第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程（第一課時）數學九年級上冊BS版課前預習典例講練目錄CONTENTS數學九年級上冊BS版01課前預習

b2－

4ac

≥0

2.用公式法求解一元二次方程的基本步驟.一般步驟示例[（

x

－2）（3

x

－5）＝1]一

化首先將原方程化為一般式

ax2＋

bx

＋

c

＝0（

a

≠0）3

x2－11

x

＋9＝0二

定確定

a

，

b

，

c

的值，并計算

b2

－4

ac

的值

a

＝3，

b

＝－11，

c

＝9，

則

b2－4

ac

＝（－11）2－

4×3×9＝13一般步驟示例[（

x

－2）（3

x

－5）＝1]三

判判斷

b2－4

ac

的符號：若

b2－4

ac

≥0，方程有實數根；若

b2

－4

ac

＜0，方程沒有實數根

b2－4

ac

＝13＞0，方程有

兩個不相等的實數根四

解若方程有實數根，則將

a

，

b

，

c

的值代入公式計算并化簡3.根的判別式.我們把

叫做一元二次方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0（

a

≠0）

的根的判別式，通常用希臘字母“Δ”表示.4.一元二次方程解的個數問題.對于一元二次方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0（

a

≠0）：（1）Δ＝

b2－4

ac

＞0?方程有

的實數根；（2）Δ＝

b2－4

ac

＝0?方程有

實數根；（3）Δ＝

b2－4

ac

＜0?方程

實數根.b2－4

ac

兩個不相等

兩個相等的

沒有

數學九年級上冊BS版02典例講練

用公式法解下列方程：（1）

x2－3

x

＋1＝0；

（2）3

x2－6

x

＝1；

（4）（

x

＋2）2＝2

x

＋1.【思路導航】先把一元二次方程化為一般形式，然后準確找出

a

，

b

，

c

的值，再代入公式計算即可.解：（4）將原方程化為一般形式，得

x2＋2

x

＋3＝0.這里

a

＝1，

b

＝2，

c

＝3.∵

b2－4

ac

＝22－4×1×3＝－8＜0，∴原方程無實數根.

1.不解方程，判斷下列方程根的情況：（1）2

x2＋5＝7

x

；解：將原程化為一般形式，得2

x2－7

x

＋5＝0.這里

a

＝2，

b

＝－7，

c

＝5.∵

b2－4

ac

＝（－7）2－4×2×5＝9＞0，∴方程有兩個不相等的實數根.（2）4

x

（

x

－1）＋3＝0；解：將原程化為一般形式，得4

x2－4

x

＋3＝0.這里

a

＝4，

b

＝－4，

c

＝3.∵

b2－4

ac

＝（－4）2－4×4×3＝－32＜0.∴方程沒有實數根.（3）4（

y2＋0.09）＝2.4

y

.解：將原程化為一般形式，得4

y2－2.4

y

＋0.36＝0.這里

a

＝4，

b

＝－2.4，

c

＝0.36.∵

b2－4

ac

＝（－2.4）2－4×4×0.36＝0，∴方程有兩個相等的實數根.2.用公式法解下列方程：（1）9

x2＋6

x

＋1＝0；

（2）16

x2＋8

x

＝3.

當

m

為何值時，關于

x

的一元二次方程（

m

＋1）

x2－（2

m

－

3）

x

＋

m

＋1＝0分別滿足下列條件？（1）有兩個不相等的實數根；（2）有兩個相等的實數根；（3）沒有實數根.【思路導航】先根據一元二次方程的定義，得到二次項系數不

為0，即

m

＋1≠0；再根據一元二次方程的根的情況，分別得到

Δ與0的大小關系，由此列不等式或方程求解.解：∵此方程是關于

x

的一元二次方程，∴

m

＋1≠0.∴

m

≠－1.∵

a

＝

m

＋1，

b

＝－（2

m

－3），

c

＝

m

＋1，∴

b2－4

ac

＝[－（2

m

－3）]2－4（

m

＋1）（

m

＋1）＝－20

m

＋5.

【點撥】在含參數的一元二次方程中，需要考慮兩點：①二次

項系數不為0；②根的情況.由根的情況，得到Δ與0的關系，再

列不等式或方程計算.需要注意的是，Δ與一元二次方程的根的

情況是可以相互轉化的.若已知Δ＞0，則可得出一元二次方程有

兩個不相等的實數根；反過來，若一元二次方程有兩個不相等

的實數根，則可知Δ＞0.前者可以用來判斷一元二次方程根的個

數，后者可用來求題目中參數所滿足的不等式或等式.

已知關于

x

的方程

mx2－（2

m

－1）

x

＋

m

－2＝0.（1）當

m

為何值時，方程有兩個不相等的實數根？

（2）若

m

為滿足（1）的最小正整數，求此時方程的兩個根

x1，

x2.

用公式法解方程：（2

x

＋1）2＋3（2

x

＋1）＋2＝0.【思路導航】此題有兩種解法.方法一：先化簡，再用公式法.方

法二：把2

x

＋1看成一個整體，即設

t

＝2

x

＋1，得到關于

t

的方

程，先解出

t

，再解

x

.

【點撥】此題中方法二涉及換元法，即設

t

＝2

x

＋1，用一個新

的字母

t

表示題目中比較復雜的一部分（2

x

＋1），由此達到簡

化計算的目的，這是初中數學學習中技巧性比較強的一種方法.

用公式法解下列方程：

解：設

t

＝2

x

－3，則

t2－3

t

－4＝0.由公式法，解得

t1＝－1，