2024屆高三下學期開學摸底考01（新高考專用）數學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．若全集，，，則（

）A． B． C． D．2．設復數對應的點在第四象限，則復數對應的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．記是等差數列的前項和，則“是遞增數列”是“是遞增數列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．函數在上單調遞減，則實數取值范圍是（

）A． B． C． D．5．北京時間2023年2月10日0時16分，經過約7小時的出艙活動，神舟十五號航天員費俊龍、鄧清明、張陸密切協(xié)同，圓滿完成出艙活動全部既定任務，出艙活動取得圓滿成功.載人飛船進入太空需要搭載運載火箭，火箭在發(fā)射時會產生巨大的噪聲，用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中大于0的常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓.聲壓級的單位為分貝，聲壓的單位為帕.若人正常說話的聲壓約為，且火箭發(fā)射時的聲壓級比人正常說話時的聲壓級約大，則火箭發(fā)射時的聲壓約為（

）A． B． C． D．6．已知為銳角，若，則（

）A． B． C． D．7．如圖，已知雙曲線的左?右焦點分別為，，過的直線與分別在第一?二象限交于兩點，內切圓半徑為，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．8．設，則（

）A． B．C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．袋子中有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取5次，每次取一個球．記錄每次取到的數字，統(tǒng)計后發(fā)現這5個數字的平均數為2，方差小于1，則（

）A．可能取到數字4 B．中位數可能是2C．極差可能是4 D．眾數可能是210．英國著名物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數零點.如圖，在橫坐標為的點處作的切線，切線與軸交點的橫坐標為；用代替重復上面的過程得到；一直下去，得到數列，叫作牛頓數列.若函數且，數列的前項和為，則下列說法正確的是（

）

A． B．數列是遞減數列C．數列是等比數列 D．11．如圖，在棱長為1的正方體中，P為棱CC1上的動點(點P不與點C，C1重合)，過點P作平面分別與棱BC，CD交于M，N兩點，若CP＝CM＝CN，則下列說法正確的是（）A．A1C⊥平面B．存在點P，使得AC1∥平面C．存在點P，使得點A1到平面的距離為D．用過點P，M，D1的平面去截正方體，得到的截面一定是梯形12．已知是定義在R上的函數，且不恒為0，為奇函數，為偶函數，為的導函數，則（

）A．B．C．的圖象關于直線對稱D．第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知的展開式中的常數項為240，則．14．若為坐標原點，過點的直線與函數的圖象交于兩點，則．15．設函數，且函數在恰好有5個零點，則正實數的取值范圍是16．如圖，在直三棱柱中，，若為空間一動點，且，則滿足條件的所有點圍成的幾何體的體積為；若動點在側面內運動，且，則線段長的最小值為．

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）（2023·安徽·校聯(lián)考一模）已知數列滿足，且點在直線上(1)求數列的通項公式；(2)數列前項和為，求能使對恒成立的（）的最小值．18．（12分）在中，角所對的邊分別為，已知.(1)求的大小；(2)若，直線分別交于兩點，且把的面積分成相等的兩部分，求的最小值.19．（12分）2023年11月，世界首屆人工智能峰會在英國舉行，我國因為在該領域取得的巨大成就受邀進行大會發(fā)言.為了研究不同性別的學生對人工智能的了解情況，我市某著名高中進行了一次抽樣調查，分別抽取男?女生各50人作為樣本.設事件“了解人工智能”，“學生為男生”，據統(tǒng)計.(1)根據已知條件，填寫下列列聯(lián)表，是否有把握推斷該校學生對人工智能的了解情況與性別有關？了解人工智能不了解人工智能合計男生女生合計(2)①現從所抽取的女生中利用分層抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機選取人贈送科普材料，求選取的人中至少有人了解人工智能的概率；②將頻率視為概率，從我市所有參與調查的學生中隨機抽取人科普材料，記其中了解人工智能的人數為，求隨機變量的數學期望和方差．參考公式：．常用的小概率值和對應的臨界值如下表：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，，是底面的內接正三角形，且，是線段上一點．(1)若平面，求；(2)當為何值時，直線與平面所成角的正弦值最大？21．（12分）已知圓，點，P是圓M上的動點，線段PN的中垂線與直線PM交于點Q，點Q的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)，點E、F（不在曲線C上）是直線上關于x軸對稱的兩點，直線、與曲線C分別交于點A、B（不與、重合），證明：直線AB過定點．22．（12分）已知函數.(1)若，證明：當時，；(2)求所有的實數，使得函數在上單調.2024屆高三下學期開學摸底考01（新高考專用）數學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．若全集，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根據集合的包含關系逐一判斷.【詳解】，，，則，A錯誤，，B錯誤，C正確，或，D錯誤.故選：C.2．設復數對應的點在第四象限，則復數對應的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】由的周期性化簡，計算后判斷所求復數對應點的象限.【詳解】由復數對應的點在第四象限，則設，由得，由，得復數對應的點在第二象限.故選：B.3．記是等差數列的前項和，則“是遞增數列”是“是遞增數列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據等差數列的求和公式可得，即可充要條件的定義求解.【詳解】若是遞增數列，則公差，所以，故，所以為遞增數列，若為遞增數列，則，則，故，所以是遞增數列，故“是遞增數列”是“是遞增數列”的充要條件，故選：C4．函數在上單調遞減，則實數取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函數的定義域，結合復合函數單調性得到答案.【詳解】的定義域是，令，其在定義域上單調遞增，，在上單調遞減，在上單調遞增，由復合函數的單調性可知，.故選：A.5．北京時間2023年2月10日0時16分，經過約7小時的出艙活動，神舟十五號航天員費俊龍、鄧清明、張陸密切協(xié)同，圓滿完成出艙活動全部既定任務，出艙活動取得圓滿成功.載人飛船進入太空需要搭載運載火箭，火箭在發(fā)射時會產生巨大的噪聲，用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中大于0的常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓.聲壓級的單位為分貝，聲壓的單位為帕.若人正常說話的聲壓約為，且火箭發(fā)射時的聲壓級比人正常說話時的聲壓級約大，則火箭發(fā)射時的聲壓約為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據給定的模型，列出火箭發(fā)射時的聲壓級和人正常說話時的聲壓級表達式，聯(lián)立求解即可.【詳解】令人正常說話時的聲壓級為，火箭發(fā)射時的聲壓級為，則，而人正常說話的聲壓，火箭發(fā)射時的聲壓為，于是，，兩式相減得，解得，所以火箭發(fā)射時的聲壓約為.故選：D6．已知為銳角，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由誘導公式求出，再由倍角公式求.【詳解】由誘導公式可得，由倍角公式有，所以，由為銳角，則.故選：D7．如圖，已知雙曲線的左?右焦點分別為，，過的直線與分別在第一?二象限交于兩點，內切圓半徑為，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據雙曲線定義和幾何性質，結合圓的切線長定理與余弦定理即可求解.【詳解】設，內切圓圓心為，內切圓在上的切點分別為，則，由及雙曲線的定義可知，，故四邊形是正方形，得，于是，故，所以，于是，在中，由余弦定理可得，從而，所以.故選：D.8．設，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】易得，構造函數，利用導數判斷出函數的單調性，再根據函數的單調性即可比較的大小關系，即可得解.【詳解】，令，則，令，則，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以，所以在上單調遞增，所以，即，所以.綜上，.故選：A二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．袋子中有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取5次，每次取一個球．記錄每次取到的數字，統(tǒng)計后發(fā)現這5個數字的平均數為2，方差小于1，則（

）A．可能取到數字4 B．中位數可能是2C．極差可能是4 D．眾數可能是2【答案】BD【分析】對于AC：根據題意結合平均數、方差和極差的定義分析判斷；對于BD：舉例說明即可.【詳解】設這5個數字為，對于A：若取到數字4，不妨設為，則，可得，可知這4個數中至少有2個1，不妨設為，則這5個數字的方差，不合題意，故A錯誤；對于C：因為這5個數字的平均數為2，這5個數字至少有1個1，不妨設為，若極差是4，這最大數為5，不妨設為，則這5個數字的平均數，則，可知這3個數有2個1，1個2，此時這5個數字的方差，不合題意，故C錯誤；對于BD：例如2，2，2，2，2，可知這5個數字的平均數為2，方差為0，符合題意，且中位數是2，眾數是2，故BD正確；故選：BD.10．英國著名物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數零點.如圖，在橫坐標為的點處作的切線，切線與軸交點的橫坐標為；用代替重復上面的過程得到；一直下去，得到數列，叫作牛頓數列.若函數且，數列的前項和為，則下列說法正確的是（

）

A． B．數列是遞減數列C．數列是等比數列 D．【答案】ACD【分析】求導得切點處的切線方程，即可令0判斷A,根據對數的運算，結合等差等比數列的定義即可判斷BC，根據等比求和公式即可求解D.【詳解】，所以在點處的切線方程為：，令0，得，故A正確.，故，即，所以數列是以1為首項，2為公比的等比數列，故B錯誤，C正確，所以，D正確.故選ACD.11．如圖，在棱長為1的正方體中，P為棱CC1上的動點(點P不與點C，C1重合)，過點P作平面分別與棱BC，CD交于M，N兩點，若CP＝CM＝CN，則下列說法正確的是（）A．A1C⊥平面B．存在點P，使得AC1∥平面C．存在點P，使得點A1到平面的距離為D．用過點P，M，D1的平面去截正方體，得到的截面一定是梯形【答案】ACD【分析】連接，首先證明平面，然后由⊥平面可判斷A，由平面可判斷B，由點A1到平面的距離的取值范圍為可判斷C，過點P，M，D1的平面去截正方體得到的截面是四邊形，可判斷D.【詳解】

連接因為，所以＝，所以又平面，平面，所以平面同理可證，平面又，、平面，所以平面平面易證⊥平面，所以⊥平面，A正確又平面，所以與平面相交，不存在點P，使得∥平面，B不正確.因為，點到平面的距離為所以點A1到平面的距離的取值范圍為又，所以存在點P，使得點A1到平面的距離為，C正確.因為，所以，所以用過點P，M，D1的平面去截正方體得到的截面是四邊形又，且，所以截面為梯形，D正確故選：ACD12．已知是定義在R上的函數，且不恒為0，為奇函數，為偶函數，為的導函數，則（

）A．B．C．的圖象關于直線對稱D．【答案】ABD【分析】根據已知可得的圖象關于對稱、關于直線對稱，利用對稱性可得的周期可判斷A；對兩邊求導可判斷B；根據，可判斷CD.【詳解】為奇函數，則的圖象關于對稱.又為偶函數，則的圖象關于直線對稱，所以，可得，則的周期為4，對A，，令得，故A選項正確；對B，又，則的圖象關于對稱，則，，令，則，故B正確；對C，因為，則的圖象關于直線對稱，故C錯誤；又，所以，由以上可知，，，函數的周期為4，則，故D正確.故選：ABD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知的展開式中的常數項為240，則．【答案】3【分析】利用二項式展開式的通項公式及給定的常數項求出值.【詳解】的展開式的通項，令得，令，無解，所以的展開式中的常數項為，所以.故答案為：314．若為坐標原點，過點的直線與函數的圖象交于兩點，則．【答案】4【分析】首先得出是函數圖象的對稱中心，所以，然后由數量積的坐標運算公式計算即可.【詳解】因為，所以是函數圖象的對稱中心，則為線段的中點，可得，則．故答案為：4.15．設函數，且函數在恰好有5個零點，則正實數的取值范圍是【答案】【分析】先化簡為，當時，得到.若函數在恰好有5個零點，只需函數在區(qū)間上恰有5條對稱軸．結合正弦函數的圖象可建立，求解即可.【詳解】，令，得，因為函數在恰好有5個零點，所以函數在上恰有5條對稱軸．當時，，令，則在上恰有5條對稱軸，如圖：所以，解得．16．如圖，在直三棱柱中，，若為空間一動點，且，則滿足條件的所有點圍成的幾何體的體積為；若動點在側面內運動，且，則線段長的最小值為．

【答案】【分析】根據球的體積公式即可求解空1，根據球的截面圓性質，結合線面垂直以及點到圓上的最小距離即可求解空2.【詳解】由可得點的軌跡為以為圓心，以為半徑的球面，所以圍成的球的體積為，過作，由，則由等面積法可得,由于在直三棱柱中，平面平面故,由于平面，故平面，由于平面，故,所以,由于到平面的距離和點到平面的距離相等，均為，又，所以點的軌跡為以為圓心，以為半徑的球與側面的截面圓，該截面圓的半徑為,圓心為,且滿足，因此點的最小距離為，故，故答案為：，

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）（2023·安徽·校聯(lián)考一模）已知數列滿足，且點在直線上(1)求數列的通項公式；(2)數列前項和為，求能使對恒成立的（）的最小值．【答案】(1)(2)5【分析】（1）根據等差數列的通項公式求得結果；（2）根據裂項相消求得，并結合不等式恒成立得出結果.【詳解】（1）由點在直線上得，所以數列是以首項為，公差為2的等差數列，故，即．（2），所以，要使對恒成立，，即，又，所以的最小值為5．18．（12分）在中，角所對的邊分別為，已知.(1)求的大小；(2)若，直線分別交于兩點，且把的面積分成相等的兩部分，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）方法一由邊化角結合正弦展開式求得；方法二由余弦定理求得；（2）先用三角形面積公式得出，再結合基本不等式求出最小值.【詳解】（1）方法一：由已知，即，，又.方法二：，即.（2），，.在中，，當且僅當時上式等號成立，的最小值為.19．（12分）2023年11月，世界首屆人工智能峰會在英國舉行，我國因為在該領域取得的巨大成就受邀進行大會發(fā)言.為了研究不同性別的學生對人工智能的了解情況，我市某著名高中進行了一次抽樣調查，分別抽取男?女生各50人作為樣本.設事件“了解人工智能”，“學生為男生”，據統(tǒng)計.(1)根據已知條件，填寫下列列聯(lián)表，是否有把握推斷該校學生對人工智能的了解情況與性別有關？了解人工智能不了解人工智能合計男生女生合計(2)①現從所抽取的女生中利用分層抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機選取人贈送科普材料，求選取的人中至少有人了解人工智能的概率；②將頻率視為概率，從我市所有參與調查的學生中隨機抽取人科普材料，記其中了解人工智能的人數為，求隨機變量的數學期望和方差．參考公式：．常用的小概率值和對應的臨界值如下表：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【詳解】（1）因為，所以了解人工智能的女生為，了解人工智能人數為，則了解人工智能的男生有人，結合男生和女生各有人，填寫列聯(lián)表為：了解人工智能不了解人工智能合計男生401050女生302050合計7030100則，故沒有把握推斷該校學生對人工智能的了解情況與性別有關.（2）解：①由題意可知，所抽取的名女市民中，了解人工智能的有人，不了解人工智能的有人，所以，選取的人中至少有人了解人工智能的概率為；②由列聯(lián)表可知，抽到了解人工智能的學生的頻率為，將頻率視為概率，所以，從我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能學生的概率為，由題意可知，，所以，，.20．（12分）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，，是底面的內接正三角形，且，是線段上一點．(1)若平面，求；(2)當為何值時，直線與平面所成角的正弦值最大？【答案】(1)(2)當時，直線與平面所成角的正弦值最大.【分析】（1）通過勾股定理列方程，化簡求得.（2）建立空間直角坐標系，利用利用向量法求得直線與平面所成角的正弦值，結合基本不等式求得時，此正弦值最大.【詳解】（1），所以，解得，由于三角形是等邊三角形，圓是其外接圓，是圓的直徑，所以垂直平分，，在三角形中，由正弦定理得，則，由于平面，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以,所以.（2）由（1）得，設，，結合圓錐的幾何性質，建立如圖所示空間直角坐標系，，設，則，設平面的法向量為，則，故可設，設直線與平面所成角為，則，由于，當且僅當時等號成立，所以，即當時，直線與平面所成角的正弦值最大.21．（12分）已知圓，點，P是圓M上的動點，線段PN的中垂線與直線PM交于點Q，點Q的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)，點E、F（不在曲線C上）是直線上關于x軸對稱的兩點，直線、與曲線C分別交于點A、B（不與、重合），證明：直線