2024——2025學(xué)年開封清華學(xué)校高三開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題5分，共8小題40分）1.已知函數(shù)f(x)?=????A.(0,1) B.(0,1] C.[0,2) D.[0,2] 2.已知，則（）A. B. C. D. 3.函數(shù)f?xA. B. C. D. 4．南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國(guó)古代數(shù)學(xué)研究作出了杰出貢獻(xiàn)，他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》中，該著作中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等差數(shù)列.以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點(diǎn)是從數(shù)列中第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列.若某個(gè)二階等差數(shù)列的前四項(xiàng)分別為:，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．?dāng)?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列有最大項(xiàng)5．某商場(chǎng)進(jìn)行購(gòu)物摸獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則是：在一個(gè)封閉的紙箱中裝有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的六個(gè)小球，每次摸獎(jiǎng)需要同時(shí)取出兩個(gè)球，每位顧客最多有兩次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，并規(guī)定：若第一次取出的兩球號(hào)碼連號(hào)，則中獎(jiǎng)，摸獎(jiǎng)結(jié)束；若第一次未中獎(jiǎng)，則將這兩個(gè)小球放回后進(jìn)行第二次摸球，若與第一次取出的兩個(gè)小球號(hào)碼相同，則為中獎(jiǎng)，按照這樣的規(guī)則摸獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)的概率為（）A． B． C． D．6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與交于點(diǎn)．直線為在點(diǎn)處的切線，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為．由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，三點(diǎn)共線．若，則（

）A． B． C． D．7.正三棱錐P-ABC的側(cè)面都是直角三角形,E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),則PB與平面PEFA.3?6 B.6?6 C.38.已知拋物線C:?y2?=?2px(p?>0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),過(guò)線段AB的中點(diǎn)M且垂直于A.12 B.3?2 C.3?二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列各組向量中，可以作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，10．在正方體中，E，F(xiàn)，G分別為AD，，的中點(diǎn)，H為BG的中點(diǎn)．則下列說(shuō)法正確的是（

）A．平面 B．平面C．AH，互為異面直線 D．與平面所成角的正弦值為11．已知在的展開式中只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則下列結(jié)論正確的是（

）A．n=6 B．展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)是C．展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)和為64 D．展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為729三、填空題（5*3）12．正項(xiàng)數(shù)列共有9項(xiàng)，前3項(xiàng)成等差，后7項(xiàng)成等比，，則的值為；的值為.13.縱截距為?-?4,與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為20的直線的一般式方程為14．已知是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，將它沿中線折起得四面體，使得此時(shí)，則四面體的外接球表面積為．四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.(1)已知f(x)是一次函數(shù),且f[f(x)]?=?4x16．已知為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)積，且.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求的前n項(xiàng)和.17.已知圓O:?x2?+??y2?=?4及一點(diǎn)P(?-?1,0)，Q在圓O上運(yùn)動(dòng)一周，PQ的中點(diǎn)M形成軌跡C．

（1）求軌跡C的方程；

18．如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：．19．某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造，對(duì)甲、乙兩個(gè)車間升級(jí)改造后.(1)從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取50件進(jìn)行檢驗(yàn)，其中甲車間優(yōu)等品占，乙車間優(yōu)等品占，請(qǐng)?zhí)顚懭缦铝新?lián)表：優(yōu)等品非優(yōu)等品總計(jì)甲車間乙車間總計(jì)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為車間與優(yōu)等品有關(guān)聯(lián)？（結(jié)果精確到0.001)，其中.下表是X獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828(2)調(diào)查了近10個(gè)月的產(chǎn)量（單位：萬(wàn)個(gè))和月銷售額（單位：萬(wàn)元)，得到以下數(shù)據(jù)：，根據(jù)散點(diǎn)圖認(rèn)為y.關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，試求經(jīng)驗(yàn)回歸方程.參考公式：，其中.參考答案：第1題：【答案】A【解析】方程f(x)?-?a?=?0至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,等價(jià)于f(x)的圖象與直線y?=?a至少有兩個(gè)不同的交點(diǎn).作出f(x)的圖象,如圖所示,當(dāng)0?<a?<1時(shí),函數(shù)y?=?f(x)的圖象與y?=?第2題：【答案】C【解析】∵，∴.∴.

第3題：【答案】B【解析】f(?-?x)?=??e?-?x?-??ex?x2?=?-?f(x),函數(shù)為奇函數(shù),排除【分析】根據(jù)二階等差數(shù)列的定義求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而可得數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則，A、C不符合題意；再利用累加法計(jì)算可判斷B；借助基本不等式判斷D.【詳解】設(shè)該數(shù)列為，則；由二階等差數(shù)列的定義可知，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，即，所以，即數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，，則，A、C不符合題意；所以，將所有上式累加可得，所以，即該數(shù)列的第11項(xiàng)為，B不符合題意；由于，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，但由于，即數(shù)列有最小值為，而當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以無(wú)最大值，D符合題意.故選：D.5．B【分析】可將中獎(jiǎng)的情況分成第一次兩球連號(hào)和第二次取出的小球與第一次取出的號(hào)碼相同兩種情況，分別計(jì)算兩種情況的概率，根據(jù)和事件概率公式可求得結(jié)果.【詳解】中獎(jiǎng)的情況分為：第一次取出兩球號(hào)碼連號(hào)和第二次取出兩個(gè)小球與第一次取出的號(hào)碼相同兩種情況第一次取出兩球連號(hào)的概率為：第二次取出兩個(gè)小球與第一次取出號(hào)碼相同的概率為：中獎(jiǎng)的概率為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查和事件概率問題的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意將所求情況進(jìn)行分類，進(jìn)而通過(guò)古典概型和積事件概率求解方法求出每種情況對(duì)應(yīng)的概率.6．D【分析】畫出圖形，由題意可得出，利用橢圓的定義結(jié)合已知條件可求出、的值，即可得解.【詳解】如下圖所示：因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，因?yàn)椋遥裕裕傻茫瑒t，所以，，故．故選：D第7題：【答案】C【解析】以點(diǎn)P為原點(diǎn),PA為x軸,PB為y軸,PC為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,

設(shè)PA?=?PB?=?PC?=?2,則A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),E(1,1,0),F(0,1,1),

PB?=?(0,2,0),PE?=?(1,1,0),PF?=?第8題：【答案】C【解析】設(shè)直線l為y?=?k(x?-?p2)(k?>0),A(?x1,?y1),B(?x2,?y2),M(?xM,?yM),N(?-?p2,?yN)9．BD【分析】利用不共線的兩個(gè)非零向量可以作為一組基底一一判斷求解.【詳解】對(duì)A，因?yàn)闉榱阆蛄浚圆荒茏鳛榛祝珹錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)椋圆还簿€，可以作為基底，B正確；對(duì)C，因?yàn)椋怨簿€，不能作為基底，C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)椋圆还簿€，可以作為基底，D正確；故選：BD.10．AB【分析】對(duì)于A，利用線線平行證線面平行易得；對(duì)于B，分別證，，由線線垂直可得線面垂直；對(duì)于C，先證明，得H為的中點(diǎn)即得；對(duì)于D，先由B項(xiàng)結(jié)論易得即與平面所成的角，借助于直角三角形易求.【詳解】對(duì)于A，如圖，因，平面，而平面，故平面，即A正確；對(duì)于B，如圖，在正方形中，因E，G分別為AD，的中點(diǎn)，易得，則，因，故，即，又平面，平面，故，又平面，故平面，即B正確；對(duì)于C，如圖，連接，因F，G分別為，的中點(diǎn)，則，故得，又H為BG的中點(diǎn)，故H也是的中點(diǎn)，即與交于點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，由B項(xiàng)已得平面，設(shè)，則即在平面上的投影，故即與平面所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，易得故，即D錯(cuò)誤.故選：AB.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查與正方體有關(guān)的線面平行、線面垂直及線面所成角問題，屬于較難題.解題思路無(wú)非利用找線線平行證線面平行，由找線線垂直證線面垂直；在求線面所成角時(shí)，一般先找面的垂線得到射影即得所求角，之后還能借助于空間向量夾角公式求解.11．AC【分析】由展開式共有7項(xiàng)判斷A；由通項(xiàng)公式利用賦值法判斷B；由性質(zhì)判斷C；由得出展開式的各項(xiàng)系數(shù)和.【詳解】展開式中只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式共有7項(xiàng)，則，故A正確；展開式的通項(xiàng)為，令，則展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)是，故B錯(cuò)誤；展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)和為，故C正確；令，則展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為，故D錯(cuò)誤；故選：AC12．【分析】設(shè)出正項(xiàng)數(shù)列成等比數(shù)列的后7項(xiàng)的公比，求出及，再分組求和即得.【詳解】正項(xiàng)數(shù)列成等比數(shù)列的后7項(xiàng)的首項(xiàng)為，設(shè)公比為，則，而，解得，于是，顯然，所以.故答案為：；第13題：【答案】2x?【解析】設(shè)直線的方程為:y?=?kx?-?4,由y?=?0得x?=?4k.

∵直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為20,

∴12?×|?-?4|?×14．【分析】設(shè)為四面體的外接球球心，為外接圓的圓心，取的中點(diǎn)，四邊形為長(zhǎng)方形可得，在中由正弦定理可得，再由可得答案.【詳解】設(shè)為四面體的外接球球心，連接，因?yàn)椋矫妫云矫妫驗(yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻茫驗(yàn)椋裕O(shè)為外接圓的圓心，連接，則平面，，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋裕运倪呅螢殚L(zhǎng)方形，可得，在中，由正弦定理可得，所以，則四面體的外接球表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是確定外接球的球心和外接圓的圓心.第15題：【答案】見解析【解析】(1)設(shè)f(x)?=?kx?+?b(k?≠0),則:f[f(x)]?=?k(kx?+?b)16．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）連接，根據(jù)已知可得，，再由面面垂直的性質(zhì)有，最后利用線面垂直的判定證結(jié)論；（2）由題設(shè)，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，向量法求面面角的余弦值.【詳解】（1）連接，四邊形是菱形，則，又，分別為，的中點(diǎn)所以，故，又為等邊三角形，為的中點(diǎn)，則平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故又，，，平面，可得平面.（2），，為等邊三角形，是的中點(diǎn)，則，由（1）得平面，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，則，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，所以，由（1）得是平面的一個(gè)法向量，，即平面與平面的夾角的余弦值為．第17題：【答案】（1）(?x?+?12【解析】（1）設(shè)M(x,y),Q(?x1,?y1)，則?x1?=?2x?+?1,?y1?=?2(2)證明見解析【分析】（1）只需由中位線定理得出，結(jié)合線面平行的判定定理即可得證；（2）先由線面垂直的判定定理證得面，再結(jié)合線面垂直的性質(zhì)即可得證.【詳解】（1）連接與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅问钦叫危詾橹悬c(diǎn)，又因?yàn)闉椋?/p>