專題2.9有理數的混合運算（知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點一】有理數的混合運算一、理解運算順序有理數混合運算的運算順序：①從高級到低級：先算乘方，再算乘除，最后算加減；②從內向外：如果有括號，就先算小括號里的，再算中括號里的，最后算大括號里的.③從左向右：同級運算，按照從左至右的順序進行（或應用分配律、結合律）；二、應用四個原則：1、整體性原則：乘除混合運算統一化乘，統一進行約分；加減混合運算按正負數分類，分別統一計算，或把帶分數的整數、分數部分拆開，分別統一計算。2、簡明性原則：計算時盡量使步驟簡明，能夠一步計算出來的就同時算出來；運算中盡量運用簡便方法，如五個運算律的運用。3、口算原則：在每一步的計算中，都盡量運用口算，口算是提高運算率的重要方法之一，習慣于口算，有助于培養反應能力和自信心。分段同時性原則：對一個算式，一般可以將它分成若干小段，同時分別進行運算。如何分段呢？主要有：(1)運算符號分段法。有理數的基本運算有五種：加、減、乘、除和乘方，其中加減為第一級運算，乘除為第二級運算，乘方為第三級運算。在運算中，低級運算把高級運算分成若干段。一般以加號、減號把整個算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的結果先計算出來，最后再算出這幾個加數的和．(2)括號分段法，有括號的應先算括號里面的。在實施時可同時分別對括號內外的算式進行運算。(3)絕對值符號分段法。絕對值符號除了本身的作用外，還具有括號的作用，從運算順序的角度來說，先計算絕對值符號里面的，因此絕對值符號也可以把算式分成幾段，同時進行計算．(4)分數線分段法，分數線可以把算式分成分子和分母兩部分并同時分別運算。說明：本題以加號、減號為界把整個算式分成三段，這三段分別計算出來的結果再相加。三、掌握運算技巧（1）歸類組合：將不同類數(如分母相同或易于通分的數)分別組合；將同類數(如正數或負數)歸類計算。（2）湊整：將相加可得整數的數湊整，將相加得零的數（如互為相反數）相消。（3）分解：將一個數分解成幾個數和的形式,或分解為它的因數相乘的形式。（4）約簡：將互為倒數的數或有倍數關系的數約簡。（5）倒序相加：利用運算律，改變運算順序,簡化計算。（6）正逆用運算律：正難則反,逆用運算定律以簡化計算。（7）絕對值和偶次冪的非負性。四、理解轉化的思想方法有理數運算的實質是確定符號和絕對值的問題。因此在運算時應把握“遇減化加．遇除變乘，乘方化乘”，這樣可避免因記憶量太大帶來的一些混亂，同時也有助于學生抓住數學內在的本質問題。把所學的有理數運算概括起來。可歸納為三個轉化：一是通過絕對值將加法、乘法在先確定符號的前提下，轉化為小學里學的算術數的加法、乘法；二是通過相反數和倒數分別將減法、除法轉化為加法、乘法；三是將乘方運算轉化為積的形式．若掌握了有理數的符號法則和轉化手段，有理數的運算就能準確、快速地解決了．五、會用三個概念的性質如果a．b互為相反數，那么a+b=O，a=-b；如果c，d互為倒數，那么cd=l，c=1/d；如果|x|=a(a＞0)，那么x=a或-a.第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】有理數的四則混合運算【例1】（24-25七年級上·全國·假期作業）計算下列各題：(1)(2)(3)(4)【變式1】（23-24七年級上·山東聊城·階段練習）下列各式計算正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24九年級下·黑龍江哈爾濱·期中）定義一種新運算，規定，則．【題型2】含乘方的有理數混合運算【例2】（23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·期末）計算題：(1)；(2)．【變式1】（23-24七年級下·湖南永州·期末）計算：（

）A．1 B．2 C．0 D．【變式2】（23-24七年級上·河南周口·階段練習）計算：．【題型3】用簡便方法進行有理數的混合運算【例3】（23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·期中）用簡便方法計算：(1)(2)【變式1】（22-23七年級上·江蘇無錫·階段練習）在簡便運算時，把變形成最合適的形式是（

）A． B．C． D．【變式2】式子“1＋2＋…＋100”表示從1開始的100個連續自然數的和，為了簡便將其表示為，這里“∑”是求和符號，如，通過以上材料，計算=．【題型4】有理數混合運算與程序流程圖和算24點【例4】（23-24七年級上·吉林松原·期中）請你參加計算游戲：（1）“算24點”游戲：有四個數，可以按下面方式計算：，．利用加、減、乘、除、乘方運算（可用括號），每個數必須用一次且只能用一次，最終計算結果為24．下面有四個數：，請列出一個符合要求的算式，并寫出計算全過程；（2）請在內填上中的一個，使計算更加簡便，然后計算．計算：．【變式1】小新玩“24點”游戲，游戲規則是對數進行加、減、乘、除混合運算（每張卡片只能用一次，可以加括號）使得運算結果是24或－24．小新已經抽到前3張卡片上的數字分別是，若再從下列4張中抽出1張，則其中不能與前3張算出“24點”的是（）A． B． C． D．【變式2】（24-25七年級上·全國·隨堂練習）按照以下程序圖輸入的值為，則輸出的值為．【題型5】有理數混合運算的實際應用【例5】（23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·期末）初夏逢盛會，冰城萬象新．2024年第三十三屆哈爾濱國際經濟貿易洽談會，吸引了眾多采購商和消費者的目光，讓海內外賓朋收獲頗豐，也給哈爾濱市的旅游行業帶來了新的生機，某出租車駕駛員在一條東西向的道路上連續接送5批客人，行駛路程記錄如下（規定向東為正，向西為負，單位：）．第一批第二批第三批第四批第五批（1）接送完第5批客人后，該駕駛員在公司什么方向，距離公司多少千米？（2）若出租車每千米耗油升，那么在連續接送5批客人的過程中共耗油多少升？（3）若該出租車的計價標準為：行駛路程不超過收費9元，超過的部分每千米加元收費，在連續接送5批客人的過程中，該駕駛員一共收到車費多少元？【變式1】（2024·四川達州·三模）在我國古書《易經》中有“上古結繩而治”的記載，它指“結繩記事”或“結繩記數”．如圖，一遠古牧人在從右到左依次排列的繩子上打結，滿6進1，用來記錄他所放牧的羊的只數，由圖可知，他所放牧的羊的只數是（

）A．1234 B．310 C．60 D．10【變式2】（23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·期中）在2024年“五·一”黃金周期間，哈市鳳凰山旅游景區在三天假期中，每天旅游的人數變化如下表：（正數表示比前一天多的人數，負數表示比前一天少的人數）：日期4月29日4月30日5月1日人數變化單位：萬人－0.1＋0.3－0.2若4月30日的游客人數為1.5萬人，且每張入山門票為100元，那么三天內游客管理中心一共收取門票費萬元第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·甘肅·中考真題）定義一種新運算*，規定運算法則為：（m，n均為整數，且）．例：，則．【例2】（2021·山東日照·中考真題）數學上有很多著名的猜想，“奇偶歸一猜想”就是其中之一，它至今未被證明，但研究發現，對于任意一個小于的正整數，如果是奇數，則乘3加1；如果是偶數，則除以2，得到的結果再按照上述規則重復處理，最終總能夠得到1．對任意正整數，按照上述規則，恰好實施5次運算結果為1的所有可能取值的個數為（）A．8 B．6 C．4 D．22、拓展延伸【例1】（24-25七年級上·全國·假期作業）閱讀與思考下面是小宇同學的數學小論文，請仔細閱讀并完成相應的計算．逆用乘法分配律解題我們知道，乘法分配律是，反過來．這就是說，當中有相同的a時，我們可以逆用乘法分配律得到，進而可使運算簡便．例如：計算，若利用先乘后減顯然很繁瑣，注意到兩項都有，因此逆用乘法分配律可得，這樣計算就簡便得多計算：(1)；