PAGE課時分層作業(yè)(二十七)直線與圓的方程的應用(建議用時：60分鐘)[基礎(chǔ)達標練]一、選擇題1．一輛卡車寬2.7米，要經(jīng)過一個半徑為4.5米的半圓形隧道(雙車道，不得違章)，則這輛卡車的平頂車蓬蓬頂距離地面的高度不得超過()A．1.4米B．3.0米C．3.6米D．4.5米C[可畫出示意圖，如圖所示，通過勾股定理解得|OD|＝eq\r(|OC|2－|CD|2)＝3.6(米)．]2．由y＝|x|和圓x2＋y2＝4所圍成的較小扇形的面積是()A．eq\f(π,4) B．πC．eq\f(3π,4)D．eq\f(3π,2)B[由題意圍成的面積為圓面積的eq\f(1,4)，所以S＝eq\f(1,4)πr2＝π.]3．已知圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0，設(shè)該圓過點(3，5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()A．10eq\r(6) B．20eq\r(6)C．30eq\r(6) D．40eq\r(6)B[圓心坐標是(3，4)，半徑是5，圓心到點(3，5)的距離為1.根據(jù)題意最短弦BD和最長弦(即圓的直徑)AC垂直，故最短弦的長為2eq\r(52－12)＝4eq\r(6)，所以四邊形ABCD的面積為eq\f(1,2)|AC||BD|＝eq\f(1,2)×10×4eq\r(6)＝20eq\r(6).]4．已知點A(－1，1)和圓C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光線從點A經(jīng)x軸反射到圓C上的最短路程是()A．6eq\r(2)－2 B．8C．4eq\r(6) D．10B[點A關(guān)于x軸的對稱點A′(－1，－1)，A′與圓心(5，7)的距離為eq\r(（5＋1）2＋（7＋1）2)＝10.∴所求最短路程為10－2＝8.]5．若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[－3，－1] B．[－1，3]C．[－3，1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C[由題意知，圓心為(a，0)，半徑長r＝eq\r(2).若直線與圓有公共點，則圓心到直線的距離小于或等于半徑長，即eq\f(|a－0＋1|,\r(2))≤eq\r(2)，∴|a＋1|≤2.∴－3≤a≤1.]二、填空題6．若圓(x－1)2＋(y－1)2＝2關(guān)于直線y＝kx＋3對稱，則k的值是________．－2[因為圓是軸對稱圖形，過圓心的直線都是它的對稱軸，所以直線y＝kx＋3過圓心(1，1)，即1＝k＋3，所以k＝－2.]7．如圖所示，A,B是直線l上的兩點，且|AB|＝2.兩個半徑相等的動圓分別與l相切于A,B點，C是兩個圓的公共點，則圓弧AC，CB與線段AB圍成圖形面積S的取值范圍是________．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2－\f(π,2)))[如圖所示，由題意知，當兩動圓外切時，圍成圖形面積S取得最大值，此時ABO2O1為矩形，且Smax＝2×1－eq\f(1,2)·π·12＝2－eq\f(π,2).隨著圓半徑的變化，C可以向直線l靠近，當C到直線l的距離d→0時，S→0，所以S∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2－\f(π,2))).]8．方程eq\r(1－x2)＝x＋k有唯一解，則實數(shù)k的取值范圍是________．{k|k＝eq\r(2)或－1≤k＜1}[由題意知，直線y＝x＋k與半圓x2＋y2＝1(y≥0)只有一個交點．結(jié)合圖形(圖略)易得－1≤k<1或k＝eq\r(2).]三、解答題9．AB為圓的定直徑，CD為直徑，自D作AB的垂線DE，延長ED到P，使|PD|＝|AB|，求證：直線CP必過一定點．[證明]以線段AB所在的直線為x軸，以AB中點為原點，建立直角坐標系，如圖，設(shè)圓的方程為x2＋y2＝r2，直徑AB位于x軸上，動直徑為CD．令C(x0，y0)，則D(－x0，－y0)，所以P(－x0，－y0－2r)．所以直線CP的方程為y－y0＝eq\f(－2r－y0－y0,－x0－x0)(x－x0)，即(y0＋r)x－(y＋r)x0＝0.所以直線CP過直線：x＝0，y＋r＝0的交點(0，－r)，即直線CP過定點．10．如圖，已知一艘海監(jiān)船O上配有雷達，其監(jiān)測范圍是半徑為25km的圓形區(qū)域，一艘外籍輪船從位于海監(jiān)船正東40km的A處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北30km的B處島嶼，速度為28km/h.問：這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測到？若能，持續(xù)時間多長？(要求用坐標法)[解]如圖，以O(shè)為原點，東西方向為x軸建立直角坐標系，則A(40，0)，B(0，30)，圓O方程x2＋y2＝252.直線AB方程：eq\f(x,40)＋eq\f(y,30)＝1，即3x＋4y－120＝0.設(shè)O到AB距離為d，則d＝eq\f(|－120|,5)＝24<25，所以外籍輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測到．設(shè)持續(xù)時間為t，則t＝eq\f(2\r(252－242),28)＝0.5(h)，即外籍輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測到，時間是0.5h.[能力提升練]1．已知集合M＝{(x，y)|y＝eq\r(9－x2)，y≠0}，n＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠?，則實數(shù)b的取值范圍是()A．[－3eq\r(2)，3eq\r(2)] B．[－3，3]C．(－3，3eq\r(2)] D．[－3eq\r(2)，3)C[數(shù)形結(jié)合法，注意y＝eq\r(9－x2)，y≠0等價于x2＋y2＝9(y>0)，它表示的圖形是圓x2＋y2＝9在x軸之上的部分(如圖所示)．結(jié)合圖形不難求得，當－3<b≤3eq\r(2)時，直線y＝x＋b與半圓x2＋y2＝9(y>0)有公共點．]2．圓C：(x－4)2＋(y－4)2＝4與直線y＝kx的交點為P，Q，原點為O，則|OP|·|OQ|＝________．28[如圖，過原點O作☉C的切線OA，連接AC，OC，在Rt△OAC中，|OA|2＝|OC|2－r2＝32－4＝28，由平面幾何知識可知，|OP|·|OQ|＝|OA|2＝28.]3．已知圓C：(x－1)2＋y2＝1，點A(－2，0)及點B(3，a)，從點A觀察點B，要使視線不被圓C擋住，則a的取值范圍為________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5\r(2),4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(2),4)，＋∞))[由題意知，AB所在直線與圓C相切或外離時，視線不被擋住，直線AB的方程為y＝eq\f(a,5)(x＋2)，即ax－5y＋2a＝0，所以d＝eq\f(|3a|,\r(a2＋（－5）2))≥1，即a≥eq\f(5\r(2),4)或a≤－eq\f(5\r(2),4).]4．一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報：臺風中心位于輪船正西60km處，受影響的范圍是半徑長為20km的圓形區(qū)域．已知港口位于臺風中心正北30km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風的影響？[解]建立如圖所示的直角坐標系，取10km為單位長度，由題意知輪船的起點和終點坐標分別為(6，0)，(0，3)，所以輪船航線所在直線方程為eq\f(x