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2024年四川省雅安市中考數學試卷

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分）每小題的四個選項中，有且僅有一個是正確的.

1．（3分）2024的相反數是（）

A．2024 B．﹣2024 C． D．

2．（3分）計算（1﹣3）0的結果是（）

A．﹣2 B．0 C．1 D．4

3．（3分）下列幾何體中，主視圖是三角形的是（）

A． B． C． D．

4．（3分）下列運算正確的是（）

A．a+3b＝4ab B．（a2）3＝a5 C．a3?a2＝a6 D．a5÷a＝a4

5．（3分）如圖，直線AB，CD交于點O，OE⊥AB于O，若∠1＝35°，則∠2的度數是（）

A．55° B．45° C．35° D．30°

6．（3分）不等式組的解集在數軸上表示為（）

A．

B．

C．

D．

7．（3分）在平面直角坐標系中，將點P（1，﹣1）向右平移2個單位后，得到的點P1關于x軸的對稱點坐標是（）

A．（1，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（1，﹣1）

8．（3分）如圖，⊙O的周長為8π，正六邊形ABCDEF內接于⊙O．則△OAB的面積為（）

A．4 B． C．6 D．

9．（3分）某校開展了紅色經典故事演講比賽，其中8名同學的成績（單位：分）分別為：85，81，82，86，82，83，92，89．關于這組數據，下列說法中正確的是（）

A．眾數是92 B．中位數是84.5

C．平均數是84 D．方差是13

10．（3分）已知+＝1（a+b≠0）．則＝（）

A． B．1 C．2 D．3

11．（3分）在數學課外實踐活動中，某小組測量一棟樓房CD的高度（如圖），他們在A處仰望樓頂，測得仰角為30°，再往樓的方向前進50米至B處，測得仰角為60°，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計）（）

A．25米 B．25米 C．25米 D．50米

12．（3分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩實根x1＝﹣1，x2＝3，且abc＞0，則下列結論中正確的有（）

①2a+b＝0；

②拋物線y＝ax2+bx+c的頂點坐標為（1，）；

③a＜0；

④若m（am+b）＜4a+2b，則0＜m＜1．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）將答案直接填寫在答題卡相應的橫線上。

13．（3分）使式子有意義的x的取值范圍是．

14．（3分）將﹣2，，π，0，，3.14這6個數分別寫在6張同樣的卡片上，從中隨機抽取1張，卡片上的數為有理數的概率是．

15．（3分）如圖是1個紙杯和若干個疊放在一起的紙杯的示意圖，在探究紙杯疊放在一起后的總高度H與杯子數量n的變化規律的活動中，我們可以獲得以下數據（字母），請選用適當的字母表示H＝．

①杯子底部到杯沿底邊的高h；

②杯口直徑D；

③杯底直徑d；

④杯沿高a．

16．（3分）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝40°，將△ADE繞點A順時針旋轉一定角度，當AD∥BC時，∠BAE的度數是．

17．（3分）如圖，把矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在點E處，BE與AD交于點F，若AB＝6，BC＝8，則cos∠ABF的值是．

三、解答題（本大題共7個小題、共69分）解答要求寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程.

18．（12分）（1）計算：﹣（）﹣1+（﹣5）×|﹣|；

（2）先化簡，再求值：（1﹣）÷，其中a＝2．

19．（8分）某中學對八年級學生進行了教育質量監測，隨機抽取了參加15米折返跑的部分學生成績（成績劃分為優秀、良好、合格與不合格四個等級），并繪制了不完整的統計圖（如圖所示）．根據圖中提供的信息解答下列問題：

（1）請把條形統計圖補充完整；

（2）若該校八年級學生有300人，試估計該校八年級學生15米折返跑成績不合格的人數；

（3）從所抽取的優秀等級的學生A、B、C、D、E中，隨機選取兩人去參加即將舉辦的學校運動會，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到A、B兩位同學的概率．

20．（8分）如圖，點O是?ABCD對角線的交點，過點O的直線分別交AD，BC于點E，F．

（1）求證：△ODE≌△OBF；

（2）當EF⊥BD時，DE＝15cm，分別連接BE，DF．求此時四邊形BEDF的周長．

21．（9分）某市為治理污水，保護環境，需鋪設一段全長為3000米的污水排放管道，為了減少施工對城市交通所造成的影響，實際施工時每天的工效比原計劃增加25%，結果提前15天完成鋪設任務．

（1）求原計劃與實際每天鋪設管道各多少米？

（2）負責該工程的施工單位，按原計劃對工人的工資進行了初步的預算，工人每天人均工資為300元，所有工人的工資總金額不超過18萬元．該公司原計劃最多應安排多少名工人施工？

22．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象l與反比例函數y＝的圖象交于M（，4），N（n，1）兩點．

（1）求反比例函數及一次函數的表達式；

（2）求△OMN的面積；

（3）若點P是y軸上一動點，連接PM，PN．當PM+PN的值最小時，求點P的坐標．

23．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的一點，點P是BA延長線上的一點，連接AC，∠PCA＝∠B．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）若sin∠B＝，求證：AC＝AP；

（3）若CD⊥AB于D，PA＝4，BD＝6，求AD的長．

24．（12分）在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2+bx+3的圖象與x軸交于A（1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求二次函數的表達式；

（2）如圖①，若點P是線段BC上的一個動點（不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，當線段PQ的長度最大時，求點Q的坐標；

（3）如圖②，在（2）的條件下，過點Q的直線與拋物線交于點D，且∠CQD＝2∠OCQ．在y軸上是否存在點E，使得△BDE為等腰三角形？若存在，直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

2024年四川省雅安市中考數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分）每小題的四個選項中，有且僅有一個是正確的.

1．（3分）2024的相反數是（）

A．2024 B．﹣2024 C． D．

【分析】根據只有符號不同的兩個數互為相反數進行解答即可得．

【解答】解：2024的相反數是﹣2024，

故選：B．

【點評】本題考查了相反數的定義，熟練掌握相反數的定義是解題的關鍵．

2．（3分）計算（1﹣3）0的結果是（）

A．﹣2 B．0 C．1 D．4

【分析】根據零指數冪的運算性質進行計算即可．

【解答】解：原式＝（﹣2）0＝1．

故選：C．

【點評】本題考查零指數冪，掌握“任何不為零的零次冪等于1”是正確解答的關鍵．

3．（3分）下列幾何體中，主視圖是三角形的是（）

A． B． C． D．

【分析】根據主視圖的特點解答即可．

【解答】解：A、圓錐的主視圖是三角形，故此選項符合題意；

B、圓柱的主視圖是矩形，故此選項不符合題意；

C、三棱柱的主視圖是長方形，中間還有一條虛線，故此選項不符合題意；

D、正方體的主視圖為正方形，故此選項不符合題意；

故選：A．

【點評】此題主要考查了簡單幾何體的三視圖，關鍵是掌握主視圖所看的位置．

4．（3分）下列運算正確的是（）

A．a+3b＝4ab B．（a2）3＝a5 C．a3?a2＝a6 D．a5÷a＝a4

【分析】根據同類項的定義，冪的乘方與積的乘方，同底數冪乘除法的計算方法逐項進行判斷即可．

【解答】解：A．a與3b不是同類項，不能合并運算，因此選項A不符合題意；

B．（a2）3＝a6，因此選項B不符合題意；

C．a3?a2＝a5，因此選項C不符合題意；

D．a5÷a＝a4，因此選項D符合題意；

故選：D．

【點評】本題考查同類項，合并同類項，冪的乘方與積的乘方，同底數冪乘除法，掌握同類項的定義，冪的乘方與積的乘方，同底數冪乘除法的計算方法是正確解答的關鍵．

5．（3分）如圖，直線AB，CD交于點O，OE⊥AB于O，若∠1＝35°，則∠2的度數是（）

A．55° B．45° C．35° D．30°

【分析】已知OE⊥AB，∠1＝35°，可得∠AOC的度數，因為對頂角∠2＝∠AOC，即得∠2的度數．

【解答】解：∵OE⊥AB，∠1＝35°，

∴∠AOC＝55°，

∴∠2＝∠AOC＝55°，

故選：A．

【點評】本題考查了垂線、對頂角的性質，關鍵是掌握垂線、對頂角的性質．

6．（3分）不等式組的解集在數軸上表示為（）

A．

B．

C．

D．

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．

【解答】解：解不等式3x﹣2≥4，得：x≥2，

解不等式2x＜x+6，得：x＜6，

則不等式組的解集為2≤x＜6，

將不等式組的解集表示在數軸上如下：

故選：C．

【點評】本題考查了解一元一次不等式組和在數軸上表示不等式的解集，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．

7．（3分）在平面直角坐標系中，將點P（1，﹣1）向右平移2個單位后，得到的點P1關于x軸的對稱點坐標是（）

A．（1，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（1，﹣1）

【分析】直接利用平移的性質得出對應點坐標，再利用關于x軸對稱點的性質得出答案．

【解答】解：∵將點P（1，﹣1）向右平移2個單位后，

∴平移后的坐標為（3，﹣1），

∴得到的點P1關于x軸的對稱點坐標是（3，1）．

故選：B．

【點評】此題主要考查了關于x軸對稱點的性質以及平移的性質，正確掌握相關性質是解題關鍵．

8．（3分）如圖，⊙O的周長為8π，正六邊形ABCDEF內接于⊙O．則△OAB的面積為（）

A．4 B． C．6 D．

【分析】根據正六邊形的性質以及直角三角形的邊角關系進行計算即可．

【解答】解：設半徑為r，由題意得，2πr＝8π，

解得r＝4，

∵六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形，

∴∠AOB＝＝60°，

∵OA＝OB，

∴△AOB是正三角形，

∴弦AB所對應的弦心距為OA＝2，

∴S△AOB＝×4×2＝4．

故選：B．

【點評】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質，直角三角形的邊角關系是正確解答的關鍵．

9．（3分）某校開展了紅色經典故事演講比賽，其中8名同學的成績（單位：分）分別為：85，81，82，86，82，83，92，89．關于這組數據，下列說法中正確的是（）

A．眾數是92 B．中位數是84.5

C．平均數是84 D．方差是13

【分析】找出這組數據中出現次數最多的即為眾數，這組數據排列后找出最中間的兩個數求出平均數即為中位數，求出這組數據的平均數，利用方差公式求出方差，判斷即可．

【解答】解：排列得：81，82，82，83，85，86，89，92，

出現次數最多是82，即眾數為82；

最中間的兩個數為83和85，平均數為84，即中位數為84；

（81+82+82+83+85+86+89+92）÷8＝85，即平均數為85；

×[（81﹣85）2+2（82﹣85）2+（83﹣85）2+（85﹣85）2+（86﹣85）2+（89﹣85）2+（92﹣85）2]

＝×（16+18+4+1+16+49）

＝13，即方差為13．

故選：D．

【點評】此題考查了方差，算術平均數，中位數，以及眾數，熟練掌握各自的計算方法是解本題的關鍵．

10．（3分）已知+＝1（a+b≠0）．則＝（）

A． B．1 C．2 D．3

【分析】由已知條件可得a+2b＝ab，將其代入中計算即可．

【解答】解：∵+＝1（a+b≠0），

∴＝1，

∴a+2b＝ab，

∴

＝

＝

＝2，

故選：C．

【點評】本題考查分式的加減，分式的值，結合已知條件求得a+2b＝ab是解題的關鍵．

11．（3分）在數學課外實踐活動中，某小組測量一棟樓房CD的高度（如圖），他們在A處仰望樓頂，測得仰角為30°，再往樓的方向前進50米至B處，測得仰角為60°，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計）（）

A．25米 B．25米 C．25米 D．50米

【分析】設DC＝x米，在Rt△ACD中，利用銳角三角函數定義表示出AC，在Rt△BCD中，利用銳角三角函數定義表示出BC，再由AC﹣BC＝AB＝50列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值即可．

【解答】解：設DC＝x米，

在Rt△ACD中，∠A＝30°，

tanA＝，即tan30°＝＝，

整理得：AC＝x米，

在Rt△BCD中，∠DBC＝60°，

tan∠DBC＝，即tan60°＝＝，

整理得：BC＝x米，

∵AB＝50米，

∴AC﹣BC＝50，即x﹣x＝50，

解得：x＝25，

則這棟樓的高度為25米．

故選：A．

【點評】此題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，要求學生能借助仰角構造直角三角形并解直角三角形．

12．（3分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩實根x1＝﹣1，x2＝3，且abc＞0，則下列結論中正確的有（）

①2a+b＝0；

②拋物線y＝ax2+bx+c的頂點坐標為（1，）；

③a＜0；

④若m（am+b）＜4a+2b，則0＜m＜1．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

【分析】依據題意，由ax2+bx+c＝0有兩實根x1＝﹣1，x2＝3，可得，從而可得8a+4b＝0，即2a+b＝0，故可判斷①；又拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝﹣＝﹣＝1，進而拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為（1，a+b+c），再結合a＝﹣，b＝﹣2a＝c，可得a+b+c＝c，故可判斷②；依據題意可得c＝﹣3a，又b＝﹣2a，abc＞0，進而可得abc＝a?（﹣2a）?（﹣3a）＝6a3＞0，從而可以判斷③；由m（am+b）＜4a+2b，故am2+bm+c＜4a+2b+c，即對于函數y＝ax2+bx+c，當x＝m時的函數值小于當x＝2時的函數值，再結合a＞0，拋物線的對稱軸是直線x＝1，從而根據二次函數的性質即可判斷④．

【解答】解：由題意，∵ax2+bx+c＝0有兩實根x1＝﹣1，x2＝3，

∴．

∴②﹣①得，8a+4b＝0．

∴2a+b＝0，故①正確．

∴b＝﹣2a．

∴拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝﹣＝﹣＝1．

∴拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為（1，a+b+c）．

又b＝﹣2a，a﹣b+c＝0，

∴3a+c＝0，即a＝﹣．

∴b＝﹣2a＝c．

∴a+b+c＝c．

∴頂點坐標為（1，c），故②正確．

∵3a+c＝0，

∴c＝﹣3a．

又b＝﹣2a，abc＞0，

∴abc＝a?（﹣2a）?（﹣3a）＝6a3＞0．

∴a＞0，故③錯誤．

∵m（am+b）＜4a+2b，

∴am2+bm+c＜4a+2b+c．

∴對于函數y＝ax2+bx+c，當x＝m時的函數值小于當x＝2時的函數值．

∵a＞0，拋物線的對稱軸是直線x＝1，

又此時拋物線上的點離對稱軸越近函數值越小，

∴|m﹣1|＜2﹣1．

∴﹣1＜m﹣1＜1．

∴0＜m＜2，故④錯誤．

綜上，正確的有①②共2個．

故選：B．

【點評】本題主要考查了二次函數圖象與系數的關系、根與系數的關系、根的判別式、拋物線與x軸的交點，解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數的性質是關鍵．

二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）將答案直接填寫在答題卡相應的橫線上。

13．（3分）使式子有意義的x的取值范圍是x≥1．

【分析】根據二次根式有意義的條件得出關于x的不等式，求出x的取值范圍即可．

【解答】解：∵式子有意義，

∴x﹣1≥0，

解得x≥1．

故答案為：x≥1．

【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式中的被開方數是非負數是解題的關鍵．

14．（3分）將﹣2，，π，0，，3.14這6個數分別寫在6張同樣的卡片上，從中隨機抽取1張，卡片上的數為有理數的概率是．

【分析】找出6張卡片中有理數的個數，除以6即可確定出所求事件的概率．

【解答】解：在﹣2，，π，0，，3.14這6個數中，

有理數為：﹣2，，0，3.14，共4個數，

則P（卡片上的數為有理數）＝＝．

故答案為：．

【點評】此題考查了概率公式，實數，用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．解題的關鍵是找到6個數中有理數的情況數．

15．（3分）如圖是1個紙杯和若干個疊放在一起的紙杯的示意圖，在探究紙杯疊放在一起后的總高度H與杯子數量n的變化規律的活動中，我們可以獲得以下數據（字母），請選用適當的字母表示H＝h+an．

①杯子底部到杯沿底邊的高h；

②杯口直徑D；

③杯底直徑d；

④杯沿高a．

【分析】如圖可知，紙杯疊放在一起后的總高度H＝杯子底部到杯沿底邊的高h+杯子數量n×杯沿高a，列式即可．

【解答】解：如圖可知，紙杯疊放在一起后的總高度H＝杯子底部到杯沿底邊的高h+杯子數量n×杯沿高a，

∴H＝h+an，

故答案為：h+an．

【點評】本題考查的是數字的變化規律，熟練找出題目中字母間的變量關系是解題的關鍵．

16．（3分）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝40°，將△ADE繞點A順時針旋轉一定角度，當AD∥BC時，∠BAE的度數是30°或150°．

【分析】當點D在點A的左側時，由等腰三角形的性質求出∠ABC＝65°，由平行線的性質可求出∠BAD＝70°，則可求出答案；當點D在點A的右側時，根據∠BAE＝∠BAC+∠DAC+∠DAE可求出答案．

【解答】解：當點D在點A的左側時，如圖1所示．

∵AB＝AC，∠BAC＝40°，

∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝70°．

∵AD∥BC，

∴∠BAD＝∠ABC＝70°，

∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝70°﹣40°＝30°．

當點D在點A的右側時，如圖2所示．

∵AB＝AC，∠BAC＝40°，

∴∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝70°．

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB＝70°，

∴∠BAE＝∠BAC+∠DAC+∠DAE＝40°+70°+40°＝150°．

∴當AD∥BC時，∠BAE的度數為30°或150°．

故答案為：30°或150°．

【點評】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，平行線的性質，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．

17．（3分）如圖，把矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在點E處，BE與AD交于點F，若AB＝6，BC＝8，則cos∠ABF的值是．

【分析】折疊問題優先考慮利用勾股定理列方程，易證BF＝DF，再利用Rt△ABF求出邊長，從而求解即可．

【解答】解：∵折疊，

∴∠DBC＝∠DBF，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBC，

∴∠DBF＝∠ADB，

∴BF＝DF，

∴AF＝AD﹣DF＝8﹣BF，

在Rt△ABF中，AB2+AF2＝BF2，

∴62+（8﹣BF）2＝BF2，

解得BF＝，

∴cos∠ABF＝＝．

故答案為：．

【點評】本題主要考查矩形的性質、折疊的性質、折疊問題等知識，熟練掌握相關知識點是解題關鍵．

三、解答題（本大題共7個小題、共69分）解答要求寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程.

18．（12分）（1）計算：﹣（）﹣1+（﹣5）×|﹣|；

（2）先化簡，再求值：（1﹣）÷，其中a＝2．

【分析】（1）先化簡二次根式、負整數指數冪和絕對值，然后根據有理數的加減法計算即可；

（2）先計算分式的減法，再計算分式的除法進行化簡，最后代入求出答案即可．

【解答】解：（1）原式＝3﹣2+（﹣5）×

＝3﹣2﹣1

＝0；

（2）原式＝?

＝?

＝，

當a＝2時，

原式＝＝．

【點評】本題考查了負整數指數冪，實數的混合運算，分式的化簡求值等知識點，能正確根據分式的運算法則和實數的運算法則進行計算是解此題的關鍵，注意運算順序．

19．（8分）某中學對八年級學生進行了教育質量監測，隨機抽取了參加15米折返跑的部分學生成績（成績劃分為優秀、良好、合格與不合格四個等級），并繪制了不完整的統計圖（如圖所示）．根據圖中提供的信息解答下列問題：

（1）請把條形統計圖補充完整；

（2）若該校八年級學生有300人，試估計該校八年級學生15米折返跑成績不合格的人數；

（3）從所抽取的優秀等級的學生A、B、C、D、E中，隨機選取兩人去參加即將舉辦的學校運動會，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到A、B兩位同學的概率．

【分析】（1）根據成績為良好的人數除以占的百分比求出調查的總人數，進而求出不合格的人數，補全條形統計圖即可；

（2）由樣本中成績不合格的百分比估計總體中成績不合格的百分比，乘以300即可得到結果；

（3）列出得出所有等可能的情況數，找出恰好抽到A、B兩位同學的情況數，即可求出恰好抽到A、B兩位同學的概率．

【解答】解：（1）根據題意得：12÷40%＝30（人），

∴不合格的為：30﹣（5+12+10）＝3（人），

補全條形統計圖，如圖所示：

（2）根據題意得：300×＝30（人），

則該校八年級學生15米折返跑成績不合格的人數約為30人；

（3）列表如下：

A

B

C

D

E

A

﹣﹣﹣

（A，B）

（A，C）

（A，D）

（A，E）

B

（B，A）

﹣﹣﹣

（B，C）

（B，D）

（B，E）

C

（C，A）

（C，B）

﹣﹣﹣

（C，D）

（C，E）

D

（D，A）

（D，B）

（D，C）

﹣﹣﹣

（D，E）

E

（E，A）

（E，B）

（E，C）

（E，D）

﹣﹣﹣

所有等可能的情況有20種，其中恰好抽到A、B兩位同學的情況數為2種，

則P（恰好抽到A、B兩位同學）＝＝．

【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法，用樣本估計總體，以及條形統計圖，弄清題中的數據是解本題的關鍵．

20．（8分）如圖，點O是?ABCD對角線的交點，過點O的直線分別交AD，BC于點E，F．

（1）求證：△ODE≌△OBF；

（2）當EF⊥BD時，DE＝15cm，分別連接BE，DF．求此時四邊形BEDF的周長．

【分析】（1）由平行四邊形的性質得AD∥CB，則∠OED＝∠OFB，而∠DOE＝∠BOF，OD＝OB，即可根據“AAS”證明△ODE≌△OBF；

（2）由△ODE≌△OBF，得DE＝BF，而DE∥BF，所以四邊形BEDF是平行四邊形，因為EF⊥BD，所以四邊形BEDF是菱形，則DF+BF+BE+DE＝4DE＝60cm，于是得到問題的答案．

【解答】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AD∥CB，

∴∠OED＝∠OFB，

∵點O是?ABCD對角線的交點，

∴OD＝OB，

在△ODE和△OBF中，

，

∴△ODE≌△OBF（AAS）．

（2）解：連接BE，DF，

由（1）得△ODE≌△OBF，

∴DE＝BF，

∵DE∥BF，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，

∵EF⊥BD，

∴四邊形BEDF是菱形，

∴DF＝BF＝BE＝DE＝15cm，

∴DF+BF+BE+DE＝4DE＝4×15＝60（cm），

∴四邊形BEDF的周長為60cm．

【點評】此題重點考查平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質、菱形的判定與性質等知識，推導出∠OED＝∠OFB，OD＝OB，進而證明△ODE≌△OBF是解題的關鍵．

21．（9分）某市為治理污水，保護環境，需鋪設一段全長為3000米的污水排放管道，為了減少施工對城市交通所造成的影響，實際施工時每天的工效比原計劃增加25%，結果提前15天完成鋪設任務．

（1）求原計劃與實際每天鋪設管道各多少米？

（2）負責該工程的施工單位，按原計劃對工人的工資進行了初步的預算，工人每天人均工資為300元，所有工人的工資總金額不超過18萬元．該公司原計劃最多應安排多少名工人施工？

【分析】（1）設原計劃每天鋪設管道x米，則實際施工每天鋪設管道（1+25%）x，根據原計劃的時間＝實際的時間+15列出方程，求出方程的解即可得到結果；

（2）設該公司原計劃應安排y名工人施工，根據工作時間＝工作總量÷工作效率計算出原計劃的工作天數，進而表示出所有工人的工作總額，由所有工人的工資總金額不超過18萬元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整數解即可．

【解答】解：（1）設原計劃每天鋪設管道x米，則實際施工每天鋪設管道（1+25%）x＝1.25x米，

根據題意得：+15＝，

解得：x＝40，

經檢驗x＝40是分式方程的解，且符合題意，

∴1.25x＝50，

則原計劃與實際每天鋪設管道各為40米，50米；

（2）設該公司原計劃應安排y名工人施工，3000÷40＝75（天），

根據題意得：300×75y≤180000，

解得：y≤8，

∴不等式的最大整數解為8，

則該公司原計劃最多應安排8名工人施工．

【點評】此題考查了分式方程的應用，以及一元一次不等式的應用，弄清題意是解本題的關鍵．

22．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象l與反比例函數y＝的圖象交于M（，4），N（n，1）兩點．

（1）求反比例函數及一次函數的表達式；

（2）求△OMN的面積；

（3）若點P是y軸上一動點，連接PM，PN．當PM+PN的值最小時，求點P的坐標．

【分析】（1）依據題意，由M（，4）在反比例函數y＝上，可得k的值，進而求出反比例函數，再將N代入求出N的坐標，最后利用待定系數法求出一次函數的解析式；

（2）依據題意，設直線l交x軸于點A，交y軸于點B，由直線l為y＝﹣2x+5，可得A（，0），B（0，5），故OA＝，OB＝5，再由S△OMN＝S△AOB﹣S△AON﹣S△BOM＝×AO×BO﹣×AO?yN﹣×BO×xM，進而計算可以得解；

（3）依據題意，作點M關于y軸的對稱點M'，連接M'N交y軸于點P，則PM+PN的最小值等于M'N的長，結合M（，4）與M'關于y軸對稱，故M'為（﹣，4），又N（2，1），可得直線M′N為y＝﹣x+，再令x＝0，則y＝，進而可以得解．

【解答】解：（1）由題意，∵M（，4）在反比例函數y＝上，

∴k＝×4＝2．

∴反比例函數表達式為y＝．

又N（n，1）在反比例函數y＝上，

∴n＝2．

∴N（2，1）．

設一次函數表達式為y＝ax+b，

∴．

∴a＝﹣2，b＝5．

∴一次函數的表達式為y＝﹣2x+5．

（2）由題意，如圖，設直線l交x軸于點A，交y軸于點B，

又直線l為y＝﹣2x+5，

∴A（，0），B（0，5）．

∴OA＝，OB＝5．

∴S△OMN＝S△AOB﹣S△AON﹣S△BOM＝×AO×BO﹣×AO?yN﹣×BO×xM

＝××5﹣××1﹣×5×

＝．

（3）由題意，如圖，作點M關于y軸的對稱點M'，連接M'N交y軸于點P，則PM+PN的最小值等于M'N的長．

∵M（，4）與M'關于y軸對稱，

∴M'為（﹣，4）．

又N（2，1），

∴直線M′N為y＝﹣x+．

令x＝0，則y＝，

∴P（0，）．

【點評】本題主要考查了反比例函數與一次函數的交點問題，解題時要熟練掌握并能靈活運用反比例函數的性質是關鍵．

23．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的一點，點P是BA延長線上的一點，連接AC，∠PCA＝∠B．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）若sin∠B＝，求證：AC＝AP；

（3）若CD⊥AB于D，PA＝4，BD＝6，求AD的長．

【分析】（1）如圖，連接OC，根據AB是⊙O的直徑，可知∠ACB＝90°，根據OB＝OC，可得∠B＝∠BCO，再根據∠PCA＝∠B，可知OC⊥PC，故PC是⊙O的切線；

（2）根據sin∠B＝，可知∠B＝30°，則∠PCA＝30°，根據∠ACB＝90°，則∠CAB＝60°，可得∠P＝30°，故∠PCA＝∠P，可證AC＝AP；

（3）設AD＝x，在Rt△ACB中，CD⊥AB，可得CD2＝AD×BD＝6x，易證△PAC∽△PCB，故PC2＝PA?PB＝4（6+4+x）＝4（10+x），在Rt△PCD中，由勾股定理得PD2+CD2＝PC2，即（4+x）2+6x＝4（10+x），求解即可．

【解答】（1）證明：如圖，連接OC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠BCO+∠OCA＝90°，

∵OB＝OC，

∴∠B＝∠BCO，

∵∠PCA＝∠B，

∴∠PCA＝∠BCO，

∴∠PCA+∠OCA＝90°，

∴OC⊥PC，

∴PC是⊙O的切線；

（2）證明：∵sin∠B＝，

∴∠B＝30°，

∴∠PCA＝∠B＝30°，

由（1）知∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝60°，

∴∠P＝∠CAB﹣∠PCA＝30°，

∴∠PCA＝∠P，

∴AC＝AP；

（3）設AD＝x，

在Rt△ACB中，CD⊥AB，

∴CD2＝AD×BD＝6x，

∵∠P＝∠P，∠PCA＝∠B，

∴△PAC∽△PCB，

∴，

∴PC2＝PA?PB＝4（6+4+x）＝4（10+x），

在Rt△PCD中，由勾股定理得PD2+CD2＝PC2，

即（4+x）2+6x＝4（10+x），

整理得x2+10x﹣24＝0，

解得x1＝2，x2＝﹣12（舍去），

故AD＝2．

【點評】本題考查切線的判定，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的性質與判定，三角函數等知識，熟慮掌握這些數學知識進行分析是解題的關鍵．