知識(shí)必備09銳角三角函數(shù)（公式、定理、結(jié)論圖表）

考點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)的概念

如圖所示，在RtZkABC中，ZC=90°,4A所對的邊BC記為a,叫做乙A的對邊，也叫做乙B的鄰

邊，所對的邊AC記為b,叫做乙B的對邊，也是乙A的鄰邊，直角C所對

的邊AB記為c,

乙4的對邊二。

銳角A的對邊與斜邊的比叫做4A的正弦,記作sinA,即sinA=

斜邊c

記作cosA,即cosN=-'的鄰邊=2

銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做4A的余弦,

斜邊

乙4的對邊a

銳角A的對邊與鄰邊的比叫做4A的正切，記作tanA,即tanA=

NZ的鄰邊b

N8的鄰邊

同理sin8=4?勺?邊=2；cos5=J-筆舞上

斜邊c斜邊cN8的鄰邊a

要點(diǎn)詮釋：

⑴正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線段的

比值.角的度數(shù)確定時(shí)，其比值不變，角的度數(shù)變化時(shí)，比值也隨之變化.

(2)sinA,cosA,tanA分別是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)符號，是一個(gè)整體，不能寫成5m?工，cos*A,

㈤''4不能理解成sin與乙A,cos與乙A,tan與4A的乘積.書寫時(shí)習(xí)慣上省略ZA的角的記號“乙”，

但對三個(gè)大寫字母表示成的角(如乙AEF),其正切應(yīng)寫成“tanaAEF"，不能寫成“tanAEF"；另外，(曲⑶:

(COSJ4)J"an常寫成sin'/、co$"、tar/月.

⑶任何一個(gè)銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值，不因這個(gè)角不在某個(gè)三角形中而不存在.

(4)由銳角三角函數(shù)的定義知：

當(dāng)角度在0°v/Av90°之間變化時(shí)，0<sin4<l,0<COSJ4<LtanA>0.

典例1：(2022?揚(yáng)州)在△45C中，AC=90°,a、b、c分別為乙4、LB、乙。的對邊，若序=對則siib4

的值為1二1..

-2—

【分析】根據(jù)勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義解答即可.

【解答】解：在△/BC中，ZC=90°,

.,.c2=a2+b2,

b2=ac,

c2=a^+ac,

等式兩邊同時(shí)除以數(shù)得:

ac

令包=x,則有上=x+l,

CX

.0.x2+x-1=0,

解得：=X2=-1-、后（舍去）,

22

當(dāng)x=V^-l時(shí),x#o,

2

...X=近二1是原分式方程的解，

2

.?.Sid曳=逗11.

c2

故答案為：近二L

2

【點(diǎn)評】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，熟練掌握勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)二、特殊角的三角函數(shù)值

利用三角函數(shù)的定義，可求出0°、30°、45°、60。、90°角的各三角函數(shù)值，歸納如下:

0°30°45°60°90°

三角函M

V2

0V31

sina~2yT

72

cosa1旦0

22~2

V3

tana01不存在

373

要點(diǎn)詮釋：

⑴通過該表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函數(shù)值，它的另一個(gè)應(yīng)用就是:

如果知道了一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個(gè)銳角的度數(shù)，例如：若smd-立，則銳角3-4守.

2

⑵仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會(huì)發(fā)現(xiàn)：

sin0°、$m45*、sm60*、sin90。的值依次為0、近、立、立、1,而cos0°、cos30*、

222

cos450'cos600'cos90°的值的順序正好相反，tan30°、tan45°、tan60°的值依次增大，其變化規(guī)律

可以總結(jié)為：

當(dāng)角度在0°<4A<90°之間變化時(shí)，

①正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?/p>

②余弦值隨銳角度數(shù)的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅?

典例2：（2022?天津）tan45°的值等于（）

A.2B.1C.近D.近

23

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：tan45。的值等于1,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系

如圖所示，在Rt^ABC中，2c=90°.

BC

⑴互余關(guān)系.sin=cos(90*-ZX)=cosBcosA=$in(90*-ZA)=sinf.

(2)平方關(guān)系：$i媼月+cos<4=1;

“1

tdfiA—

(3)倒數(shù)關(guān)系：面人”皿紳-4)=1或一抽3；

，蚯口4

tanH=------

⑷商數(shù)關(guān)系：cos為.

要點(diǎn)詮釋：

銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導(dǎo)得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的計(jì)算中，計(jì)算

時(shí)巧用這些關(guān)系式可使運(yùn)算簡便.

考點(diǎn)四、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.

設(shè)在Rt^ABC中，4c=90°,乙A、4B、4c所對的邊分別為a、b、c,則有：

①三邊之間的關(guān)系：a?+b2=c2(勾股定理).

②銳角之間的關(guān)系：ZA+ZB=9O°.

③邊角之間的關(guān)系：

.a.d.a

$inH=-cosH=-Atand=一

C,C,b,

.ba-A

sin5n=-cos8n=-Atan￡=一

。1k1,

<43c=—ab=-ch

④22,h為斜邊上的高.

要點(diǎn)詮釋：

⑴直角三角形中有一個(gè)元素為定值（直角為90°）,是已知的值.

（2）這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系（如不等關(guān)系）.

⑶對這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.

考點(diǎn)五、解直角三角形的常見類型及解法

和解法

三角形類井已知條件解法步驟

由tanH=色求4A,

b

兩直角邊（a,b）乙B=90°-4A,

兩

邊由sin4=2求4A,

c

斜邊，一直角邊（如c,a）Z.B=90°-4A,

RtAABC

Bb=-J

ZB=90°-乙A,

銳角、鄰邊

b

（如ZA,b）c=------

X乙-------------a-btanJ4cotA

b一直角邊

和一銳角

邊乙B=90°-ZA,

銳角、對邊

a,a

（如4A,a）c=------b=------

sinJ,tanH

角

Z.B=90°-4A,

斜邊、銳角（如c,ZA）

a-csinAb-ccos^4

要點(diǎn)詮釋:

1.在遇到解直角三角形的實(shí)際問題時(shí)，最好是先畫出一個(gè)直角三角形的草圖，按題意標(biāo)明哪些元素是

已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對邊和鄰邊的順序進(jìn)行計(jì)算.

2.若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個(gè)條件為邊.

典例3：（2022?丹東）如圖，A8是。。的直徑，點(diǎn)E在。O上，連接NE和5E,2C平分乙A8E交。。于點(diǎn)

C,過點(diǎn)C作。，BE,交班的延長線于點(diǎn)。，連接CE.

（1）請判斷直線CD與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若sin乙ECD=』，CE=5,求的半徑.

5

【分析】（1）結(jié)論：8是。。的切線，證明OCLCZ）即可；

（2）設(shè)O/=OC=r,設(shè)/E交OC于點(diǎn)/證明四邊形CDEJ是矩形，推出CD=E/=4,CJ=DE=3,

再利用勾股定理構(gòu)建方程求解.

【解答】解：（1）結(jié)論：是。。的切線.

理由：連接OC

-OC=OB,

乙OCB=AOBC,

■:BC平分乙4BD,

乙OBC=乙CBE,

AOCB=ACBE,

：.OC//BD,

■：CDYBD,

：.CDVOC,

??,OC是半徑，

??.CD是。。的切線；

（2）設(shè)。4=0C=r,設(shè)NE交OC于點(diǎn)/

'-AB是直徑，

AAEB=90°,

'.'OC.LDC,CD1DB,

.?.AD=乙DCJ=乙DEJ=90°,

二?四邊形CQE/是矩形，

ACJE=90°,CD=EJ,CJ=DE,

「?OC1AE,

.,./t/=EJ,

...sin4ECD=^=曰，CE=5,

CE5

：.DE=3,CD=4,

.-.AJ=EJ=CD=4,CJ=DE=3,

在RS47O中，r2=(r-3)2+42,

.r=25

6，

■.QO的半徑為空.

【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，切線的判定，垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的

關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型

考點(diǎn)六、解直角三角形的應(yīng)用

解直角三角形的知識(shí)應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系

化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵.

解這類問題的一般過程是：

⑴弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾

何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.

⑵將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問

題.

⑶根據(jù)直角三角形（或通過作垂線構(gòu)造直角三角形）元素（邊、角）之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.

⑷得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問題的解.

拓展：

在用直角三角形知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到以下概念：

⑴坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母a表示.

h

1=—=tana

坡度（坡比）：坡面的鉛直高度h和水平距離/的比叫做坡度，用字母I表示，貝IJ/,如圖,

坡度通常寫成7=力"的形式.

（2）仰角、俯角:在水平線下方的叫做俯角,

如圖.

⑶方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向

PA,PB,PC的方位角分別為是40°,135°,245°.

(D

⑷方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)

方向線OA,OB,OC,OD的方向角分別表示北偏東30°,南偏東45°,南偏西80°,北偏西60°.特別

如：東南方向指的是南偏東45°,東北方向指的是北偏東45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方向指

的是北偏西45°.

要點(diǎn)詮釋：

1.解直角三角形實(shí)際是用三角知識(shí)，通過數(shù)值計(jì)算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，最好畫

出它的示意圖.

2.非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來解.

例如：

3.解直角三角形的應(yīng)用題時(shí)，首先弄清題意（關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語的意義），然后正確畫出示意圖，

進(jìn)而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.

典例4：（2022?黑龍江）小明去爬山，在山腳看山頂角度為30°,小明在坡比為5：12的山坡上走1300

米，此時(shí)小明看山頂?shù)慕嵌葹?0。，山高為（）米

A.600-250遙B.600愿-250C.350+350aD.500

【分析】設(shè)斯=5x米，根據(jù)坡度的概念用x表示出2斤，根據(jù)勾股定理求出x,根據(jù)正切的定義列出方

程，解方程得到答案.

【解答】解：設(shè)所=5x米，

?.,斜坡2E的坡度為5：12,

:.BF=12x米，

由勾股定理得：（5x）2+（12x）2=（1300）2,

解得：x=100,

貝i」M=500米，3月=1200米，

由題意可知，四邊形。。尸￡為矩形,

.,.DC=M=500米，DE=CF,

在RtZUDE中，tanZ/ED=世,

DE

貝I]DE=—虹）。=返皿

tan603

在RtZUCB中，tanZ^SC=—,

BC

500+AD瓜

??—■,.

解得：AD=600y/3-750,

，山高/。=/。+￡）。=600%-750+500=（600a-250）米,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用一坡度坡角問題，掌握坡度是坡面的鉛直高

典例5：（2022?湖北）如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物/點(diǎn)處測得乙建筑物。點(diǎn)的俯角a為45。，C

點(diǎn)的俯角B為58。，2C為兩座建筑物的水平距離.已知乙建筑物的高度CD為6〃?，則甲建筑物的高度

AB為16m.

（sin58°#0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60,結(jié)果保留整數(shù)）.

【分析】過點(diǎn)。作。于點(diǎn)E,貝I」5E=CD=6/M,乙NOE=45°,乙ACB=58°,在Rt4/DE中,

Z.ADE=45°,設(shè)4E=xm,貝！JDE=x冽，BC=xm,AB=AE+BE-(6+x)m,在中，tan乙4c5

=tan58°=幽旦豆-1.60,解得x=10,進(jìn)而可得出答案.

BCx

【解答】解：過點(diǎn)。作。于點(diǎn)叢如圖.

…伊..………

甲A\\

縣…2'Q乙

三仔Mi

BC

則8￡=CD=6/，乙4QE=45°,AACB=58°,

在RtZ\4DE中，AADE=45°,

設(shè)AE=xm,則DE=xm,

-'-BC=xm,AB=AE+BE=(6+x)m,

在RtA4BC中,

tan/LACB=tan58°=—^^=1.60,

BCx

解得x=10,

.'.AB=16m.

故答案為：16.

【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵

典例6：(2022?資陽)小明學(xué)了《解直角三角形》內(nèi)容后，對一條東西走向的隧道進(jìn)行實(shí)地測量.如圖

所示，他在地面上點(diǎn)C處測得隧道一端點(diǎn)/在他的北偏東15°方向上，他沿西北方向前進(jìn)100愿米后到達(dá)

點(diǎn)。，此時(shí)測得點(diǎn)/在他的東北方向上，端點(diǎn)3在他的北偏西60°方向上，(點(diǎn)/、B、C、。在同一平面

內(nèi))

(1)求點(diǎn)D與點(diǎn)A的距離；

(2)求隧道AB的長度.(結(jié)果保留根號)

BA

【分析】(1)根據(jù)方位角圖，易知4/CD=60。，AADC=90°,解RS4DC即可求解;

(2)過點(diǎn)。作于點(diǎn)區(qū)分別解RtaADE求出4E和BE,即可求出隧道的長.

【解答】解；（1）由題意可知：24cz）=15°+45°=60°,AADC=180°-45°-45°=90°,

在RtA^DC中,

???AD=DCxtanZACD=100/3xtan600=10043X?=300（米）,

答：點(diǎn)。與點(diǎn)/的距離為300米.

(2)過點(diǎn)D作DELAB于點(diǎn)E,

■-AB是東西走向，

AADE=45°,乙BDE=60°,

在RS4DE中，

--DE=AE=ADXsinZADE=300Xsin45°=300>?y-=15072（米），

在RtABDE中，

???BE=DEXtanZBDE=150/2Xtan600=15皿X?=150遍（米）,

??.AB=AE+BE=（15072+150V6）（米），

答：隧道的長為(15的+150遍)米.

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函數(shù)值

是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)七、解直角三角形相關(guān)的知識(shí)

如圖所示，在Rt^ABC中，ZC=90

⑴三邊之間的關(guān)系：a-+b2=c2-,

⑵兩銳角之間的關(guān)系：2A+ZB=90°；

⑶邊與角之間的關(guān)系：sinA=cosB=—,cosA=cosB—,cos74=sin5=—,tan74=—=--—

cccbtanB

(4)如圖，若直角三角形ABC中，CDLAB于點(diǎn)D,設(shè)CD=h,AD=q,DB=p,貝U