導數及其應用復習小結ks5u精品課件本章知識構造導數導數概念導數運算導數應用函數的瞬時變化率運動的瞬時速度曲線的切線斜率基本初等函數求導導數的四則運算法則簡樸復合函數的導數函數單調性研究函數的極值、最值曲線的切線變速運動的速度最優化問題ks5u精品課件曲線的切線:

以曲線的切線為例，在一條曲線C：y=f(x)上取一點P(x0，y0)，點Q(x0+△x，y0+△y)是曲線C上與點P臨近的一點，做割線PQ，當點Q沿曲線C無限地趨近點P時，割線PQ便無限地趨近于某一極限位置PT，我們就把直線PT叫做曲線C的在點P處的切線。一．知識串講ks5u精品課件

此時割線PT斜率的極限就是曲線C在點P處的切線的斜率，用極限運算的表達式來寫出，即

k=tanα=（一）導數的概念：

1．導數的定義：對函數y=f(x)，在點x=x0處給自變量x以增量△x，函數y相應有增量△y=f(x0+△x)－f(x0)，若極限存在，則此極限稱為f(x)在點x=x0處的導數，記為f’(x0)，或y|；ks5u精品課件

2．導函數：如果函數y=f(x)在區間(a，b)內每一點都可導，就說y=f(x)在區間(a，b)內可導．即對于開區間(a，b)內每一個確定的x0值，都相對應著一個確定的導數f’(x0)，這樣在開區間(a，b)內構成一個新函數，把這一新函數叫做f(x)在(a，b)內的導函數．簡稱導數．記作f’(x)或y’.即f’(x)=y’=ks5u精品課件3．導數的幾何意義：函數y=f(x)在點x0處的導數的幾何意義，就是曲線y=f(x)在P(x0，f(x0))處的切線的斜率，即曲線y=f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線斜率為k＝f’(x0)．因此曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程為yy0=f’(x0)·(x－x0)．4．導數的物理意義：物體作直線運動時，路程s有關時間t的函數為：s=s(t)，那么瞬時速度v就是路程s對于時間t的導數，即v(t)=s’(t).ks5u精品課件返回ks5u精品課件導數的運算法則:法則1:兩個函數的和(差)的導數,等于這兩個函數的導數的和(差),即:法則2:兩個函數的積的導數,等于第一種函數的導數乘第二個函數,加上第一種函數乘第二個函數的導數,即:法則3:兩個函數的積的導數,等于第一種函數的導數乘第二個函數,減去第一種函數乘第二個函數的導數,再除以第二個函數的平方.即:返回ks5u精品課件當點Q沿著曲線無限靠近點P即Δx→0時,割線PQ如果有一種極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線.設切線的傾斜角為α,那么當Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.即:PQoxyy=f(x)割線切線T返回ks5u精品課件1)如果恒有f′(x)>0，那么y=f（x)在這個區間（a,b)內單調遞增；2)如果恒有f′(x)<0，那么y=f（x）在這個區間(a,b)內單調遞減。普通地，函數y＝f（x）在某個區間(a,b)內定理:aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0如果在某個區間內恒有,則為常數.返回ks5u精品課件2)如果a是f’(x)=0的一種根，并且在a的左側附近f’(x)<0，在a右側附近f’(x)>0，那么是f(a)函數f(x)的一種極小值.函數的極值1)如果b是f’(x)=0的一種根，并且在b左側附近f’(x)>0，在b右側附近f’(x)<0，那么f(b)是函數f(x)的一種極大值注：導數等于零的點不一定是極值點．2)在閉區間[a,b]上的函數y=f(x)的圖象是一條持續不停的曲線,則它必有最大值和最小值.函數的最大（小）值與導數xy0abx1x2x3x4f(a)f(x3)f(b)f(x1)f(x2)返回ks5u精品課件（五）函數的最大值與最小值：1．定義：最值是一種整體性概念，是指函數在給定區間(或定義域)內全部函數值中最大的值或最小的值，最大數值叫最大值，最小的值叫最小值，普通最大值記為M，最小值記為m.ks5u精品課件2．存在性：在閉區間[a，b]上持續函數f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．3．求最大（小）值的辦法：函數f(x)在閉區間[a，b]上最值求法：①求出f(x)在(a，b)內的極值；②將函數f(x)的極值與f(a)，f(b)比較，其中較大的一種是最大值，較小的一種是最小值.ks5u精品課件ks5u精品課件ks5u精品課件ks5u精品課件練．已經曲線C：y=x3-x+2和點A(1,2)求在點A處的切線方程？解：由f/(x)=3x2－1，∴k=f/(1)=2∴所求的切線方程為：y－2=2(x－1),即y=2x.ks5u精品課件變式1：求過點A的切線方程？變式：已經曲線C：y=x3-x+2和點(1,2)求在點A處的切線方程？解：變1：設切點為P（x0，x03－x0+2），∴切線方程為y－(x03－x0+2)=(3x02－1)(x－x0)又∵切線過點A(1,2)

∴2－(x03－x0+2)=(3x02－1)(1－x0)化簡得(x0－1)2(2x0+1)=0，①當x0=1時，所求的切線方程為：y－2=2(x－1),即y=2x

解得x0=1或x0=－k=f/(x0)=3x02－1，②當x0=－時，所求的切線方程為：

y－2=－(x－1),x+4y－9=0ks5u精品課件變式2：若曲線上一點Q處的切線正好平行于直線y=11x－1，則P點坐標為____________,切線方程為_____________________．(2,8)或(－2,－4)y=11x－14或y=11x+18ks5u精品課件ks5u精品課件*ks5u精品課件（1）對的理解導數的概念和意義，導數是一種函數的變化量與自變量的變化量的比值的極限，它反映的是函數的變化率，即函數值在x=x0點附近的變化快慢；因此只有與變化率有關的問題都能夠用導數來解決；（2）掌握求導數的辦法，特別是在求復合函數的導數時，一定要把握層次，把每一層的復合關系都看清晰；（3）運用導數來研究函數。重要是研究函數的增減性、函數的極大（小）值、函數的最大（小）值以及一些與實際有關的問題。總結:ks5u精品課件ks5u精品課件ks5u精品課件ks5u精品課件1.二次函數的圖像和性質2.最值——常法；導數！ks5u精品課件ks5u精品課件兩年北京導數題,感想如何?ks5u精品課件思考討論：【解析】本小題考察函數單調性及恒成立問題的綜合運用,體現了分類討論的數學思想。要使之恒成立，只要在上求f（x）最小值即可。

對于總有成立，則=▲。1.3補充ks5u精品課件

當時，