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文檔簡介
第28講等差數列（精講）題型目錄一覽①等差數列基本量的計算②等差數列的性質及其應用③等差數列的前n項和④等差數列中中SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關系⑤等差數列的判定與證明一、知識點梳理一、知識點梳理一、等差數列的有關概念1.等差數列的定義一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母SKIPIF1<0表示，定義表達式為SKIPIF1<0（常數）SKIPIF1<0．2.等差中項的概念若三個數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數列，則SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等差中項，且有SKIPIF1<0．二、等差數列的有關公式1.等差數列的通項公式如果等差數列SKIPIF1<0的首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，那么它的通項公式是SKIPIF1<0．2.等差數列的前SKIPIF1<0項和公式設等差數列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．三、等差數列的常用性質已知SKIPIF1<0為等差數列，SKIPIF1<0為公差，SKIPIF1<0為該數列的前SKIPIF1<0項和．1.通項公式的推廣：SKIPIF1<0．2.在等差數列SKIPIF1<0中，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．3.SKIPIF1<0，…仍是等差數列，公差為SKIPIF1<0．4.SKIPIF1<0，…也成等差數列，公差為SKIPIF1<0．5.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等差數列，則SKIPIF1<0也是等差數列．四、等差數列的前n項和公式與函數的關系SKIPIF1<0．數列SKIPIF1<0是等差數列?SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數）．【常用結論】1.等差數列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．2.等差數列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．3.等差數列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．4.若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0為等差數列，且前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．二、題型分類精講二、題型分類精講題型一等差數列基本量的計算策略方法解決等差數列運算問題的思想方法(1)方程思想：等差數列的基本量為首項a1和公差d，通常利用已知條件及通項公式或前n項和公式列方程(組)求解，等差數列中包含a1，d，n，an，Sn五個量，可“知三求二”．(2)整體思想：當所給條件只有一個時，可將已知和所求都用a1，d表示，尋求兩者間的聯系，整體代換即可求解．(3)利用性質：運用等差數列性質可以化繁為簡、優化解題過程．【典例1】在等差數列中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則201是數列的第幾項（
）A．59 B．60 C．61 D．62【典例2】在等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（
）A．2 B．6 C．8 D．12【題型訓練】一、單選題1．已知SKIPIF1<0為等差數列，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（
）A．1 B．2 C．3 D．42．等差數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（
）A．5 B．7 C．9 D．113．在等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=（
）A．9 B．11 C．13 D．154．設SKIPIF1<0為等差數列，若SKIPIF1<0，則公差SKIPIF1<0（
）A．－2 B．－1 C．1 D．25．在等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（
）．A．3 B．5 C．7 D．96．中國古代數學名著《算法統宗》中有一道題：“今有七人差等均錢，甲乙均五十八文，戊己庚均六十文，問乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚這七個人，所分到的錢數成等差數列，甲、乙兩人共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，問乙、丁兩人各分到多少文錢？則下列說法正確的是（）A．乙分到28文，丁分到24文 B．乙分到30文，丁分到26文C．乙分到24文，丁分到28文 D．乙分到26文，丁分到30文7．等差數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（
）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知等差數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的前20項和SKIPIF1<0（
）A．200 B．300 C．210 D．320二、填空題9．在等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的公差是．10．已知等差數列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0．11．等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是.12．已知等差數列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．13．已知數列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為等差數列，則通項公式為．14．已知等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若在數列SKIPIF1<0每相鄰兩項之間插入三個數，使得新數列也是一個等差數列，則新數列的第43項為.題型二等差數列的性質及其應用策略方法利用等差數列的性質解題的兩個關注點(1)兩項和的轉換是最常用的性質，利用2am＝am－n＋am＋n可實現項的合并與拆分，在Sn＝eq\f(na1＋an,2)中，Sn與a1＋an可相互轉化．(2)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數列，可求S2m或S3m．【典例1】已知等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（
）A．30 B．40 C．50 D．45【典例2】已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中項是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中項是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中項是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型訓練】一、單選題1．已知數列SKIPIF1<0是等差數列，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（
）A．7 B．14 C．21 D．7(n-1)2．如果等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0（
）A．14 B．12 C．28 D．363．已知等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（
）A．30 B．15 C．5SKIPIF1<0 D．10SKIPIF1<04．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為等差數列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的前5項和為（
）A．35 B．40 C．45 D．505．現有茶壺九只，容積從小到大成等差數列，最小的三只茶壺容積之和為0.5升，最大的三只茶壺容積之和為2.5升，則從小到大第5只茶壺的容積為（
）A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升6．一個等差數列的前3項之和為12，第4項為0，則第6項為（
）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．27．數列SKIPIF1<0是等差數列，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（
）A．SKIPIF1<0 B．4 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣的日影長度依次成等差數列，冬至、立春、春分這三個節氣的日影長度之和為SKIPIF1<0尺，前九個節氣日影長度之和為SKIPIF1<0尺，則谷雨這一天的日影長度為（
）A．SKIPIF1<0尺 B．SKIPIF1<0尺 C．SKIPIF1<0尺 D．SKIPIF1<0尺9．“SKIPIF1<0”是“數列SKIPIF1<0為等差數列”的（
）．A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件10．公差不為零的等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則下列各式一定成立的是（
）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題11．已知等差數列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=12．已知等差數列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.13．在等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.14．在等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的根，則SKIPIF1<0＝.15．已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.題型三等差數列的前n項和策略方法在等差數列中，SKIPIF1<0，…仍成等差數列；SKIPIF1<0也成等差數列．【典例1】設SKIPIF1<0是等差數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（
）A．16 B．18 C．20 D．22【典例2】已知SKIPIF1<0為等差數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（
）A．4 B．7 C．8 D．9【題型訓練】一、單選題1．已知等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0項和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（
）A．7 B．10 C．11 D．132．一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的喇嘛式實心塔群，是中國現存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一，塔的排列順序自上而下，第一層1座，第二層3座，第三層3座，第四層5座，第五層5座，從第五層開始，每一層塔的數目構成一個首項為5，公差為2的等差數列，總計一百零八座，則該塔共有（
）A．八層 B．十層 C．十一層 D．十二層3．記SKIPIF1<0是公差不為0的等差數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的公差為（
）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．44．南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”，“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，······，則第十層有（
）個球．
A．12 B．20 C．55 D．1105．《數書九章》有這樣一個問題：有5位士兵按從低到高站成一排（從低到高依次為甲、乙、丙、丁、戊），身高依次成等差數列，已知乙士兵的身高為5尺1寸，這五位士兵身高之和為26尺（1尺為10寸），則丁士兵的身高為（
）A．5尺2寸 B．5尺3寸 C．5尺4寸 D．5尺5寸6．記SKIPIF1<0為等差數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（
）A．25 B．22 C．20 D．157．已知等差數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．6 B．12 C．18 D．248．）在等差數列{an}中，a3+2a5+a9=10，則數列{an}前10項的和為（
）A．20 B．24 C．25 D．289．在項數為SKIPIF1<0的等差數列SKIPIF1<0中，其前SKIPIF1<0項的和為SKIPIF1<0，最后SKIPIF1<0項的和為SKIPIF1<0，所有項的和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（
）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．設SKIPIF1<0為正項等差數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（
）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．已知等差數列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n項和分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（
）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．若兩個等差數列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（
）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題13．已知等差數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則（
）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．設等差數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和是SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則（
）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空題15．已知等差數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則公差為.16．記等差數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0．17．若等差數列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數列SKIPIF1<0的前10項的和為.18．已知等差數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．19．已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均為等差數列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的前60項的和為．20．設等差數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．21．已知兩個等差數列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前n項和分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.題型四等差數列中SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關系策略方法等差數列中SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關系數列的前項和和通項的關系：則【典例1】已知數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（
）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】已知數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型訓練】一、單選題1．已知數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（
）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知數列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（
）A．5 B．6 C．7 D．83．已知數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（
）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知SKIPIF1<0為數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（
）A．27 B．28 C．29 D．305．設SKIPIF1<0為數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和.若SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（
）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知正項數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（
）A．4045 B．4042 C．4041 D．40407．在無窮正項等差數列SKIPIF1<0中，公差為SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0是等差數列”是“存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0”的（
）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，則下列結論正確的是（
）A．數列SKIPIF1<0是等差數列B．數列SKIPIF1<0是遞增數列C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數列D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數列二、多選題9．設無窮數列SKIPIF1<0為正項等差數列且其前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則下列判斷正確的是（
）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．等差數列SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和分別為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則（
）A．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0三、填空題11．已知等差數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．12．數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，則該數列的通項公式為.13．已知數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的通項公式為.14．正項數列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的通項公式為.15．已知數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等差數列，若SKIPIF1<0，則使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同時成立的k的值為．題型五等差數列的判定與證明策略方法等差數列的判定與證明的方法方法解讀適合題型定義法SKIPIF1<0為同一常數?SKIPIF1<0是等差數列解答題中的證明問題等差中項法SKIPIF1<0成立?SKIPIF1<0是等差數列通項公式法SKIPIF1<0為常數）對任意的正整數SKIPIF1<0都成立?SKIPIF1<0是等差數列選擇、填空題中的判定問題前SKIPIF1<0項和公式法驗證SKIPIF1<0為常數）對任意的正整數SKIPIF1<0都成立?SKIPIF1<0是等差數列【典例1】已知數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0.(1)求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)求證：數列SKIPIF1<0是等差數列.【題型訓練】一、單選題1．已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（
）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．記數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0為等差數列”的（
）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知數列SKIPIF1<0各項為正數，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（
）A．SKIPIF1<0是等差數列 B．SKIPIF1<0是等比數列C．SKIPIF1<0是等差數列 D．SKIPIF1<0是等比數列4．）已知數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（
）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（
）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知數列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（
）A．1 B．2 C．3 D．20227．已知數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（
）A．8 B．9 C．10 D．118．數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），SKIPIF1<0，其前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（
）A．47 B．46 C．45 D．44二、多選題9．設數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則下列能判斷數列SKIPIF1<0是等差數列的是（
）A．SKIPIF1<
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