§2.7函數(shù)的持續(xù)性(1)一、函數(shù)的持續(xù)性二、函數(shù)的間斷點(diǎn)三、小結(jié)一、函數(shù)的持續(xù)性1.函數(shù)的增量設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，稱為自變量在點(diǎn)的增量.稱為函數(shù)相應(yīng)于的增量.

2.持續(xù)的定義那末就稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，若稱為的連續(xù)點(diǎn).從而，我們有持續(xù)的等價(jià)定義:理解:設(shè)函數(shù)滿足條件：)(xf（1）在有定義；（2）存在；（3）

定義給出了持續(xù)性的判斷辦法：看極限值與否等于函數(shù)值.由定義2知,證因?yàn)槔?試證函數(shù)在處連續(xù).又函數(shù)在處連續(xù).3.左、右持續(xù)若在內(nèi)有定義且則稱在左連續(xù).

若在內(nèi)有定義且定理此定理慣用來(lái)判斷分段函數(shù)在分界點(diǎn)的持續(xù)性.在連續(xù)則稱在右連續(xù).

在處既左連續(xù)又右連續(xù).即：例2解處持續(xù).要使例3.討論函數(shù)在x=0處的持續(xù)性y=|x|在點(diǎn)x=0處持續(xù).xyy=|x|O證明：sgnx|x=0=sgn0=0故符號(hào)函數(shù)y=sgnx在點(diǎn)x=0處不持續(xù).證明：證明：持續(xù)4.持續(xù)函數(shù)與持續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都持續(xù)的函數(shù),如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù),在右端點(diǎn)處左連續(xù)，則稱函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù).叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上持續(xù).并在左端點(diǎn)處右連續(xù),持續(xù)函數(shù)的圖形是一條持續(xù)而不間斷的曲線.二、函數(shù)的間斷點(diǎn)１.定義（或間斷）；稱在點(diǎn)處不連續(xù)點(diǎn)無(wú)定義；在在點(diǎn)有定義，點(diǎn)有定義，在存在,而稱點(diǎn)為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)(或間斷點(diǎn)).

不存在;但可能的間斷點(diǎn)：沒(méi)故意義的點(diǎn)，分段函數(shù)的分界點(diǎn)則稱點(diǎn)為可去間斷點(diǎn).1）跳躍間斷點(diǎn)例4２．間斷點(diǎn)的分類如果在點(diǎn)處左、右極限都存在，但是不相等,則稱點(diǎn)為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn).解2）可去間斷點(diǎn)如果在點(diǎn)的極限存在，但例5在處的連續(xù)性.解如例5中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).其特點(diǎn):注意可去間斷點(diǎn)只要變化或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)槌掷m(xù)點(diǎn).如果在點(diǎn)處的左、右極限至少有一個(gè)不存在，3）第二類間斷點(diǎn)例6則稱點(diǎn)為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn).解這種狀況稱為無(wú)窮間斷點(diǎn).例7解二類間斷點(diǎn).這種狀況稱為振蕩間斷點(diǎn).例8求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判斷其類型．解顯然是的間斷點(diǎn)。又因此是第二類間斷點(diǎn)。注:間斷點(diǎn)的求法,間斷點(diǎn)類型的鑒別如何找間斷點(diǎn)？（1）初等函數(shù)：求定義域,各子區(qū)間的邊界點(diǎn)（2）分段函數(shù)：討論分段函數(shù)的分界點(diǎn)(1)?(x)在x0與否處有定義？逐步研究：左持續(xù)右持續(xù)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在第二類間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間