高中數學必修3知識點

第一章算法初步一，算法與程序框圖

1,算法的概念：按一定規則解決某一類問題的明確和有限的步

驟。2,算法的三個基本特征：明確性，有限性，有序性。

3,程序框圖：也稱流程圖，是一種用程序框，流程線及文字說

明來表示算法的圖形。圖形符號名稱功能

表示一個算法的起始和結束終端框

輸入(輸出框)表示一個算法輸入和輸出的信息

處理框賦值、計算

判斷某一個條件是否成立，成立時在出口處標明“是”或“Y”,

判斷框

不成立時標明“否”或“N

流程線連接程序框

連接程序框圖的兩部分連接點

,三種程序框圖4

(1)順序結構：順序結構在程序框圖中的體現就是用流程線

將程序框自上而下地連接起來，按順序執行算法步驟。

(2)條件結構：條件結構是指在算法中通過對條件的判斷根據

條件是否成立而選擇不同流

向的算法結構。

（3）循環結構：直到型循環結構，當型循環結構。一個完整的

循環結構，應該包括三個內容：1）循環體；2）循環判斷語句；

3）與循環判斷語句相關的變量。二，基本算法語句（一定要

注意各種算法語句的正確格式）

1,輸入語句“提示內容”；表達式INPUT注意：提示內容

用雙引號標明，并

與變量用分號隔開。

2,輸出語句“提示內容”；表達式PRINT

變量=表達式注意：“=”的含義是賦值，3,賦值語句將

右邊的值賦予左邊的變量

條件THENIFTHEN,條件語句條件IF4語句體1

語句體ELSEIFEND語句體2

ENDIF

5,循環語句：直到型當型

條件WHILEDO

循環體循環體1WENDUNTILLOOP條件

直到型和當型循環可以相互演變，循環體相同，條件恰好互補。

三，算法案例

，輾轉相除法：1例：求2146與1813的最大公約數

2146=1813X1+333

1813=333X5+148

333=148X2+37

..............余數為0時計算終止。148=37X4+0

37為最大公約數

2,更相減損術：以較大的數減去較小的數，接著把較小的數與

所得的差比較，并以大數減

小數。繼續這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數(等數)

就是所求的最大公約數。

nX+f(x)=ax+ax+a+a改寫成，秦九韶算法：將3止

1

n-110n

f(x)=((ax+a)x+a)x++a)x+a再由內及

外逐層計算。01nn-2n-1

進制與十進制的互化。K4,進位制：注意

10212)例：將三進制數1化為十進制數⑶

23410212⑶=2+1X3+2X3+0X3+1X3=104

2)例：將十進制數104化為三進制數

104=3X34+2.............最先出現的余數是三進制數的最

右一位

34=3X11+1

11=3X3+2

3=3X1+0

商數為0時計算終止1=3X0+1......................

10212=1o4

⑶第二章統計

一，隨機抽樣

1,簡單隨機抽樣：一般地，設一個總體含有N個個體，從中逐

個不放回地抽取n個個體作

為樣本，如果每次抽取時總體內的各個個體被抽取到的機會都

相等，就把這種抽樣方法叫做

簡單隨機抽樣。（關鍵詞）逐個，不放回，機會相等

,隨機數表法的步驟：2

1）編號；2）確定起始數字；3）按一定規則讀數（所讀數不

能大于最大編號，不能重復）。

，系統抽樣的步驟：3NNk=不是整數，段）；分段間隔nn2）

分段（若樣本容量為，則分為）編號；1,若

nn）按照4則剔除余數，再重新分段；3）在第一段用簡單

隨機抽樣確定第一個個體編號；一定

的規則在后面每段內各取一個編號，組成整個樣本。

4,分層抽樣的步驟：

1）確定抽樣比；2）根據個體差異分層，確定每層的抽樣個體數（抽

樣比乘以各層的個體

數，如果不是整數，則通過四舍五入取近似值）；3）在每一層

內抽取樣本（個體數少就用簡單隨機抽樣，個體數多則用系統抽

樣），組成整個樣本。

5,三種抽樣方法的異同點

2

抽樣方法相同點不同適用范圍

個體數目較少簡單隨機抽樣

每個個體被抽取的可能性相同系統抽樣個體數目較多

個體差異明顯分層抽樣

二，用樣本估計總體

1,用樣本的頻率分布估計總體：通過對樣本的分析，得到個體

的頻率分布的情況，進而對

總體中個體的頻率分布情況進行估計。總體中的個體分布的頻

率約等于樣本中的個體分布的頻率；樣本容量越大，這種估計的

精確程度越高。

,繪制頻率分布直方圖的步驟：2

1）求樣本中數據的極差（最大值與最小值的差）；

2）確定組距與組數；（當樣本容量不超過100時，按照數

據多少,一般分成5~12組）

1（若商不是整數，則取其的整數部分再加作為組數）組數=

極差/組距

）將樣本中的數據分組；3

分組頻數頻率4）列頻率分布表；

a組1應包含內容第P11

a組第2P22

???

a組第nPnn

樣本容量合計1

5）畫頻率分布直方圖。（注意橫軸表示個體數據所表示的量,

縱軸表示頻率除以組距；每

個矩形框都是相連的；把縱標所對的值用虛線標明）

3,頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖中各小長方形上端的中

點連接，得到的圖形稱為頻率分布折線圖。

組距減小，相應的頻率分布折線圖就越來越接近一條光滑曲線,

若樣本容量增加，組數增加，稱之為總體密度曲線。

：將樣本中的數據按位數進行比較，將大小基本不變或變化不大

的數位的數，莖葉圖4

,列在主干的后面，這樣就可以清楚地作為主干（莖），將變

化大的數位的數作為分枝（葉）看到每個主干后面的幾個數，每

個數具體是多少。

優點：直觀，能夠保留原始信息，可以隨時補充記錄；

缺點：精度不高，數據較多時不方便記錄。

,用樣本的數字特征估計總體的數字特征5

通過頻率分布直方圖，可以對總體的數字特征進行估計。

）眾數：在一組數據中，出現次數最多的數據叫做這組數據的眾

數。1

直方圖中眾數的估計值是直方圖中最高的矩形的中點的橫坐標;

)中位數：將一組數據按大小依次排列，把處在最中間位置的一

個數據(或最中間兩個數2

據的平均數)叫做這組數據的中位數。

直方圖中中位數的估計值是直方圖使兩邊面積相等的平分線的

橫坐標；1

(xXX)平均數：一組數據的算術平均數，即3x)

21nFI

直方圖中平均數的估計值是頻率分布直方圖中每個小矩形的面

積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和。

3

￡a￡3-

<一.------,彳

y*（后一力’Vx?-JUT

iaj

A——

a?1y-5x

222XXXXXX......n12S，標準差：6n

222

2XX.......XSXXX方差是標準差的平方：n21

n

方差與標準差都是衡量樣本數據分散程度的重要參數，方差（或

標準差）越小，數據越穩定；

方差（或標準差）越大，數據越離散。

三，變量間的相關關系：

1,相關關系：當一個變量取一定的數值時，與之相對應的另一

變量的值雖然不確定，但它

仍按某種規律在一定的范圍內變化。變量間的這種相互關系，稱

為兩變量的相關關系。

2,散點圖：將有相關關系的兩變量的數據作為點的坐標，在平

面直角坐標系中表示出來，

所得到的圖稱之為散點圖。散點圖直觀上是一些分散的點。

正相關：散點散布在從左下角到右上角的區域時，這樣的兩變量的相

關關系，稱為正相關；負相關：散點散布在從左上角到右下角的區域

時，這樣的兩變量的相關關系，稱為負相關。3,線性相關：如果散

點圖中各點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量

之間具有線性相關關系。這條直線稱之為回歸直線。直線的方

程稱之為回歸直線方程。

???,其中：，最小二乘法求回歸直線方程：4

y=bx+a

()x,yo回歸直線必過一個定點：

當一個變量已知時，由回歸直線方程可以估算出另一個變量的近

似值。

5,線性相關系數r：r為正時，表明正相關；r為負時，

表明負相關。r的絕對值越接近1,

r的絕對值越接近0,相關程度越弱。相關程度越強；第

三章概率一，隨機事件的概率

1,事件的分類：必然事件，不可能事件，隨機事件。必然事件

與不可能事件合稱為確定事件。

2,事件A出現的頻率：相同條件S下重復n次試驗，觀察

某一事件A是否出現，稱n次試驗HA為事件A出現的nf

A出現的次數為事件A出現的頻數，稱事件出現的比例

中事件AnAFI

頻率。

()Af穩定在某個發生的頻率3,對于給定的隨機事件AA,如

果隨著試驗次數的增加，事件n

的概率。A的概率，簡稱為，稱為事件P(A)A常數上，把這

個常數記作

4,頻率與概率的區別與聯系：

1)聯系：實驗次數增加時，頻率無限接近概率；一般可以用頻

率來估計概率；

4

2）區別：頻率本身是隨機的，在試驗前不能確定，做同樣次數或

不同次數的重復試驗得到的

,與每次試驗無關.事件的頻率都可能不同；而概率是一個客觀

存在的確定數

BoXgEAcB

n工。u

5,極大似然法：如果我們面臨著從多個可選答案中挑選出正確

答案的決策任務，那么“使

即哪一個答案能夠使事件發生的可能性最得事件出現的可能性

最大”可以作為決策的準則，

大，這個答案即為正解答案。

,事件的關系與運算：6

A發生，則事件B一定發生，稱事件B包含事件A；記作）

包含關系：如果事件1

O不可能事件記作，任何事件都包含不可能事件。①

2）相等關系:如果事件A包含事件B,且事件B包含事件A,

那么稱事件A和事件B相等，

。A=B記作

3）把“事件A發生或事件B發生”看作一個事件C,則事

件C為事件A和事件B的并事件

（）A+B或BA。，記作（或和事件）

4）把“事件A發生且事件B發生”看作一個事件D,則事

件D為事件A和事件B的交事件

（）AB或BA。，記作（或積事件）

AB不能同時發生，即A和B5）若兩事件，那么稱事件A

與事件B互斥。

BABA是必然事件，則稱事件）若6是不可能事件，為對

立事件。即任何A與事件B

A,ABIBo,沒有第三種可能。A,就是事件B一次實驗中發

生的事件不是事件

互斥事件：不可能同時發生的兩個事件叫做互斥

事件

7)定義：

對立事件：其中必有一個發生的事件兩互斥事件

叫做對立事件

互斥事件與對立事件集合角度的理解：

(互斥事件)：(對立事件)

7,概率的幾個基本性質：

1)0<P(A)<1

2)必然事件的概率為1,概率為1的事件不一定是必然事件;

0,概率為3)不可能事件的概率為0的事件不一定是不可能事件；

()()()BP+PA=PBA；互斥，則4)如果兩事件A與B

0()=1PBA+Po與)若兩事件AB對立，則5

二，古典概型

1,古典概型：在試驗中，所有可能出現的基本事件只有有限個，

且每個基本事件出現的可

能性相等，我們將具有這兩個特點的概率模型稱為古典概率模型,

簡稱古典概型。A所包含的基本事件的個數P(A),古典

概型的概率公式：2基本事件的總數

5

三，幾何概型

1,幾何概型：在試驗中，如果每個事件發生的概率只與構成該

事件區域的長度（面積或體

積等）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概型。

2,幾何概型的概率公式：

構成事件A的區域長度（面積或體積）

P（A）=，

區域長度（面積或體積）結果所構成的試驗的全部

3,一般情況下，如果事件的發生與一個變量有關，則幾何概型

的概率公式為長度之比；如果事件的發生與兩個變量有關，則幾

何概型的概率公式為面積之比；

如果事件的發生與三個變量有關，則幾何概型的概率公式為體

積之比；

常考題型

1.最小二乘法的原理是()

n最小bx)]A.使得E[y-(a+ii

1i=n2最小)](a+bxB.使得E[y—ii=Iin22最小)].使得

E[y-(a+bxCii

li=n2最小+bx)]D.使得￡[y-(aii

=1i

nni.用秦九韶算法求一元2xx+a當x=ax+a

+,+an次多項式f(X)01nn1-

)=X時的值時，一個反復執行的步驟是(。

av=ooA.

n2,,,x+ak=1,v=vkikkn—

a=VnoB.

nk=1,2,,,v=vx+akikk

av=nOC.

n,,2vv=x+ak=1,,kikkn—

a=vooD.

n,,,k+a=1,2v=vxkkik

3.某車間生產一種玩具，為了要確定加工玩具所

需要的時間，進行了10次實驗，數據如下：

玩具個數2468101214161820

加工時間471215212527313741

A

若回歸方程的斜率是b,則它的截距是（）

“11b2222-B.a=-11bA.a=

AAAA

C.a=11-22b=22b—11D.a

6

4.為了解《中華人民共和國道路交通安全法》在

學生中的普及情況，調查

i-l;

S-Oi

whileY?4

S-S*x+1；

i-i+1；

end

S

部門對某校6名學生進行問卷調查，6人得

分情況如下：5,6,7,8,9,10.把這6名學

6名學生中抽取2名，他如果用簡單隨機抽樣方

法從這生的得分看成一個總體.

們的得分組成一個樣本，則該樣本平均數與總體平

均數之差的絕對值不超過0.5

的概率為()

7483

A.B.C,D.5151515

5.當x=2時，下面的程序段結果是

5.某校舉行運動會，高二一班有男乒乓球運動員4

名、女乒乓球運動員3名，現要選一男一女運動

員組成混合雙打組合代表本班參賽，若某女乒乓

球運動員為國家一級運動員，則她參賽的概率是多

少？

6.假設關于某設備的使用年限x（年）和所支出的

維修費用y（萬元）有如下的統計資料：

X23456

y2.23.85.56.57.0⑴求回歸直線方程；

⑵估計使用年限為10年時，維修費用是多少？

7.在人群流量較大的街道，有一中年人吆喝“送錢”，只見他手

拿一黑色小布袋，袋中有3

只黃色、3只白色的乒乓球（其體積、質地完成相同），旁邊立

著一塊小黑板寫道：

摸球方法:從袋中隨機摸出3個球，若摸得同一顏色的3個球，

攤主送給摸球者元錢；若5

1元錢。摸得非同一顏色的3個球，摸球者付給攤主

（1）摸出的3個球為白球的概率是多少？

（2）摸出的3個球為2個黃球1個白球的概率是多少？

（3）假定一天中有100人次摸獎，試從概率的角度估算一下

這個攤主一個月（按30天計）

能賺多少錢？

8.某中學高中三年級男子體育訓練小組2012年

5月測試的50米跑的成績（單位：s）如下：

6.4,657.0,6.8,7.1,7.3,6.9,7.4,7.5,設計一

個算法，從這些成績中搜索出小于6.8s的成績,

并畫出程序框圖.

8

9.隨機抽取某中學甲、乙兩班各10名同學，測

量他們的身高（單位:cm),獲

甲班乙班

99101703689

883216258

8159

得身高數據的莖葉圖如圖所示.

⑴計算甲班的樣本方差；

⑵現從乙班這10名同學中隨機抽取兩名身高不

低于173cm的同學，求身高為

176cm的同學被抽中的概率.

1的概率是t,t][）上任意取值，則（10.已知

x可以在區間x[t,4t]0t

21311.B.DC.A.

61032

11.若以連續擲兩次骰子分別得到的點數m、n

作為P點的坐標，求點P落在圓

22外部的概率是y16x

5278DC.A.B..

9399

12、閱讀下列程序：

輸入x；

theny：=ifx<0,；3x

2

elseifx>0；,theny：=x5

2

elsey：=0；

輸出y.

如果輸入x=—2,則輸出結果y為

A、3+B、3—C、一5D、--5

9

80,次射擊，已知至少命中一次的概率為413、

一射手對同一目標獨立地進行

81

則此射手的命中率是2121、、DC、A、B

3345

14.下列各數中最小的數是()

210111111100085D.C.A.B,(2)⑹(4)(9)n15.下列程

序輸出的的值是.

j=1

n=0

j<=11WHILE

j=j+1

IFjMOD4=OTHEN

n=n+1

ENDIF

j=j+1

WEND

nPRINT

END

第15題

16.意大利數學家菲波拉契，在1202年出版的一

書里提出了這樣的一個問題：一對兔子飼養到第二

個月進入成年，第三個月生一對小兔，以后每個月

生一對小兔，所生小兔能全部存活并且也是第二個

月成年，第三個月生一對小兔，以后每月生一對小

兔.問這樣下去到年底應有多少對兔子？試畫出

解決此問題的程序框圖，并編寫相應的程序.

10

窣

|"10,3I

17.有一列數：1,1,2,3,5,8,13,21,?,

這列數有個特點，前兩個數

都是1,從第三個數開始，每個數都是前兩個數

的和，這樣的一列數