云南省昌寧一中2025屆高三下學期第八次模擬考試數學試題試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合（），若集合，且對任意的，存在使得，其中，，則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是（）A． B． C． D．2．已知復數是純虛數，其中是實數，則等于（）A． B． C． D．3．已知分別為圓與的直徑，則的取值范圍為（）A． B． C． D．4．已知定義在R上的偶函數滿足，當時，，函數（），則函數與函數的圖象的所有交點的橫坐標之和為（）A．2 B．4 C．5 D．65．已知定義在上的奇函數，其導函數為，當時，恒有．則不等式的解集為（）．A． B．C．或 D．或6．在中，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．函數在上的圖象大致為()A． B．C． D．8．已知雙曲線的一條漸近線為，圓與相切于點，若的面積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．已知角的終邊經過點,則A． B．C． D．10．設，且，則（）A． B． C． D．11．函數的部分圖象如圖所示，已知，函數的圖象可由圖象向右平移個單位長度而得到，則函數的解析式為（）A． B．C． D．12．“學習強國”學習平臺是由中宣部主管，以深入學習宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內容，立足全體黨員?面向全社會的優質平臺，現日益成為老百姓了解國家動態?緊跟時代脈搏的熱門?該款軟件主要設有“閱讀文章”?“視聽學習”兩個學習模塊和“每日答題”?“每周答題”?“專項答題”?“挑戰答題”四個答題模塊?某人在學習過程中，“閱讀文章”不能放首位，四個答題板塊中有且僅有三個答題板塊相鄰的學習方法有（）A．60 B．192 C．240 D．432二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，棱長為2的正方體中，點分別為棱的中點，以為圓心，1為半徑，分別在面和面內作弧和，并將兩弧各五等分，分點依次為、、、、、以及、、、、、．一只螞蟻欲從點出發，沿正方體的表面爬行至，則其爬行的最短距離為________．參考數據：；；）14．已知拋物線的對稱軸與準線的交點為，直線與交于，兩點，若，則實數__________．15．的展開式中，的系數是______.16．已知數列滿足對任意，，則數列的通項公式__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數，（1）當，，求不等式的解集；（2）已知，，的最小值為1，求證：.18．（12分）如圖，在四棱錐中，側面為等邊三角形，且垂直于底面，，分別是的中點.（1）證明：平面平面；（2）已知點在棱上且，求直線與平面所成角的余弦值.19．（12分）已知，均為正數，且.證明：（1）；（2）.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，是棱上的一點，滿足平面.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）設，，若為棱上一點，使得直線與平面所成角的大小為30°，求的值.21．（12分）如圖，在三棱柱中，平面，，且.（1）求棱與所成的角的大小；（2）在棱上確定一點，使二面角的平面角的余弦值為.22．（10分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為：（其中為參數），直線的參數方程為（其中為參數）（1）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求曲線的極坐標方程；（2）若曲線與直線交于兩點，點的坐標為，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

根據題目中的基底定義求解.【詳解】因為，，，，，，所以能作為集合的基底，故選：C本題主要考查集合的新定義，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.2．A【解析】

對復數進行化簡，由于為純虛數，則化簡后的復數形式中，實部為0，得到的值，從而得到復數.【詳解】因為為純虛數，所以，得所以.故選A項本題考查復數的四則運算，純虛數的概念，屬于簡單題.3．A【解析】

由題先畫出基本圖形，結合向量加法和點乘運算化簡可得，結合的范圍即可求解【詳解】如圖，其中，所以.故選：A本題考查向量的線性運算在幾何中的應用，數形結合思想，屬于中檔題4．B【解析】

由函數的性質可得：的圖像關于直線對稱且關于軸對稱，函數（）的圖像也關于對稱，由函數圖像的作法可知兩個圖像有四個交點，且兩兩關于直線對稱，則與的圖像所有交點的橫坐標之和為4得解.【詳解】由偶函數滿足，可得的圖像關于直線對稱且關于軸對稱，函數（）的圖像也關于對稱，函數的圖像與函數（）的圖像的位置關系如圖所示，可知兩個圖像有四個交點，且兩兩關于直線對稱，則與的圖像所有交點的橫坐標之和為4.故選：B本題主要考查了函數的性質，考查了數形結合的思想，掌握函數的性質是解題的關鍵，屬于中檔題.5．D【解析】

先通過得到原函數為增函數且為偶函數，再利用到軸距離求解不等式即可.【詳解】構造函數，則由題可知，所以在時為增函數；由為奇函數，為奇函數，所以為偶函數；又，即即又為開口向上的偶函數所以，解得或故選：D此題考查根據導函數構造原函數，偶函數解不等式等知識點，屬于較難題目.6．D【解析】

通過列舉法可求解，如兩角分別為時【詳解】當時，，但，故充分條件推不出；當時，，但，故必要條件推不出；所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.本題考查命題的充分與必要條件判斷，三角函數在解三角形中的具體應用，屬于基礎題7．A【解析】

首先判斷函數的奇偶性，再根據特殊值即可利用排除法解得；【詳解】解：依題意，，故函數為偶函數，圖象關于軸對稱，排除C；而，排除B；，排除D.故選：.本題考查函數圖象的識別，函數的奇偶性的應用，屬于基礎題.8．D【解析】

由圓與相切可知，圓心到的距離為2，即.又，由此求出的值，利用離心率公式，求出e.【詳解】由題意得，，，.故選：D.本題考查了雙曲線的幾何性質，直線與圓相切的性質，離心率的求法，屬于中檔題.9．D【解析】因為角的終邊經過點,所以,則,即.故選D．10．C【解析】

將等式變形后，利用二次根式的性質判斷出，即可求出的范圍.【詳解】即故選：C此題考查解三角函數方程，恒等變化后根據的關系即可求解，屬于簡單題目.11．A【解析】

由圖根據三角函數圖像的對稱性可得，利用周期公式可得，再根據圖像過，即可求出，再利用三角函數的平移變換即可求解.【詳解】由圖像可知，即，所以，解得，又，所以，由，所以或，又，所以，，所以，，即，因為函數的圖象由圖象向右平移個單位長度而得到，所以.故選：A本題考查了由圖像求三角函數的解析式、三角函數圖像的平移伸縮變換，需掌握三角形函數的平移伸縮變換原則，屬于基礎題.12．C【解析】

四個答題板塊中選三個捆綁在一起，和另外一個答題板塊用插入法．注意按“閱讀文章”分類．【詳解】四個答題板塊中選三個捆綁在一起，和另外一個答題板塊用插入法，由于“閱讀文章”不能放首位，因此不同的方法數為．故選：C．本題考查排列組合的應用，考查捆綁法和插入法求解排列問題．對相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插入法是解決這類問題的常用方法．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據空間位置關系，將平面旋轉后使得各點在同一平面內，結合角的關系即可求得兩點間距離的三角函數表達式.根據所給參考數據即可得解.【詳解】棱長為2的正方體中，點分別為棱的中點，以為圓心，1為半徑，分別在面和面內作弧和.將平面繞旋轉至與平面共面的位置，如下圖所示：則，所以；將平面繞旋轉至與平面共面的位置，將繞旋轉至與平面共面的位置，如下圖所示：則，所以；因為，且由誘導公式可得，所以最短距離為，故答案為：.本題考查了空間幾何體中最短距離的求法，注意將空間幾何體展開至同一平面內求解的方法，三角函數誘導公式的應用，綜合性強，屬于難題.14．【解析】

由于直線過拋物線的焦點，因此過，分別作的準線的垂線，垂足分別為，，由拋物線的定義及平行線性質可得，從而再由拋物線定義可求得直線傾斜角的余弦，再求得正切即為直線斜率．注意對稱性，問題應該有兩解．【詳解】直線過拋物線的焦點，，過，分別作的準線的垂線，垂足分別為，，由拋物線的定義知，．因為，所以．因為，所以，從而．設直線的傾斜角為，不妨設，如圖，則，，同理，則，解得，，由對稱性還有滿足題意．，綜上，．本題考查拋物線的性質，考查拋物線的焦點弦問題，掌握拋物線的定義，把拋物線上點到焦點距離與它到距離聯系起來是解題關鍵．15．【解析】

先將原式展開成，發現中不含，故只研究后面一項即可得解.【詳解】，依題意，只需求中的系數，是.故答案為：-40本題考查二項式定理性質，關鍵是先展開再利用排列組合思想解決，屬于基礎題.16．【解析】

利用累加法求得數列的通項公式，由此求得的通項公式.【詳解】由題，所以故答案為：本小題主要考查累加法求數列的通項公式，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）或；（2）證明見解析【解析】

（1）將化簡，分類討論即可；（2）由（1）得，，展開后再利用基本不等式即可.【詳解】（1）當時，，所以或或解得或，因此不等式的解集的或（2）根據，當且僅當時，等式成立.本題考查絕對值不等式的解法、利用基本不等式證明不等式問題，考查學生基本的計算能力，是一道基礎題.18．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）由平面幾何知識可得出四邊形是平行四邊形，可得面，再由面面平行的判定可證得面面平行；（2）由（1）可知，兩兩垂直，故建立空間直角坐標系，可求得面PAB的法向量，再運用線面角的向量求法，可求得直線與平面所成角的余弦值.【詳解】（1），,又，，,而、分別是、的中點，，故面,又且，故四邊形是平行四邊形,面,又，是面內的兩條相交直線,故面面.（2）由（1）可知，兩兩垂直，故建系如圖所示,則，，，,設是平面PAB的法向量,，令，則,,直線NE與平面所成角的余弦值為.本題考查空間的面面平行的判定，以及線面角的空間向量的求解方法，屬于中檔題.19．（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）由進行變換，得到，兩邊開方并化簡，證得不等式成立.（2）將化為，然后利用基本不等式，證得不等式成立.【詳解】（1），兩邊加上得，即，當且僅當時取等號，∴.（2）.當且僅當時取等號.本小題主要考查利用基本不等式證明不等式成立，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.20．（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由平面，可得，又因為是的中點，即得證；（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系，設，計算平面的法向量，由直線與平面所成角的大小為30°，列出等式，即得解.【詳解】（Ⅰ）如圖，連接交于點，連接，則是平面與平面的交線，因為平面，故，又因為是的中點，所以是的中點，故.（Ⅱ）由條件可知，，所以，故以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，設，則，設平面的法向量為，則，即，故取因為直線與平面所成角的大小為30°所以，即，解得，故此時.本題考查了立體幾何和空間向量綜合，考查了學生邏輯推理，空間想象，數學運算的能力，屬于中檔題.21．（1）（2）【解析】試題分析：（1）因為AB⊥AC，A1B⊥平面ABC，所以以A為坐標原點，分別以AC、AB所在直線分別為x軸和y軸，以過A，且平行于BA1的直線為z軸建立空間直角坐標系，由AB=AC=A1B=2求出所要用到的點的坐標，求出棱AA1與BC上的兩個向量，由向量的夾角求棱AA1與BC所成的角的大小；

（2）設棱B1C1上的一點P，由向量共線得到P點的坐標，然后求出兩個平面PAB與平面ABA1的一個法向量，把二面角P-AB-A1的平面角的余弦值為，轉化為它們法向量所成角的余弦值，由此確定出P點的坐標．試題解析：解（1）如圖，以為原點建立空間直角坐標系，則，.，故與棱所成的角是.（2）為棱中點，設，則.設平面的法向量為，，則，故而平面的法向量是，則，解得，即為棱中點，其坐標為.點睛：本題主要考查線面垂直的判定與性質，以及利用空間向量求二面角.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求