1.1.1集合及其表示方法1、準確理解集合與元素的含義及集合與元素的屬于關系.2、在具體情境中，了解空集的含義，理解有限集與無限集；3、能利用集合元素的確定性、互異性、無序性解決一些簡單問題；4、熟記常用數集的表示符號，通過常用數集準確把握元素與集合之間的關系.知識點1集合的含義1、概念把一些能夠確定的、不同的對象匯集在一起，就說由這些對象組成的一個集合（有時簡稱集），組成集合的每個對象都是這個集合的元素．集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C，…表示，元素常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示．2、要點辨析（1）對象：現實生活中我們看到的、聽到的、觸摸到的、想到的事和物等，都可以看作“對象”，即集合的元素，它具有廣泛性，組成集合的對象可以是數、圖形、人、物等．（2）集合：集合是一個原式的、不加定義的概念，就如幾何重點、線、面一樣無法被“定義”；（3）元素：具有共同特征或共同的屬性的對象；（4）總體：集合是一個整體，暗含“所有”“全部”的含義，因此，一些對象一旦組成集合，這個集合就是這些對象的全體，而非個體．知識點2元素與集合1、元素與集合的關系（1）屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A．（2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A．2、集合中元素的三大特性（1）確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．簡記為“確定性”．注意：如果元素的界限不明確，即不能構成集合。例如著名的科學家；比較高的人等（2）互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復出現的．簡記為“互異性”．（3）無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡記為“無序性”．知識點3集合的表示方法與分類1、常用數集及其記法名稱自然數集正整數集整數集有理數集實數集記法或2、集合的表示方法（1）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．【注意】=1\*GB3①元素與元素之間必須用“，”隔開；=2\*GB3②集合中的元素必須是明確的；=3\*GB3③集合中的元素不能重復；=4\*GB3④集合中的元素可以是任何事物．（2）描述法：一般地，設A表示一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．有時也用冒號或分號代替豎線．【注意】=1\*GB3①首先應弄清楚集合的屬性，是數集、點集還是其他的類型．一般地，數集用一個字母代表其元素，而點集則用一個有序數對來表示．=2\*GB3②若描述部分出現元素記號以外的字母，要對新字母說明其含義或取值范圍．=3\*GB3③多層描述時，應當準確使用“且”和“或”，所有描述的內容都要寫在集合內．（3）圖示法：畫一條封閉曲線，用它的內部表示集合．3、集合的分類（1）一般地，我們把不含任何元素的集合稱為空集，記作?；（2）集合可以根據它含有的元素個數分為兩類：含有有限個元素的集合稱為有限集；含有無限個元素的集合稱為無限集．空集可以看成含有0個元素的集合，所以空集是有限集．4、集合相等給定兩個集合A和B，如果組成他們的元素完全相同，就稱這兩個集合相等，記作A=B．知識點4區間的概念1、一般區間的表示設a，b是兩個實數，而且a<b，我們規定：這里的實數叫做區間的端點.在用區間表示連續的數集時，包含端點的那一端用中括號表示，不包含端點的那一端用小括號表示.定義名稱符號數軸表示閉區間開區間半開半閉區間半開半閉區間2、實數集R可以用區間表示為(－∞，＋∞)，“∞”讀作“無窮大”，“－∞”讀作“負無窮大”，“＋∞”讀作“正無窮大”．3、特殊區間的表示定義符號數軸表示≥≤在數軸上，用實心點表示包括區間的端點，用空心點表示不包括區間的端點．【常用方法技巧】1、判斷一組對象能否組成集合的標準判斷一組對象能否組成集合，關鍵看該組對象是否滿足確定性，如果此組對象滿足確定性，就可以組成集合，否則，不能組成集合.同時還要注意集合中元素的互異性、無序性.2、元素與集合關系的判斷方法（1）直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現即可．（2）推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應首先明確已知集合中的元素具有什么特征．3、利用集合中元素的特異性求參數（1）集合問題的核心即研究集合中的元素，在解決這類問題時，要明確集合中的元素是什么；（2）構成集合的元素必須是確定的(確定性)，且是互不相同的(互異性)，書寫時可以不考慮先后順序(無序性)．（3）利用集合元素的特性求參數問題時，先利用確定性解出字母所有可能值，再根據互異性對集合中元素進行檢驗，要注意分類討論思想的應用．4、集合與方程的綜合問題（1）弄清方程與集合的關系，往往是用集合表示方程的解集．集合中的元素就是方程的實數根．（2）當方程中含有參數時，往往要根據方程實數根的情況來確定參數的值或取值范圍，有時還要進行分類討論．求出參數的值或取值范圍后還要檢驗是否滿足集合中元素的特性．5、集合的新定義問題解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點：（1）緊扣新定義。首先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質弄清楚，并能夠應用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點的關鍵所在．（2）用好集合的性質．解題時要善于從試題中發現可以使用集合性質的一些因素，在關鍵之處用好集合的性質．題型一判斷元素能否構成集合【例1】（2324高一上·新疆·月考）下列對象中不能構成一個集合的是（

）A．某校比較出名的教師 B．方程的根C．不小于3的自然數 D．所有銳角三角形【答案】A【解析】A：比較出名的標準不清，故不能構成集合；B：，方程根確定，可構成集合；C：不小于3的自然數可表示為，可構成集合；D：所有銳角三角形內角和確定且各角范圍確定，可構成集合.故選：A【變式11】（2324高一上·湖南長沙·月考）下列各組對象可構成一個集合的是（

）A．與10非常接近的數 B．本班視力差的女生C．中國漂亮的工藝品 D．我校學生中的女生【答案】D【解析】由集合的確定性可得，僅“我校學生中的女生”滿足確定性.故選：D【變式12】（2324高一上·河北邢臺·月考）下列各組對象中不能構成集合的是（

）A．數學課遲到的學生 B．小于的正整數C．未來世界的高科技產品 D．所有有理數【答案】C【解析】對于A，數學課遲到的學生具備集合元素的確定性,能構成集合，故A不符合題意；對于B，小于π的正整數具備集合元素的確定性，能構成集合，故B不符合題意；對于C，“未來世界的高科技產品”中的“高科技產品”沒有明確標準，不具備確定性，因此不能構成集合，故C符合題意；對于D，所有有理數具備集合元素的確定性，能構成集合,故D不符合題意.故選：C.【變式13】（2324高一上·山西臨汾·月考）下列對象不能組成集合的是（

）A．不超過20的偶數 B．π的近似值C．方程的實數根 D．最小的正整數【答案】B【解析】對A，不超過20的偶數是確定的，可以組成集合；對B，π的近似值無法確切取到，不能組成集合；對C，方程的實數根是確定的，就是1，可以組成集合；對D，最小的正整數是確定的，是1，可以組成集合，故選：B題型二判斷元素與集合的關系【例2】（2324高一上·湖北·期中）下列關系中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為為自然數集，所以，，故A、D正確；為實數集，所以，故B錯誤；為有理數集，所以，故C正確；故選：B【變式21】（2324高一上·河南南陽·月考）已知集合中的元素滿足，則下列選項正確的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】A【解析】由解得，因為，，故，且，故選：A【變式22】（2024·寧夏石嘴山·三模）已知集合，則與集合的關系為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，所以與集合的關系為.故選：B.【變式23】（2024·全國·模擬預測）已知集合，則下列表示正確的是（

）.A． B．C． D．【答案】A【解析】當時，，所以，故A正確；當時，，所以，故B錯誤；當或時，，所以，故C錯誤；當時，，所以，故D錯誤.故選：A題型三根據元素與集合的關系求參數【例3】（2023·上海閔行·一模）已知集合，若，則實數．【答案】【解析】因為集合，若，則，解得.故答案為：.【變式31】（2024高一上·全國·專題練習）已知集合，且，求的值.【答案】或【解析】因為，所以或，解得或，當時，，滿足集合元素的互異性，所以符合題意；當時，，也滿足集合元素的互異性，所以也符合題意.綜上，的值為或，故答案為：或【變式32】（2024·貴州貴陽·模擬預測）若集合，其中且，則實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得，解得.故選：A.【變式33】（2324高一上·重慶·期末）已知集合，若，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知：，解得，所以實數的取值范圍是.故選：A.題型四利用元素的互異性求參數【例4】（2324高一上·四川成都·期中）集合中實數的取值范圍是（

）A．或 B．且C．或 D．且【答案】D【解析】由集合元素的互異性可知，，解得且，所以實數的取值范圍為且.故選：D.【變式41】（2324高一上·北京東城·期中）已知集合，若，則（

）A．1或 B．1 C． D．或0【答案】C【解析】由于，若，則，不合題意；所以，解得，故選：C【變式42】（2324高一上·江西萍鄉·期末）已知集合，若，則a的值可能為（

）A．，3 B． C．，3，8 D．，8【答案】D【解析】由題意若，解得或，若，解得，當時，滿足題意，當時，違背了集合中元素間的互異性，當時，滿足題意，綜上所述，a的值可能為，8.故選：D.【變式43】（2324高一上·廣東東莞·期中）若，則x的可能值為（

）A．1 B．0，1 C．0，2 D．0，1，2【答案】C【解析】因為，當時，，不滿足元素的互異性，當時，，滿足互異性，當時，即或（舍）時，，滿足互異性，所以或2.故選：C.題型五用列舉法與描述法表示集合【例5】（2324高一上·四川樂山·期中）集合用列舉法表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，則．故選：C【變式51】（2324高一上·江西南昌·月考）設集合，則集合．【答案】【解析】因為，所以，解得，又，則.即故答案為：.【變式52】（2324高一上·四川綿陽·月考）（多選）給出下列說法，其中不正確的是（）A．集合用列舉法表示為B．實數集可以表示為為所有實數}或C．方程組的解組成的集合為D．集合與是同一個集合【答案】BCD【解析】對于A，集合中只含有兩個元素0和1，所以用列舉法表示為，故A正確；對于B，R就表示實數集，實數集用為錯誤表示，另外花括號具有所有的意義，描述內容中不能再出現所有字眼，故B錯誤；對于C，解集應為，原表示錯誤，故C錯誤；對于D，集合為y的取值集合，集合表示上點的集合，所以兩個集合不是同一個集合，故D錯誤；故選：BCD.【變式53】（2324高一上·寧夏吳忠·月考）用適當的方法表示下列集合：(1)大于1且不大于17的質數組成的集合；(2)所有奇數組成的集合；(3)平面直角坐標系中，拋物線上的點組成的集合；(4)；【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【解析】（1）大于1且不大于17的質數組成的集合.（2）所有奇數組成的集合.（3）平面直角坐標系中，拋物線上的點組成的集合.（4）.題型六區間與集合的相互表示【例6】（2324高一上·重慶·期中）集合用區間表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據集合的表示方法，集合用區間表示為.故選：D.【變式61】（2324高一上·新疆阿克蘇·月考）下列敘述正確的是（

）A．用區間可表示為 B．用區間可表示為C．用集合可表示為 D．用集合可表示為【答案】D【解析】對于A，用區間可表示為，錯誤；對于B，用區間可表示為，錯誤；對于C，用集合可表示為，錯誤；對于D，用集合可表示為，正確；故選：D【變式62】（2324高一上·河北石家莊·期中）用區間表示為；用區間表示為．【答案】【解析】，.故答案為：；.【變式63】（2324高一上·全國·課后作業）（1）用區間表示且為．（2）已知區間，則的取值范圍是．【答案】【解析】（1）且用區間可表示為，（2）由題意得，得，即的取值范圍.故答案為：；.題型七集合與方程的綜合問題【例7】（2324高一上·廣東廣州·期末）已知集合只有一個元素，則實數的值為（

）A．1或0 B．0 C．1 D．1或2【答案】A【解析】若集合只有一個元素，則方程只有一個解，當時，方程可化為，滿足題意，當時，方程只有一個解，則，解得，所以或.故選：.【變式71】（2324高一上·遼寧丹東·月考）（多選）關于的方程的解集是單元素集，則的可能值是（

）A．0 B．27 C．2 D．【答案】BD【解析】由，得，即，因為方程的解集為單元素集，所以，或方程有一個根為3，當時，得，此時方程的解為，符合題意，當方程有一個根為3時，得，此時方程為，，解得（舍去），或，符合題意，綜上，或，故選：BD.【變式72】（2324高一上·上海浦東新·月考）集合有且僅有2個子集，則的取值集合為【答案】【解析】因為集合有且僅有2個子集，所以集合只有一個元素，所以方程即只有一個根，當時，方程為即，此時，符合題意；當時，方程為即，此時，符合題意；當時，原方程化為，所以，解得，經檢驗，符合題意，所以的取值集合為.故答案為：.【變式73】（2324高一上·寧夏吳忠·月考）已知集合，其中.(1)若集合中有且僅有一個元素，求實數組成的集合.(2)若集合中至多有一個元素，求實數的取值范圍.【答案】(1)；(2)或【解析】（1）若，方程化為，此時方程有且僅有一個根；若，則當且僅當方程的判別式，即時，方程有兩個相等的實根，此時集合A中有且僅有一個元素，∴所求集合；（2）集合A中至多有一個元素包括有兩種情況，①A中有且僅有一個元素，由（1）可知此時或，②