5.1.1角的概念的推廣第5章三角函數(shù)5.1任意角與弧度制學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．了解任意角的概念，能正確區(qū)分正角、零角和負(fù)角．(重點)2．理解象限角的意義，掌握終邊相同的角的意義與表示．(重點、難點)通過正角和負(fù)角理解角的大小、旋轉(zhuǎn)方向，通過角的終邊所在的象限的討論，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理核心素養(yǎng)．如圖所示，當(dāng)摩天輪在持續(xù)不斷地轉(zhuǎn)動時：(1)摩天輪所轉(zhuǎn)過的角度大小是否會超360°？(2)如果甲、乙兩人分別站在摩天輪的兩側(cè)觀察，那么他們所看到的摩天輪旋轉(zhuǎn)方向相同嗎？如果不同，你能用合適的數(shù)學(xué)符號表示這種不同嗎？從這個實例出發(fā)，你能將以前所學(xué)的角進(jìn)行推廣嗎？必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知知識點1任意角(1)角的旋轉(zhuǎn)定義自然語言角可以看作是平面內(nèi)一條射線繞著其____從初始位置旋轉(zhuǎn)到終止位置時所形成的圖形符號語言O(shè)為頂點，射線OA為始邊，OB為終邊，α＝∠AOB圖形語言

端點類型定義圖示正角按______方向旋轉(zhuǎn)形成的角

負(fù)角按______方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角射線OA沒有作任何旋轉(zhuǎn)，終邊OB與OA重合

(2)角的推廣與分類——正角、負(fù)角和零角逆時針順時針?biāo)伎?．終邊和始邊重合的角一定是零角嗎？[提示]

不一定，還有可能是±360°，±720°，…．體驗1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)大于90°的角都是鈍角． (

)(2)零角的終邊與始邊重合． (

)(3)從13：00到13：10，分針轉(zhuǎn)過的角度為60°． (

)(4)一條射線繞端點旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)越多，則這個角越大． (

)×××√體驗2．下圖中從OA旋轉(zhuǎn)到OB，OB1，OB2時所成的角度分別是________、________、________．圖(1)圖(2)390°－150°60°知識點2象限角把角放在平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點為________，角的始邊為x軸的非負(fù)半軸，角的____落在第幾象限，就說這個角是第幾______；如果角的終邊在______上，那么就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限．坐標(biāo)原點終邊象限角坐標(biāo)軸思考2．“銳角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？[提示]

銳角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是銳角，也可以是大于360°的角，還可以是負(fù)角，小于90°的角可以是銳角，也可以是零角或負(fù)角．體驗3．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)－30°是第四象限角． (

)(2)第二象限角是鈍角． (

)(3)225°是第三象限角． (

)√√×知識點3終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝___________，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和．[提示]

終邊相同的角不一定相等，它們相差360°的整數(shù)倍；相等的角，終邊相同．α＋k·360°思考3．終邊相同的角相等嗎？相等的角終邊相同嗎？體驗4．與610°角終邊相同的角可以表示為(其中k∈Z)(

)A．k·360°＋230°

B．k·360°＋250°C．k·360°＋70° D．k·180°＋270°B

[610°＝360°＋250°，故選B.]√類型1任意角的概念【例1】

(1)下列結(jié)論：①始邊相同而終邊不同的角一定不相等；②小于90°的角是第一象限角；③鈍角比第三象限角小；④角α與－α的終邊關(guān)于x軸對稱．其中正確的結(jié)論為________(填序號)．關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難①④(2)如圖，射線OA先繞端點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°到OB處，再按順時針方向旋轉(zhuǎn)820°至OC處，則β＝__________．－40°(1)①④

(2)－40°

[(1)①正確；②錯誤；如α＝－30°是第四象限角；③錯誤，如α＝－110°；④正確．(2)由題意可知，∠AOB＝60°，又∠BOC＝820°－720°＝100°，故β＝－100°＋60°＝－40°．]反思領(lǐng)悟

理解角的概念的關(guān)鍵與技巧(1)關(guān)鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念．(2)技巧：判斷命題為真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可．提醒：理解任意角這一概念時，要注意“旋轉(zhuǎn)方向”決定角的“正負(fù)”，“旋轉(zhuǎn)幅度”決定角的“絕對值大小”．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)射線OA繞端點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°到達(dá)OB位置，由OB位置順時針旋轉(zhuǎn)270°到達(dá)OC位置，則∠AOC＝(

)A．150°

B．－150°

C．390°

D．－390°(2)若手表時針走過4小時，則時針轉(zhuǎn)過的角度為(

)A．120° B．－120°C．－60° D．60°√√

類型2終邊相同的角的表示及應(yīng)用【例2】

(1)寫出與α＝－1910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫出來；(2)寫出終邊落在直線y＝－x上的角β的集合S，S中適合不等式－360°<β<360°的元素有哪些？

反思領(lǐng)悟

1．在0°到360°范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法(1)一般地，可以將所給的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．(2)如果所給的角的絕對值不是很大，可以通過如下方法完成：當(dāng)所給角是負(fù)角時，采用連續(xù)加360°的方式；當(dāng)所給角是正角時，采用連續(xù)減360°的方式，直到所得結(jié)果達(dá)到要求為止．提醒：表示終邊相同的角，k∈Z這一條件不能少．2．終邊相同角常用的三個結(jié)論(1)終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍．(2)終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數(shù)倍．(3)終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．已知α＝－1845°，在與α終邊相同的角中，求滿足下列條件的角．(1)最小的正角；(2)最大的負(fù)角；(3)－360°～720°之間的角．[解]

因為－1845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1845°角與－45°角的終邊相同，所以與角α終邊相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}．(1)最小的正角為315°．(2)最大的負(fù)角為－45°．(3)－360°～720°之間的角分別是－45°，315°，675°．

(2)如圖所示．①分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；②寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．√以終邊相同的角為切入點，思考如何表示某個區(qū)域內(nèi)的角？

(2)[解]

①終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由題干圖可知，陰影部分(包括邊界)的角的集合是由所有介于－30°～135°之間的與之終邊相同的角組成的集合，故該區(qū)域可表示為{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．[母題探究]若將本例(2)改為如圖所示的圖形，那么終邊落在陰影部分(實線為包括邊界，虛線為不包含邊界)的角的集合如何表示？[解]

在0°～360°范圍內(nèi)，終邊落在陰影部分的角為60°≤β＜105°與240°≤β＜285°，所以所有滿足題意的角β為{β|k·360°＋60°≤β＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合為{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．反思領(lǐng)悟

1．表示區(qū)域角的3個步驟第一步：先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界．第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β}，其中β－α<360°．第三步：起始、終止邊界對應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)域角集合．

提醒：表示區(qū)間角時要注意實線邊界與虛線邊界的差異．

√(2)寫出終邊落在陰影部分的角的集合．

(2)[解]

在0°～360°范圍內(nèi)，陰影部分(包括邊界)表示的范圍可表示為：150°≤β≤225°，則所有滿足條件的角β為{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．1．下列角中，終邊在y軸非負(fù)半軸上的是(

)A．45° B．90°C．180° D．270°學(xué)習(xí)效果·課堂評估夯基礎(chǔ)√23題號415B

[根據(jù)角的概念可知，90°角是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，逆時針旋轉(zhuǎn)了90°，故其終邊在y軸的非負(fù)半軸上．]2．下列各個角中與角2024°終邊相同的角的度數(shù)是(

)A．－149° B．679°C．321° D．224°23題號415√D

[因為2024°＝360°×5＋224°，所以與2024°終邊相同的角是224°．]3．角－870°的終邊所在的象限是(

)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限23題號45√1C

[∵－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限角，故選C．]4．50°角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，把終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)2周，所得角是________．23題號451－670°

[由題意知，所得角是50°－2×360°＝－670°．]－670°5．已知角α的終邊在如圖陰影表示的范圍內(nèi)(不包含邊界)，那么角α的集合是______________________________________________．23題號451{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：1．任意角的分類有哪幾種？[提示]

按旋轉(zhuǎn)方向分為：正角、負(fù)角和零角；按角