專題11募函數

(幕函數的定義與圖像，幕函數的性質)

知識梳理

一、幕函數

1、幕的有關概念：

正整數指數幕：0n=a?a,???a(neN*)

〃個

零指數幕：。°=1(〃w0)

負整數指數幕：ai='(awO,peN*)

ap

分數指數幕：

=n>Q,m,neN*且〃>1)

--11*

an=----=——1=(a>0,根,〃￡N,n>1)

mnIm

a〃7a

2、幕函數的定義：

形如y=xk的函數叫幕函數。

注意：幕函數的底數是變量X,系數是1,高中階段指數取有理數廉

3、幕函數的圖象.

根據幕函數的定義域，先作出其在第一象限的圖象,再由其奇偶性作出其他象限的圖形，具

體見下圖,y=x"keQ）的圖象.

其中n,meN*,m>2,m,n互質.

4、幕函數的性質

所有的幕函數在（0,+8）都有定義，并且函數圖像都通過點（1,1）

?k>0時：（圖A）

（1）圖象都通過（0,0）,（1,1）;

（2）在第一象限內，函數值隨x的增大而增大（增函數）。

?k<0時；（圖B）

（1）圖象都通過點（1,1）（2）在第一象限內，函數值隨x的增大而減?。p函數）

（3）在第一象限內，圖象向上與y軸無限地接近，向右與x軸無限地接近。

?設幕函數》的指數上=@,其中P、q互素

P

當P是偶數時，＞=/的定義域關于原點不對稱，故它是非奇非偶函數；

當P是奇數時，如果q是偶數，那么y=/是偶函數；如果q是奇數，那么＞=/是奇函

數

當左時，幕函數的單調區間是整個定義域，或是將定義域分為兩個單調區間.具體情

況可由上述圖像直觀得到

熱身練習

1、下列命題中正確的是（）

A當m=0時，函數＞=廿的圖像是一條直線B幕函數的圖像都經過（0,0）,

（1,1）兩點

C幕函數y=廿圖像不可能在第四象限內D若幕函數y=xm為奇函數，則

）=/是定義域內的增函數

【難度】★【答案】C

2、黑函數①y=xL②及直線③y=l,④x=l將直角坐標系第一象限分成八個區域：

3

I,u,m，IV,v,VI,vn,vm,那么幕函數、=『2的圖象在第一象限中經過的區域是

()

A.IV,VII;B.IV,VID;C.Ill,W;D.Ill,vn

【難度】★

【答案】D

3、設ae,則使函數y=x"的定義域為R且為奇函數的所有a的值為

【難度】★★【答案】1,3

4、求函數,=%混+'"+1(^^^0的定義域、值域，并判斷其單調性

【難度】★★

【答案】因為冽2+相+1=m(祖+1)+1必為奇數，且大于0,所以定義域為R,值域為

并且在(一℃,+◎上為增函數

例題解析

考點一、幕函數的概念

【例1】下列函數中，是幕函數的是()

A.y=B.y=(^\C.y=H0,y=(—2x)7

【難度】★【答案】A

_3

【例2】函數y=Q的定義域是.

【難度】★★【答案】(0,+oo)

【例3】函數y=(/是黑函數,求機的值

【難度】★★【答案】-1或2

【例4】函數y=（如2+4x+機+2）4+（蘇-如+1）的定義域是全體實數，則實數力的取值范圍是

【難度】★★【答案】（括T+8）

【鞏固訓練】

L如果募函數⑴的圖象經過點（2,看）,則/⑷的值等于（）.

A.16B.2C.—D.-

162

【難度】★【答案】D

2.下列幕函數中過點（0,0）,（1,1）的偶函數是（）.

l_I

A.y=x2B.y=x4C.y=x~2D.y=x3

【難度】★★【答案】B

3.求函數y=￡+尸-（x-3）°的定義域

【難度】★★【答案】{x|x>0,且r*3}

4.關于幕函數有下列的四個命題，其中，真命題是（）.

A.幕函數中不存在既不是奇函數又不是偶函數的函數

B.如果一個幕函數有反函數，那么它一定為奇函數

C.圖像不經過點（-口）的黑函數，一定不是偶函數

D.如果兩個幕函數有三個公共點，那么，這兩個函數一定相同

【難度】★★【答案】C

考點二、幕函數的奇偶性

【例5】已知幕函數尸靖…/")與尸+FmeZ)的圖象都與x、y軸都沒有公共點，且

y=x%2(〃zeZ)的圖象關于y軸對稱，求機的值.

【難度】★★【答案】m=2,4,6

【例6】已知函數/(月=鏟皿2+，”+3(7”")為偶函數，且/(3)</(5),求根的值，并確定了(x)的

解析式.

【難度】★★【答案】/(X)=f

_|_Id_|_212_|_%

【例7】/(x)=------匚~n----的最大值為M,最小值為〃z,則M+7〃=___________

2x~+|x|

【難度】★★【答案】2

【鞏固訓練】

7+3Z-2?

3

1.黑函數f(X)=(t-t+l)X^是偶函數，且在(0,+00)上為增函數，求函數解析式.

28

【難度】★★【答案】/(X)=或/(尤)=.

2.已知幕函數y=x時2(相eN)的圖象與x軸、y軸都無交點，且關于,軸對稱，求加的值,

并畫出它的圖象

【難度】★★

【答案】圖象與X，y軸都無交點，...m—2W0,即機<2.又加€^^；.加=0,1,2.

幕函數圖象關于y軸對稱，：.“2=0,或"z=2.

當加=0時，函數為>=%-2,圖象如圖1；當加=2時，函數為y=x°=1（x/0）,圖象如圖

考點三、幕函數的圖像和單調性

【例8】比較下列各組數的大小：

,J333

⑴1.5弓，1.73，1；⑵卜//，卜6），,卜行’；

【難度】【答案】（1）底數不同，指數相同的數比大小，可以轉化為同一幕函數，不同函

1J1

數值的大小問題..?T=如在（°，+8）上單調遞增，且1.7>1.5>1,,-.1.73>1,53>1.

3333

（2）底數均為負數，可以將其轉化為卜0）7=_（五曰，卜百y=_（百y,

33

f一回

3

,??二"在0+⑹上單調遞增，良小,

333333

???（石”（百”（后’，即一即上一（百y<—（gy,

（3）先將指數統一，底數化成正數.

1010

,=%1在（0,+8）上單調遞減，且:<［<1.21,.

>(1.21尸,

_正丫3

>(-l.lp-

【例9】黑函數y=——在第二象限內為x的減函數，求m的最大負整數值

^2-m-m

【難度】★★

【答案】原函數即為y=—+%2wo）,要使得y=—+”，-2（X/））在第二象限有定義，則必

為偶函數，于是m2+m-2>0,解不等式得m<-2或m>l,當m=-3時，0?+111-2=4是偶數，滿足函

數是偶函數，m=-3為所求。

【例10］已知函數"x）="+〃z）--2%3,當m為何值時，“X）在第一象限內它的圖像

是上升曲線

【難度】★★

m2+m>0

【答案】-℃,-!)(3,+oo)或機e(—l,0)

m1—2m—3>0m1-2m-3<0

【例11］若（機+1）4<（3-2相）4,試求實數M的取值范圍.

【難度】★★【答案】m<~,或m〉4

【例12】已知函數（1+a）3<（3-2a）3,求a的取值范圍

【難度】★★

【答案】根據幕函數的性質,

6Z+1<061+1>0

6Z+l<0

有三種可能：<或<3-2。<0或<3-2。>0,解得：

3-2a>0

。+1>3—2〃〃+1>3—2a

aG(-oo,-1)

【例13】f(x)=\'",不等式/(I—，)>/(2x)的解集________________

0,x<0

【難度】★★【答案】"l<x<V2-l

【例14】已知定義在R上的奇函數/(x)滿足/(%)=/+2](x?0),若/(3-/)>/(2a),則

實數。的取值范圍是.

【難度】★★【答案】一3VXV1

【例15】(1)/(尤)的圖像向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得到g(x)=--------

2x-l

的圖像，則/(x)=______________________

(2)/(x)=*,(a〉6〉0)的單調區間______________,對稱中心___________,若

x+b

/(X)是由某個幕函數平移得到，則a,b滿足的條件

【難度】★★【答案】⑴/(勸=區](2)(f,詢和(-仇內)；(-6,1)；a-b=l

2x-5

【例16】利用幕函數圖象，畫出下列函數的圖象(寫清步驟)

2

（l）y=（x-2）--3-1;⑵y=:y+2r+2.

x+2x+1

【難度】★★

5_5

【答案】⑴函數y=（尤-2/-1的圖象可以由y=x=的圖象向右平移2個單位，再向下平

移1個單位而得到.

2?。?。[1-1

(2)y=————---+1=---y+l,把函數,y==的圖象向左

x+2%+1x+2%+1(%+1)x

+2Y+2_

平移1個單位，再向上平移1個單位，可以得到函數y=X十"十N的圖象.

%2+2X+1

【例17］（1）口=a,（x>0）有兩個不同的解，貝心的取值范圍

（2）,（?！?>0）的單調區間_______________

|x|+b

（3）方程*+隹尸1=0的解可視為函數尸塊的圖像與函數尸工的圖像交點的橫坐標，若

X

F+HX-4=0的各個實根為，面，xk（右4）所對應的點（處,生）（，=1,2,…，A）均在直線P

Xi

=弟勺同側，則實數a的取值范圍是

【難度】★★【答案】（1）（0,1）⑵（臼）,_6）和（一七+00）⑶（—oo,-6）U（6,+co）

【鞏固訓練】

1.下列函數中，在（-%。）是增函數的是（）

3913

A.y=xB.y=xC.y=一D5

xL

【難度】★★【答案】A

2.比較下列各組中兩個值大小

6655

(1)0.6元與0.7元(2)(-0.88)嗚(-0.89戶.

【難度】★★

A66

【答案】(1),函數y=x”在(0收)上是增函數且0Vo.6<0.7<+?.，.0@<0.7口

555

(2)函數y=戶在(0,-KX))上增函數且0v0.88<0.89V0.88i<0.89§

5555

-0.883>-0.893,即(-0.88)3<(-0.89P.

\_

4.若（切+1）5＜（3-2根）5,試求實數7通取值范圍.

【難度】★★【答案】

3

5、函數y=/和y=爐圖象滿足（）

A.關于原點對稱B.關于x軸對稱

C.關于y軸對稱D.關于直線,=大對稱

【難度】★★【答案】D

4

6、函數＞=/的圖象是（）

ABCD

【難度】★★【答案】A

7、igf(x)=x+x3,^a+b>0,b+c>0,a+c>0,則/(a)+/(Z?)+f(c)與0的大小關系

【難度】★★【答案】>

8、/(x)=<0,若關于x的方程/2(%)+/(%)+。=0有三個不同的實數解

、l,(x=l)

，"2，*3'貝［|X：+君+君=

【難度】★★【答案】5

考點四、幕函數綜合運用(性質運用、與方程、不等式的聯系)

【例18】已知函數/(%)=”2+*+2(左eN)滿足/(2)</(3),

(1)求k的值并求出相應的/(x)的解析式；

(2)對于(1)中得到的函數/(x),試判斷是否存在正實數q,使函數

「17~

g(x)=l-Mx)+(2q-l)x在區間［-1,2］上的值域為-4,胃？若存在，求出q;若不存在,

說明理由。

【難度】★★★

【答案】⑴因為/(2)</(3),所以/(x)在第一象限是增函數

故一左2+左+2>0,解得一1<女<2,又左eN,所以左=0或左=1,

當左=0或左=1時，-k~+k+2=2,所以/(x)=d

(2)假設存在q>0滿足題設，由⑴矢口，g(x)=-qx2+(2q-l)x+1,xe［-1,2］

因為g(2)=-1,所以兩個最值點只能在端點(-1,g(-D)和頂點(2B,虹里)處取到，

2q4q

4/+14/+1(旬一1)2

而------g(T)=------(2-3q)=--——>0,

4q4q4q

所以gQ)max=4，「1=?,g(x)min=g(-2)=2-3q=-4,解得q=2,所以存在4=2滿

4q8

足題意。

ZVI"2-L1

【例19】已知函數/卜)=乎二是奇函數，a,b,c為常數

十C

(1)求實數C的值；

(2)若a,6eZ,且/⑴=2,〃2)<3,求/("的解析式；

(3)對于(2)中的/(x),若/(X)2/M-2X對xe(0,4<o)恒成立，求實數加的取值范圍

【難度】★★

【答案]⑴/(—%)=—/(%),：.4+1

"4"1-C"4-1-C

:.-bx-\-c=—bx—c.?.6?=()

⑵/(1)=2,/(2)<-3,b

汕<3

[2b

a+l=2b

4Q+1

4〃+1qn<3n—l<〃<2

Q+1

~2T

〃=0或1,當a=O時，b=；(舍)，當a=l時，b=l,f(x)=

/(x)=x+—/.x+—N根-2xn加<3%+—又寸%￡(0,+oo)恒成立

⑶xxx

3x+->2y/3,當且僅當％=正時等號成立即苫=立時,

3x+-|=2y/3：.m<2A/3

x33?^7min

【例20】對于函數y=/(x),xeD,若同時滿足以下條件：①/(x)在D上單調遞增或單調

遞減；②存在區間勿三。，使/(x)在句上的值域也是［。,勿，則稱函數/(x)是閉函

數.

（1）求函數/（乃=-%3,符合條件②的區間［凡切；

4

（2）當〃=03=12時判斷函數y=2x+?是不是閉函數，并說明理由；

x

⑶若函數是閉函數，求實數k的取值范圍.

【難度】★★★

b=-a3

【答案】⑴由/（X）=-/在出向上為減函數，得,4=-匕解之得。=—1/=1,...所

a<b

求區間為［T」.

（2）?。?1,尤2=10,可得了（X）不是減函數，取玉=：,々=擊，可得/（X）在（。,+8）不

是增函數，.?./（X）不是閉函數.

a=k+y/ci+2

（3）設函數符合條件②的區間為3,句，則<

b=k+\lb+2

x2—（2k+l）x+k2-2=0

故a,b是方程X=左+?71的兩個實根，命題等價于12-2有兩個不相等

x>k

2女+1c

----->-2

2

、、99

的實根，當左4—2時，(2左+1)2—4(左2—2)>0,解得女〉一,/.^€(---2].當左>—2

44

22-(2k+l)k+k2-2>0

2k+l7

----->k

2

時，，(2%+1)2-4伏2-2)>0,無解.

k2-(2k+l)k+k2-2>0

9

「北的取值范圍是%￡（-二,-2］.

4

【鞏固訓練】

1

1.若直線>=丘+1與曲線y=x+—了-工有四個不同交點，則實數上的取值范圍是（）.

XX

￡]_1111

A.BC.D.

-和I-8?8898858

【難度】★★★【答案】A

2.已知函數/(X)=1--,是否存在且。［1,-KX)),使得當函數/(%)的定義域

X

為［。㈤，值域為已，勺？若存在，求出。/，若不存在，說明理由；

|_88_

【難度】★★★【答案】a=4-2叵,b=4+2也

3、已知函數/(x)=a/-gx+c(。、cwR),滿足/⑴=0,且/(x)20在xe7?時恒

成立.

(1)求a、c的值；

3h1

(2)^h(x)=^x2-bx+^--,解不等式/(x)+/i(x)<0;

(3)是否存在實數加，使函數g(x)=/(x)-nzx在區間［加，加+2］上有最小值-5?若存在,

請求出m的值；若不存在，請說明理由.

【難度】★★★

【答案】(1)由/(1)=0,得a+c=g,

因為/(x)20在xeR日寸恒成立，所以4>0且4=——4ac<0,ac>—,

416

IPaf--cz>l>—,a2-—<7+—<0,[a-—\<0,所以a=c=^.

<2)16216I4

(2)由⑴/(x)=—x2-—x+—,由/(x)+/z(x)<0,

424

得x?一++?<0,即<0,

所以，當〃<g時，原不等式解集為(。，g);當A>g時,

當6=工時，原不等式解集為空集.

2

F/、12門11

(3)g(x)——x—|—卜〃I\xH—,

4(2)4

g(x)的圖像是開口向上的拋物線，對稱軸為直線％=2m+l.

假設存在實數m,使函數g(x)在區間［加，機+2］上有最小值-5.

①當2m+1VW，即根<-1時，函數g(x)在區間［加，m+2］上是增函數，所以g(m)=-5,

即工機2一(工+用］機+J_=-5,解得m二-3或根=工，因為m<一1,所以m二-3;

4<2J43

②當m<2m+l<m+2,即一14根41時，函數g(x)的最小值為g(2m+1)=-5,

即，(2根+1)2-f—+m\(2m+1)+—=-5,有簞得根=一工一^^或m=--+均舍去;

4<2；42222

③當2m+1>m+2,即加>1時，g(x)在區間［加，根+2］上是減函數，所以g(m+2)=-5,

即工(機+2/+m|(m+2)+—=-5,解得根=-1-2V2或m=一1+2行,

4<2)4

因相>1,所以m=-l+2V2.

綜上，存在實數加，加=-3或機=-1+2行時，函數g(x)在區間［加，根+2］上有最小值

-5.

反思總結

當k＜0,設左j(m,neN*且互質);'貝l]D=(—oo,0)U(0,+℃)

m［右相是奇數,她=(0,+oo)

定義域

業，C、幾，n/\r*口匚BE」若冽是奇數，她=R

當左＞0,設左=—O,〃eN且互質)〈”

m右根是奇數,貝0D=[O,+oo)

冽是偶數時，＞=/是非奇非偶函數

冽是奇數，〃是偶數時，y=J是偶函數

奇偶性

幕函數

機是奇數，〃是奇數時，＞=產是奇函數

當上〉0時，y=/在(0,+oo)是遞增的

單調性(x〉0)＜

當左＜0時，”/在①什⑹是遞減的

'圖像都經過點1,1)

圖像及性，圖像都不經過第四象限

兩個幕函數圖像最多三個交點

課后練習

1.討論幕函數＞=/(4為有理數)的定義域

【難度】★★

【答案】(1)若,貝iJxeR,這是函數的定義域為R.

(2)若aw{負整數}{0},則xw(—o,0)(0,”)，這時函數的定義域是(o,0)(0,-H?)

⑶若a=—(m,?eN*,且m,"互質),則：

m

①加是偶數，xeF,這是函數的定義域是鏟；

②機是奇數，xeR,這時函數的定義域為R

(4)若a=-2(“7,”wN*,且以"互質)，則：

m

①加是偶數，,這是函數的定義域是配；

②加是奇數，無w(—0,0)。(0,+oo),這時函數的定義域是(T?,0)U(0,y).

2.函數＞=/和y=/圖象滿足()

A.關于原點對稱B.關于x軸對稱C.關于y軸對稱D.關于直線

y=x對稱

【難度】★【答案】D

3.已知幕函數y=(weZ)的圖象與x軸、y軸都無交點，且關于原點對稱，求

m的值.

【難度】★★【答案】???黑函數y=2*3(meZ)的圖象與X軸、y軸都無交點，

m2-2m-3<0,/.—l<m<3；

??,meZ,(m2-2m-3)eZ,又函數圖象關于原點對稱，，加2機—3是奇數，J

根=0或加=2.

4.證明幕函數/(x)=/在[0,+8)上是增函數

【難度】★★【答案】設。<玉<馬，

貝(]/(石)一/(%)=石2—/5=6一n=J-”

7X]+、x?

王<x2x{-x2<0+>0

，/(石)一/(%2)<。即/(X1)</(%2)此函數在。+8)上是增函數

5.已知函數/(x)=，一L(m>0,尤>0).

ax

(1)求證：“X)在(0,+8)上是增函數；

(2)若〃x)V2x在(0,+8)上恒成立，求〃的取值范圍；

(3)若“X)在[m,n]上的值域是血，n](m/n),求。的取值范圍.

【難度】★★

【答案】⑴證明:任取玉>%>。

x1>%2>0,xt-x2>0,xt-x2>0,

/(^)-/(%2)>0,即/&)>/(/),故〃x)在(o,+8)上是增函數.

（2）解：?工在@+8）上恒成立，且a〉0,

ax

a>—

c,1在（0,+8）上恒成立,

2xH—

X

當且僅當2X=L（x>0）即時取等號

X2

要使7T在（°，+8）上恒成立，貝（克

乙Xn4

X

故。的取值范圍是［注，+8）.

4

（3）解：由（1）“X）在定義域上是增函數.

11

：?m=于(市),n=f(ri),BPm9—m+l=0,n?--孔+1=0

aa

故方程M-工％+1=0有兩個不相等的正根力，77,注意到根?幾=1,m+n=—>0

aa

故只需要（△=（工）2-4>0,由于a>0,則0<a<g.

a2

6.比例下列各組數的大小.

（1）-88和-6）8；（2）（-2）-3和（-2.5）一3；

2_23

（3）（1.1尸1和（1.2尸1;（4）（4」漢（3.8/和（-1.9）“

【難度】★★

_27277

【答案】⑴-87=_（：）'函數y=3在（0,+8）上為增函數，又則（:）G>（<）G,

o89oy

從而-〈一

(2)幕函數y=/在(-8,0)和(0,+8)上為減函數,又?.?-2>-2.5,(-2)一3<(-2.5)?

⑶幕函數y=「?！乖?0,+8)上為減函數，又.,.1.1一°」>1.2。

22_2_233_22

(4)(4.1)5>p=i-0<(3.8)-3<1"3=1；(-1.9)5<0,(-1.9)5<(3.8/<(4.1)“

7.函數y=J-+2x—24的單調遞減區間是()

A.(—oo,-6]B.[-6,+oo)C.(—oo,-l]D.[-l,+oo)

【難度】★★【答案】A

8.對于幕函數/(%)=/,若0<玉<々，則/(土/)，/(花)；了(％2)大小關系是()

^+x/(%1)+/(x2)%1+x2/(XJ+/(x2)

AA-f(22B-八~^)<2

C.D,無法確定

【難度】★★【答案】A

9.，=尤'7。-9是偶函數，且在(0,+8)是減函數，則整數。的值是.

【難度】★★【答案】5

10.若。w+l)T<(3-2切尸，則實數m的取值范圍為()

B.me(-°°，-1)

【難度】★★【答案】C

11.如圖的曲線是黑函數y=x"在第一象限內的圖象.已知〃分別取±2,土'四個值，與曲線q、

2

%、c3xC4相應的〃依次為（）.

j.

A.2c,l-,--1,-2cB.2,—,—2,

2222

【難度】★★【答案】A

12.已知幕函數/（%）=廿2"時3（m&Z）為偶函數，且在區間（0,+8）上是單調減函數.⑴

求函數/（X）;⑵討論/。）=。/商-一”的奇偶性.

獷（X）

【難度】★★★

【答案】（1）.?./（九）是偶函數，，%2—2根-3應為偶數。又???/（%）在（0,+8）上是單

2

調減函數，m-2m-3<0,-l<m<3O又加《Z,.e.m=0,1,2O

當加二0或2時，加之一2根一3二-3不是偶數，舍去；

2

當機二1時，m-2m-3=~4;BPf（x）=x~^o

（2）F（x）=-^--bx3,F（-x）=-^-+Z?x3