模塊十一:數列

1、數列的概念

(1)數列的定義

一般地,我們把按照確定的順序排列的一列數稱為數列

(sequenceofnumber),數列中的每一個數叫做這個數列的

項.數列的第一個位置上的數叫做這個數列的第1項,常用

符號內表示，第二個位置上的數叫做這個數列的第2項，

用表示……第n個位置上的數叫做這個數列的第n項，

用an表示.其中第1項也叫做首項.

說明：

1.數列具有有序性,一個數列不僅與構成數列的"數”有關,而且與這些數的排列順

序有關,注意與集合中元素的無序性區分開來.

2、數列的項具有可重復性，數列中的數可以重復出現，這要與集合中元素的互異性

區分開來.

3、注意｛an｝與an的區別:｛%J表示數列整體:的，。2,…，…；％t表示數列｛an)中

的第n項.

4.數列與函數的關系:數列｛%J是從正整數集N*(或它的有限子集｛1,2,3,…,必)到

實數集R的函數，其自變量是序號n,對應的函數值是數列的第九項即，記冊=

/(H)，即當自變量從1開始，按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數值就

是數列｛an｝，另一方面，對于函數y=/(%)，如果/(n)(nGN*)有意義，那么，

/(1),/(2),/(3),…J5),…,構成一個數列｛//)｝.

2、數列的分類

用項的關系式哀示

用項的關系式表示

用項的關系式表示

用項的關系式表示

3、數列的通項公式

如果數列｛%J的第九項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，

那么這個式子叫做這個數列的通項公式.

說明:數列的通項公式實際上是一個定義域比較特殊的函數的解析式，即an=f(n),

通項公式中的n取不同的值,可以得到數列的項.

4、數列的遞推公式

如果一個數列｛%J的相鄰兩項或者多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這

個式子就叫做數列｛an)的遞推公式.

說明：(1)不是所有的數列都有遞推公式(2)遞推公式是給出數列的一種方法.遞推

公式和數列的通項公式一樣,都是關于項的序號n的恒等式，如果用符合要求的正整

數依次去替換n，就可以求出數列的各項.

(3)數列的表示方法:通項公式法;列表法；圖象法;遞推公式法.

5、數列的前幾項和。溫馨提示

an^Sn-Sn_1不是對一切正L概念:數列｛%J從第1項起到第n項止的各項之和,

稱為數列整數n都成立，而是對n>2｛an)的前n項和，記作Sn，即Snar+a2+

…■I-an.

的一切正整數n恒成立，因為如果數列｛an)的前n項和Sn與它的序號n之間的對

應關系當九=1時,Sn-Sn一無意義.因可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做

這個數列的前n項此，由前n項和Sn求通項公式an=/(九)時,要分九=1與n22

和公式.

兩種情況,注意驗證兩種情形2.冊與Sn的關系：%=整1'九；L曾>?能否用同一

一3九一1，九—乙

式子表示,若不能，則將an用分段形式表示.

6、數列的函數性質

(1)數列單調性的判斷方法：

(1)轉化為函數，借助函數的單調性研究數列的單調性，如:數列｛%J的通項公式為

加=M一九+1,考察函數y=/-久+1在C，+8)上為增函數,則數列｛%J為單

調遞增數列.

(2)利用定義判斷作差(作商)比較法，比較an+1與an的大小，從而判斷數列｛an)的

單調性.

2

例：已知數列｛冊｝滿足an=n+An(nGN*)，若數列｛%J為遞增數列,則實數A的

取值范圍是(2)數列的最大項與最小項

(1)借助數列的單調性研究數列的最大項與最小項.

⑵利用CW+：522)求數列的最大項;利用《;或:+：(心2)求

數列5｝的最小項.

例：已知數列｛%J的通項公式是an-(n+2)xG)(nEN*)，試問數列｛%J中有

沒有最大項？若有,求出最大項和相應的項數;若沒有,說明理由.

7、等差數列與等比數列對比

等差數列等比數列

定

義

公

1.NS!■CL=2,Sn=

式n

性

質1.a,b,c成等差數列=>稱b為a與c1.a,b,c成等比數列=>稱b為a

的等差中項2,若m+九=p+q,則與c的等比中項2.若租+九=p+q,則

8、證明數列為等差數列的方法：

(1)定義法:an-冊_1=d(d為常數,n>2)?｛%J為等差數列；

(2)中項法:2an+1=an+an+2<=>｛an］為等差數列;

(31通項法:冊為九的一次函數0｛an］為等差數列；

2

(4)前n項和法:Sn=An+Bn或S兀=迎詈2。

9、等差數列的性質：

(1)在等差數列中，若m+n=p+kam+an=ap+ak(jn>n、p、kEN+)。

(2)在等差數列｛冊｝中，以、a2k,Q3k、*八…仍為等差數列,公差為

(3)若｛冊｝為等差數列，則品、S2k-Sk.S3LS24…仍為等差數列，公差為k2do

_________________________^2k_________________________

+。2+。3+…+耿+G/C+1++a2k+a2k+l+…+a3k

Sks2k~sks3k~s2k

⑷等差數列的增減性:d>0時為遞增數列，且當的<0時前n項和Sn有最小值。

(5)等差數列｛an｝的首項是的,公差為d0

2

若其前n項之和可以寫成Sn—An+Bn,則A==%—g,當dH0時它表示

2

二次函數數列｛%J的前n項和Sn=An+Bn是［an｝成等差數列的充要條件。

10、對等差數列前n項和的最值問題的三中方法：

(1)利用即:西當的>0,d<0,前幾項和有最大值，可由與工0且an+1<0，求得n

的直

(2)當的<0,d>0,前幾項和有最小值，可由即W0且an+1>0，求得n的值。

注意:求Sn的最值時，當冊=0時幾取兩個值。

(2)利用Sn:由%=9層+(%—9九利用二次函數配方法求得最值時n的值。

(3)利用函數的單調性

11、等比數列的判定與證明方法：

(1)定義法:若如i=q(neN+，qH0)或?-=q(n>2,nEN,q0)，則｛%J是

anan-l+

等比數列。

(2)等比中項法:若數列｛4｝中,即H0且a"1=an-an+2(jiE7V+)，則｛%J是等比

數列。

(3)通項公式法:若數列通項公式可寫成an-c-q%0,q0,nE7V+)，則是

等比數列。

12、等比數列的性質

(1)等比中項:如果在a與b中間插入一個數G,使a、G、b成等比數列，那么稱這個

數G為a與b的等比

中項。即G=±VaF(a>b同號%

(2)等比中項的性質：

(1)。九一。九-1,(幾—2);a九一*。九+左(">k>0);

(2)若m+n=p+々，則?。九二即?以。

(3)數列｛aj首項是的,公比為%,數列｛,｝首項為瓦，公比為Q2，則數列｛冊?%｝

是首項為的?瓦,公比為qi-q2的等比數列，同理數列｛署是首項為黃，公比為差的

等比數列。"1"

a

(4)在公比為q的等比數列｛%J中，數列am,c1m+八a?n+2k、m+3k…仍是等比數

列。

(5)公比為qt數列品、S2k-Sk.S3k—S2k、…仍是等比數列(此時qH—l)。

S2k

aa

ar+a2+a3-\----cck+ak+1H-----Fa2k+2k+i+…+3k

Sks2k~sks2k~s2k

13、遞推數列的類型以及求通項方法總結：

(1)定義法:等差數列的通項公式:an-ar+(n-l)d或=<2瓶+(九一m)d0

n-1nm

等比數列的通項公式:冊=%?(7(a1-q0)an-am-q~(n>m)

na

(2)做差法：由冊與%(即的+a2T■…+an=/())的關系求an>n=

伍，n-1

(Sn-Sn_i，n>2°

(3)累加法：由an+1-an-f(n)求an,an=(an-an_1)4-(an_1-an_2)H"…+

(a2一%)+?!(?!>2)o

⑷累乘法：已知皿=汽n)求通項冊,即=W??的⑺22)。

anan-lan-2al

(5)已知遞推關系求樂用構造法(構造等差、等比數列)：

形如an+1-pan+f(n)，只需構造數列｛小｝,消去/'(n)帶來的差異,/(九)的形式有:

(1)f(n)為常數，即遞推公式為an+1-pan+q(其中p、q均為常數且pq(p-1)H

0)o

解法:先設參轉化為an+1+丸=p(an+A)，其中A=吉，再利用換元法轉化為等比

數列求解。0

(2)f(n)為一次多項式，即遞推公式為an+1-p-an+r-n+s0

2

(3)f(n)為n的二次式,則可設bn=an+An+Bn+Co

n

遞推公式為an+1-p-an+q(其中p、q為常數且pq(p-l)(q-1)H0)或

n

an+1-p-an+r-q(其中p、q、r君常數)。

解法:一般地要先在原遞推公式兩邊同除以qn+1,得:鬻=??號+二引入輔助數列

qn+1qqnq

也｝(其中.=符，得:刈+1巧4+5，再應用類型⑴的方法解決。

遞推公式為an+2=p-an+1+q-an(其中p、q均為常數)。

解法:先把原遞推公式轉化為an+2-s?an+1=t(an+i-s-an')，其中s、t滿足

篦丁，解出s、》，于是

(an+1-san)是公比為t的等比數列，就轉化為前面的類型。形如an=或

?n-i-b-an^k-an-an_1的遞推數列都可以用倒數法求通項。」

形如即+1=p?成型，該類型是等式兩邊取對數后轉化為前邊的類型，然后再用遞推

法或待定系層構造等比數列求通項。兩邊取對數IgCln+l=lg(P-An)=IgP+丁?

lgan，設%=lg%t,原等式變為%+i=r?bn+Igp即爰為基本型。14、數列的求和

方法：

(1)等差數列求和:Sn="迦=刖=71al+也押；SM+聯=Sm+

Sn+mndo

nar(Q=1)

(2)等比數列求和:Sn=卜式…)=.。1一。"r,；^m+n=++

、1-q-1-q〈I)

q"m。

(3)分組求和法：把數列的每一項分成幾項使其轉化為幾個等差、等比數列，再求和。

對于求\an\的前幾項和的問題一般都是分類討論。

(4)倒序求和法:將數列的順序倒過來排列,與原數列兩式相加,若有公因式可提,并

且剩余項的和易于求出,這樣的數列可用倒序相加法求和。

(5)裂項相消法:就是把數列的各項分裂成兩項之差,相鄰的兩項彼此相消，只余有限

幾項,就可以化簡后求和。適用條件：

(1)[^―]其中｛%J是各項不為0的等差數列,c為常數，可拆解為=

^-anan+l^anan+l

(2)部分無理數列=-(Van+1~瘋0。

(6)一些常用的裂項公式：

⑴]二_.⑵」一=_________="二______M?

I)n(n+l)nn+1'1J4n2-l(2n-l)(2n+l)2\2n-l2n+lJ'

(3)—=-f---);(4);「=VnTT-Vn;(5);(6)

iJn(n+2)2\nn+2/'Jy/n+l+y/nvJn(n+k)k\nn+kj'J

_____i_____二M____________1

n(n+l)(n+2)2Ln(n+1)(n+1)(n0+2)J°

(7)常見放縮公式：

⑴2(訴了1一加=焉赤<2<赤磊與=2(的一詬[1)；

(2)/〈含皂居:一言)；

')kk+1fc(fc+l)k2fc(fc-l)k-1k'

(8)錯位相減法:主要用于一個等差數列與一個等比數列對應項相乘得的新數列求

和。(9)周期法:有的數列是周期數歹U,把握了數列的周期則可順利求和。

【重要方法總結】

1、特殊遞推數列求通項公式

數列數列通項公式

2

_ac1rl+b不動點遞推法.令:an+1-an-x，即ex-(a—d)x-b-0;

an+1

~can+d解出兩個根為%6.(1)當aH0時，■f=k學(k=

號l)，數列｛腎｝是以告!為首項，k%公比的W比數列(2)

當a=0時,=」+k(k=—)，數列｛—)是以

an+1-aan-a\ac+d/Van-a)

上為首項,k為公差的等差數列.

ar—a

即+i=P&+(1)當p+q=1時,冊=a+(人到―…].(2)當p+q。1

qanT—、i+Q

a=aa

a,a2=b時，設&i+i—仇“九二夕(。九一打狐一i)與n+lPn+Qn-1比

較，得｛;1『匚:，可知:a,6是方程x2-px-q^0的兩根’

容易求得a,0.當aH0時，特征根解方程法:令％t=久?a71+

數列數列通項公式

n

y?0，將alta2代入即可.當a=0時，特征根解方程法:令即=

n

(xn+y)a，將a1(a2代入即可.

Fn=Fn-1+Fn-2(1)定義:一個數列,前兩項都為1,從第三項起,每一項都是前兩

尸0=a=1斐波項之和.⑵通項公式:Fn=/(竽y-(H]⑶性質：

那契數列（黃金分

割數列）憂+諼+-->W=anan+l

aa

n+l~Pn+(1)當p+q=1時,an+1-an--q(,an-an_^+A，繼續構造

qan-i+Aa-^—法，迭加法求出冊.(2)當p+q。1時，設an+1-aan=

CL=b2

f0(an-aa^i)+Aa,p是方程x-px-q-0的兩根，容易求

nn

得a,0.當aH0時,特征根解法:an-x-a+y-p+z，代入

n

a1,a2,&3可解.當a=0時，特征根法:an=(xn+y)a+z，代

入alta2,a3可解.

周期數列數列｛%J滿足:a=a-a(nEN,)、a=如^⑺>3)

n+2n+1nnan-l

則是周期為6的數列,計算出前6個數列值,整個數列就都

知道了.

3、幾個特殊數列的和

自然數列的和：1+2+3+4+……+九=的!西

平方數列的和：1+22+324-42+....+n2--n(n+l)(2n4-1)

6

立方數列的和：1+23+33+43+……+小=件受平

奇數列的和：1+3+5+....+(2n-1)=n2

4、裂項求和中的方法

(1)適用條件:適用于題目所給數列通項結構為分式形式的數列求和.

(2)核心步驟:需把題目所給數列通項結構進行列項.其中:k=抖

大分母一小分母

列項公式:小分母X大分母=k(小分母-大分母)

(3)常見放縮方式：

(1)形如(n+i)2，常放縮為n(n+1)>(n+i)2-(n+i)(n+2)；

⑵形如備，常放縮為關，譬如《〉念之藐W

(3)形如而彳，常放縮為赤??赤+后I

【課本優質習題匯總】

新人教A版選擇性必修二P9

4.已知數列｛%J的第1項是1,第2項是2,以后各項由an=an_i+an_2(n>2)給

出.

(1)寫出這個數列的前5項；

(2)利用數列｛%J，通過公式刈=皿構造一個新的數列

an

13610

,口

I4

15

(第5題)

[bn]，試寫出數列｛%｝的前5項.

5.傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家用沙粒和小石子來研究數.他們根據沙粒或

小石子所排列的形狀把數分成許多類，如圖中第一行的1,3,6,10稱為三角形數，第二

行的1,4,9,16稱為正方形數，第三行的1,5,12,22稱為五邊形數.請你分別寫出三角

形數、正方形數和五邊形數所構成的數列的第5項和第6項.

6.假設某銀行的活期存款年利率為0.35%,某人存人10萬元后,既不加進存款也不

取款,每年到期利息連同本金自動轉存.如果不考慮利息稅及利率的變化用an表示

第九年到期時的存款余額，求的,<22，&3及an.

新人教A版選擇性必修二P9

7.已知函數/(%)=eR)，設數列｛時｝的通項公式為an=/(n)(nGN*).

⑴求證an>|.

(2)是遞增數列還是遞減數列？為什么？

新人教A版選擇性必修二P18

3.在等差數列｛an｝中,冊=科=九,且nHm,求am+n.新人教A版選擇性必修

二P23

5.已知一個等差數列的項數為奇數,其中所有奇數項的和為290,所有偶數項的和為

261.求此數列中間一項的值以及項數.

新人教A版選擇性必修二P23

5.已知數列｛an)的通項公式為an=梟，前n項和為S0.求右取得最小值時n的

值.”

新人教A版選擇性必修二P25

3.(1)求從小到大排列的前71個正偶數的和.

(2)求從小到大排列的前n個正奇數的和.

(3)在三位正整數的集合中有多少個數是5的倍數？求這些數的和.

⑷在小于100的正整數中,有多少個數被7除余2這些數的和是多少？

新人教A版選擇性必修二P25

5.已知一個多邊形的周長等于158cm，所有各邊的長成等差數列，最大的邊長為

44cm，公差為3cm.求這個多邊形的邊數.

6.數列｛aj｛%｝都是等差數列，且?i=5,瓦=15,a1004-b100—100,求數列

(an+bn｝的前100項的和.

7.已知Sn是等差數列｛即｝的前n項和.

(1)證明｛事｝是等差數列；

(2)設Tn為數列閨的前n項和，若S4=12,S8=40,求九

8.已知兩個等差數列2,6,10,…,190及2,8,14,…,200，將這兩個等差數列的公共項按

從小到大的順序組成一個新數列.求這個新數列的各項之和.

新人教A版選擇性必修二P26

12.如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為

“三角垛"."三角垛”的最上層有1個球,第二層有3個球，第三層有6個球……設各層

球數構成一個數列.

(1)寫出數列｛an｝的一個遞推公式；

*(2)根據(1)中的遞推公式，寫出數列｛an)的一個通項公式.

糜

新人教A版選擇性必修二P34

5.已知數列｛%J的通項公式為an=a，求使an取得最大值時n的值.

新人教A版選擇性必修二P37

2.已知aWb,且abW0,對于幾GN*,證明：

a九+i_5九+1

a71+an~1b+an-2b2+???+abn~r+bn=----------：-----.

a-b

5.如果一個等比數列前5項的和等于10,前10項的和等于50,那么這個數列的公

比等于多少？

新人教A版選擇性必修二P40

1.一個乒乓球從1m高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度都是原來高度的

0.61倍.

(1)當它第6次著地時,經過的總路程是多少(精確到1cm)?

(2)至少在第幾次著地后，它經過的總路程能達到400cm?

新人教A版選擇性必修二P41

3.求和：

(1)(2-3X5-1)+(4-3X5-2)+…+(2九—3X5—);

(2)1+2%+3x2+—Fnxn-1.

新人教A版選擇性必修二P41

5.已知S*是等比數列｛%J的前n項和,S3，Sg,S6成等差數列.求證:a2,as,a5成等差

數列.

6.求下列數列的一個通項公式和一個前n項和公式：

1,11,111,1111,11111,-??

7.已知數列｛an｝的首項的=1,且滿足an+1+冊=3X.

⑴求證:5-2町是等比數列.

(2)求數列的前n項和Sn.

8.若數列｛七｝的首項的=1，且滿足an+1=2an+1,求數列的通項公式及前

10項的和.

9.在流行病學中，基本傳染數Ro是指在沒有外力介人，同時所

對于Ro>1，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者,以控制傳染源,切斷傳

播途徑.

有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數.Ro一般由疾病的感染周

期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定.假設某種傳染

病的基本傳染數&=3.8，平均感染周期為7天，那么感染人數由1個初始感染者增

加到1000人大約需要幾輪傳染？需要多少天？(初始感染者傳染Ro個人為第一輪

傳染，這Ro個人每人再傳染Ro個人為第二輪傳染……)

10.已知數列｛an｝為等比數列,臼=1024，公比q=之.若7；是數列｛an)的前n項

積，求Tn的最大值.

1L已知數列｛&J的首項的=2且滿足an+i=

52Cl九T1

⑴求證:數列｛￡-1］為等比數列.

(2)若工+工+工+,一+二＜100，求滿足條件的最大整數n.

aaa

i。23n

12.已知數列｛%｝為等差數列,%=1,。3=2/+1,前n項和為s…數列｛%｝滿足

%.求證:

n

(1)數列｛%｝為等差數列；

(2)數列｛an｝中的任意三項均不能構成等比數列.

新人教A版選擇性必修二P55

(2)《萊因德紙草書》(RhindPapyrus)是世界上最古老的數學著作之一.書中有一

道這樣的題目,請給出答案:把100個面包分給5個人,使每人所得面包個數成等差

數列,且使較大的三份之和的巳是較小的兩份之和，則最小的一份為().

(A)|(B)三?|(D)3

(3)如圖是瑞典數學家科赫在1904年構造的能夠描述雪花形狀的圖案.圖形的作法

是:從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份,然后以各邊的中間一段為底邊分別

向外作正三角形,再去掉底邊.反復進行這一過程,就得到一條“雪花”狀的曲線.設原

正三角形(圖(1)的邊長為1,把圖(1)、圖(2)、圖(3)中圖形的周長依次記為

&。2,。3,品，則品=().(A)等(B瑞(C)g(D)翳

(1)(2)(3)(4)

(第3(3)題)

新人教A版選擇性必修二P56

10.任取一個正整數，若是奇數,就將該數乘3再加上1;若是偶數,就將該數除以2.

反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進人循環圈這就是數

學史上著名的“冰雹猜想"(又稱“角谷猜想”等).如取正整數租=6，根據上述運算

法則得出6-3-10-5-16-8-4-2-1,共需經過8個步驟變成1(簡稱

為8步“雹程”).

現給出冰雹猜想的遞推關系如下：

口加料加“1、產甲r4,T敕粘、(半，當時為偶數時，

2

已知數列滿足:%-m(m為正整數),an+1=｛

(3an+1,當即為奇數時

⑴當租=17時，試確定使得an=1需要多少步看程；

(2)若@8=1,求租所有可能的取值集合M.

11,已知等差數列｛an)的前幾項和為％,且S4=4s2,a2n=2an4-l(neN*).

(1)求數列｛an)的通項公式；

n

(2)若“=3t，令cn=anbn，求數列｛”｝的前n項和Tn.

12.已知等比數列｛an)的前n項和為Sn，且an+1=2Sn+2(nGN*).

(1)求數列｛an)的通項公式.

(2)在冊與an+1之間插入n個數，使這n+2個數組成一個公差為dn的等差數列，

在數列K｝中是否存在3項dm,dk,dp(其中m,k,p成等差數列)成等比數列？若存

在,求出這樣的3項;若不存在,請說明理由.

新人教A版選擇性必修二P56

13.類比等差數列和等比數列的定義、通項公式、常用性質等,發現它們具有如下的

對偶關系：只要將等差數列的一個關系式中的運算"十"改為"x一"改為“"，正整

數倍改為正整數指數幕，相應地就可得到等比數列中一個形式相同的關系式,反之

也成立.

（1）根據上述說法,請你參照下表給出的信息推斷出相關的對偶關系式；

稱

等差數列｛%J等比數列｛%｝

定

。九+

義1=d

通

nm

項bn=瓦qZ=bmq-

公

式

常

用(1)+an—a2+o-n-x—+CLn_2—t??(1)(2)(3)若m+n—k+

性(2)a_+a=2a(n>k)(3)(4)

nkn+kn(m,n,k,lGN*),則bnbm=

質□1+0.2+…+Q-ri~］屹1+bM(4)

（2）在等差數列｛%J中，若a2018=0，則有

%+++CLn=a1+a2++&4035-71（九CN*,Tl<4035）.

相應地，在等比數列也｝中，若b2019=1，請你類比推測出對偶的等式,并加以證明.

新人教A版選擇性必修二P57

14.在2015年蘇州世乒賽期間,某景點用

（第14題）

乒乓球堆成若干堆“正三棱雉”形的裝飾品,其中第1堆只有1層，就一個球;第

2,3,4,…堆最底層（第一層）分別按圖中所示方式固定擺放,從第二層開始,每層的小

球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個乒乓球.記第n堆的乒乓球總數為

f(n).

(1)求出/(3);

(2)試歸納出f(n+1)與f(n)的關系式,并根據你得到的關系式探求f(n)的表達式.

參考公式:I2+22+—\-n2--n(n+l)(2n+1).新人教A版選擇性必修二P57

6

15.有理數都能表示成：(租,71eZ,且nH0,TH與律互質)的形式，進而有理數集Q=

｛引犯"eZ,且”0,租與n互質｝.任何有理數;都可以化為有限小數或無限循

笳小數.反之，任一有限小數也可以化為友的形式而是有理數;那么無限循環小數

n

是不是有理數？思考下列問題：

(1)1.2是有理數嗎？請說明理由.

(2)1,24是有理數嗎？請說明理由.

16.平面上有九5eN,"23)個點，其中任何三點都不在同一條直線上.過這些點中

任意兩點作直線,這樣的直線共有多少條？證明你的結論.

*17.數學歸納法還有其他變化形式,例如,將數學歸納法中的第(1)步保持不變,第

(2)步改為“以"當n0<n<k｛kEN*,k>n0)時命題成立'為條件，推出‘當n=k+

1時命題也成立；也可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立.這種證明

方法稱為第二數學歸納法.試用第二數學歸納法證明如下命題：

若數列｛乳｝滿足F1=1,F2=1,0=Pn-1+Fn_2(n>3,nEN*)(｛片｝稱為斐波那

契數列)，則其通項公式為片=同代回f-(DJ.

新人教B版選擇性必修三P8

(5)已知函數/(%)=矢H設數列｛%J的通項公式為an-f(n)，其中neN+.

(1)求證:1Wtin<2；

(2)判斷是遞增數列還是遞減數列,并說明理由.

(4)已知數列的通項公式為即="+2n，則168是不是這個數列中的項？如果

是,求出是第幾項;如果不是,說明理由.

(4)古希臘的畢達哥拉斯學派將1,3,6,10等數稱為三角形數，因為這些數目的點總可

以擺成一個三角形,如下圖所示.把所有的三角形數按從小到大的順序排列,就能構

成一個數列｛an｝，寫出a5,a6以及an.

(第4題)

新人教B版選擇性必修三P

(2)已知數列的前n項和為S"=M一正,求｛an｝的通項公式.

⑷如圖，已知直線=%與曲線C：y=0，設Pi為

(第4題)

曲線C上橫坐標為1的點過P1作無軸的平行線交［于＜22,過Q2作X軸的垂線交曲

線。于「2；再過22作無軸的平行線交［于＜?3，過＜23作X軸的垂線交曲線C于

P-3...設點…，2,…的縱坐標分別為0-1,&2,…,冊,…，試求數列｛%J的前兩

項以及遞推關系.新人教B版選擇性必修三P15

(3)已知數列｛an)的通項公式為an=需，它的前30項中最大項是第幾項？最小

項是第幾項？''

(4)已知函數/(x)=￡詈，構造數列an-f(n).

(1)求證:an＞—2;

(2)數列｛an｝是遞增數列還是遞減數列？為什么？

(5)寫出數列1,2,2,4,3,8,4,16,5,…的一個通項公式.

(6)已知數列［an］中，前n項和S"=等，求｛an｝的通項公式.新人教B版選擇性必

修三P22

(4)已知安裝在一個公共軸上的5個皮帶輪的直徑成等差數列，其中最大的與最小

的皮帶輪的直徑分別為216mm與120mm,求中間3個皮帶輪的直徑.

已知一個無窮等差數列的首項為由,公差為d.

(1)將數列的前m項去掉，其余各項依次構成的數列是等差數列嗎？如果是,它的首

項與公差分別為多少？

(2)取出數列中的所有序號是奇數的各項，依次構成一個新的數列,這個數列是等差

數列嗎？如果是,它的首項與公差分別為多少？

(3)取出數列中的所有序號是7的倍數的各項，依次構成一個新的數列,這個數列是

等差數列嗎？如果是,它的首項與公差分別為多少？

新人教B版選擇性必修三P27

等差數列14,11,8,...前多少項的和最大？為什么？

在兩位數的正整數中,有多少個除以3余1的數？求它們的和.

(4)已知一個凸n邊形內角的度數按從小到大構成等差數列，且最小角為40。,公差

為20。,求n的值.新人教B版選擇性必修三P27

如果一個三角形的3個內角的度數成等差數列,這個三角形3個內角的大小能確定

嗎？你能得到什么結論？

(2)已知等差數列｛%J中,d=-5,a10=-2，求這個數列前8項的和.

(2)記等差數列｛an)的前n項和為S…已知S。<0,Slo>0，則此等差數列的前多少

項和最小？

(4)在等差數列中，已知&3+=6，求S13.新人教B版選擇性必修三P28

如果一個三角形的3個內角的度數成等差數列,這個三角形3個內角的大小能確定

嗎？你能得到什么結論？

(2)已知等差數列｛冊｝中,d=-5,a10=-2，求這個數列前8項的和.

(2)記等差數列｛冊｝的前n項和為Sn,已知S。<0,Si0>0，則此等差數列的前多少

項和最小？

(4)在等差數列｛an｝中，已知a3+a》=6,求S13.

(3)已知函數/(n)=|n-l|+|n-2|+|n-3|-f■…+\n-20|淇中律是自然數.

(1)分別計算/(1),/(5)/(20)的值；

(2)當n為何值時,/(九)取得最小值？最小值是多少？

(2)我國古代數學名著《算法統宗》中說:九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏;次第每

人多十七,要將第八數來言;務要分明依次第，孝和休惹外人傳.說的是，有996斤棉

花要贈送給8個子女做旅費,從第1個孩子開始,以后每人依次多17斤,直到第8

個孩子為止……你能根據這些信息算出每人分得了多少棉花嗎？

新人教B版選擇性必修三P36

當等比數列的首項與公比滿足什么條件時，這個數列是遞增數列？

n

(4)求證:{an)為等比數列的充要條件是an=kq，其中都是不為0的常數.

下圖(1)是一個邊長為1的正三角形,將每邊3等分,以中間一段為邊向外作正三角

形，并擦去中間一▲段，得圖(2),如此繼續下去，得圖⑶……試求第九個圖形的周長和面

*

*

⑴⑵⑶

新人教B版選擇性必修三P42

(1)計算.

(110.9+0.99+0,999+…+0,999--9;

lnT9

(2)(a-1)+(a?-2)+…+(a"—n),aH0,aeR.

如果一個等比數列前5項的和等于10,前10項的和等于50,那么這個數列前15

項的和等于多少？

(3)已知等比數列的首項為-1,前n項和為,如果羋=蕓，求S8.

新人教B版選擇性必修三P42

(4)已知數列｛%J的前n項和為Sn，點O,S。在函數y=2—2x3"的圖象上，求數

列｛an)的通項公式.

我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題:遠望巍巍塔七層，紅光點點倍力口增,

共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈？意思是,一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩

層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍,求塔頂層燈的數目.你能求出來嗎？

新人教B版選擇性必修三P43

(2)求a,+02b2與4+a2b2(其中abH0)的等比中項.

已知一個正三角形邊長為a,以此正三角形的高為邊作第2個正三角形，以此類推繼

續作正三角形.求前10個正三角形的周長之和.

(3)設｛aj是等比數列，且an>0，證明數列｛lg%J是等差數列,并求出這個等差數

列的首項與公差.新人教B版選擇性必修三P44

⑹設Sn是等差數列｛an｝的前n項和，已知扣3與打4的等比中項為力5，且

與的等差中項為1,求｛%J的通項公式.

(2)已知等比數列｛a"的前n項的積為Tn,WflTn=a1a2a3an_ran，又已知a1=

4,q=，求此，及7；的最大值.

新人教B版選擇性必修三P44

(1)求1x2+2x22+3x23+…+九x2rl的值.

(2)在數列｛an｝中,Sn+1=40n+2,%=1.

(1)設%=an+1-2斯,求證:數列｛%｝是等比數列；

(2)設“=聚，求證:數列｛%｝是等差數列；

(3)求數列｛an)的通項公式及前n項和公式.

(2)設數列｛冊｝的前n項和為Sn,若對于任意的正整數都有Sn