第14講概率（10個(gè)知識(shí)點(diǎn)+6種題型+強(qiáng)化訓(xùn)練）知識(shí)導(dǎo)圖知識(shí)清單知識(shí)點(diǎn)一：隨機(jī)試驗(yàn)我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)試驗(yàn)，常用字母E表示．我們感興趣的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：(1)試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；(3)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．知識(shí)點(diǎn)"二：樣本點(diǎn)與樣本空間①樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱(chēng)為樣本點(diǎn)．②樣本空間：全體樣本點(diǎn)的集合稱(chēng)為試驗(yàn)E的樣本空間．一般地，用Ω表示樣本空間，用w表示樣本點(diǎn)．③有限樣本空間：如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果w1，w2，…，wn，則稱(chēng)樣本空間Ω＝{w1，w2，…，wn}為有限樣本空間．知識(shí)點(diǎn)"三：隨機(jī)事件隨機(jī)事件：一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來(lái)表示．我們將樣本空間Ω的子集稱(chēng)為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱(chēng)事件，一般用大寫(xiě)字母A，B，…表示．基本事件：只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱(chēng)為基本事件．必然事件：包含了所有樣本點(diǎn)的事件．不可能事件：不包含任何樣本點(diǎn)的事件．注：每個(gè)事件都是樣本空間的子集.建立樣本空間，事實(shí)上就是建立隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型．因此，一個(gè)樣本空間可以概括許多內(nèi)容大不相同的實(shí)際問(wèn)題．在具體問(wèn)題的研究中，描述隨機(jī)現(xiàn)象的第一步就是建立樣本空間．知識(shí)點(diǎn)四：事件的關(guān)系和運(yùn)算(1)包含關(guān)系定義一般地，若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，我們就稱(chēng)事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)含義A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生符號(hào)表示B?A(或A?B)圖形表示特殊情形如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B?A且A?B，則稱(chēng)事件A與事件B相等，記作A＝B(2)并事件(和事件)定義一般地，事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱(chēng)這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)含義A與B至少一個(gè)發(fā)生符號(hào)表示A∪B(或A＋B)圖形表示(3)交事件(積事件)定義一般地，事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中，也在事件B中，我們稱(chēng)這樣的一個(gè)事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)含義A與B同時(shí)發(fā)生符號(hào)表示A∩B(或AB)圖形表示(4)互斥(互不相容)定義一般地，如果事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，也就是說(shuō)A∩B是一個(gè)不可能事件，即A∩B＝?，則稱(chēng)事件A與事件B互斥(或互不相容)含義A與B不能同時(shí)發(fā)生符號(hào)表示A∩B＝?圖形表示(5)互為對(duì)立定義一般地，如果事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝?，那么稱(chēng)事件A與事件B互為對(duì)立．事件A的對(duì)立事件記為eq\o(A,\s\up6(－))含義A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生符號(hào)表示A∩B＝?，A∪B＝Ω圖形表示知識(shí)點(diǎn)五：概率及古典概型的概念對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱(chēng)為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．2.如果試驗(yàn)具有以下兩個(gè)特征：(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．我們將具有以上兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱(chēng)為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為古典概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)古典概型．知識(shí)點(diǎn)六：古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．1．從集合的角度理解古典概型的概率公式用集合的觀點(diǎn)來(lái)考察事件A的概率，有利于幫助我們生動(dòng)、形象地理解事件A與基本事件的關(guān)系，有利于理解公式P(A)＝eq\f(k,n).如圖所示．把一次試驗(yàn)中等可能出現(xiàn)的n個(gè)結(jié)果組成一個(gè)集合I，其中每一個(gè)結(jié)果就是I中的一個(gè)元素，把含m個(gè)結(jié)果的事件A看作含有m個(gè)元素的集合，則集合A是集合I的一個(gè)子集，故有P(A)＝eq\f(k,n).2．求解古典概型問(wèn)題的一般思路(1)明確試驗(yàn)的條件及要觀察的結(jié)果，用適當(dāng)?shù)姆?hào)(字母、數(shù)字、數(shù)組等)表示試驗(yàn)的可能結(jié)果(借助圖表可以幫助我們不重不漏地列出所有的可能結(jié)果)．(2)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題情境判斷樣本點(diǎn)的等可能性．(3)計(jì)算樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)n及事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)k，求出事件A的概率．P(A)＝eq\f(事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù),樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù))＝eq\f(k,n).知識(shí)點(diǎn)七"：概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)任意的事件A，都有P(A)≥0.性質(zhì)2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．推廣如果事件A1，A2，…，Am兩兩互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am發(fā)生的概率等于這m個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性質(zhì)5如果A?B，那么P(A)≤P(B)，易得0≤P(A)≤1.性質(zhì)6設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．方法與技巧：1．如何應(yīng)用互斥事件的概率加法公式(1)將一個(gè)事件的概率問(wèn)題分拆為若干個(gè)互斥事件，分別求出各個(gè)事件的概率，然后利用互斥事件的概率加法公式求出結(jié)果．(2)運(yùn)用互斥事件的概率加法公式解題時(shí)，首先要分清事件之間是否互斥，同時(shí)要學(xué)會(huì)把一個(gè)事件分拆為幾個(gè)互斥事件，做到不重不漏．(3)常用步驟：①確定各事件彼此互斥；②求各個(gè)事件分別發(fā)生的概率，再求其和．2．對(duì)立事件與P(A)＋P(B)＝1的關(guān)系(1)若A，B是對(duì)立事件，則P(A)＋P(B)＝1.(2)若P(A)＋P(B)＝1，則事件A和B不一定對(duì)立．例如：擲一枚均勻的骰子，記事件A為出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，事件B為出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)或3點(diǎn)，則P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1，顯然事件A與事件B不互斥，也不對(duì)立．知識(shí)點(diǎn)"八：相互獨(dú)立事件的定義和性質(zhì)1．定義：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱(chēng)獨(dú)立．2．性質(zhì)：①如果A與B相互獨(dú)立，那么A與eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))與B，eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))也都相互獨(dú)立．3．n個(gè)事件相互獨(dú)立對(duì)于n個(gè)事件A1，A2，…，An，如果其中任何一個(gè)事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響，則稱(chēng)n個(gè)事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立．獨(dú)立事件的概率公式(1)若事件A，B相互獨(dú)立，則P(AB)＝P(A)P(B)．(2)若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，則P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．4.相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨(dú)立事件互斥事件條件事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒(méi)有影響不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件符號(hào)相互獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生，記作AB互斥事件A，B中有一個(gè)發(fā)生，記作A∪B(或A＋B)計(jì)算公式P(AB)＝P(A)P(B)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)知識(shí)點(diǎn)九：頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)．我們稱(chēng)頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．因此，我們可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A)．知識(shí)點(diǎn)十：隨機(jī)數(shù)的概念1．隨機(jī)數(shù)：要產(chǎn)生1～n(n∈N*)之間的隨機(jī)整數(shù)，把n個(gè)質(zhì)地和大小相同的小球分別標(biāo)上1,2,3，…，n，放入一個(gè)容器中，充分?jǐn)嚢韬笕〕鲆粋€(gè)球，這個(gè)球上的數(shù)就稱(chēng)為隨機(jī)數(shù)．2．偽隨機(jī)數(shù)：計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)是按照確定的算法產(chǎn)生的數(shù)，具有周期性(周期很長(zhǎng))，它們具有類(lèi)似隨機(jī)數(shù)的性質(zhì)．因此，計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)不是真正的隨機(jī)數(shù)，我們稱(chēng)它們?yōu)閭坞S機(jī)數(shù)．3．產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法：教材中給出了兩種產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法：①利用帶有PRB功能的計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)；②用計(jì)算機(jī)軟件產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，比如用Excel軟件產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)．我們只要按照它的程序一步一步執(zhí)行即可．4．用隨機(jī)模擬估計(jì)概率的步驟(1)建立概率模型；(2)進(jìn)行模擬試驗(yàn)，可用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬試驗(yàn)；(3)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果．方法與技巧：1．頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化；概率卻是一個(gè)常數(shù)，是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)．2．在實(shí)際應(yīng)用中，只要試驗(yàn)的次數(shù)足夠多，所得的頻率就可以近似地當(dāng)作隨機(jī)事件的概率．3．概率是頻率的穩(wěn)定值，根據(jù)概率的定義我們可知，概率越接近于1，事件A發(fā)生的頻數(shù)就越多，此事件發(fā)生的可能性就越大；反之，概率越接近于0，事件A發(fā)生的頻數(shù)就越少，此事件發(fā)生的可能性就越小．4．應(yīng)用隨機(jī)數(shù)計(jì)算事件的概率，在設(shè)計(jì)隨機(jī)試驗(yàn)方案時(shí)，一定要注意先確定隨機(jī)數(shù)的范圍和每個(gè)隨機(jī)數(shù)所代表的試驗(yàn)結(jié)果，其次要注意用幾個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組時(shí)，每組中的隨機(jī)數(shù)是否能夠重復(fù)．對(duì)于一些較為復(fù)雜的問(wèn)題，要建立一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)換成計(jì)算機(jī)或計(jì)算器能操作的試驗(yàn)．知識(shí)復(fù)習(xí)題型一、有限樣本空間與隨機(jī)事件一、單選題1．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注1，2，3，4，5的五個(gè)小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)小球，則取出小球標(biāo)注的數(shù)字之差的絕對(duì)值為2或4的事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、多選題2．（2324高一上·陜西漢中·期末）在25件同類(lèi)產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取5件產(chǎn)品，其中是隨機(jī)事件的是（

）A．5件都是正品 B．至少有1件次品C．有3件次品 D．至少有3件正品3．袋中裝有標(biāo)號(hào)分別為1，3，5，7的四個(gè)相同的小球，從中取出兩個(gè)，下列事件是樣本點(diǎn)的是（

）A．取出的兩球標(biāo)號(hào)為3和7B．取出的兩球標(biāo)號(hào)的和為4C．取出的兩球標(biāo)號(hào)都大于3D．取出的兩球標(biāo)號(hào)的和為8三、填空題4．某同學(xué)利用假期參加志愿者服務(wù)，現(xiàn)有，，，四個(gè)不同的地點(diǎn)，每天選擇其中一個(gè)地點(diǎn)，且每天都從昨天未選擇的地點(diǎn)中等可能地隨機(jī)選擇一個(gè)，設(shè)第一天選擇地點(diǎn)參加志愿者服務(wù)，則第四天也選擇地點(diǎn)的概率是，記第天（）選擇地點(diǎn)的概率為，試寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，與的關(guān)系式為.四、解答題5．（2425高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）試驗(yàn)：連續(xù)拋擲一枚硬幣3次，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況．設(shè)事件A表示隨機(jī)事件“第一次出現(xiàn)正面”，事件B表示隨機(jī)事件“3次出現(xiàn)同一面”，事件C表示隨機(jī)事件“至少出現(xiàn)一次正面”，試用樣本點(diǎn)表示事件A，B，C．6．有A，B，C，D四位同學(xué)站成一排照相，觀察他們的站隊(duì)順序.（1）寫(xiě)出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；（2）用集合表示下列事件：“A在兩側(cè)”；“B，C兩人相鄰”.7．下面的三個(gè)游戲都是在袋子中裝球，然后從袋子中不放同地取球，分別計(jì)算三個(gè)游戲中甲獲勝的概率，你認(rèn)為哪個(gè)游戲是公平的？游戲1游戲2游戲3袋子中球的數(shù)量和顏色1個(gè)紅球和1個(gè)白球2個(gè)紅球和2個(gè)白球3個(gè)紅球和1個(gè)白球取球規(guī)則取1個(gè)球依次取出2個(gè)球依次取出2個(gè)球獲勝規(guī)則取到紅球→甲勝兩個(gè)球同色→甲勝兩個(gè)球同色→甲勝取到白球→乙勝兩個(gè)球不同色→乙勝兩個(gè)球不同色→乙勝題型二、事件的關(guān)系與運(yùn)算一、單選題1．（2324高二下·上海·階段練習(xí)）如果事件與事件互斥，那么（

）條件.A． B．C．與一定互斥 D．與一定獨(dú)立2．（2425高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）如果是互斥事件，那么（

）A．事件與必不互斥 B．是必然事件C．A與可能互斥 D．是必然事件3．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知事件兩兩互斥，若，，，則（）．A． B． C． D．二、多選題4．（2324高一上·安徽亳州·期末）中國(guó)四大名樓是一種泛稱(chēng)，特指山西永濟(jì)鸛雀樓、江西南昌滕王閣、湖北武漢黃鶴樓、湖南岳陽(yáng)岳陽(yáng)樓．記事件“只去黃鶴樓”，事件“至少去兩個(gè)名樓”，事件“只去一個(gè)名樓”，事件“一個(gè)名樓也不去”，事件“至多去一個(gè)名樓”，則下列命題正確的是（

）A．E與H是互斥事件 B．F與I是互斥事件，且是對(duì)立事件C． D．5．（2223高一下·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）拋一枚質(zhì)地均勻的骰子，記“向上的點(diǎn)數(shù)是4或5或6”為事件A，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件B，“向上的點(diǎn)數(shù)小于5”為事件C，“向上的點(diǎn)數(shù)大于3”為事件D，則（

）A．A與B是互斥事件，但不是對(duì)立事件 B．C．A與C是互斥事件 D．三、填空題6．（2223高一下·浙江寧波·期末）據(jù)浙江省新高考規(guī)則，每名同學(xué)在高一學(xué)期結(jié)束后，需要從七門(mén)選考科目中選擇其中三門(mén)作為高考選考科目.某同學(xué)已經(jīng)選擇了物理、化學(xué)兩門(mén)學(xué)科，還需要從生物、技術(shù)這兩門(mén)理科學(xué)科和政治、歷史、地理這三門(mén)文科學(xué)科共五門(mén)學(xué)科中再選擇一門(mén)，設(shè)事件“選擇生物學(xué)科”，“選擇一門(mén)理科學(xué)科”，“選擇政治學(xué)科”，“選擇一門(mén)文科學(xué)科”，現(xiàn)給出以下四個(gè)結(jié)論：①和是互斥事件但不是對(duì)立事件；

②和是互斥事件也是對(duì)立事件；③；

④.其中，正確結(jié)論的序號(hào)是.（請(qǐng)把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都寫(xiě)上）7．（2324高二上·廣東清遠(yuǎn)·期中）設(shè)為三個(gè)隨機(jī)事件，若A與是互斥事件，與是相互對(duì)立事件，且，則.四、解答題8．（2324高二上·新疆·期中）連續(xù)拋擲兩枚骰子，觀察落地時(shí)的點(diǎn)數(shù).記事件{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)相同}，事件{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為4}，事件{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為4}，事件{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為6}.(1)用樣本點(diǎn)表示事件，；(2)若事件，則事件E與已知事件是什么運(yùn)算關(guān)系？9．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）某城市有甲、乙兩種報(bào)紙供市民訂閱，記事件A為“只訂甲報(bào)紙”，事件B為“至少訂一種報(bào)紙”，事件C為“至多訂一種報(bào)紙”，事件D為“不訂甲報(bào)紙”，事件E為“一種報(bào)紙也不訂”.試判斷下列每對(duì)事件是不是互斥事件，如果是，判斷它們是不是對(duì)立事件.（1）A與C；（2）B與E；（3）B與D；（4）B與C.題型三、古典概型一、單選題1．（2324高一下·河南·開(kāi)學(xué)考試）珠算作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，是中華文明的鮮明體現(xiàn)．算盤(pán)的每個(gè)檔（掛珠的桿）上有7顆算珠，用梁隔開(kāi)，梁上面的2顆珠叫“上珠”，梁下面的5顆叫“下珠”，則從算盤(pán)內(nèi)任取一顆珠子是“下珠”的概率為（

）A． B． C． D．2．（2324高二上·浙江杭州·期中）已知某樣本空間中共有18個(gè)樣本點(diǎn)，其中事件有10個(gè)樣本點(diǎn)，事件有8個(gè)樣本點(diǎn)，事件有16個(gè)樣本點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·廣東梅州·一模）如圖，從1開(kāi)始出發(fā)，一次移動(dòng)是指：從某一格開(kāi)始只能移動(dòng)到鄰近的一格，并且總是向右或右上或右下移動(dòng)，而一條移動(dòng)路線(xiàn)由若干次移動(dòng)構(gòu)成，如從1移動(dòng)到9，就是一條移動(dòng)路線(xiàn).從1移動(dòng)到數(shù)字的不同路線(xiàn)條數(shù)記為，從1移動(dòng)到9的事件中，跳過(guò)數(shù)字的概率記為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題4．（2324高二下·四川綿陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）九宮格的起源可以追溯到遠(yuǎn)古神話(huà)中的洛書(shū)，洛書(shū)上的圖案正好對(duì)應(yīng)著從1到9九個(gè)數(shù)字，并且縱向、橫向、斜向三條線(xiàn)上的三個(gè)數(shù)字的和（這個(gè)和叫做幻和）都等于15，即現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的三階幻方，已知幻和等于15的九宮格共有8種.根據(jù)洛書(shū)記載：“以五居中，五方皆為陽(yáng)數(shù)，四隅為陰數(shù)”，其意思為：九宮格中5位于居中位置，四個(gè)頂角為偶數(shù)，其余位置為奇數(shù).如圖所示，若隨機(jī)填寫(xiě)一組幻和等于15的九宮格數(shù)據(jù)，記事件”，則的值為.四、解答題5．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，小軍與小玲共同發(fā)明了一種“字母棋”，進(jìn)行比勝負(fù)的游戲她們用四種字母做成10個(gè)棋子，其中A棋1個(gè)，B棋2個(gè)，C棋3個(gè)，D棋4個(gè)，“字母棋”的游戲規(guī)則為：①游戲時(shí)兩人各摸一個(gè)棋子進(jìn)行比賽稱(chēng)一輪比賽，先摸者摸出的棋子不放回；②A棋勝B棋，C棋；B棋勝C棋，D棋；C棋勝D棋；D棋勝A棋；③相同棋子不分勝負(fù)，(1)若小玲先摸，問(wèn)小玲摸到C棋的概率是多少？(2)已知小玲先摸到了C棋，小軍在剩余的9個(gè)棋中隨機(jī)摸一個(gè)，問(wèn)這一輪中小玲勝小軍的概率是多少？(3)已知小玲先摸一個(gè)棋，小軍在剩余的9個(gè)棋中隨機(jī)摸一個(gè)，問(wèn)這一輪中小玲希望摸到哪種棋勝小軍的概率最大？6．（2425高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）在試驗(yàn)“袋中有白球3個(gè)（編號(hào)為1，2，3）、黑球2個(gè)（編號(hào)為1，2），這5個(gè)球除顏色外完全相同，從中不放回地依次摸取2個(gè)，每次摸1個(gè)，觀察摸出球的情況”中，摸到白球的結(jié)果分別記為，，，摸到黑球的結(jié)果分別記為，．求：(1)取到的兩個(gè)球都是白球的概率；(2)取到的兩個(gè)球顏色相同的概率；(3)取到的兩個(gè)球至少有一個(gè)是白球的概率．題型四、概率的基本性質(zhì)一、單選題1．（2122高一下·福建福州·期末）口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形狀相同小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，事件“取出的2球中至少有一個(gè)黃球”，事件“取出的2球至少有一個(gè)白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一個(gè)白球”.下列判斷中正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2324高二上·湖北·階段練習(xí)）設(shè)甲袋中有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，乙袋中有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳?球，記事件“從甲袋中任取1球是紅球”，記事件“從乙袋中任取1球是白球”，則（

）A． B．C． D．3．（2324高三上·湖北·期中）在正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn).取點(diǎn)，C，E，F(xiàn)，若一條直線(xiàn)過(guò)其中兩點(diǎn)，另一條直線(xiàn)過(guò)另外兩點(diǎn)，則（

）A．兩條直線(xiàn)為異面直線(xiàn)是必然事件B．兩條直線(xiàn)互相垂直的概率為C．兩條直線(xiàn)互相平行與互相垂直是對(duì)立事件D．兩條直線(xiàn)都與直線(xiàn)垂直是不可能事件三、填空題4．（2324高二上·上海長(zhǎng)寧·期末）一次考試，小明數(shù)學(xué)超過(guò)90分的概率是0.8，物理超過(guò)90分的概率是0.7，兩門(mén)都超過(guò)90分的概率是0.6，則他的數(shù)學(xué)和物理至少有一門(mén)超過(guò)90分的概率是．5．（2223高一下·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知，.（1）如果，那么，，；（2）如果A，B互斥，那么，，.四、解答題6．（2324高二上·貴州畢節(jié)·期中）為了備戰(zhàn)第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)（2024法國(guó)巴黎奧運(yùn)會(huì)），中國(guó)奧運(yùn)健兒刻苦訓(xùn)練，成績(jī)穩(wěn)步提升．射擊隊(duì)的某一選手射擊一次，其命中環(huán)數(shù)的概率如下表：命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12求該選手射擊一次：(1)命中9環(huán)或10環(huán)的概率；(2)至少命中8環(huán)的概率；(3)命中不足8環(huán)的概率．7．（2223高一上·江西吉安·期末）甲、乙兩人進(jìn)行摸球游戲，游戲規(guī)則是：在一個(gè)不透明的盒子中裝有質(zhì)地、大小完全相同且編號(hào)分別為1，2，3，4，5的5個(gè)球，甲先隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下編號(hào)，設(shè)編號(hào)為a，放回后乙再隨機(jī)摸出一個(gè)球，也記下編號(hào)，設(shè)編號(hào)為b，記錄摸球結(jié)果（a，b），如果，算甲贏，否則算乙贏．(1)求的概率；(2)這種游戲規(guī)則公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．題型五、事件的相互獨(dú)立性一、單選題1．（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測(cè)）投壺是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期較為盛行.如圖為一幅唐朝的投壺圖，假設(shè)甲、乙、丙是唐朝的三位投壺游戲參與者，且甲、乙、丙每次投壺時(shí)，投中與不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壺1次，則這3人中至少有2人投中的概率為（

）A． B． C． D．2．（2024·云南貴州·二模）甲、乙兩人進(jìn)行網(wǎng)球比賽，連續(xù)比賽三局，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.設(shè)乙在第一局獲勝的概率為、第二局獲勝的概率為，第三局獲勝的概率為，則甲恰好連勝兩局的概率為（

）A． B． C． D．3．（2024·全國(guó)·一模）某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼輸入錯(cuò)誤，該銀行卡將被鎖定．某人到銀行取錢(qián)時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的5個(gè)密碼之一，他決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試．若密碼正確，則結(jié)束嘗試，否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定．則他至少?lài)L試兩次才能成功的概率是（

）A． B． C． D．4．（2024·遼寧·一模）猜燈謎是中國(guó)元宵節(jié)特色活動(dòng)之一．已知甲、乙、丙三人每人寫(xiě)一個(gè)燈謎，分別放入三個(gè)完全相同的小球，三人約定每人隨機(jī)選一個(gè)球（不放回），猜出自己所選球內(nèi)的燈謎者獲勝．若他們每人必能猜對(duì)自己寫(xiě)的燈謎，并有的概率猜對(duì)其他人寫(xiě)的燈謎，則甲獨(dú)自獲勝的概率為（

）A． B． C． D．二、填空題5．（2024·天津河?xùn)|·一模）某地區(qū)人群中各種血型的人所占比例如表1所示，已知同種血型的人可以輸血，O型血可以輸給任何一種血型的人，任何人的血都可以輸給AB型血的人，其他不同血型的人不能互相輸血，小明是B型血，因病需要輸血，任找一個(gè)人，其血可以輸給小明的概率為；任找兩個(gè)人，則小明有血可以輸?shù)母怕蕿椋虯BABO該血型的人占比6．（2324高一下·遼寧葫蘆島·開(kāi)學(xué)考試）已知甲、乙、丙三人投籃的命中率分別為0.7，0.5，0.4，若甲、乙、丙各投籃一次（三人投籃互不影響），則至多有一人命中的概率為.三、解答題7．（2024·陜西榆林·二模）藍(lán)莓富含花青素，具有活化視網(wǎng)膜的功效，可以強(qiáng)化視力，防止眼球疲勞，是世界糧農(nóng)組織推薦的五大健康水果之一.截至2023年，全國(guó)藍(lán)?種植面積達(dá)到110萬(wàn)畝，其中云南藍(lán)莓種植面積達(dá)到17.6萬(wàn)畝，產(chǎn)量達(dá)到10.5萬(wàn)噸，是藍(lán)莓鮮果產(chǎn)量第一省.已知甲農(nóng)戶(hù)種植了矮叢藍(lán)莓?高叢藍(lán)莓?兔眼藍(lán)莓3種藍(lán)莓，這3種藍(lán)莓年產(chǎn)量各自達(dá)到1000斤的概率分別為.(1)求這3種藍(lán)莓年產(chǎn)量都達(dá)到1000斤的概率；(2)求這3種藍(lán)莓中至多有1種藍(lán)莓年產(chǎn)量達(dá)到1000斤的概率.題型六、頻率與概率一、單選題1．（2122高二下·廣東佛山·期末）在6月6日第27個(gè)全國(guó)“愛(ài)眼日”即將到來(lái)之際，教育部印發(fā)《關(guān)于做系統(tǒng)2022年全國(guó)“愛(ài)眼日”宣傳教育工作通知》，呼吁青年學(xué)生愛(ài)護(hù)眼睛，保護(hù)視力．眾所周知，長(zhǎng)時(shí)間玩可能影響視力．據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約40%的人近視，而該校大約有30%的學(xué)生每天玩超過(guò)2h，這些人的近視率約為50%．現(xiàn)從每天玩不超過(guò)2h的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則該名學(xué)生近視的概率為（

）A． B． C． D．2．（2324高一上·河南·期末）下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．某種彩票中獎(jiǎng)的概率是，因此買(mǎi)100張?jiān)摲N彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)B．做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率是C．若事件兩兩互斥，則D．任意投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則點(diǎn)數(shù)和是3的倍數(shù)的概率是二、填空題3．（2223高一下·湖南湘西·期末）“鍵盤(pán)俠”一詞描述了部分網(wǎng)民在現(xiàn)實(shí)生活中膽小怕事、自私自利，卻習(xí)慣在網(wǎng)絡(luò)上大放厥詞的一種現(xiàn)象.某地新聞欄目對(duì)該地區(qū)群眾對(duì)“鍵盤(pán)俠”的認(rèn)可程度進(jìn)行調(diào)查：在隨機(jī)抽取的50人中，有15人持認(rèn)可態(tài)度，其余持反對(duì)態(tài)度，若該地區(qū)有9600人，則可估計(jì)該地區(qū)對(duì)“鍵盤(pán)俠”持反對(duì)態(tài)度的有人.三、解答題4．（2023·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）甲?乙兩人準(zhǔn)備參加某電視臺(tái)舉辦的地理知識(shí)搶答賽.比賽規(guī)則為：每輪比賽每人隨機(jī)在題庫(kù)中抽取一道題作答，答對(duì)得1分，答錯(cuò)或不答得0分，最后得分多的獲勝.為了在比賽中取得比較好的成績(jī)，甲?乙兩人在比賽前進(jìn)行了針對(duì)性訓(xùn)練，訓(xùn)練后的答題情況如下表：甲乙練習(xí)題目個(gè)數(shù)120120答錯(cuò)個(gè)數(shù)2420若比賽中每個(gè)人回答正確與否相互之間沒(méi)有影響，且用頻率代替概率.(1)估計(jì)甲?乙兩人在比賽時(shí)答對(duì)題的概率；(2)設(shè)事件“某輪比賽中甲得1分或乙得1分”，求.5．年上半年數(shù)據(jù)顯示，某省某市空氣質(zhì)量在其所在省中排名倒數(shù)第三，(可吸入顆粒物)和(細(xì)顆粒物)分別排在倒數(shù)第一和倒數(shù)第四，這引起有關(guān)部門(mén)高度重視，該市采取一系列“組合拳”治理大氣污染，計(jì)劃到2020年底，全年優(yōu)?良天數(shù)達(dá)到180天.下表是2020年9月1日到9月15日該市的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)，其中空氣質(zhì)量指數(shù)劃分為，，，，和大于六檔，對(duì)應(yīng)空氣質(zhì)量依次為優(yōu)?良?輕度污染?中度污染?重度污染?嚴(yán)重污染.日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日11日12日13日14日15日AQI指數(shù)49741151928012310913810573919077109124PM2.53629761128985403259354559537989PM107686148199158147708312175969063113140（1）指出這15天中PM2.5的最小值及PM10的極差；（2）從這15天中任取連續(xù)2天，求這2天空氣質(zhì)量均為輕度污染的概率；（3）已知2020年前8個(gè)月(每個(gè)月按30天計(jì)算)該市空氣質(zhì)量為優(yōu)?良的天數(shù)約占55%，用9月份這15天空氣質(zhì)量?jī)?yōu)?良的頻率作為2020年后4個(gè)月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)?良的概率(不考慮其他因素)，估計(jì)該市到2020年底，能否完成全年優(yōu)?良天數(shù)達(dá)到180天的目標(biāo).6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）魯班鎖是一種廣泛流傳于中國(guó)民間的智力玩具，相傳由春秋末期到戰(zhàn)國(guó)初期的魯班發(fā)明，它看似簡(jiǎn)單，卻凝結(jié)著不平凡的智慧，易拆難裝，十分巧妙，每根木條上的花紋是賣(mài)點(diǎn)，也是手工制作的關(guān)鍵．某玩具公司開(kāi)發(fā)了甲、乙兩款魯班鎖玩具，各生產(chǎn)了100件樣品，樣品分為一等品、二等品、三等品，根據(jù)銷(xiāo)售部市場(chǎng)調(diào)研分析，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下（單件成本利潤(rùn)率＝利潤(rùn)÷成本）：甲款魯班鎖玩具一等品二等品三等品單件成本利潤(rùn)率10%8%4%頻數(shù)106030乙款魯班鎖玩具一等品二等品三等品單件成本利潤(rùn)率7.5%5.5%3%頻數(shù)503020(1)用頻率估計(jì)概率，從這200件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，求該產(chǎn)品是一等品的概率；(2)若甲、乙兩款魯班鎖玩具的投資成本均為20000元，且每件的投資成本是相同的，分別求投資這兩款魯班鎖玩具所獲得的利潤(rùn)．7．（2122高一上·湖南株洲·開(kāi)學(xué)考試）為響應(yīng)垃圾分類(lèi)處理，改善生態(tài)環(huán)境，某小區(qū)將生活垃圾分成三類(lèi)：廚余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分別記為a，b，c.并且設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱，“廚余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分別記為A，B，C.(1)若小明將一袋分好類(lèi)的生活垃圾隨機(jī)投入一類(lèi)垃圾箱，請(qǐng)寫(xiě)出投放正確的概率；(2)為了了解居民生活垃圾分類(lèi)投放的情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了某天三類(lèi)垃圾箱中總共100噸的生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下（單位：噸）ABCa401010b3243c226①請(qǐng)根據(jù)以上信息，試估計(jì)“廚余垃圾”投放正確的概率；②調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在“可回收垃圾”中塑料類(lèi)垃圾占，每回收1噸塑料類(lèi)垃圾可獲得0.7噸二級(jí)原料，某城市每天大約產(chǎn)生2000噸生活垃圾.假設(shè)該城市對(duì)每天產(chǎn)生的垃圾箱中的垃圾全部分類(lèi)處理，那么按樣本中的投放垃圾與按規(guī)范投放垃圾相比，每月（按30天）流失掉多少?lài)嵥芰项?lèi)垃圾的二級(jí)原料？8．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）2024年甲辰龍年春節(jié)來(lái)臨之際，赤峰市消費(fèi)者協(xié)會(huì)開(kāi)展消費(fèi)環(huán)境建設(shè)基層行活動(dòng)，實(shí)地調(diào)研了甲、乙兩家商場(chǎng)，對(duì)顧客在兩家商場(chǎng)消費(fèi)體驗(yàn)的滿(mǎn)意度進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)調(diào)研，從在甲、乙兩家消費(fèi)的顧客中各隨機(jī)抽取了100人，每人分別對(duì)各自的商場(chǎng)進(jìn)行評(píng)分，滿(mǎn)分均為60分．整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以10為組距分為6組：、、、、、，得到甲商場(chǎng)分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖和乙商場(chǎng)分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表：乙商場(chǎng)分?jǐn)?shù)頻數(shù)分?jǐn)?shù)分布表分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)235154035(1)在抽樣的100人中，求對(duì)甲商場(chǎng)評(píng)分低于30分的人數(shù)；(2)從對(duì)乙商場(chǎng)評(píng)分在范圍內(nèi)的人中隨機(jī)選出2人，求2人評(píng)分都在范圍內(nèi)的概率．(3)如果從甲、乙兩家商場(chǎng)中選擇一家消費(fèi)，你會(huì)選擇哪一家？請(qǐng)說(shuō)明理由．強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率是A． B． C． D．2.算盤(pán)是中國(guó)傳統(tǒng)的計(jì)算工具，是中國(guó)人在長(zhǎng)期使用算籌的基礎(chǔ)上發(fā)明的，“珠算”一詞最早見(jiàn)于東漢徐岳所撰的《數(shù)術(shù)記遺》，其中有云：“珠算控帶四時(shí)，經(jīng)緯三才．”北周甄鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上、下兩部分是停游珠用的，中間一部分是作定位用的．下圖是一把算盤(pán)的初始狀態(tài)，自右向左，分別是個(gè)位、十位、百位…，上面一粒珠（簡(jiǎn)稱(chēng)上珠）代表5，下面一粒珠（簡(jiǎn)稱(chēng)下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小．現(xiàn)在從個(gè)位和十位這兩組中隨機(jī)選擇往下?lián)芤涣Ｉ现椋蠐?粒下珠，得到的數(shù)為質(zhì)數(shù)（除了1和本身沒(méi)有其它的約數(shù)）的概率是（

）A． B． C． D．3．（2223高二上·江蘇南京·開(kāi)學(xué)考試）如圖，用K?A1?A2三類(lèi)不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)K正常工作且A1?A2至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作，已知K?A1?A2正常工作的概率依次是0.9?0.7?0.7，則系統(tǒng)正常工作（

）A．0.441 B．0.782 C．0.819 D．0.94．某地天氣預(yù)報(bào)中說(shuō)未來(lái)三天中該地下雪的概率均為0.6，為了用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)未來(lái)三天中恰有兩天下雪的概率，用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生之間的隨機(jī)整數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1，2或3時(shí)，表示該天下雪，其概率為0.6，每3個(gè)隨機(jī)數(shù)一組，表示一次模擬的結(jié)果，共產(chǎn)生了如下的20組隨機(jī)數(shù)：則據(jù)此估計(jì)該地未來(lái)三天中恰有兩天下雪的概率為（

）A． B． C． D．5.中國(guó)古典樂(lè)器一般按“八音”分類(lèi)．這是我國(guó)最早按樂(lè)器的制造材料來(lái)對(duì)樂(lè)器進(jìn)行分類(lèi)的方法，最先見(jiàn)于《周禮?春官?大師》，分為“金、石、土、革、絲、木、匏（páo）、竹”八音．其中“金、石、木、革”為打擊樂(lè)器，“土、匏、竹”為吹奏樂(lè)器，“絲”為彈撥樂(lè)器，現(xiàn)從“金、石、土、革、絲、木”任取“兩音”，則“兩音”同為打擊樂(lè)器的概率為（）A． B． C． D．6.（2324高一下·江西·開(kāi)學(xué)考試）現(xiàn)有張完全相同的卡片，分別寫(xiě)有字母、、、、，從中任取一張，看后再放回，再任取一張.甲表示事件“第一次抽取卡片的字母為”，乙表示事件“第二次抽取卡片的字母為”，丙表示事件“兩次抽取卡片的字母相鄰”，丁表示事件“兩次抽取卡片的字母不相鄰”，則（

）A．乙與丁相互獨(dú)立 B．甲與丙相互獨(dú)立C．丙與丁相互獨(dú)立 D．甲與乙相互獨(dú)立7.（2324高二下·上海青浦·階段練習(xí)）袋子中有大小和質(zhì)地相同的12個(gè)小球，分別為紅球、黃球、綠球、黑球，從中任取一個(gè)球，得到紅球的概率是，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率是，問(wèn)得到黃球的概率是（

）A． B． C． D．8．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有（

）（1）擲一枚質(zhì)地均勻的的骰子一次，事件M=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，N=“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”.則和相互獨(dú)立；（2）袋中有大小質(zhì)地相同的3個(gè)白球和1個(gè)紅球.依次不放回取出2個(gè)球，則“兩球同色”的概率是；（3）甲乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶率為0.8，乙的中標(biāo)率為0.9，則“至少一人中靶”的概率為0.98；（4）柜子里有三雙不同的鞋，如果從中隨機(jī)地取出2只，那么“取出的鞋不成雙”的概率是；A． B．2 C．3 D．4二、多選題9．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的紅袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么下列事件中關(guān)系正確的是（

）A．“至少有一個(gè)紅球”與“都是白球”是對(duì)立事件B．“至少有一個(gè)白球”與“至少有一個(gè)紅球”是互斥事件C．“恰好有一個(gè)白球”與“恰好有2個(gè)白球”是互斥事件D．“都是紅球”與“都不是紅球”是對(duì)立事