幾個人？有幾兩銀子？解：設有

x個客人在房間內分銀子，依題意可列方程：7x+

4=

9x－8.一元一次方程等式的基本性質概念只含有一個未知數，未知數次數都是1，且等式兩邊都是整式的方程叫做一元一次方程.根據等式的傳遞性，一個量用與它相等的量代替，簡稱等量變換.1.若

a=b，則

a+c=b+c，a

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