第2課時平面與平面垂直的性質

囪闌圖圃園圖(教師獨具內容)

課程標準：1.從相關定義和基本事實出發，借助長方體，通過直觀感知，了

解空間中平面與平面的垂直關系.2.歸納出平面與平面垂直的性質定理.

教學重點：探究、發現平面與平面垂直的性質定理.

教學難點：平面與平面垂直的性質定理、判定定理的綜合應用.

核心素養：1.通過從教材的實例中歸納出平面與平面垂直的性質定理的過程

培養數學抽象素養.2.通過利用平面與平面垂直的性質定理解決與垂直相關的問

題提升邏輯推理素養.

'新知［

平面與平面垂直的其他性質與結論

(1)如果兩個平面互相垂直,那么經過第一個平面內一點垂直于第二個平面的

直線在第一個平面內.即4Ga,AWb,bLBObUa.

(2)如果兩個平面互相垂直,那么與其中一個平面平行的平面垂直于另一個平

面.即aj,￡,丫〃g丫1a.

(3)如果兩個平面互相垂直,那么其中一個平面的垂線平行于另一個平面或在

另一個平面內.即a±.J3,bl.P=>b//a或8Ua.

(4)如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平

面，即aCB=l,￡_!_/今/_L7.

(5)三個兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直，即aj,￡,aCB=l,￡J,/,

Y=m,/_!_a,YAa=〃=>/_!_必,mVn,

'±i評價自測i

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)如果兩個平面垂直，那么一個平面內的直線一定垂直于另一個平

面.()

(2)如果兩個平面垂直，那么經過第一個平面內一點垂直于第二個平面的直線

在第一個平面內.()

(3)平面a_L平面￡,平面￡JL平面丫，則平面a_L平面y.()

2.做一做

⑴在四棱柱W一48《〃中，已知平面/4CCL平面四⑦，且AB=BC,AD

=CD,則劭與CG()

A.平行B.共面

C.垂直D.不垂直

(2)如圖所示，平面平面￡,an￡=/,點平面a,ABL1,垂足

為8,8平面J3,若/8=3,BC=4,貝Ij/C=.

核心素養,形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

題型一平面與平面垂直性質定理的應用

例1如下圖所示，尸是四邊形力時所在平面外的一點，四邊形ABCD是/DAB

=60°且邊長為a的菱形.側面處〃為正三角形，其所在平面垂直于底面/比ZZ

(1)若G為力〃邊的中點，求證：8￡L平面乃1〃；

(2)求證：ADVPB.

[跟蹤訓練1]如圖，在三棱錐V-ABC^,平面附員L平面ABC,AVAB

為等邊三角形，ACJL8C且AC=BC=也,0,"分別為力6,陽的中點.

(1)求證：歷〃平面〃T；

(2)求證：平面,欣％」平面勿民

(3)求三棱錐，一力回的體積.

題型二線面垂直與面面垂直的綜合應用

例2如圖，在四棱錐產一4比7?中，底面48⑦是/“區=60°且邊長為a的

菱形，側面陽〃為正三角形，且其所在平面垂直于底面4Mz

⑴求證：AD工PB；

(2)若后為a'邊的中點，則能否在棱上找到一點凡使平面㈤」平面勿？

并證明你的結論.

［跟蹤訓練2］如圖，A,B,C,〃為空間四點，在△/比中，AB=2,AC=

BC=木,等邊三角形加應以48為軸轉動.

(1)當平面/龐，平面48。時，求必；

(2)當△/如轉動時，是否總有48工CD?證明你的結論.

隨堂水平一達標

SUITANGSHUIPINGDABIAO

1.若a_L￡,aC8=1,煎PGa,KI,則下列命題中正確的為()

①過點P垂直于1的平面垂直于￡；

②過點尸垂直于1的直線垂直于￡；

③過點夕垂直于a的直線平行于￡；

④過點尸垂直于B的直線在a內.

A.①③B.②④

C.①②④D.①③④

2.已知直線加，〃和平面a,￡,若a工B,aCB=m,nUa,要使〃J_

￡,則應增加的條件是（）

A.m//n

C.n//a7?±a

3.（多選）如圖，四邊形/灰力中，AD//BC,AD=AB,N85=45°,ZBAD=

90°,將劭沿物折起，使平面平面紀9,構成幾何體力一8徵，則在幾

何體口中，下列結論正確的是（）

A.切，平面力劭

B.平面/〃入平面劭。

C.平面平面BDC

D.平面力比比平面4加

4.如圖，在三棱錐/一力比'內，側面用CL底面/8C,且/為C=90°,PA=\,

AB=2,則陽=

如圖所示，在三棱錐。一4%中，E,尸分別為4C,旗邊的中點.

（1）求證：，印〃平面為8；

（2）若平面為d平面46G且為=尸＜7,N/a‘=90°.求證：平面物U平面

精練

KEHOUKESHIJINGLIAN

A級e》學考水平合格練

一、選擇題

1.設a,￡,7是三個不重合的平面，明〃是兩條不重合的直線，下列判

斷正確的是（）

A.若a_L￡,Bly,則a〃丫B.若aj_￡,/〃￡,則/zd_a

C.若m//a,n//a,則m//nD.若ml.a,〃_La,則m//n

2.已知平面。，平面￡,aCB=n,直線JUa,直線〃u￡,則下列說

法正確的個數是（）

①若ILn,則7±￡；②若1//n,則1//￡；③若mVn,則zz?±a.

A.0B.1

C.2D.3

3.設a—1一￡是直二面角，直線au平面a,直線bu平面￡,a,b與

直線/都不垂直，那么（）

A.a與6可能垂直，但不可能平行

B.a與，可能垂直，也可能平行

C.a與6不可能垂直，但可能平行

D.a與6不可能垂直，也不可能平行

4.如圖，點尸為四邊形外一點，平面為〃1平面力比7?,PA=PD,E為

4?的中點，則下列結論不一定成立的是（）

A.PELAC

B.PELBC

C.平面以此平面/閱9

D.平面儂工平面必〃

5.（多選）如圖，邊長為2a的正三角形4回的中線4/與中位線應相交于點

G.已知△/'或是△/股繞龍旋轉過程中的一個圖形，則下列結論正確的是（）

A'

A.動點/在平面/8C上的射影在線段［/上

B.三棱錐4'一曲的體積有最大值

C.恒有平面A,冊1平面BCED

D.異面直線/'￡與劭不可能互相垂直

二、填空題

6.已知直二面角a一1一8,點、ARa,/CL/,點。為垂足，BQB,BDX.1,

點〃為垂足.若AB=2,AC=BD=\,則切的長為.

7.空間四邊形力8（小中，平面/皮人平面靦，ABAD=^°,且則

與平面靦所成的角是.

8.如圖，平行四邊形/及刀中，ABLBD,沿物將△/被折起，使平面/被，

平面功9,連接丸;，則在四面體/一時的四個面中，互相垂直的平面的對數為

三、解答題

9.如圖，在三棱錐/一比7?中，ABVAD,BCLBD,平面/皮〃_平面時，點反

F（E與A,〃不重合）分別在棱/〃，物上，且牙文力〃

求證：⑴牙〃平面46。；

（2UD-LAC.

10.如圖，四棱錐。一48（小中，△必〃為正三角形，AB//CD,AB=2CD,/BAD

=90°,PALCD,E,尸分別為棱加，力的中點.

p

(1)求證：平面為6,平面切完1；

⑵若4>=2,直線房與平面必。所成的角為45°,求四棱錐尸一力靦的體

,學考水平等級練

1.如圖所示，平面a_L平面￡,a,BRB,48與兩平面a,￡所成

JTJI

的角分別為丁和不過46分別作兩平面交線的垂線，垂足分別為?,B',則

46

AB：A'B'等于()

B.3:

D.4：3

2.如圖所示，已知兩個正方形/時和〃◎尸不在同一平面內，MN分別為

AB,加的中點.若CD=2,平面陽線L平面比跖，則線段肺的長等于.

3.在四面體S—/a'中，ABLBC,AB=BC=\j2,SA=SC=2,平面分儀平

面胡C,則該四面體外接球的表面積為一.

4.平面圖形/防4GC如圖1所示，其中比GC是矩形.BC=2,防=4,AB

=4。=蛆，.現將該平面圖形分別沿a1和5G折疊，使△/比與^

45G所在平面都與平面的GC垂直，再分別連接44，48,4C,得到如圖2所示

的空間圖形，根據此空間圖形解答下列問題.

圖2

(1)證明：AA.LBC-,

⑵求明的長.

5.在直角梯形/頗中，ZD=ZBAD=9Q°,(如圖所示)，

將△4。。沿然折起，將〃翻到D',記平面/繆'為a,平面ABC為￡,平面比少

為Y.

(1)若二面角。一/。一￡為直二面角，求二面角尸一比、一了的大小;

(2)若二面角。一力。一￡為60°,求三棱錐)一力比'的體積.

第2課時平面與平面垂直的性質

囪留醫圃園國(教師獨具內容)

課程標準：1.從相關定義和基本事實出發，借助長方體，通過直觀感知，了

解空間中平面與平面的垂直關系.2.歸納出平面與平面垂直的性質定理.

教學重點：探究、發現平面與平面垂直的性質定理.

教學難點：平面與平面垂直的性質定理、判定定理的綜合應用.

核心素養：1.通過從教材的實例中歸納出平面與平面垂直的性質定理的過程

培養數學抽象素養.2.通過利用平面與平面垂直的性質定理解決與垂直相關的問

題提升邏輯推理素養.

'新知I拓展

平面與平面垂直的其他性質與結論

(1)如果兩個平面互相垂直,那么經過第一個平面內一點垂直于第二個平面的

直線在第一個平面內.即aJ_￡,a,AGb,b,gbua.

(2)如果兩個平面互相垂直,那么與其中一個平面平行的平面垂直于另一個平

面.即2，Y"Y：a.

(3)如果兩個平面互相垂直,那么其中一個平面的垂線平行于另一個平面或在

另一個平面內.即aJ_￡,bl.￡=48〃a或bua.

(4)如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平

面，即aC\B=l,aJ_y,

(5)三個兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直，即a±J3,aCB=l,Bly,

￡Cy=m,/_La,7na=n〉l工m,/_L〃,11.n.

±1評價自測

1.判一判(正確的打“〃'，錯誤的打“X”)

(1)如果兩個平面垂直，那么一個平面內的直線一定垂直于另一個平

面.()

(2)如果兩個平面垂直，那么經過第一個平面內一點垂直于第二個平面的直線

在第一個平面內.()

(3)平面a_L平面￡,平面平面Y，則平面平面Y.()

答案⑴X(2)V(3)X

2.做一做

⑴在四棱柱/靦-4AG〃中，已知平面平面4犯9,J3.AB=BC,AD

=CD,貝I」劭與CG()

A.平行B.共面

C.垂直D.不垂直

(2)如圖所示，平面平面￡,an￡=/,點平面a,ABVI,垂足

為B,CW平面￡,若［3=3,BC=4,則/仁

答案(l)C(2)5

核心素養.形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

題型一平面與平面垂直性質定理的應用

例1如下圖所示，尸是四邊形/閱9所在平面外的一點，四邊形ABCD是NDAB

=60°且邊長為a的菱形.側面處〃為正三角形，其所在平面垂直于底面48az

(1)若。為A9邊的中點，求證：8G_L平面為以

(2)求證：ADA.PB.

［證明］⑴如圖，連接尸G,BD,

,/四邊形48(小是菱形且N%3=60°,

劭是正三角形，

〈G為/〃的中點，C.BGLAD.

又平面為。_L平面力比Z>,且平面處〃C平面/比。=/〃，BGU平面ABCD,

.?.6G，平面PAD.

⑵由⑴可知況工［〃，???△力〃為正三角形，G為/〃的中點，C.PGLAD.

又PGCBG=G,平面如G,：.ADVPB.

金版點睛

應用平面與平面垂直的性質定理證明線面垂直應注意的問題

(1)證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，再一種方法是利用

面面垂直的性質定理，本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質定理.利用

面面垂直的性質定理，證明線面垂直的問題時，要注意以下三點：①兩個平面垂

直；②直線必須在其中一個平面內；③直線必須垂直于它們的交線.

(2)在應用線面平行、垂直的判定和性質定理證明有關問題時，在善于運用轉

化思想的同時，還應注意尋找線面平行、垂直所需的條件.

[跟蹤訓練1]如圖，在三棱錐―。中，平面附6,平面/8G△勿8為

等邊三角形，AC工BC且AC=BC=/,0,M分別為4B,陽的中點.

(1)求證：歷〃平面斷匯；

(2)求證：平面肌CL平面幽民

(3)求三棱錐力8。的體積.

解(1)證明："分別為/反內的中點，

二OM//VB.

'：煙平面MOC,OMU平面MOC,

：.歷〃平面MOC.

⑵證明："：AC=BC,。為48的中點，J.OCLAB.

又平面勿回L平面/8G且平面勿8n平面0CU平面48C,OCL

平面VAB.

,：OCU平面MOC,；.平面MOC,平面VAB.

(3)在等腰直角中，AC=BC=y/2,

：.AB=2,OC=l,...義山=晉/4=/.

平面VAB,

1

/三校徘C-VAB—~^OC?

??y三校推l'-ABC~V

3-

題型二線面垂直與面面垂直的綜合應用

例2如圖，在四棱錐夕一/凡力中，底面48口是/%片=60°且邊長為a的

菱形，側面處〃為正三角形，且其所在平面垂直于底面48czz

⑴求證：ADLPB-,

⑵若￡為8。邊的中點，則能否在棱上找到一點反使平面比7U平面ABCffl

并證明你的結論.

［解］(D證明：設G為49的中點，連接尸G,BG,如圖.

???△乃。為正三角形，

C.PGLAD.

在菱形465中，N的6=60°,G為4〃的中點，：.BGLAD.

又BGCPG=G,：.ADL平面PGB.

?陽u平面產四，J.ADLPB.

(2)當產為％的中點時，滿足平面比反1平面/比。

證明如下：

在△陽。中，FE//PB.

在菱形力靦中，GB//DE.

又甩'U平面DEF,"u平面DEF,EFCDE=E,

加u平面尸6氏G8U平面PGB,PBCGB=B,

二平面比F〃平面PGB.

由(1)得用_L平面ABCD,而尸GU平面PGB,

平面尸6AL平面ABCD,

二平面比FJ_平面ABCD.

金版點睛

(1)空間中的垂直關系有線線垂直、線面垂直、面面垂直，這三種關系不是孤

立的，而是相互關聯的.它們之間的轉化關系如下：

線線垂直I結鬻基髻理vI線面垂直1面面垂直

?主三苦三1線面垂直定義1M叫苦而?性質定理1..叫叫關月J

(2)空間問題化成平面問題是解決立體幾何問題的一個基本原則，解題時，要

抓住幾何圖形自身的特點，如等腰(邊)三角形的三線合一、中位線定理、菱形的

對角線互相垂直等.還可以通過解三角形，產生一些題目所需要的條件，對于一

些較復雜的問題，注意應用轉化思想解決問題.

［跟蹤訓練2］如圖，A,B,C,〃為空間四點，在△力比'中，AB=2,AC=BC

=y［2,等邊三角形4施以48為軸轉動.

⑴當平面業厲，平面力8。時，求切；

(2)當△力的轉動時，是否總有46,5？證明你的結論.

解⑴如圖，取4?的中點色連接DE,CE,因為是等邊三角形，所

以DELAB.

當平面助反L平面力比1時，

因為平面/%C平面ABC=AB,

所以DEL平面ABC,又必3平面ABC,

所以DELCE.

由已知可得DE=y^>,EC=1.

在Rt△龐。中，CD=7泥+EC=2.

⑵當△力/力以48為軸轉動時，總有四_L6ZZ

證明：①當〃在平面力比'內時，因為4C=a；AD=BD,

所以C,〃都在線段4?的垂直平分線上，即48,3

②當。不在平面/8C內時，由⑴知應：

又因為4C=8G所以48,四

又因為四為相交直線，所以4?，平面切￡

由切u平面CDE,得/6，切.

綜上所述，總有48,必

隨堂水平達標

SUITANGSHUIPINGDABIAO

1.若a_L￡,aCB=l,點、PGa,mi,則下列命題中正確的為（）

①過點尸垂直于/的平面垂直于￡;

②過點尸垂直于1的直線垂直于￡；

③過點。垂直于a的直線平行于8；

④過點P垂直于J3的直線在a內.

A.①③B.②④

C.①②④D.①③④

答案D

解析當過點尸垂直于/的直線不在r內時，該直線與￡不垂直，故②不

正確；①③④正確.

2.已知直線加，〃和平面a,￡,若a_L￡,acB=m,nU.a,要使

￡,則應增加的條件是（）

A.m//nB.nLm

C.n//aD.nA.a

答案B

解析根據平面與平面垂直的性質定理判斷.已知直線例〃和平面a,￡,

若aJ,6,aCB=m,nUa,應增加條件〃_L加，才能使〃_L￡.

3.（多選）如圖，四邊形4?切中，AD//BC,AD=AB,/8（a=45°,4BAD=

90°,將△/切沿曲折起，使平面力施，平面比〃構成幾何體/一比〃則在幾

何體4—6口中，下列結論正確的是()

A.切，平面/阿

B.平面49CJ_平面BDC

C.平面力比11.平面BDC

D.平面入平面4%

答案AD

解析由已知得物，CDLBD,又平面/被1平面以N,...切，平面/被

從而CDLAB,故48,平面ADC.又平面/比；.?.平面/比上平面ADC.故選AD.

4.如圖，在三棱錐尸一四。內，側面為C_L底面48C,且/為C=90°,必=1,

AB=2,則母=.

答案乖

解析因為側面切入底面/8G交線為Z^4(7=90°(即RLL/。，所以

陽，平面/8C,所以為_L/8,所以PB=7P#+A#=71+4=木.

5.如圖所示，在三棱錐〃一/8。中，E,F分別為4C,回邊的中點.

(1)求證：，斯〃平面切公

(2)若平面為此平面力比；且為=尸。，N/6C=90°.求證：平面兩，平面

PBC.

證明⑴???￡,產分別為ZGa1邊的中點，.?.牙'〃46.

又網平面用8,18U平面為8,.?.儲〃平面必笈

（2）'：PA=PC,6為47的中點，：.PELAC.

又平面為C_L平面ABC,PEu平面PAC,

，膽L平面：.PELBC.

又F為BC的中點、，：.EF〃AB.

,：ZABC=90a,：.ABVBC,：.BCLEF.

?:EFCPE=E,工式工平面網：

,/BCU平面PBC,：.平面PEFL平面PBC.

課后課時精練

KEHOUKESHIJINGLIAN

A級，?學考水平合格練

一、選擇題

1.設a,￡,7是三個不重合的平面，加，〃是兩條不重合的直線，下列判

斷正確的是（）

A.若￡_L則。〃/B.若必〃￡,則加，a

C.若m//a,n//a,則m//nD.若ml.a,〃_La,則m//n

答案D

解析對于A,兩個平面垂直于同一個平面，這兩個平面還可能相交，故A

錯誤；對于B,直線加還可能在平面。內或平行于平面a或與平面。斜交，故

B錯誤；對于C,直線例〃還可能相交或異面，故C錯誤；D是線面垂直的性質

定理，故D正確.

2.已知平面a_L平面￡,aC￡=〃，直線/ua,直線/u￡,則下列說

法正確的個數是（）

①若/_!_〃，則/J_f；②若/〃〃，則/〃￡；③若/_!_〃，則

A.0B.1

C.2D.3

答案D

解析由線面平行的判定定理知②正確；由面面垂直的性質定理知①③正確.

3.設a—￡是直二面角，直線aU平面a,直線,u平面￡,a,力與

直線/都不垂直，那么（）

A.a與8可能垂直，但不可能平行

B.a與8可能垂直，也可能平行

C.a與6不可能垂直，但可能平行

D.a與6不可能垂直，也不可能平行

答案C

解析當a〃1,6〃/時，a〃b.老a:b,可在a上任取點4過點/在。內

作/的垂線c,如圖，則。，萬，所以c_L8.因為anc=4,所以6J,a,所以6

±7,這與已知矛盾.所以a與6不可能垂直.

4.如圖，點。為四邊形48⑺外一點,平面為〃1平面ABCD,PA=PD,E為

/〃的中點，則下列結論不一定成立的是（）

A.PELAC

B.PELBC

C.平面陽64平面/靦

D.平面必&L平面PAD

答案D

解析因為必=勿，6為/〃的中點，所以如1/〃又平面/〃，平面力比A

平面為。C平面四切=助，所以陽1平面48口，所以/_L/C,PELBC,所以A,

B結論一定成立.又隹1U平面4%,所以平面加￡1平面力比〃所以C結論一定

成立.若平面期&L平面PAD,則4?，平面PBE,必有ADVBE,此關系不一定成

立，故選D.

5.（多選）如圖，邊長為2a的正三角形/a1的中線/產與中位線應相交于點

G.已知△/'9是劭繞龍旋轉過程中的一個圖形，則下列結論正確的是（）

A.動點/'在平面力回上的射影在線段46上

B.三棱錐，一圓的體積有最大值

C.恒有平面/'見平面比或

D.異面直線4'6與劭不可能互相垂直

答案ABC

解析在正三角形46。中，力產為中線，龍為中位線，所以DE//BC,

所以圾1?G,DEIGF,又*Gn/=G,所以龐_L平面，GF.又DEu平面BCED,

所以平面/甑L平面8（徹，故C正確.過力'作〃HLAF,垂足為點〃，則力'H

u平面/6人，又平面力'皿平面犯必，平面46FA平面比或=/凡所以"H

_L平面/8C,故A正確.三棱錐/一砌的底面△砌的面積是定值，高是點小

到平面圓的距離.易證當/HL平面曲時距離（即高）最大，三棱錐/'-FED

的體積最大，故B正確.易那BD"EF,所以N//是異面直線/E與BD所成

的角.因為正三角形力a'的邊長為2a,所以"E=a,儲'=a.而0。'F<AF,所

以小月的長度的取值范圍是（0,ma）,當/時，A'彥+即="F,

所以N/'1=90°,此時直線4'6與物互相垂直，故D錯誤.故選ABC.

二、填空題

6.已知直二面角a—1—B,前AGa,ACVI,點。為垂足，BGB,BDY1,

點〃為垂足.若48=2,AC=BD=1,則①的長為.

答案72

解析如圖，連接式:?.?二面角。一/—￡為直二面角，ACUa,且/。］_乙

an0=1,：.AC1,￡.又BCUB,：.ACLBC,:.BG=AE-AG=3.又BDLCD,：.

7.空間四邊形被切中，平面相以平面版，/BAD=90°,且46=力〃，則

/〃與平面8繆所成的角是.

答案45°

解析如圖，過點［作4刃_劭于點。，?.?平面/皮江平面比〃平面力劭n平

面BCD=BD,；"0上平面BC。,則N/M即為助與平面8（4所成的角.?:乙BAD=

90°,AB=AD,：.ZADO=45°.與平面戊刀所成的角為45°.

8.如圖，平行四邊形力靦中，ABLBD,沿初將△/劭折起，使平面/皮

平面比〃連接47,則在四面體/一題的四個面中，互相垂直的平面的對數為

答案

解析因為平面/應LL平面比》,平面/劭n平面3aA加，ABLBD,所以48

，平面BCD.所以平面力"L平面BCD,因為在折疊前ABLBD,AB//CD,所以切，

8〃折疊后仍有繆_L8〃，又因為平面四勿_平面8口，所以⑦!.平面所以平

面/勿1平面/M共3對.

三、解答題

9.如圖，在三棱錐力一8繆中，ABVAD,BCLBD,平面/8OL平面8微點反

F（E與A,〃不重合）分別在棱A9,BD上,且皮」力〃

求證：⑴)〃平面/8C；

(^)ADLAC.

證明(1)在平面力劭內，因為EFLAD,

所以EF//AB.

又因為方平面/比；/8U平面力比；

所以〃〃平面4比：

(2)因為平面/應讓平面BCD,

平面ABDC平面BCD=BD,

BCU平面BCD,BCLBD,所以比工平面/四

因為4〃u平面/施，所以比

又AB上AD,BCCAB=B,

"u平面48G8CU平面48G

所以平面ABC.

又因為4X平面/8C,所以ADVAC.

10.如圖，四棱錐尸一48口中，△為〃為正三角形，AB//CD,AB=2CD,ABAD

=90°,PALCD,E,尸分別為棱加，處的中點.

(1)求證：平面為6,平面環ZC

(2)若4?=2,直線尸C與平面陽〃所成的角為45°,求四棱錐P一/靦的體

積.

解(1)證明：???△/〃為正三角形，尸為棱刃的中點，.?.為，〃汽

又PA工CD,CDCDF=D,...為_L平面跖定，

又為U平面陽氏,平面用6,平面后叨C

(2)'：AB//CD,PA工CD,：.PALAB.

又AB上AD,PAHAD=A,."3,平面用〃

.?.切上平面PAD,

...NG叨為直線房與平面必〃所成的角，

即N<W=45°,：.CD=PD=AD=2.

又AB=2CD,：.AB=4,

???S直角梯形腑（CZ?+M=|X2X（2+4）=6.

又48,平面為〃，/8U平面口，

平面為。_L平面ABCD.

過尸作POLAD,垂足為0,則AU平面力比ZZ

?.?△必〃為正三角形，:.PO=*AD=gx2=小,

y四枝錐/」回〃=jxPOXs直角梯形73X6=2^3.

B級?學考水平等級練

1.如圖所示，平面平面￡,a,BRB,46與兩平面aB所成

的角分別為爭哈過48分別作兩平面交線的垂線,垂足分別為八8,,則

AB：A'B'等于（）

答案A

解析如圖，連接您，"B,由已知得，平面B,ZABA'=4-BB'

6

JI、耳、也

_L平面a,ABAB'=1.設48=a,則物'=2a,BB'=2a,在低△物'B，

中，A'B'=|a,：.AB：A'B'=2：1.

R

ZP_____/

2.如圖所示，已知兩個正方形/靦和〃◎尸不在同一平面內，MN分別為

AB,加的中點.若勿=2,平面4式刃_平面比跖，則線段，朧的長等于.

答案玳

解析取切的中點G,連接,布，陽因為四邊形/a〃DCEF為正方形,且邊

長為2,所以修工切，如=2,陽=41因為平面48cz小平面〃煙；所以航7，平

面&XF,可得加LAG所以MN=\MG+NG=#.

3.在四面體S一力比'中，ABX.BC,AB=BC=y)2,SA=SC=2,平面S1CL平

面區1G則該四面體外接球的表面積為.

解析因為他L8aAB=BC=R所以力￡2,因為弘=S3=2,所以△必。

為等邊三角形，又平面弘CL平面以C,取“'的中點〃，則點。是△力優的外心，

連接SD,則57小平面ABC,則球心。在SD上,設四面體S—46。的外接球的半徑

為r,則有二十審=1=m，解得「=羋.故該四面體外接球的表面積為牛.

OO

4.平面圖形/防4