人教A版（2019）選修第二冊第四章第一節(jié)數(shù)列的概

念同步練習(xí)

一、單選題

1.等差數(shù)列｛《,｝的通項公式為q=2〃-8,有如下四個結(jié)論：片：數(shù)列｛/｝是遞增數(shù)

列；鳥：數(shù)列｛〃（｝是遞增數(shù)列；H：數(shù)列是遞增數(shù)列；乙：數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)

列.其中結(jié)論正確的是（）

A.Pt,P,B.P2,P4C.&舄D.P2,P,

2.下列數(shù)列既是遞增數(shù)列，又是無窮數(shù)列的是（）

A.1,2,3,…，20

B.-1,-2,-3,...t-itt...

C.1,2,3,2,5,6,...

D.-1,0,1,2,100,...

3.數(shù)列｛%｝滿足4=1,3%+1+a〃)，則的等于()

11

A.—B.—(C.—D.--

992727

4.已知數(shù)列｛〃〃｝滿足〃1—0,m?+l—(n=1,2,3,...),則。2008等于

,r3%+1

A.0B.73<c.YD.y[2

5.有下列一列數(shù)：1,2,4,(),16,32,L按照規(guī)律，括號中的數(shù)應(yīng)為

()

A.6B.84C.4D.10

6.數(shù)列｛4｝中，“向=1+；，q-i，貝Uq-.A.-B.-C.一

345

D.-

6

7.已知數(shù)列｛q｝對任意的p,geN'滿足冊.“=。〃+4，且生=一6,那么即)等于

A.-165B.-331C.-30D.-21

8.數(shù)列｛叫滿足%+%=11—〃+(—1)”,且af6s(O,l).記數(shù)列｛4｝的前〃項和為加

則下列判斷不正確的是()

A.S2=9B.%￡(5,6)

C.，o=24D.q?2,3)

9.下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（）

A.同一數(shù)列的任意兩項均不可能相同B.數(shù)列-1,0,1與數(shù)列1>0,-1是同

一個數(shù)列

C.數(shù)列1,3,5,7可表示為｛1,3,5,7｝D.數(shù)列中的每一項都與它的序號有關(guān)

二、多選題

10.已知數(shù)列0,2,0,2,0,2,…，則前六項適合的通項公式為（）

A.4=1+(-1)”B.an=2cos—

.5+1)不

十(〃-〃一

c.an=2sin---D.=1-cos(〃-1)41)(2)

11.（多選題）已知數(shù)列｛〃〃｝滿足：。/=皿"?為正整數(shù)），〃“+]=<2""'""為偶數(shù)若04=

36+IM”為奇數(shù)

4,則加所有可能的取值為（）

A.4B.5

C.21D.32

12.（多選題）對于數(shù)列｛〃〃｝,若存在正整數(shù)4222）,使得則稱

9

4是數(shù)列｛《,｝的“谷值”，％是數(shù)列｛叫的“谷值點''.在數(shù)列｛4｝中，若%=〃+丁8,

則數(shù)列｛%｝的“谷值點''為（）

A.2B.7C.3D.8

13.（多選題）數(shù)列｛〃〃｝的通項公式為加=”+應(yīng)，則（）

n

A.當(dāng)。=2時，數(shù)列｛。〃｝的最小值是。/=。2=3

B.當(dāng)。=—1時,數(shù)列｛〃〃｝的最小值是卬=0

C.當(dāng)0<〃<4時，〃不是數(shù)列｛劭｝中的項

D.當(dāng)〃<2時，｛m｝為遞增數(shù)列

14.在（n=1,2,3,...）中，內(nèi)角4,紇c的對邊分別為外“△ASC的

面積為s,，若4=5,4=4,q=3,且加2=%2=叱”,則

（）

A.AA“B”C"一定是直角三角形B.｛S,,｝為遞增數(shù)列

C.｛SJ有最大值D.｛S,｝有最小值

三、雙空題

15.數(shù)列｛/｝中，如果存在4,使得“4<%且成立(其中Z22,

AeN*),則稱《的值為數(shù)列｛q｝的一個谷值.

①若??=|3n-7|,則｛q｝的谷值為；

②若一"+‘"'""2,且數(shù)列｛4｝不存在谷值，則實數(shù)f的取值范圍是

tn-4,n>2

16.已知數(shù)列｛叫的各項均不相同，4=0,q=2021,《一％e｛-2,3｝(24iWZ,

JGN*),則正整數(shù)k的最小值是,最大值是.

四、填空題

17.數(shù)列｛4｝滿足6=1，。向=《,-2"1+3,若該數(shù)列中有且僅有三項滿足44%,則

實數(shù)2的取值范圍是.

18.若等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,=3〃2+〃，則數(shù)列｛”"｝的公差d=—

19.若數(shù)列｛4｝滿足4=1,且對于任意的zieN*都有4+1=。“+”+1，則：+?+.??+

a\a2

111

11-.

。2017--生018--“2019

20.已知q=〃(>?：產(chǎn)-2仍>[,"22),若對不小于4的自然數(shù)〃，恒有不等式

b

a.成立，則實數(shù)b的取值范圍是.

21.已知數(shù)列｛”"｝滿足4=lg>q,|a,,+-4,|=2"(〃eAT),若數(shù)列｛/“｝單調(diào)遞增，數(shù)

列｛｝單調(diào)遞減，數(shù)列｛。“｝的通項公式為一.

22.設(shè)數(shù)列｛《,｝的前〃項和為S“，關(guān)于數(shù)列｛4｝有下列三個命題：

①若也｝即是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則q,=%(”eN*)

②若S“="/+加(a/eR),則｛《,｝是等差數(shù)列；

③若S?=2-2a,,,則｛??｝是等比數(shù)列

這些命題中，真命題的序號是.

23.數(shù)列｛《,｝的前n項和為5“，且滿足4=1,??>0,且點一2%胤+--%=

(〃€N*),則S2019=-

24.已知數(shù)列｛可｝滿足：《=1,%=3,all+2=a?+l+2a?.某同學(xué)己經(jīng)證明了數(shù)列

｛a向一24｝和數(shù)列｛q用+a?｝都是等比數(shù)列，則此數(shù)列的通項公式是為=―

五、解答題

25.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和S“=2〃2+2〃，數(shù)列｛"｝的前〃項和r=2-4.

(1)求數(shù)列｛4｝與也｝的通項公式；

(2)設(shè)q,=a1”，證明：當(dāng)且僅當(dāng)〃23時，

26.設(shè)數(shù)列｛q｝的前“項和為S",數(shù)列6｝的前八項和為7”，滿足7；=2S“-〃2,〃WN，.

(I)求4，生，“3的值；

(H)求數(shù)列｛q｝的通項公式.

27.根據(jù)下列條件，求角》：

(1)已知tanx=6,xe[0,2?r)；

(2)已知sinx=-①，x是第三象限角.

2

28.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，已知

4+2%+3a3+...+nan=(〃-1)S〃+2鹿eN").

(1)求〃2，〃3的值；

(2)求證:數(shù)列｛5+2｝是等比數(shù)列.

24

29.已知函數(shù)小)工,數(shù)列｛令J的前〃項和為S,,且滿足2s“+——=?2+5n.

八)

(1)AJ,C.4,a?，%，的；

(2)猜想數(shù)列｛4｝的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

30.設(shè)數(shù)列｛4｝的前n項和為S..已知2Sn=3"+3.

(I)求｛aj的通項公式；

(II)若數(shù)列｛4｝滿足珥/&=1明%,｛&｝的前n項和

①求小

②若尸＜7；＜。對于n?N*恒成立，求產(chǎn)與。的范圍.

參考答案：

1.A

【解析】

【分析】

根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可判斷4;根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷鳥，鳥；根據(jù)反比例類型函數(shù)

的性質(zhì)可判斷A.

【詳解】

?.?%=2〃-8,由一次函數(shù)的單調(diào)性可知數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，即《正確；

"%=2"-8〃，由二次函數(shù)的單調(diào)性可得，其先減后增，即6錯誤；

%=2-§,反比例類型函數(shù)的單調(diào)性可得［工］是遞增數(shù)列，即［正確；

d=4〃2-32〃+64,由二次函數(shù)的單調(diào)性可得，其先減后增，即舄錯誤，

故選：A.

【點睛】

本題主要考查通過數(shù)列的函數(shù)特征判斷數(shù)列的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

2.D

【解析】

【分析】

直接判斷數(shù)列的單調(diào)性和是否無窮即可.

【詳解】

由遞增數(shù)列和無窮數(shù)列的定義知。項正確.

答案：D

3.A

【解析】

【分析】

根據(jù)遞推公式可得數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，再求出即可.

【詳解】

因為34M+4,=0(〃eN*)，故4M=-;4，故數(shù)列｛%｝是以4=1為首項,-g為公比的等比數(shù)

答案第1頁，共19頁

故選：A

【點睛】

本題主要考查了根據(jù)遞推公式證明等比數(shù)列以及求數(shù)列中的某一項的方法.屬于基礎(chǔ)題.

4.A

【解析】

【分析】

根據(jù)遞推公式，依次列舉數(shù)列的第1、2、3、4…項，發(fā)現(xiàn)此數(shù)列為一個周期性數(shù)列，依周

期性特點計算32008即可

【詳解】

依題意，ai=0,a2=0&=_6,@3=二百一"=6，&4=小二"=0

0+1-3+13+1

???數(shù)列｛an｝是一個以3為周期的周期數(shù)列

??a2oo8=a669x3+1=a1=0

故選A.

【點睛】

本題考查了數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，解題時要善于使用列舉法發(fā)現(xiàn)數(shù)列規(guī)律，進(jìn)而求出數(shù)列

的通項公式

5.B

【解析】

根據(jù)已知的數(shù)字發(fā)現(xiàn)規(guī)律，直接寫出括號中的數(shù)字.

【詳解】

根據(jù)前三項和后兩項的規(guī)律可知，從第二個數(shù)起，每個數(shù)與前一個數(shù)的比都是2,則括號

中的數(shù)是8.

故選：B

6.B

【解析】

【分析】

答案第2頁，共19頁

利用等差數(shù)列通項公式求得,，進(jìn)而得到

通過取倒數(shù)的方式可知數(shù)列為等差數(shù)列,

結(jié)果.

【詳解】

a11+凡1,11,

由--n--得：——=-----=一+1,即--------=1

1+%q+1anan4+1a?

二數(shù)列是以'=1為首項，1為公差的等差數(shù)列

--l+(4-l)xl=4.?.可,

%44

本題正確選項：B

【點睛】

本題考查利用遞推關(guān)系式求解數(shù)列中的項的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)遞推關(guān)系式的形式，確

定采用倒數(shù)法得到等差數(shù)列.

7.C

【解析】

【詳解】

?對任意的p,qGN,滿足ap+q=ap+aq,??p=q=n時，有a2n=2an.

又a2=—6,；.a8=2a4=4a2=-24,故aio=a2+a8=-30.

8.C

【解析】

【分析】

設(shè)q=f,由遞推式依次求得生嗎，4,%，4，由4范圍求得，的范圍，判斷BD,已知中令

=1得52=4+%=9,歸納出數(shù)列奇數(shù)項、偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，分組求和可得E。，判

斷出各選項后得正確選項.

【詳解】

解：設(shè)q=f,由a,用+4,+得邑=4+出=9,

可得見=9-1,a3=\+t,a4=6-r,a5=2+1,ab=3-1,%=3+f,%=T,

由0<%<1可得可得2</<3,即q=fe(2,3),%=3+f?5,6)

答案第3頁，共19頁

則數(shù)列｛凡｝的奇數(shù)項為首項為f,公差為1的等差數(shù)列：

偶數(shù)項為首項為9-/,公差為-3的等差數(shù)列，且每隔兩項的和為9,7,5,3,1,-

1,為遞減,可得九=9+7+5+3+1=25.

故選：C.

9.D

【解析】

【分析】

根據(jù)數(shù)列的概念，逐項判斷即可.

【詳解】

A是錯誤的，例如無窮個3構(gòu)成的常數(shù)列3,3,3,…的各項都是3；B是錯誤的，數(shù)列

-1,0,1與數(shù)列0,1,T中項的順序不同，即表示不同的數(shù)列；C是錯誤的，｛1,3,5,7｝

是一個集合；根據(jù)數(shù)列的概念，D是正確的.

故選：D.

10.AC

【解析】

對四個選項中的數(shù)列通項公式分別取前六項，看是否滿足題意，得出答案.

【詳解】

對于選項A,q=1+(-1)”取前六項得：0,2,0,2,0,2,滿足條件；

對于選項B,a“=2cos半取前六項得：0,-2,0,2,0,-2,不滿足條件；

對于選項C,%=2sin&等生取前六項得：0,2,0,2,0,2,滿足條件；

對于選項D,a.=l-cos(〃-l?+(”-l)5-2)取前六項得：0,2,2,8,12,22,不滿足條件；

故選：AC

11.ABD

【解析】

【分析】

通過4,結(jié)合4用的表達(dá)式，依次求得《,外,《，也即求得”?的值.

【詳解】

答案第4頁，共19頁

①若④為奇數(shù)，則3a3+1=4,G=l,

若。2為奇數(shù)，則3a2+1=1,。2=0（舍去），

若。2為偶數(shù)，貝IJ與=1,4=2.

若R為奇數(shù)，則3田+1=2,4=；（舍去）,

若為偶數(shù)，則卜2,4=4；

②若如為偶數(shù)，則g=4g=8；

2

7

若。2為奇數(shù)，貝lj3a2+1=8,%=§（舍去）.

若a2為偶數(shù)，貝IJ與=8,%=16.

若。/為奇數(shù)，則3。/+1=16,ai=5.

若如為偶數(shù)，則5=16,q=32.

故機(jī)所有可能的取值為4,5,32.

故選：ABD

12.AB

【解析】

【分析】

結(jié)合“谷值”和"谷值點”定義，可依次求出前8項，當(dāng)〃27時，結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)可判斷

9

n+--8>0,進(jìn)而判斷出“谷值點”.

n

【詳解】

937612

因為%=〃+7-8,所以〃|=2,。2=1，％=2,=-,?5=-,4=5，/=,，

9999

4=［，當(dāng)"27nsN,〃+—8>0,?,?%=〃+—8=〃+—8,此時數(shù)歹U單調(diào)遞增,

Onnn

“2<q，4<4，%<“6，%<%，所以數(shù)列｛4｝的“谷值點”為2,7.

故選：AB

13.ABCD

【解析】

【分析】

答案第5頁，共19頁

A.由凡r)=x+2的單調(diào)性判斷；B.由加=〃一！的得到性判斷；C.由方程由="+q=。的

xnn

解的情況判斷；D.由｛〃〃｝是遞增數(shù)列，IjliJan+i>an,即成立判斷.

【詳解】

當(dāng)4=2時，an=n+—,由y(x)=x+—的單調(diào)性及卬=3,42=3,可知A正確；

nx

當(dāng)。=一1時，""=〃一!,顯然是遞增數(shù)列，故最小值為田=0,B正確：

n

令47=〃+9=小得〃2—〃a+〃=o,當(dāng)0<〃<4時，d=a2-4a<0,故方程無解，所以。不

n

是數(shù)列｛卬1｝中的項，C正確；

若｛〃〃｝是遞增數(shù)列，則的〃EPH+1+—>n+-,得〃</+〃，又〃2十論2,所以

〃+1n

。<2,D正確.

故選：ABCD

14.ABD

【解析】

先結(jié)合已知條件得到%2+*-25=#：+c：-25),進(jìn)而得到“2+靖=25=a/，得A正

確，再利用面積公式得到遞推關(guān)系4S“/=1Q^7S+S.2,通過作差法判定數(shù)列單調(diào)性和最值

即可.

【詳解】

由%2=?，%,”下得，%2+*2=年+『=1，2+3付+媼)

=-y+^(^>2+c/)>故勿+：+C"+；-25=g(bJ+qj-25),

又￥+c:-25=0,.?.。+靖-25=0,.?也2+%2=25=42,故AARG.一定是直角三角

形，A正確；

△從紇￡,的面積為5,=3"%,而

b22-”,：+2(包2+。:"：+做七2.

,,+1,,+14416

+2伍；+c：）a；+物2蠟_1875+165/1875

故4S,,/+S,1

161616

答案第6頁，共19頁

又=」〃￡,4始土丈=生(當(dāng)且僅當(dāng)a=G=逑時等號成立)

n2442

.?.5“/-5“2=磐-季20,又由4=4,q=3知么產(chǎn)q,不是恒成立，即S.JAS：,故

S?+I>S?,故｛Sj為遞增數(shù)列，｛￡,｝有最小值E=6,無最大值，故BD正確,C錯誤.

故選：ABD.

【點睛】

本題解題關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系得到2/+*2-25=；(片+qJ25),進(jìn)而得到

以2+c:=25=4：，再逐步突破.數(shù)列單調(diào)性常用作差法判定，也可以借助于函數(shù)單調(diào)性判

斷.

15.I(-a?,0)O(3,+a?)

【解析】

【詳解】

..[3w-7(n>3)

①=|3〃-7|=<r/c、，〃=1，4=4,〃=2,。2=1,〃=3時，%=2,

[7-3”(14”42)

a2<a1,a2<a3,根據(jù)谷值的定乂可得｛4｝的谷值為%=1

②/=-〃2+/〃=-(〃-；)+j，開口向下，且對稱軸為“=：,4=f-l,”2=2f—4,當(dāng)

/>0,且時沒有谷值，解出7>3,若，<0,數(shù)列｛凡｝是遞減數(shù)列，沒

有谷值，綜上，e(-8,0)u(3,+oo),故答案為(1)1,(2)(-°o,0)<J(3,+oo).

16.6782023

【解析】

【分析】

若要人最小，則需滿足數(shù)列增長最快，即需要出現(xiàn)最多的3,需要675個3和2個

-2即可；若要&最大，按(-2,3,-2,3,3)為一組循環(huán)操作，可使&最大.

【詳解】

4-%G｛-2,3｝,

答案第7頁，共19頁

若要女最小，則需滿足數(shù)列增長最快，即需要4-4T出現(xiàn)最多的3,

?.?2021=3x673+2=3x674-1=3x675-4,

???需要675個3和2個一2,即4有677次，

^1=0,k的最小值是678；

若要女最大，且因為｛q｝的各項均不相同，

觀察數(shù)列0,-2,1,-1,2,5,3,6,4,7,10,8,11,9,12,15,……

可知《一。1按(-2,3,-2,3,3)為一組循環(huán)操作，此時可實現(xiàn)數(shù)字的全覆蓋，且增長最慢，可

使A最大，

觀察數(shù)列可得，%,+1=5?,

?.-2021=5x404+1,???a202l=2020,

則a2022=2018,a2m3=2021,故%最大值為2023.

故答案為：678；2023.

【點睛】

關(guān)鍵點睛：解題的關(guān)鍵是判斷出4該如何搭配可得k最大最小.

17.(1,3]

【解析】

【分析】

將題中遞推關(guān)系變形得到然后使用累加法求解得出數(shù)列是通項公式，然

后求解不等式得出結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)題意,可得到--凡=3-2"T,

an-an-\=3-2"-2,

%一限=3-2”3,

〃2-4=3—1=2.

答案第8頁，共19頁

將以上個式子累加可得，氏-4=35-1)-(2"2+2"3+…+2+1),

4=1，

1_2〃T

:.a=3n-2-^—^=3n-l-2,l-i,

〃1-2

/.ax-l,a2=3,a3=4,%=3,a5=-2,

又因為2'i為爆炸型增長函數(shù)，因此可得從第4項起逐項遞減，且可得的為最大項，

又因為只有三項滿足義4%,

所以只有%,。3，。4三項滿足，

即得1<443.

故答案為：/Le(l,3].

【點睛】

方法點睛：本題考查求數(shù)列的通項公式，考查分組求和法，求通項公式除公式法外，如果

遞推式是數(shù)列前后的差，則可用累加法求解，如果是前后項的商，則可用連乘法求解，這

是兩種基本方法，有時還可能通過求出數(shù)列的前幾項，歸納出數(shù)列的性質(zhì)，得出結(jié)論.

18.6

【解析】

【分析】

利用數(shù)列%與Sn的關(guān)系運算可得《,=6〃-2,運算即可得解.

【詳解】

22

由題意，當(dāng)”22時，??=5?-S?.l=(3n+?)-[3(?-l)+(n-l)]=6n-2,

當(dāng)”=1時，4=岳=3+1=4滿足上式；

所以數(shù)列｛4｝的公差d=an+i-a?=6.

故答案為：6.

19.期

1010

【解析】

【分析】

答案第9頁，共19頁

先利用累加法求出數(shù)列｛a,,｝的通項，再利用裂項相消法求解.

【詳解】

由題得=2,%-。2=3,%一4=4,…,4=n(n>2)

所以。“-1=2+3+???+〃,二。“=1+2+3+?一+〃=：〃(九+1),適合n=l.

12J1、

所以一=(訃=2(-------77)，

an九(〃+1)nn+l

1111112019

所以—+―+…+----+----+----=2(1---------)=-------

4a2^2017“2018”201920201010

2019

故答案為

1010

【點睛】

本題主要考查累加法求數(shù)列的通項，考查裂項相消法求和，意在考查學(xué)生對這些知識的理

解掌握水平和分析推理能力.

20.(3,4-oo)

【解析】

【詳解】

由題設(shè)可得（"+1）（1?）+防―2>,即〃3-1）2>3^_助+1,也即

bb

對一切“24的正整數(shù)恒成立，則過二!■<624,即現(xiàn)二〃4n4。—4）3〃-1,

b-\b-\

所以/>3,應(yīng)填答案（3,”）.

點睛：解答本題的關(guān)鍵是運用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，借助題設(shè)條件將不等式。角>。“化為

以“為變量的一次不等式〃（。-1）>36-1對一切的正整數(shù)恒成立的形式，再運用函數(shù)

方程思想將其化為不等式普（4n助-4〉38-1,然后通過解不等式使得問題獲解.

b—1

21（-2）"+5

-3

【解析】

【分析】

分別求出｛%.｝、｛/“-J的通項公式，再統(tǒng)一形式即可得解.

【詳解】

解：根據(jù)題意，|%-@=2|

答案第10頁，共19頁

,:%。2=3

又.?,{%,I}單調(diào)遞減，{%,}單調(diào)遞減增

22"-1…①

*-*=-227…②

①+②,得%-%一2=22"一2,n>2

故a2n~a2n~a2n-2+%八-2一°2“-4+…％一%+%

242

=2"-+2"-+...+2+a2

=4(1-4"-23

1-4

江，在2

3

代入〃=1，有。2=3成立，，％

3

2n-2

乂a2n-\~a2n-2=

…④

③+④，得a2n-\~a2n~3~H>2

故a2n-\=a2n-\~電“-3++…+4-4+4

工〃22

3

代入〃=1,4=1成立.

3

一5+(-2)"

綜上，an,nwN

3

【點睛】

本題考查了等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運用，考查了分類思想和運算能力，屬于難題.

答案第11頁，共19頁

22.①②③

【解析】

【詳解】

試題分析：①：即是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列的數(shù)列是非零的常數(shù)數(shù)列，①正確；②：

S?=atr+bn[a,beR）,則n>2時，an=Sn-Sn-i=2an+b-a,；.an-an-i=2a（常數(shù)），｛4｝是等差數(shù)

22

列，②正確；③：n=l時，ai=w，nN2時，an=Sn-Sn-i=2-2an-（2-2an-i）；.an=wan-i,...｛4“｝是等比

數(shù)列,③正確,.

考點；等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念及性質(zhì).

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念及性質(zhì).

23.220,9-1.

【解析】

【分析】

將。蜀+。向-??=整理得（。,用用-2%）=0,得｛a,,｝為等比數(shù)列即可求解

【詳解】

心-21線+*_a?=,則（4用+1）（4用-2%）=0,因為4>0,

則%+1x0，故％-2a“=0,故｛4｝為首項為1,公比為2的等比數(shù)列，

故答案為2239-1

【點睛】

本題考查數(shù)列遞推關(guān)系求通項，等比數(shù)列求和公式，考查計算能力，是基礎(chǔ)題

24.

3

【解析】

【分析】

由遞推公式求出生=5,因為｛《,+「24｝和數(shù)列｛qm+4｝都是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的

通項公式得出：。向-2a“=（-l嚴(yán)①和/ja“=2向②，聯(lián)立①,②知：求出

答案第12頁，共19頁

2向_(_廣

^3

【詳解】

當(dāng)〃=1時，a3=a2+2a｝=5,

令么=4+1-2凡，｛〃,｝為等比數(shù)列，4=%-2q=l,b2=a3-2a2=-1,

q=/=-i,bn=(-iy-',BIJ：a--iyi①.

令c“=a“+i+a“，｛%｝為等比數(shù)列，q=a2+a=4,c2=a,+a2=8,

4=2=2,c“=4?(2)x=2向，即：。向+%=2向②.

q

聯(lián)立①，②知：4=2”“一,1廣

故答案為：2向十廣

3

【點睛】

本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式，同時考查了計算能力，屬于中檔題.

25.(1)a=4n,2=(￡|(2)見解析

【解析】

(1)根據(jù)公式4=S,-S,-計算得到a?的通項公式，根據(jù)么=-1-確定數(shù)列｛%｝為等比

數(shù)列，其首項為1,公比為計算得到答案.

(2)確定%=16/計算中=等匚，解不等式與￥<1得到答案.

【詳解】

22

(1)4=E=4,當(dāng)“22時，an=Sn-S?_l=(2??+2/?)-[2(/z-l)+2(n-l)]=4/?.

驗證”=1時成立，故4,=4”.

T\=2-b、=b、,故仇=1,當(dāng)“22時，bn=Tl-Tn.l=(2-bII)-(2-bll_t)=bn.i-bll,

答案第13頁，共19頁

.??2我=〃一,，數(shù)歹支勿｝為等比數(shù)列，其首項為1,公比為j.?也

(n+l)-l

16(〃+1)2.2)

⑵g=4：也=16〃2.出,-?5+1)2

由泣<1,得!^L<i即/_2〃一1>0，+應(yīng)即"23.

Cn2〃~

("+1)2<1成立，即土立<1,由于c,>0恒成立,

又〃23時

2/%

因此當(dāng)且僅當(dāng)“23時呢+1<%.

【點睛】

本題考查了求數(shù)列的通項公式，數(shù)列的增減性，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)

用.

26.(I)4=1,a2=4,“3=1°;(II)<??=3x2"1—2.

【解析】

【詳解】

試題分析:

(I)在北=2sL2中,分別令"=1,2,3可得到$3,然后可得到4,%嗎的值.(II)先

由％-T?_,得到S“=2a?-2n+l(neN*),再由S「5恒可得%=2a?_,+2(〃>2),故可得

??+2=2(a?_,+2)(〃>2),因此得到數(shù)列｛“"+2>為等比數(shù)列，由此可求得數(shù)列m｝的通項

公式.

試題解析：

(I),:$i=T[=2S]—1,品=1=1,

.=1；

,??聲+應(yīng)=芍=2打-4,

/.%=4；

???4+$2+號=4=2號-9,

...々3=10?

答案第14頁，共19頁

(II)：4=2$*-M…①，

給=2凡(”1)2(心2)…②,

.??①-②得，W=2%-2?+1(?>2),

又$1=2?]—2x1+1也滿足上式，

號=2ax—2n+1之1)…③，

，g_]=2/_i-2%+3(閥之2)…④，

③-④得外=24_]+2,

,%+2=2(4_]+2)(?>2).

又。]+2=3，

???數(shù)列｛氏+2)是首項為3,公比為2的等比數(shù)列.

???々+2=3x2”】,

???%=3x2*-i-2.

點睛：

[S,,?=1

數(shù)列的通項在與前〃項和S〃的關(guān)系是4=:在應(yīng)用此結(jié)論解題時要注意：

電-5c“_|,〃22

若當(dāng)”=1時，切若適合則〃=1的情況可并入論2時的通項a〃；當(dāng)〃=1時，ai

若不適合S“-S,i，則用分段函數(shù)的形式表示.

7145

27.(1)—或一7t；(2)2ATTH—7tkE.Z

334y

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)特殊角所對應(yīng)的三角函數(shù)值，以及角的范圍，即可得出結(jié)果；

(2)根據(jù)特殊角所對應(yīng)的三角函數(shù)值，以及角的范圍，即可得出結(jié)果；

【詳解】

(1)由tanx=K得

答案第15頁，共19頁

TT

因為X￡[0,2T),所以04]+左乃＜24，因此k=0或1,

,,乃-4

故尤=二"或；乃；

33

(2)由sinx=—-得x=—三+2k/或x="+2ki,keZ,

244

又無是第三象限角，所以工=5一7r+2&乃McZ.

4

【點睛】

本題主要考查由三角函數(shù)值求角，熟記特殊角所對應(yīng)的三角函數(shù)值即可，屬于基礎(chǔ)題型.

28.(1)〃2=4,%=8(2)見解析

【解析】

【分析】

(1)依次令〃=1,〃=2〃=3解出即可.

(2)由4+2。2+34+…=(〃-1)S〃+2〃(九￡N)知

當(dāng)〃22時，%4-2^+3qHF(/I—=(H—+2(M—1)

兩式相減，化簡即可得證.

【詳解】

解(1):q+2%+3/+???+〃〃〃=(〃-l),S〃+2〃(九wN"),

?,?當(dāng)〃=1時，=2x1=2；

當(dāng)〃=2時，q+羽=(q+%)+4,/.a2=4-

當(dāng)〃=3時，4+2%+3%=2(4+〃2+%)+6,=8,

(2)證明：:q+24+3/+…+〃4=(〃-1)S,7+2"(〃￡N')，①

???當(dāng)2時，4+2^+3q+???+(〃-=(〃-2)S〃_]+2(九—1),②

2

①-②得”=(〃-1)S〃-(〃-2)S〃_]+2=nan-Sfl+2sl+，

???-S“+2S“T+2=0,即S“=2S“T+2.

??.S〃+2=2(SI+2).???E+2=4wO.

答案第16頁，共19頁

即｛S“+2｝是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列.

【點睛】

本題考查公式%=S“-S"T的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

29.(1)4=2,應(yīng)=3,%=4,%=5(2)猜想c“="+l.見解析

【解析】

【分析】

(1)先求得%的值，然后根據(jù)已知條件求得2。“=%+〃+2(〃..2),由此求得出,生，包的

值.

(2)由(1)猜想數(shù)列｛見｝的通項公式為=〃+1,然后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

【詳解】

(1)由2S,,+7^=/+5",即2s“+2。“=